訓練17平面向量線性運算、平面向量基本定理一、單項選擇題1．(2023·馬鞍山模擬)已知向量a＝(3，1)，b＝(2m－1，3)，若a與b共線，則實數(shù)m等于()A.eq\f(13,2)B．5C.eq\f(7,2)D．1答案B解析由題意，得3×3－1×(2m－1)＝0，解得m＝5.2．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A．(2，6) B．(－2，6)C．(2，－6) D．(－2，－6)答案D解析由題意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－2，－6)．3.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點E為線段CD上靠近D的三等分點，點F為線段BC的中點，則eq\o(FE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(13,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．－eq\f(13,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,18)eq\o(AC,\s\up6(→))C．－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))答案B解析eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA，\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(13,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,18)eq\o(AC,\s\up6(→)).4.(2023·蕪湖模擬)如圖，不共線的三個向量a，b，c以圓心O為起點，終點落在同一圓周上，且兩兩夾角相等，若c＝xa＋yb，則x＋y等于()A．－2B．－eq\r(3)C．－eq\r(2)D．－1答案A解析因為不共線的三個向量a，b，c以圓心O為起點，終點落在同一圓周上，且兩兩夾角相等，所以三個向量的終點A，B，C組成一個等邊三角形，即O是這個等邊三角形的中心也就是重心，故a＋b＋c＝0?a＋b＋xa＋yb＝0?x＝－1，y＝－1?x＋y＝－2.二、多項選擇題5．下列命題中是假命題的為()A．已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底B．若p與a，b共面，則p＝xa＋ybC．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))是空間的一個基底，若m＝a＋c，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，m))也是空間的一個基底D．若P，M，A，B四點共面，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))答案BD解析A項，構(gòu)成空間基底的向量不共線，故A為真命題；B項，需滿足a，b不共線，故B為假命題；C項，由a，b，m不共面，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，m))也是空間的一個基底，故C為真命題；D項，需滿足M，A，B三點不共線，故D為假命題．6.如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，其中λ∈[0，1]，B＝eq\f(π,6)，AB＝4，BC＝5，則()A．當λ＝eq\f(2,3)時，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B．當eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－2eq\r(3)時，λ＝eq\f(1,5)C．當λ＝1時，△ABD的面積最大D．當λ＝eq\f(3,5)時，AD⊥BC答案ABC解析對于A，∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，∴當λ＝eq\f(2,3)時，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，故A正確；對于B，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(λeq\o(BC,\s\up6(→)))＝4×5λ×coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－2eq\r(3)可得λ＝eq\f(1,5)，故B正確；對于C，當λ＝1時，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，D與C重合，△ABD的面積最大，故C正確；對于D，當λ＝eq\f(3,5)時，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,5)\o(BC,\s\up6(→))))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＋eq\f(3,5)×52＝15－10eq\r(3)≠0，故D錯誤．三、填空題7.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E和點F分別是CD和BC邊上的動點，連接EF，交AC于點G，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R且λ＋μ＝eq\f(3,2)，則eq\f(|\o(AG,\s\up6(→))|,|\o(GC,\s\up6(→))|)＝________.答案2解析依題意，令eq\o(AG,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))＝mλeq\o(AE,\s\up6(→))＋mμeq\o(AF,\s\up6(→))，m>0，因為點E，G，F(xiàn)三點共線，則mλ＋mμ＝1，而λ＋μ＝eq\f(3,2)，因此m＝eq\f(2,3)，即eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GC,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(AG,\s\up6(→))|,|\o(GC,\s\up6(→))|)＝2.8．在△ABC中，AB＝5，AC＝2eq\r(5)，BC上的高AD＝4，且垂足D在線段BC上，H為△ABC的垂心且eq\o(AH,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，則eq\f(x,y)＝________.答案eq\f(2,3)解析由題意，因為AD⊥BC，AB＝5，AC＝2eq\r(5)，BC上的高AD＝4，所以BD＝3，CD＝2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，因為H為△ABC的垂心，所以A，H，D三點共線，因此存在實數(shù)λ，使得eq\o(AH,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)λeq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AH,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\f(x,y)＝eq\f(2,3).四、解答題9．設e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值．(1)證明由已知得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→)).又∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)解由(1)可知eq\o(BD,\s\up6(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ，))解得k＝12.10.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，F(xiàn)，G是AD，BC的三等分點．其中AF＝eq\f(2,3)AD，BG＝eq\f(2,3)BC，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))；(2)如果|a|＝eq\f(4,3)|b|，用向量的方法證明：EF⊥EG.(1)解由題意得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq