概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)指南一、概述

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的科學(xué)，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)是其重要分支。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法在數(shù)據(jù)分布未知或不符合正態(tài)分布的情況下具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本指南將系統(tǒng)介紹非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的基本概念、常用方法及其應(yīng)用步驟，幫助讀者掌握相關(guān)技能。

二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的基本概念

（一）非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的定義

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)是指在不依賴數(shù)據(jù)具體分布形式的前提下，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和推斷的統(tǒng)計(jì)方法。與參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)對數(shù)據(jù)分布的假設(shè)較少，適用性更強(qiáng)。

（二）非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)

1.對數(shù)據(jù)分布假設(shè)較少，適用于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)。

2.對樣本量要求較低，適合小樣本研究。

3.計(jì)算相對簡單，易于理解和操作。

4.敏感性較低，抗干擾能力強(qiáng)。

（三）非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用場景

1.數(shù)據(jù)分布未知或不明確。

2.樣本量較小，無法滿足參數(shù)統(tǒng)計(jì)的假設(shè)條件。

3.數(shù)據(jù)存在異常值，參數(shù)統(tǒng)計(jì)易受影響。

4.研究分類變量或順序變量。

三、常用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法

（一）符號檢驗(yàn)

符號檢驗(yàn)是一種基于數(shù)據(jù)符號（正、負(fù)）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法，適用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的中位數(shù)是否存在差異。

1.步驟

(1)計(jì)算每對樣本的差異，并記錄正負(fù)符號。

(2)統(tǒng)計(jì)正符號和負(fù)符號的數(shù)量。

(3)根據(jù)正負(fù)符號數(shù)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用正態(tài)近似法或精確分布法。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有兩組樣本數(shù)據(jù)，通過符號檢驗(yàn)比較兩組的中位數(shù)差異是否顯著。

（二）秩和檢驗(yàn)

秩和檢驗(yàn)是一種基于樣本秩次（排序后的數(shù)據(jù)位置）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法，適用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的分布位置。

1.步驟

(1)將兩組樣本混合排序，并賦予秩次。

(2)計(jì)算每組樣本的秩和。

(3)根據(jù)秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)或Mann-WhitneyU檢驗(yàn)。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有兩組樣本數(shù)據(jù)，通過秩和檢驗(yàn)比較兩組的分布位置是否存在顯著差異。

（三）Kruskal-Wallis檢驗(yàn)

Kruskal-Wallis檢驗(yàn)是一種非參數(shù)方法，用于比較多于兩個(gè)獨(dú)立樣本的中位數(shù)是否存在差異。

1.步驟

(1)將所有樣本混合排序，并賦予秩次。

(2)計(jì)算每個(gè)樣本組的秩和。

(3)根據(jù)秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用卡方近似法或精確分布法。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有三組樣本數(shù)據(jù)，通過Kruskal-Wallis檢驗(yàn)比較三組的中位數(shù)是否存在顯著差異。

（四）Friedman檢驗(yàn)

Friedman檢驗(yàn)是一種非參數(shù)方法，用于比較多于兩個(gè)相關(guān)樣本的中位數(shù)是否存在差異。

1.步驟

(1)對每個(gè)樣本組進(jìn)行排序，并賦予秩次。

(2)計(jì)算每個(gè)樣本組的秩和。

(3)根據(jù)秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用卡方近似法或精確分布法。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有三組重復(fù)測量數(shù)據(jù)，通過Friedman檢驗(yàn)比較三組的中位數(shù)是否存在顯著差異。

（五）Spearman秩相關(guān)系數(shù)

Spearman秩相關(guān)系數(shù)是一種基于秩次的非參數(shù)相關(guān)性分析方法，適用于測量兩個(gè)變量的關(guān)系。

1.步驟

(1)對兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，并賦予秩次。

(2)計(jì)算Spearman秩相關(guān)系數(shù)，公式為：

\[r_s=1-\frac{6\sumd_i^2}{n(n^2-1)}\]

其中，\(d_i\)為兩個(gè)變量的秩次差，\(n\)為樣本量。

(3)根據(jù)相關(guān)系數(shù)的值判斷相關(guān)性強(qiáng)度。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有兩組數(shù)據(jù)，通過Spearman秩相關(guān)系數(shù)分析兩個(gè)變量的關(guān)系強(qiáng)度。

四、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.對數(shù)據(jù)分布假設(shè)較少，適用性廣。

2.計(jì)算簡單，易于操作。

3.對小樣本研究友好。

4.抗干擾能力強(qiáng)，不易受異常值影響。

（二）缺點(diǎn)

1.效率較低，與參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比，檢驗(yàn)力較弱。

2.信息利用不充分，未充分利用數(shù)據(jù)的分布信息。

3.對于正態(tài)分布數(shù)據(jù)，不如參數(shù)統(tǒng)計(jì)精確。

五、總結(jié)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法在數(shù)據(jù)分布未知或不符合正態(tài)分布的情況下具有顯著優(yōu)勢，是統(tǒng)計(jì)研究的重要工具。本指南介紹了常用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的基本概念、步驟和應(yīng)用示例，讀者可根據(jù)實(shí)際需求選擇合適的方法進(jìn)行分析。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn)和研究目的，合理選擇非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，以提高分析的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。

