5.1.2弧度制課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.下列說法中,錯(cuò)誤的是()A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.1°的角是周角的1360,1rad的角是周角的C.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角,都與圓的半徑有關(guān)答案D解析根據(jù)1度,1弧度的定義可知只有D中的說法是錯(cuò)誤的,故選D.2.(多選題)下列說法正確的是()A.60°用弧度制表示是πB.103π用角度制表示是600C.150°用弧度制表示是76D.π12用角度制表示是12答案AB解析150°=56π,π12=15°,故C,D3.已知某機(jī)械采用齒輪傳動(dòng),由主動(dòng)輪M帶著從動(dòng)輪N轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖所示),設(shè)主動(dòng)輪M的直徑為150mm,從動(dòng)輪N的直徑為300mm,若主動(dòng)輪M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2,則從動(dòng)輪N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)()A.π8 B.π4 C.π2答案B解析設(shè)從動(dòng)輪N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θrad,由題意,知主動(dòng)輪M與從動(dòng)輪N轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長相等,所以1502×π2=3002×θ,解得4.若圓的半徑是6cm,則圓心角為60°的扇形的面積是()A.π2cm2 B.3π2cm2 C.πcm2 D.6答案D解析因?yàn)?0°=π3,所以扇形的面積S=12×π3×62=65.若扇形周長為6cm,面積為2cm2,則其圓心角(正角)的弧度數(shù)是()A.1或4 B.1或2 C.2或4 D.1或5答案A解析設(shè)扇形的半徑為rcm,圓心角為α(α>0),根據(jù)題意得2r+rα=6,12αr6.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,則下列各組角中,表示終邊相同的角的是()A.2kπ±π3與kπ±π3(k∈B.kπ±π2與2kπ+π2(k∈C.kππ2與kπ+π2(k∈D.2kπ±π與kπ(k∈Z)答案C解析對于A,當(dāng)k=1時(shí),kπ+π3=4π3,在2kπ±π3(k∈Z)表示的角中不存在與4π3終邊相同的角,不符合題意;對于B,kπ±π2(k∈Z)表示終邊在y軸上的角,2kπ+π2(k∈Z)表示終邊在y軸非負(fù)半軸上的角,不符合題意;對于C,kππ2(k∈Z),kπ+π2(k∈Z)表示終邊在y軸上的角,符合題意;對于D,2kπ±π(k∈Z)表示終邊在x軸非正半軸上的角,kπ(k7.27π4是第象限角答案三解析因?yàn)?7π4=6π3π4,而3π48.若α∈(0,π),且角α的終邊與角5π3的終邊相同,則α=答案π解析因?yàn)?π3=2π+π3,又α∈(0,π),故α9.時(shí)針經(jīng)過一小時(shí),轉(zhuǎn)過了rad.

答案π解析時(shí)針經(jīng)過一小時(shí),轉(zhuǎn)過30°,30°=π6rad10.已知一扇形的圓心角是2π3,所在圓的半徑是10cm,(1)扇形的弧長;(2)該弧所在的弓形的面積.解(1)因?yàn)閳A心角α=2π3,圓的半徑r=10所以弧長l=αr=2π3×10=20(2)該弧所在的弓形的面積S=S扇形S三角形=12lr12r2sinα=12×20π3×1012×102×11.如圖所示,用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在陰影部分的角的集合.解(1)將陰影部分看成是由射線OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB所形成的,故滿足條件的角的集合為{α3π4+2kπ<α<4π3+2kπ,k(2)終邊為OA的一個(gè)角可寫為π6,此時(shí)陰影部分可以看成是射線OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB所形成,故滿足條件的角的集合為{α-π6+2kπ<α≤5π12+2kπ,(3)將題圖中x軸下方的陰影部分看成是由x軸上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)πrad而得到的,所以滿足條件的角的集合為αk(4)將題圖中第二象限的陰影部分旋轉(zhuǎn)πrad后可得到第四象限的陰影部分,故滿足條件的角的集合為α2能力提升1.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下,折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成,設(shè)扇形的面積為S1,圓面中剩余部分的面積為S2,當(dāng)S1與S2的比值為5-12時(shí),扇面看上去形狀較為美觀,那么此時(shí)扇形的圓心角(正角)的弧度數(shù)為A.(35)π B.(51)πC.(5+1)π D.(52)π答案A解析設(shè)扇形的圓心角為α(α>0),則圓面中剩余部分的圓心角為2πα,則由題意可得,α2π-α=5-122.已知弧長為πcm的弧所對的圓心角為π4,則這條弧所在的扇形的面積為(A.π2cm2 B.πcmC.2πcm2 D.4πcm2答案C解析∵弧長為πcm的弧所對的圓心角為π4,∴扇形所在圓的半徑r=ππ4=4(cm),∴這條弧所在的扇形的面積S=12×π×4=2π(cm2)3.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的杰出代表作.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=12(弦×矢+矢2).弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成,公式中“弦”指圓弧所對的弦長,“矢”等于半徑與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為2π3,半徑為4m的弧田,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是A.6m2 B.9m2 C.12m2 D.15m2答案B解析根據(jù)題設(shè),弦=2×4sinπ3=43(m),矢=44cosπ3=2(m),故弧田面積=12(弦×矢+矢2)=12×(43×2+22)=43+2≈4.已知圓的一段弧長等于該圓外切正三角形的邊長,則這段弧所對圓心角(正角)的弧度數(shù)是.

答案23解析設(shè)圓的半徑為r,其外切正三角形的邊長為a,則r=36a又弧長為a,所以這段弧所對圓心角的弧度數(shù)α=ar=a35.若兩個(gè)角的差是1°,它們的和是1rad,則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別是.答案180+解析設(shè)兩角的弧度數(shù)分別為α,β,α>β,則α解得α6.已知集合M=xx=kπ2±π4,k∈Z,N={x|x=kπ4答案M?N解析(方法一)∵kπ2±π4=(2k±1)·π4(k∈Z),kπ4+π2=(k+2)·π4(k∈Z),又k∈Z,2k±(方法二)∵M(jìn)=…,-3π4,-π4,π4,3π4,5π4,…,N=∴M?N.7.已知一扇形的圓心角α=60°,所在圓的半徑R=10cm.求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積.解設(shè)弧長為l,弓形面積為S弓,∵α=60°=π3,R=10∴l(xiāng)=αR=10π3S弓=S扇S三角形=12×10π3×1012×2×10×sinπ6×10×cosπ8.某公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示),該扇環(huán)是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和線段AD,BC圍成的.設(shè)圓弧AB,CD所在圓的半徑分別為r1,r2(單位:米),圓心角為θ(θ>0,單位:弧度).(1)若θ=π3,r1=3,r2=6,求花壇的面積(2)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮花壇邊緣(實(shí)線部分)的裝飾問題,已知直線部分的裝飾費(fèi)用為60元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為90元/米,預(yù)算費(fèi)用總計(jì)1200元,在這種情況下,線段AD的長度為多少時(shí),花壇的面積最大?解(1)花壇的面積S=12×62×π3-12×32×(2)弧AB的長為r1θ米,弧CD的長為r2θ米,線段AD的長為(r2r1)米.由題意知60·2(r2r1)+90(r1θ+r2θ)=1200,即4(r2r1)+3(r2θ+r1θ)=40.(*)