專題01函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、對(duì)稱性、周期性）難點(diǎn)突破知識(shí)講解一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè),都有,那么函數(shù)就叫作偶函數(shù)

關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè),都有,那么函數(shù)就叫作奇函數(shù)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論(1)為奇函數(shù)?的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;為偶函數(shù)?的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.(2)如果函數(shù)是偶函數(shù),那么.(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型,即,其中定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).(6)設(shè)的定義域分別是,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=,奇×奇=,偶+偶=,偶×偶=,奇×偶=.

(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇,一偶則偶”.提醒:①(6)中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的.②判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分別對(duì)每段函數(shù)證明與的關(guān)系,只有當(dāng)各段上的都滿足相同關(guān)系時(shí),才能判斷其奇偶性.二、周期性1.周期函數(shù):對(duì)于函數(shù),如果存在一個(gè)非零常數(shù),使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有,那么就稱函數(shù)為周期函數(shù),稱為這個(gè)函數(shù)的周期.

2.最小正周期:如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作的.

三、對(duì)稱性1.若函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱.特別地,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù).

2.若函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.特別地,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù).

函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)若函數(shù)是偶函數(shù),即,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

(2)若對(duì)于上的任意都有,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

(3)若函數(shù)是奇函數(shù),即,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

題型一、函數(shù)奇偶性的判斷1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1);(2)2.（2021年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù),則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是().A. B.C. D.3．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）若是奇函數(shù)，則_____，______．判斷函數(shù)奇偶性的方法:(1)根據(jù)定義判斷,首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的條件下,再化簡(jiǎn)解析式,根據(jù)與的關(guān)系作出判斷.(2)利用函數(shù)圖象特征判斷.(3)分段函數(shù)奇偶性的判斷,要分別從或來(lái)判斷等式或是否成立,只有當(dāng)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí),分段函數(shù)才具有確定的奇偶性.題型二、根據(jù)奇偶性求值1.（2023年貴陽(yáng)模擬數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為,則的值是（）.A.2 B.3 C.4 D.62.（2023年哈爾濱模擬數(shù)學(xué)試題）函數(shù)f(x)=x(ex+e-x)+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為,則的值為（）.A.-2 B.0 C.2 D.43.（2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,且為偶函數(shù),為奇函數(shù),則（）.A.B.C. D.4．（2018年全國(guó)卷Ⅲ文數(shù)高考試題）已知函數(shù)，，則．5．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．（2023年湖南省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在上的最大值與最小值分別為和，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心是.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值,有時(shí)需根據(jù)函數(shù)所給表達(dá)式抽離出部分具有奇偶性的解析式來(lái)求解,若所給的函數(shù)有位置偏移,則可利用奇偶函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合圖象來(lái)求解函數(shù)值.題型三、根據(jù)奇偶性求參數(shù)1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．12．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．23．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））若函數(shù)為偶函數(shù)，則．4．（2023年北京模擬數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)k=.

已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù),主要方法有兩個(gè):一是利用(奇函數(shù))或(偶函數(shù))在定義域內(nèi)恒成立求解;二是利用特殊值求解,奇函數(shù)一般利用求解,偶函數(shù)一般利用求解.用兩種方法求得參數(shù)后,一定要注意驗(yàn)證.題型四、根據(jù)奇偶性求解析式1．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),.

2．（2019年全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),().A． B．C． D．3．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則．已知函數(shù)的奇偶性求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出解析式,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.題型五、根據(jù)奇偶性判斷圖象特征1．下列四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù),其圖象可能是右圖的是（）.A．B．C．D．2．已知函數(shù),若的圖象如圖所示,則的解析式可能是（）.A． B．C．D．3．（2022年高考最后一卷（押題卷一）數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．是奇函數(shù)D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱4．已知函數(shù)，其中，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．曲線是軸對(duì)稱圖形 D．曲線是中心對(duì)稱圖形利用函數(shù)的奇偶性與其圖象的對(duì)稱性,結(jié)合圖象直觀求解相關(guān)問(wèn)題.題型六、函數(shù)的周期性及應(yīng)用1．（2023年山東一模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),,當(dāng)x∈(0,2)時(shí),,則（）.A． B． C． D．2．（2023年黑龍江二模數(shù)學(xué)試題）設(shè)是定義在上的周期為2的函數(shù),當(dāng)時(shí),則.