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（接前文）

五、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.對數(shù)據(jù)分布假設(shè)較少，適用性廣。

詳細(xì)說明：非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法在應(yīng)用時(shí)，不需要對總體數(shù)據(jù)的分布形態(tài)（如正態(tài)分布）做出嚴(yán)格假設(shè)。這使得它們特別適用于處理那些實(shí)際分布未知、偏離正態(tài)分布（如偏態(tài)分布、U型分布）或數(shù)據(jù)類型本身就不是連續(xù)數(shù)值（如分類數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)）的研究問題。當(dāng)數(shù)據(jù)量較小或樣本收集過程中受到限制導(dǎo)致無法驗(yàn)證正態(tài)性假設(shè)時(shí)，非參數(shù)方法的優(yōu)勢尤為明顯。

2.計(jì)算簡單，易于操作。

詳細(xì)說明：許多非參數(shù)檢驗(yàn)的原理相對直觀，計(jì)算步驟通常比參數(shù)檢驗(yàn)更簡單，涉及的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和公式較少。例如，符號檢驗(yàn)只需要判斷正負(fù)符號，秩和檢驗(yàn)主要是排序和求和。這使得非參數(shù)方法更容易被非統(tǒng)計(jì)專業(yè)人士理解和應(yīng)用，也便于使用基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)軟件或編程語言（如Python、R中的基礎(chǔ)函數(shù)）實(shí)現(xiàn)。

3.對小樣本研究友好。

詳細(xì)說明：參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，特別是t檢驗(yàn)和方差分析，通常要求較大的樣本量才能保證檢驗(yàn)的效力（即正確拒絕錯(cuò)誤假設(shè)的能力）。當(dāng)樣本量很小時(shí)，參數(shù)檢驗(yàn)的結(jié)果可能很不穩(wěn)定，且對數(shù)據(jù)正態(tài)性的偏離更為敏感。非參數(shù)檢驗(yàn)由于不依賴分布假設(shè)，其效力雖然通常低于對應(yīng)的參數(shù)檢驗(yàn)（在參數(shù)檢驗(yàn)的假設(shè)成立時(shí)），但在小樣本情況下表現(xiàn)更穩(wěn)定，更能提供有意義的結(jié)論。

4.抗干擾能力強(qiáng)，不易受異常值影響。

詳細(xì)說明：非參數(shù)檢驗(yàn)在計(jì)算過程中通常使用數(shù)據(jù)的秩次（排序后的位置）而非原始數(shù)值。秩次對極端值（異常值）不敏感。一個(gè)極端值可能使其原始數(shù)值在計(jì)算均值、方差時(shí)產(chǎn)生巨大影響，但在排序后，它只是最高或最低的那個(gè)秩次，對秩和等計(jì)算的影響大大減小。這使得非參數(shù)方法在數(shù)據(jù)中存在異常值時(shí)更為穩(wěn)健。

（二）缺點(diǎn)

1.效率較低，與參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比，檢驗(yàn)力較弱。

詳細(xì)說明：檢驗(yàn)力（Power）是指當(dāng)原假設(shè)不成立時(shí)，能夠正確拒絕原假設(shè)的概率。在理想情況下，即當(dāng)總體確實(shí)符合參數(shù)檢驗(yàn)所假設(shè)的分布時(shí)，參數(shù)檢驗(yàn)?zāi)軌蚋浞值乩脭?shù)據(jù)中的所有信息（包括數(shù)值大小和分布形態(tài)），因此通常具有更高的檢驗(yàn)力。非參數(shù)檢驗(yàn)由于忽略了數(shù)據(jù)的具體分布信息，只能使用較粗糙的信息（如符號、秩次），所以在數(shù)據(jù)符合參數(shù)檢驗(yàn)假設(shè)時(shí)，其發(fā)現(xiàn)真實(shí)差異的能力（檢驗(yàn)力）相對較低。這意味著，在同樣的樣本量和顯著性水平下，非參數(shù)檢驗(yàn)有時(shí)需要更大的樣本量才能檢測到與參數(shù)檢驗(yàn)相同的效應(yīng)大小。

2.信息利用不充分，未充分利用數(shù)據(jù)的分布信息。

詳細(xì)說明：如前所述，非參數(shù)檢驗(yàn)主要關(guān)注數(shù)據(jù)的順序、位置或類別，而忽略了解釋變量數(shù)值的大小差異以及因變量數(shù)值的分布特征。例如，在秩和檢驗(yàn)中，兩個(gè)秩次為5的數(shù)據(jù)點(diǎn)與兩個(gè)秩次為1的數(shù)據(jù)點(diǎn)對秩和的貢獻(xiàn)相同，而它們之間的實(shí)際差異可能很大。這種“削足適履”式的信息忽略，意味著非參數(shù)檢驗(yàn)可能丟失了能夠由參數(shù)檢驗(yàn)更精確捕捉的關(guān)于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變異性的信息。

