專題25立體幾何大題訓(xùn)練（文科）題型一、三棱錐的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．2．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．3．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)3卷））如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）證明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．4．（2023屆四川省診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱錐中，H為的內(nèi)心，直線AH與BC交于M，，.(1)證明：平面平面ABC；(2)若，，，求三棱錐的體積.題型二、直三棱柱的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.2．如圖所示在直三棱柱中，，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D、E、F分別為棱、、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱BC上，且．(1)證明：∥平面DCE；(2)求點(diǎn)D到平面CEF的距離．3．（2023屆新疆二模數(shù)學(xué)（文科）試題）如圖，在三棱柱中，平面，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱上．(1)證明：；(2)若，，且點(diǎn)到平面的距離為，求的值．題型三、斜三棱柱的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．2．（2023屆四川省全真模擬考試（一）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．(1)求證：B，D，E，四點(diǎn)共面；(2)求四棱錐的體積．3．如圖，已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若平面平面，為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積．4．如圖，已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若平面平面，為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積．5．如圖，已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若平面平面，為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積．6．（2023屆河南省調(diào)研模擬文科數(shù)學(xué)試題）如圖，已知三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求棱錐的體積.7．（2023屆貴州省高考模擬（黃金Ⅰ卷）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，，.

(1)證明：；(2)若，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.題型四、三棱臺(tái)的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．2．（2023屆河南省沖刺考試（四）文科數(shù)學(xué)試題）在三棱臺(tái)中，，分別是，的中點(diǎn)，，平面，且，．

(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．3．（2023屆貴州省月考（全國(guó)甲卷押題卷二）數(shù)學(xué)（文）試題）在三棱臺(tái)中，平面ABC，，，，M為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．4．如圖，在三棱臺(tái)中，，H為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AC上，平面FGH．平面ABC，．(1)求三棱臺(tái)的體積；(2)求證：點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．題型五、四棱錐的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．2．（2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科））如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說明理由.3．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面,（1）證明：直線平面;（2）若△面積為，求四棱錐的體積.4．如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（I）證明平面；（II）求四面體的體積.5．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是長(zhǎng)方形，SA⊥底面ABCD，3CE=CD，SC⊥BE.(1)證明：平面SBE⊥平面SAC；(2)若，AD=1，求CD及三棱錐C-SBE的體積.題型六、底面是平行四邊形的四棱柱的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．2．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．3．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．4．（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ））如圖，長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)分別在上，，過點(diǎn)的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法與理由）；（2）求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．5．（2023屆四川省模擬文科數(shù)學(xué)試題）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：直線、、交于一點(diǎn)；(2)若，求多面體的體積．6．（2023屆陜西省二模文科數(shù)學(xué)試題）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，分別是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.7．（2023屆陜西省高考綜合（文科）數(shù)學(xué)試題）如圖，在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)畫出平面與平面的交線，并說明理由；(3)求過三點(diǎn)的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比．題型七、底面是梯形的四棱柱的相關(guān)證明、體積及表面積1．如圖，在四棱柱中，底面，底面滿足，且，.

(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.2．如圖所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,側(cè)棱⊥底面且．(1)指出棱與平面的交點(diǎn)的位置（無需證明）；(2)求點(diǎn)到平面的距離．題型八、擺放不正的幾何體相關(guān)證明、體積及表面積1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．2．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面．（1）證明：；（2）若，，，求三棱柱的高．3．如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，，求三棱錐的體積．4．（2023屆江西省考前最后一卷（全國(guó)乙卷）數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.5．（2023屆貴州省數(shù)學(xué)（文）沖刺卷（二）試題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為1，求.題型九、圓錐的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.2．（2023年河北省模擬考試數(shù)學(xué)試題）如圖，圓錐的底面半徑，母線的長(zhǎng)為3，為上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，從點(diǎn)拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn).

(1)求繩子的最短長(zhǎng)度；(2)過點(diǎn)作一個(gè)與底面平行的截面，將圓錐分為上、下兩部分，其體積分別為，，求.3．（2023年廣東省模擬考試數(shù)學(xué)試題）亭子是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑，多建于園林、佛寺、廟宇，人們?cè)谛蕾p美景的同時(shí)也能在亭子里休息、避雨、乘涼（如圖1）.我們可以把亭子看成由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱構(gòu)成（如圖2）.已知圓錐高為3，圓柱高為5，底面直徑為8.(1)求圓錐的母線長(zhǎng)；(2)設(shè)為半圓弧的中點(diǎn)，求到平面的距離.4．（2023年上海市模擬考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，且，，將繞直角邊旋轉(zhuǎn)到處，得到圓錐的一部分，點(diǎn)是底面圓?。ú缓它c(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的大??；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求沿圓錐側(cè)面到達(dá)點(diǎn)的最短距離．5．（2023年福建省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知一個(gè)底面半徑是2的圓錐內(nèi)接一個(gè)圓柱，圓錐的母線長(zhǎng)是8.

(1)求圓柱側(cè)面積的最大值；(2)當(dāng)圓柱側(cè)面積取得最大值時(shí)，圓柱與圓錐的母線交于點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)處出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬行一周到點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離.題型十、翻折圖形形成幾何體的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積.2．（2016年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折起到的位置.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ)若，求五棱錐的體積.3．（2023屆西藏聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)（文）試題）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云.中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得.”

如圖，在鱉臑ABCD中，側(cè)棱AB⊥底面BCD；

(1)若，，，試求異面直線AC與BD所成角的余弦值.(2)若，，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng).試求面積的最小值.題型十一、其它幾何體的相關(guān)證明、體積及表面積1．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如