3．（2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類（湖北卷））已知在R上是奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．-2 B．2 C．-98 D．984．（2023年山東模擬數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的奇函數(shù)滿足,若,則（）.A．-4 B．-2 C．0 D．2(1)函數(shù)周期性常用的結(jié)論對(duì)函數(shù)的定義域內(nèi)任一自變量,①若,則;②若,則;③若,則;④若,則.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的解析式(或函數(shù)值)得到整個(gè)定義域內(nèi)的解析式(或相應(yīng)的函數(shù)值).(3)在解決具體問(wèn)題時(shí),要注意結(jié)論“若是函數(shù)的周期,則也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.題型六、函數(shù)的對(duì)稱性1．已知的定義域?yàn)?其函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且,若當(dāng)時(shí),,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.A．為偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)任意都有,且,則下列結(jié)論正確的是

（）.A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的最小正周期為D．為偶函數(shù)3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?且為奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.當(dāng)x∈[0,4]時(shí),f(x)=x2-4x,則f(2022)=.

4．（2023屆湖南省一模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)為奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．0 C．1 D．25．（2023屆聯(lián)考全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)試題）已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）．A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．函數(shù)的周期為2C．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D．軸對(duì)稱的常用結(jié)論(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(2)函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.命題角度2函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱6．已知函數(shù)滿足,若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為,則（）.A． B． C． D．7．（2023年湖州模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)為奇函數(shù),,且與圖象的交點(diǎn)分別為,則.

點(diǎn)對(duì)稱的常用結(jié)論(1)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(2)函數(shù)為奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.題型七、具體函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用1．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（）.A．(-1,2) B．(-1,-2)C．(1,2) D．(1,-2)3．（2023年河南模擬數(shù)學(xué)試題）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,當(dāng)時(shí),則（）.A． B． C． D．4．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

②在區(qū)間單調(diào)遞減③的極大值為0

④有3個(gè)零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④5．（2023屆重慶市質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)a,b滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性的解題技法(1)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性,一般是知二得一,特別是已知奇偶性和對(duì)稱性,一般要先確定周期性.(2)若奇函數(shù)在處有意義,則一定有,偶函數(shù)一定有,要注意這兩個(gè)結(jié)論在解題中的應(yīng)用.(3)如果的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且關(guān)于直線對(duì)稱,那么函數(shù)的周期.(類比的圖象)(4)如果的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,那么函數(shù)的周期.(類比的圖象)(5)若函數(shù)關(guān)于直線與直線對(duì)稱,則函數(shù)的周期是.(類比的圖象)題型八、抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用1．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（大綱卷））奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，且，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在上有意義,記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),又是奇函數(shù),則下列判斷錯(cuò)誤的有（）.A．是奇函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù)D．是偶函數(shù)5．已知是定義在上的函數(shù),且滿足為偶函數(shù),為奇函數(shù),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.A．函數(shù)的周期為2B．函數(shù)的周期為4C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．6．已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，若是偶函數(shù)，則＝（）A．－3 B．－2 C．2 D．3由奇偶性延伸所得對(duì)稱性問(wèn)題的常見(jiàn)結(jié)論(1)若函數(shù)是奇函數(shù),且,則必有,的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(2)若函數(shù)是奇函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(3)若函數(shù)是偶函數(shù),且,則必有,的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(4)若函數(shù)為奇函數(shù)(或偶函數(shù)),則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(或關(guān)于直線對(duì)稱).(5)若函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;(6)若函數(shù)滿足,則函數(shù)以為周期.題型九、利用函數(shù)的性質(zhì)解抽象不等式1．函數(shù)在單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)高考試題（山東卷））若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（湖南卷））設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．（2023屆湖北省聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C． D．5．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ））設(shè)函數(shù),則使成立的的取值范圍是（）A．B．C． D．6．（2013年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷））已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足,則a的取值范圍是（）7．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，是奇函數(shù).（1）求，的值；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．已知函數(shù)f(x)對(duì)?x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型十、利用函數(shù)的性質(zhì)解比較大小1．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷））已知奇函數(shù)，且在上是增函數(shù).若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則A． B．C． D．3．已知定義在R上的函數(shù)為偶函數(shù),記,則,的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，有，則（

）．A． B．C． D．5．已知定義在上的函數(shù)滿足:①;②為奇函數(shù);③當(dāng)時(shí),恒成立,則的大小關(guān)系是().A． B．C． D．6．若定義在上的奇函數(shù)滿足,且在[0,1]上是減函數(shù),則有().A．B．C．D．7．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則使得不等式成立的t的取值范圍為（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)（且為常數(shù)），的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱，且為奇函數(shù)，則不等式的解