3.對于正態(tài)分布數(shù)據(jù)，不如參數(shù)統(tǒng)計(jì)精確。

詳細(xì)說明：雖然非參數(shù)檢驗(yàn)的適用范圍廣，但當(dāng)研究數(shù)據(jù)確實(shí)滿足參數(shù)檢驗(yàn)（如t檢驗(yàn)、ANOVA）的正態(tài)性假設(shè)時(shí)，參數(shù)檢驗(yàn)?zāi)芴峁└_、更有效的推斷結(jié)果。因?yàn)閰?shù)檢驗(yàn)利用了數(shù)據(jù)分布的全部信息，其估計(jì)量和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布性質(zhì)通常優(yōu)于僅使用秩次或符號的非參數(shù)檢驗(yàn)。在這種情況下，選擇參數(shù)檢驗(yàn)通常能獲得更小的事后概率P值（更小的顯著性水平下就能拒絕原假設(shè)），或者用更小的樣本量達(dá)到相同的檢驗(yàn)力。

六、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的選擇

選擇合適的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法需要考慮多個(gè)因素，主要包括：

（一）研究目的與假設(shè)

1.比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的中央趨勢（中位數(shù)）？

若數(shù)據(jù)至少近似連續(xù)且分布未知或非正態(tài)：首選Mann-WhitneyU檢驗(yàn)（或Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，其中一種）。若數(shù)據(jù)包含異常值，Mann-WhitneyU檢驗(yàn)更穩(wěn)健。

若數(shù)據(jù)是等級或分類數(shù)據(jù)：可使用符號檢驗(yàn)（需配對設(shè)計(jì)或有明確的比較基準(zhǔn)）或適合定類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)（如卡方檢驗(yàn)，雖然嚴(yán)格說卡方不是非參數(shù)，但常用于此類問題）。

2.比較多個(gè)獨(dú)立樣本的中央趨勢（中位數(shù)）？

若數(shù)據(jù)至少近似連續(xù)且分布未知或非正態(tài)：首選Kruskal-WallisH檢驗(yàn)。若數(shù)據(jù)包含異常值或樣本量很大（如>20-30），Kruskal-Wallis更優(yōu)。

若數(shù)據(jù)是等級或分類數(shù)據(jù)：可考慮使用Friedman檢驗(yàn)（如果數(shù)據(jù)是相關(guān)的）或適合定類數(shù)據(jù)的擴(kuò)展方法。

3.比較兩個(gè)相關(guān)樣本的中央趨勢（中位數(shù)）？

若數(shù)據(jù)至少近似連續(xù)且分布未知或非正態(tài)：首選Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)。若數(shù)據(jù)包含異常值：Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)更穩(wěn)健。

若數(shù)據(jù)是等級或分類數(shù)據(jù)：可使用符號檢驗(yàn)（如果配對差異是明確的正負(fù)）。

4.比較多個(gè)相關(guān)樣本的中央趨勢（中位數(shù)）？

若數(shù)據(jù)至少近似連續(xù)且分布未知或非正態(tài)：首選Friedman檢驗(yàn)。若數(shù)據(jù)包含異常值或樣本量很大：Friedman檢驗(yàn)更優(yōu)。

5.分析兩個(gè)變量間的關(guān)系（相關(guān)性）？

若兩個(gè)變量都是連續(xù)但分布未知或非正態(tài)，且數(shù)據(jù)滿足某種單調(diào)關(guān)系：使用Spearman秩相關(guān)系數(shù)。若不滿足單調(diào)關(guān)系，需考慮其他方法（如Kendall'stau）。

若至少有一個(gè)變量是分類變量（定類或定序）：使用適合分類變量的相關(guān)系數(shù)（如Cramer'sV,Theil'sU等，注意這些有時(shí)被歸為半?yún)?shù)或?qū)ｉT的非參數(shù)方法）。

6.檢驗(yàn)單一樣本是否來自特定分布？

可使用符號檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)（雖然KS檢驗(yàn)有時(shí)被歸為參數(shù)檢驗(yàn)，但用于擬合優(yōu)度時(shí)是非參數(shù)的）、Chi-Squared（卡方）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（適用于分類數(shù)據(jù)）等方法。

（二）數(shù)據(jù)的類型和分布

1.數(shù)據(jù)類型：

連續(xù)數(shù)據(jù)：優(yōu)先考慮基于秩次的檢驗(yàn)（Mann-Whitney,Wilcoxon,Kruskal-Wallis,Friedman,Spearman）。

定序數(shù)據(jù)（等級數(shù)據(jù)）：適合使用基于秩次的檢驗(yàn)，也可考慮專門為定序數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)。

定類數(shù)據(jù)（名義數(shù)據(jù)）：適合使用卡方檢驗(yàn)（Chi-Squaredtest）系列（如卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)）或適合定類數(shù)據(jù)的秩相關(guān)系數(shù)。

2.數(shù)據(jù)分布：

正態(tài)分布：如果數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性假設(shè)，通常參數(shù)檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)、ANOVA）更優(yōu)。

非正態(tài)分布（偏態(tài)、U型等）或分布未知：非參數(shù)檢驗(yàn)是主要選擇。

（三）樣本量和數(shù)據(jù)中的異常值

1.樣本量：

小樣本（如<20-30）：非參數(shù)檢驗(yàn)通常是更好的選擇，因?yàn)閰?shù)檢驗(yàn)對正態(tài)性的要求高，小樣本下難以驗(yàn)證。

大樣本：參數(shù)檢驗(yàn)的效力較高，且非參數(shù)檢驗(yàn)與大樣本下參數(shù)檢驗(yàn)的效果可能趨于一致。但如果存在嚴(yán)重偏離正態(tài)性的情況，非參數(shù)檢驗(yàn)仍可能更可靠。

2.異常值：

數(shù)據(jù)中存在明顯的異常值：非參數(shù)檢驗(yàn)通常更穩(wěn)健，是首選。

數(shù)據(jù)無明顯異常值：參數(shù)檢驗(yàn)可能更有效。

七、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的基本操作步驟（以Mann-WhitneyU檢驗(yàn)為例）

以比較兩組獨(dú)立樣本（設(shè)為樣本A和樣本B）的中央趨勢（中位數(shù)）是否不同為例，介紹典型的非參數(shù)檢驗(yàn)操作流程：

（一）提出零假設(shè)與備擇假設(shè)

1.零假設(shè)（H?）：樣本A和樣本B的總體中位數(shù)相等（或分布相同）。

2.備擇假設(shè)（H?）：樣本A和樣本B的總體中位數(shù)不相等（或分布不同）。（雙側(cè)檢驗(yàn)）

注：根據(jù)研究目的，也可以是單側(cè)檢驗(yàn)，如H?：樣本A的總體中位數(shù)大于樣本B。

（二）確定顯著性水平（α）

1.選擇一個(gè)預(yù)設(shè)的顯著性水平，常用值為0.05、0.01等。α表示拒絕零假設(shè)時(shí)犯第一類錯(cuò)誤（錯(cuò)誤地認(rèn)為存在差異）的概率。

（三）收集并整理數(shù)據(jù)

1.收集兩組獨(dú)立樣本的原始數(shù)據(jù)。確保樣本間相互獨(dú)立，無關(guān)聯(lián)。

2.將兩組樣本的數(shù)據(jù)混合，按從小到大的順序進(jìn)行排序。

（四）計(jì)算秩次

1.對混合后的數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，并為每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)賦予一個(gè)秩次（ranks），從1開始。數(shù)值相同時(shí)，取平均秩次。例如，如果排序后數(shù)據(jù)為[3,5,5,7,9]，則秩次為[1,2.5,2.5,4,5]。

2.分別統(tǒng)計(jì)樣本A和樣本B中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)所對應(yīng)的秩次。

3.計(jì)算每組樣本的秩和（SumofRanks,W），即該組所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的秩次之和。分別記為W_A和W_B。通常以秩和較小的樣本作為計(jì)算基準(zhǔn)。

（五）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（U值）

1.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)的U值可以有多種計(jì)算方式，常用公式之一：

\[U_A=n_A\timesn_B+\frac{n_A(n_A+1)}{2}-W_A\]

\[U_B=n_A\timesn_B+\frac{n_B(n_B+1)}{2}-W_B\]

其中，n_A和n_B分別為樣本A和樣本B的樣本量。通常取U_A和U_B中較小的一個(gè)作為最終的U值。

（六）確定P值并做出決策

1.根據(jù)樣本量n_A和n_B，查閱Mann-WhitneyU檢驗(yàn)的臨界值表（U-table）得到臨界U值，或使用軟件計(jì)算精確的P值。

2.比較計(jì)算得到的U值與臨界U值（或比較P值與預(yù)設(shè)的α值）。

若U≤U_臨界或P≤α：拒絕零假設(shè)，認(rèn)為兩組樣本的中央趨勢（中位數(shù)）存在顯著差異。

若U>U_臨界或P>α：不能拒絕零假設(shè)，認(rèn)為沒有足夠證據(jù)表明兩組樣本的中央趨勢（中位數(shù)）存在顯著差異。

（七）解釋結(jié)果

1.根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)論，用非參數(shù)化的語言描述發(fā)現(xiàn)。例如：“兩組樣本的中央趨勢（中位數(shù)）在統(tǒng)計(jì)上存在顯著差異（Mann-WhitneyU檢驗(yàn)，P<0.05）。”

2.報(bào)告關(guān)鍵的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如U值、秩和W_A/W_B）和P值。

八、軟件應(yīng)用簡介

現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)軟件（如SPSS,R,Python的SciPy庫,Stata等）都內(nèi)置了豐富的非參數(shù)檢驗(yàn)功能，極大地方便了實(shí)際操作。使用軟件進(jìn)行非參數(shù)檢驗(yàn)通常遵循以下步驟：

（一）數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

1.將數(shù)據(jù)錄入軟件或?qū)胲浖R別的數(shù)據(jù)格式（如CSV,Excel）。

2.確保變量被正確識別（數(shù)值型、字符型等）。

（二）選擇檢驗(yàn)方法

1.在軟件的統(tǒng)計(jì)菜單中找到“非參數(shù)檢驗(yàn)”或“分布擬合”等相關(guān)選項(xiàng)。

2.根據(jù)研究目的和數(shù)據(jù)類型，選擇合適的非參數(shù)檢驗(yàn)方法（如Mann-WhitneyU,Kruskal-Wallis,Friedman等）。

（三）指定變量和分組

1.選擇需要分析的變量。

2.對于比較兩組或多個(gè)獨(dú)立樣本的檢驗(yàn)，指定分組變量（用于創(chuàng)建獨(dú)立樣本）。

3.對于比較相關(guān)樣本的檢驗(yàn)，指定相關(guān)變量或說明是配對數(shù)據(jù)。

（四）設(shè)置選項(xiàng)并運(yùn)行

1.根據(jù)需要設(shè)置檢驗(yàn)的具體選項(xiàng)（如顯著性水平α、是否進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)等）。

2.點(diǎn)擊“運(yùn)行”或“確定”按鈕，執(zhí)行檢驗(yàn)。

（五）解讀輸出結(jié)果

1.軟件會輸出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如U值、H值、秩和）、P值、樣本量等信息。

2.參照第七部分“基本操作步驟”中的解釋，結(jié)合輸出的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷和結(jié)果解釋。

九、總結(jié)與注意事項(xiàng)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)作為概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要組成部分，以其廣泛的適用性和相對簡單的操作性，在數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域占據(jù)著不可或缺的地位。它特別適用于處理非正態(tài)分布數(shù)據(jù)、小樣本數(shù)據(jù)以及定性與定序數(shù)據(jù)。然而，在享受其便利的同時(shí)，也需認(rèn)識到其在檢驗(yàn)效力上通常劣于參數(shù)檢驗(yàn)的局限性。

在實(shí)際應(yīng)用中，選擇非參數(shù)方法應(yīng)基于對研究問題、數(shù)據(jù)特征（類型、分布、異常值情況）的審慎評估。理想情況下，當(dāng)數(shù)據(jù)滿足參數(shù)檢驗(yàn)的假設(shè)時(shí)（如正態(tài)性），應(yīng)優(yōu)先考慮使用效力更高的參數(shù)檢驗(yàn)。非參數(shù)檢驗(yàn)應(yīng)被視為在參數(shù)檢驗(yàn)不適用或數(shù)據(jù)不滿足假設(shè)時(shí)的有力替代方案。

無論使用手動計(jì)算還是統(tǒng)計(jì)軟件，理解非參數(shù)檢驗(yàn)的基本原理、操作步驟和結(jié)果解讀都是至關(guān)重要的。只有正確地應(yīng)用非參數(shù)方法，才能從數(shù)據(jù)中獲得可靠、有效的統(tǒng)計(jì)結(jié)論，為科學(xué)研究或?qū)嶋H決策提供支持。

一、概述

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的科學(xué)，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)是其重要分支。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法在數(shù)據(jù)分布未知或不符合正態(tài)分布的情況下具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本指南將系統(tǒng)介紹非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的基本概念、常用方法及其應(yīng)用步驟，幫助讀者掌握相關(guān)技能。

二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的基本概念

（一）非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的定義

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)是指在不依賴數(shù)據(jù)具體分布形式的前提下，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和推斷的統(tǒng)計(jì)方法。與參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)對數(shù)據(jù)分布的假設(shè)較少，適用性更強(qiáng)。

（二）非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)

1.對數(shù)據(jù)分布假設(shè)較少，適用于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)。

2.對樣本量要求較低，適合小樣本研究。

3.計(jì)算相對簡單，易于理解和操作。

4.敏感性較低，抗干擾能力強(qiáng)。

（三）非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用場景

1.數(shù)據(jù)分布未知或不明確。

2.樣本量較小，無法滿足參數(shù)統(tǒng)計(jì)的假設(shè)條件。

3.數(shù)據(jù)存在異常值，參數(shù)統(tǒng)計(jì)易受影響。

4.研究分類變量或順序變量。

三、常用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法

（一）符號檢驗(yàn)

符號檢驗(yàn)是一種基于數(shù)據(jù)符號（正、負(fù)）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法，適用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的中位數(shù)是否存在差異。

1.步驟

(1)計(jì)算每對樣本的差異，并記錄正負(fù)符號。

(2)統(tǒng)計(jì)正符號和負(fù)符號的數(shù)量。

(3)根據(jù)正負(fù)符號數(shù)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用正態(tài)近似法或精確分布法。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有兩組樣本數(shù)據(jù)，通過符號檢驗(yàn)比較兩組的中位數(shù)差異是否顯著。

（二）秩和檢驗(yàn)

秩和檢驗(yàn)是一種基于樣本秩次（排序后的數(shù)據(jù)位置）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法，適用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的分布位置。

1.步驟

(1)將兩組樣本混合排序，并賦予秩次。

(2)計(jì)算每組樣本的秩和。

(3)根據(jù)秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)或Mann-WhitneyU檢驗(yàn)。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有兩組樣本數(shù)據(jù)，通過秩和檢驗(yàn)比較兩組的分布位置是否存在顯著差異。

（三）Kruskal-Wallis檢驗(yàn)

Kruskal-Wallis檢驗(yàn)是一種非參數(shù)方法，用于比較多于兩個(gè)獨(dú)立樣本的中位數(shù)是否存在差異。

1.步驟

(1)將所有樣本混合排序，并賦予秩次。

(2)計(jì)算每個(gè)樣本組的秩和。

(3)根據(jù)秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用卡方近似法或精確分布法。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有三組樣本數(shù)據(jù)，通過Kruskal-Wallis檢驗(yàn)比較三組的中位數(shù)是否存在顯著差異。

（四）Friedman檢驗(yàn)

Friedman檢驗(yàn)是一種非參數(shù)方法，用于比較多于兩個(gè)相關(guān)樣本的中位數(shù)是否存在差異。

1.步驟

(1)對每個(gè)樣本組進(jìn)行排序，并賦予秩次。

(2)計(jì)算每個(gè)樣本組的秩和。

(3)根據(jù)秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，常用卡方近似法或精確分布法。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有三組重復(fù)測量數(shù)據(jù)，通過Friedman檢驗(yàn)比較三組的中位數(shù)是否存在顯著差異。

（五）Spearman秩相關(guān)系數(shù)

Spearman秩相關(guān)系數(shù)是一種基于秩次的非參數(shù)相關(guān)性分析方法，適用于測量兩個(gè)變量的關(guān)系。

1.步驟

(1)對兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，并賦予秩次。

(2)計(jì)算Spearman秩相關(guān)系數(shù)，公式為：

\[r_s=1-\frac{6\sumd_i^2}{n(n^2-1)}\]

其中，\(d_i\)為兩個(gè)變量的秩次差，\(n\)為樣本量。

(3)根據(jù)相關(guān)系數(shù)的值判斷相關(guān)性強(qiáng)度。

2.應(yīng)用示例

假設(shè)有兩組數(shù)據(jù)，通過Spearman秩相關(guān)系數(shù)分析兩個(gè)變量的關(guān)系強(qiáng)度。

四、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.對數(shù)據(jù)分布假設(shè)較少，適用性廣。

2.計(jì)算簡單，易于操作。

3.對小樣本研究友好。

4.抗干擾能力強(qiáng)，不易受異常值影響。

（二）缺點(diǎn)

1.效率較低，與參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比，檢驗(yàn)力較弱。

2.信息利用不充分，未充分利用數(shù)據(jù)的分布信息。

3.對于正態(tài)分布數(shù)據(jù)，不如參數(shù)統(tǒng)計(jì)精確。

五、總結(jié)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法在數(shù)據(jù)分布未知或不符合正態(tài)分布的情況下具有顯著優(yōu)勢，是統(tǒng)計(jì)研究的重要工具。本指南介紹了常用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的基本概念、步驟和應(yīng)用示例，讀者可根據(jù)實(shí)際需求選擇合適的方法進(jìn)行分析。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn)和研究目的，合理選擇非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，以提高分析的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。

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（接前文）

五、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.對數(shù)據(jù)分布假設(shè)較少，適用性廣。

詳細(xì)說明：非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法在應(yīng)用時(shí)，不需要對總體數(shù)據(jù)的分布形態(tài)（如正態(tài)分布）做出嚴(yán)格假設(shè)。這使得它們特別適用于處理那些實(shí)際分布未知、偏離正態(tài)分布（如偏態(tài)分布、U型分布）或數(shù)據(jù)類型本身就不是連續(xù)數(shù)值（如分類數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)）的研究問題。當(dāng)數(shù)據(jù)量較小或樣本收集過程中受到限制導(dǎo)致無法驗(yàn)證正態(tài)性假設(shè)時(shí)，非參數(shù)方法的優(yōu)勢尤為明顯。

2.計(jì)算簡單，易于操作。

詳細(xì)說明：許多非參數(shù)檢驗(yàn)的原理相對直觀，計(jì)算步驟通常比參數(shù)檢驗(yàn)更簡單，涉及的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和公式較少。例如，符號檢驗(yàn)只需要判斷正負(fù)符號，秩和檢驗(yàn)主要是排序和求和。這使得非參數(shù)方法更容易被非統(tǒng)計(jì)專業(yè)人士理解和應(yīng)用，也便于使用基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)軟件或編程語言（如Python、R中的基礎(chǔ)函數(shù)）實(shí)現(xiàn)。

3.對小樣本研究友好。

詳細(xì)說明：參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，特別是t檢驗(yàn)和方差分析，通常要求較大的樣本量才能保證檢驗(yàn)的效力（即正確拒絕錯(cuò)誤假設(shè)的能力）。當(dāng)樣本量很小時(shí)，參數(shù)檢驗(yàn)的結(jié)果可能很不穩(wěn)定，且對數(shù)據(jù)正態(tài)性的偏離更為敏感。非參數(shù)檢驗(yàn)由于不依賴分布假設(shè)，其效力雖然通常低于對應(yīng)的參數(shù)檢驗(yàn)（在參數(shù)檢驗(yàn)的假設(shè)成立時(shí)），但在小樣本情況下表現(xiàn)更穩(wěn)定，更能提供有意義的結(jié)論。

4.抗干擾能力強(qiáng)，不易受異常值影響。

詳細(xì)說明：非參數(shù)檢驗(yàn)在計(jì)算過程中通常使用數(shù)據(jù)的秩次（排序后的位置）而非原始數(shù)值。秩次對極端值（異常值）不敏感。一個(gè)極端值可能使其原始數(shù)值在計(jì)算均值、方差時(shí)產(chǎn)生巨大影響，但在排序后，它只是最高或最低的那個(gè)秩次，對秩和等計(jì)算的影響大大減小。這使得非參數(shù)方法在數(shù)據(jù)中存在異常值時(shí)更為穩(wěn)健。

（二）缺點(diǎn)

1.效率較低，與參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比，檢驗(yàn)力較弱。

詳細(xì)說明：檢驗(yàn)力（Power）是指當(dāng)原假設(shè)不成立時(shí)，能夠正確拒絕原假設(shè)的概率。在理想情況下，即當(dāng)總體確實(shí)符合參數(shù)檢驗(yàn)所假設(shè)的分布時(shí)，參數(shù)檢驗(yàn)?zāi)軌蚋浞值乩脭?shù)據(jù)中的所有信息（包括數(shù)值大小和分布形態(tài)），因此通常具有更高的檢驗(yàn)力。非參數(shù)檢驗(yàn)由于忽略了數(shù)據(jù)的具體分布信息，只能使用較粗糙的信息（如符號、秩次），所以在數(shù)據(jù)符合參數(shù)檢驗(yàn)假設(shè)時(shí)，其發(fā)現(xiàn)真實(shí)差異的能力（檢驗(yàn)力）相對較低。這意味著，在同樣的樣本量和顯著性水平下，非參數(shù)檢驗(yàn)有時(shí)需要更大的樣本量才能檢測到與參數(shù)檢驗(yàn)相同的效應(yīng)大小。

2.信息利用不充分，未充分利用數(shù)據(jù)的分布信息。

詳細(xì)說明：如前所述，非參數(shù)檢驗(yàn)主要關(guān)注數(shù)據(jù)的順序、位置或類別，而忽略了解釋變量數(shù)值的大小差異以及因變量數(shù)值的分布特征。例如，在秩和檢驗(yàn)中，兩個(gè)秩次為5的數(shù)據(jù)點(diǎn)與兩個(gè)秩次為1的數(shù)據(jù)點(diǎn)對秩和的貢獻(xiàn)相同，而它們之間的實(shí)際差異可能很大。這種“削足適履”式的信息忽略，意味著非參數(shù)檢驗(yàn)可能丟失了能夠由參數(shù)檢驗(yàn)更精確捕捉的關(guān)于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變異性的信息。

3.對于正態(tài)分布數(shù)據(jù)，不如參數(shù)統(tǒng)計(jì)精確。

詳細(xì)說明：雖然非參數(shù)檢驗(yàn)的適用范圍廣，但當(dāng)研究數(shù)據(jù)確實(shí)滿足參數(shù)檢驗(yàn)（如t檢驗(yàn)、ANOVA）的正態(tài)性假設(shè)時(shí)，參數(shù)檢驗(yàn)?zāi)芴峁└_、更有效的推斷結(jié)果。因?yàn)閰?shù)檢驗(yàn)利用了數(shù)據(jù)分布的全部信息，其估計(jì)量和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布性質(zhì)通常優(yōu)于僅使用秩次或符號的非參數(shù)檢驗(yàn)。在這種情況下，選擇參數(shù)檢驗(yàn)通常能獲得更小的事后概率P值（更小的顯著性水平下就能拒絕原假設(shè)），或者用更小的樣本量達(dá)到相同的檢驗(yàn)力。

六、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的選擇

選擇合適的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法需要考慮多個(gè)因素，主要包括：

（一）研究目的與假設(shè)

1.比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的中央趨勢（中位數(shù)）？

若數(shù)據(jù)至少近似連續(xù)且分布未知或非正態(tài)：首選Mann-WhitneyU檢驗(yàn)（或Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，其中一種）。若數(shù)據(jù)包含異常值，Mann-WhitneyU檢驗(yàn)更穩(wěn)健。

若數(shù)據(jù)是等級或分類數(shù)據(jù)：可使用符號檢驗(yàn)（需配對設(shè)計(jì)或有明確的比較基準(zhǔn)）或適合定類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)（如卡方檢驗(yàn)，雖然嚴(yán)格說卡方不是非參數(shù)，但常用于此類問題）。

2.比較多個(gè)獨(dú)立樣本的中央趨勢（中位數(shù)）？

若數(shù)據(jù)至少近似連續(xù)且分布未知或非正態(tài)：首選Kruskal-WallisH檢驗(yàn)。若數(shù)據(jù)包含異常值或樣本量很大（如>20-30），Kruskal-Wallis更優(yōu)。

若數(shù)據(jù)是等級或分類數(shù)據(jù)：可考慮使用Friedman檢驗(yàn)（如果數(shù)據(jù)是相關(guān)的）或適合定類數(shù)據(jù)的擴(kuò)展方法。

3.比較兩個(gè)相關(guān)樣本的中央趨勢（中位數(shù)）？

若數(shù)據(jù)至少近似連續(xù)且分布未知或非正態(tài)：首選Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)。若數(shù)據(jù)包含異常值：Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)更穩(wěn)健。

若數(shù)據(jù)是等級或分類數(shù)據(jù)：可使用符號檢驗(yàn)（如果配對差異是明確的正負(fù)）。

4.比較多個(gè)相關(guān)樣本的中央趨勢（中位數(shù)）？

若數(shù)據(jù)至少近似連續(xù)且分布未知或非正態(tài)：首選Friedman檢驗(yàn)。若數(shù)據(jù)包含異常值或樣本量很大：Friedman檢驗(yàn)更優(yōu)。

5.分析兩個(gè)變量間的關(guān)系（相關(guān)性）？

若兩個(gè)變量都是連續(xù)但分布未知或非正態(tài)，且數(shù)據(jù)滿足某種單調(diào)關(guān)系：使用Spearman秩相關(guān)系數(shù)。若不滿足單調(diào)關(guān)系，需考慮其他方法（如Kendall'stau）。

若至少有一個(gè)變量是分類變量（定類或定序）：使用適合分類變量的相關(guān)系數(shù)（如Cramer'sV,Theil'sU等，注意這些有時(shí)被歸為半?yún)?shù)或?qū)ｉT的非參數(shù)方法）。

6.檢驗(yàn)單一樣本是否來自特定分布？

可使用符號檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)（雖然KS檢驗(yàn)有時(shí)被歸為參數(shù)檢驗(yàn)，但用于擬合優(yōu)度時(shí)是非參數(shù)的）、Chi-Squared（卡方）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（適用于分類數(shù)據(jù)）等方法。

（二）數(shù)據(jù)的類型和分布

1.數(shù)據(jù)類型：

連續(xù)數(shù)據(jù)：優(yōu)先考慮基于秩次的檢驗(yàn)（Mann-Whitney,Wilcoxon,Kruskal-Wallis,Friedman,Spearman）。

定序數(shù)據(jù)（等級數(shù)據(jù)）：適合使用基于秩次的檢驗(yàn)，也可考慮專門為定序數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)。

定類數(shù)據(jù)（名義數(shù)據(jù)）：適合使用卡方檢驗(yàn)（Chi-Squaredtest）系列（如卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)）或適合定類數(shù)據(jù)的秩相關(guān)系數(shù)。

2.數(shù)據(jù)分布：

正態(tài)分布：如果數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性假設(shè)，通常參數(shù)檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)、ANOVA）更優(yōu)。

非正態(tài)分布（偏態(tài)、U型等）或分布未知：非參數(shù)檢驗(yàn)是主要選擇。

（三）樣本量和數(shù)據(jù)中的異常值

1.樣本量：

小樣本（如<20-30）：非參數(shù)檢驗(yàn)通常是更好的選擇，因?yàn)閰?shù)檢驗(yàn)對正態(tài)性的要求高，小樣本下難以驗(yàn)證。

大樣本：參數(shù)檢驗(yàn)的效力較高，且非參數(shù)檢驗(yàn)與大樣本下參數(shù)檢驗(yàn)的效果可能趨于一致。但如果存在嚴(yán)重偏離正態(tài)性的情況，非參數(shù)檢驗(yàn)仍可能更可靠。

2.異常值：

數(shù)據(jù)中存在明顯的異常值：非參數(shù)檢驗(yàn)通常更穩(wěn)健，是首選。

數(shù)據(jù)無明顯異常值：參數(shù)檢驗(yàn)可能更有效。

七、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的基本操作步驟（以Mann-WhitneyU檢驗(yàn)為例）

以比較兩組獨(dú)立樣本（設(shè)為樣本A和樣本B）的中央趨勢（中位數(shù)）是否不同為例，介紹典型的非參數(shù)檢驗(yàn)操作流程：

（一）提出零假設(shè)與備擇假設(shè)

1.零假設(shè)（H?）：樣本A和樣本B的總體中位數(shù)相等（或分布相同）。

2.備擇假設(shè)（H?）：樣本A和樣本B的總體中位數(shù)不相等（或分布不同）。（雙側(cè)檢驗(yàn)）

注：根據(jù)研究目的，也可以是單側(cè)檢驗(yàn)，如H?：樣本A的總體中位數(shù)大于樣本B。

（二）確定顯著性水平（α）

1.選擇一個(gè)預(yù)設(shè)的顯著性水平，常用值為0.05、0.01等。α表示拒絕零假設(shè)時(shí)犯第一類錯(cuò)誤（錯(cuò)誤地認(rèn)為存在差異）的概率。

（三）收集并整理數(shù)據(jù)

1.收集兩組獨(dú)立樣本的原始數(shù)據(jù)。確保樣本間相互獨(dú)立，無關(guān)聯(lián)。

2.將兩組樣本的數(shù)據(jù)混合，按從小到大的順序進(jìn)行排序。

（四）計(jì)算秩次

1.對混合后的數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，并為每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)賦予一個(gè)秩次（ranks），從1開始。數(shù)值相同時(shí)，取平均秩次。例如，如果排序后數(shù)據(jù)為[3,5,5,7,9]，則秩次為[1,2.5,2.5,4,5]。

2.分別統(tǒng)計(jì)樣本A和樣本B中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)所對應(yīng)的秩次。

3.計(jì)算每組樣本的秩和（SumofRanks,W），即該組所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的秩次之和。分別記為W_A和W_B。通常以秩和較小的樣本作為計(jì)算基準(zhǔn)。

（五）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（U值）

1.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)的U值可以有多種計(jì)算方式，常用公式之一：

\[U_A=n_A\timesn_B+\frac{n_A(n_A+1)}{2}-W_A\]

\[U_B=n_A\timesn_B+\f