洛陽市初一數(shù)學上冊期末壓軸題匯編一、七年級上冊數(shù)學壓軸題1．如圖，已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度順時針向射線OB旋轉；與此同時，射線OQ以每秒6°的速度，從OB位置出發(fā)逆時針向射線OA旋轉，到達射線OA后又以同樣的速度順時針返回，當射線OQ返回并與射線OP重合時，兩條射線同時停止運動.設旋轉時間為t秒．（1）當t=2時，求∠POQ的度數(shù)；（2）當∠POQ=40°時，求t的值；（3）在旋轉過程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．答案：（1）∠POQ=104°；（2）當∠POQ=40°時，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】當OQ，OP第一次相遇時，t=15；當OQ剛到達OA時，t=解析：（1）∠POQ=104°；（2）當∠POQ=40°時，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】當OQ，OP第一次相遇時，t=15；當OQ剛到達OA時，t=20；當OQ，OP第二次相遇時，t=30；（1）當t=2時，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出結果即可；（2）分三種情況：當0≤t≤15時，當15＜t≤20時，當20＜t≤30時，分別列出等量關系式求解即可；（3）分三種情況：當0≤t≤15時，當15＜t≤20時，當20＜t≤30時，分別列出等量關系式求解即可．【詳解】解：當OQ，OP第一次相遇時，2t+6t=120，t=15；當OQ剛到達OA時，6t=120，t=20；當OQ，OP第二次相遇時，2t6t=120+2t，t=30；（1）當t=2時，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.（2）當0≤t≤15時，2t+40+6t=120，t=10；當15＜t≤20時，2t+6t=120+40，t=20；當20＜t≤30時，2t=6t-120+40，t=20（舍去）；答：當∠POQ=40°時，t的值為10或20.（3）當0≤t≤15時，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；當15＜t≤20時，2t–(120-6t）=(120-6t），t=.當20＜t≤30時，2t–(6t-120）=(6t-120），t=.答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.【分析】本題考查了角的和差關系及列方程解實際問題，解決本題的關鍵是分好類，列出關于時間的方程．2．如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)b，點表示數(shù)c，其中．若點與點B之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，點在點之間，且滿足．（1）；（2）若點分別從、同時出發(fā)，相向而行，點的速度是1個單位/秒，點的速度是2個單位秒，經(jīng)過多久后相遇．（3）動點從點位置出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒1個單位的速度向終點運動，設運動時間為秒，當點運動到點時，點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸向點運動，點到達點后，再立即以同樣的速度返回，運動到終點，問：在點開始運動后，兩點之間的距離能否為2個單位？如果能，請求出運動的時間的值以及此時對應的點所表示的數(shù)；如果不能，請說明理由．答案：（1）5；（2）2秒；（3）當t的值為6或2時，M、N兩點之間的距離為2個單位，此時點M表示的數(shù)為5或9．【分析】（1）用b表示BC、AB的長度，結合BC=2AB可求出b值；（2）根據(jù)相遇時間解析：（1）5；（2）2秒；（3）當t的值為6或2時，M、N兩點之間的距離為2個單位，此時點M表示的數(shù)為5或9．【分析】（1）用b表示BC、AB的長度，結合BC=2AB可求出b值；（2）根據(jù)相遇時間=相遇路程÷速度和，即可得出結論；（3）用含t的代數(shù)式表示出點M，N表示的數(shù)，結合MN=2，即可得出關于t的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）∵．又∵點B在點A、C之間，且滿足BC=2AB，

∴9-b=2（b-3），

∴b=5．

（2）AC=9-3=66÷（2+1）=2，即兩秒后相遇．（3）M到達B點時t=（5-3）÷1=2（秒）；M到達C點時t=（9-3）÷1=6（秒）；N到達C時t=（9-3）÷2+2=5（秒）N回到A點用時t=（9-3）÷2×2+2=8（秒）當0≤t≤5時，N沒有到達C點之前，此時點N表示的數(shù)為3+2（t-2）=2t-1；M表示的數(shù)為3+tMN==2解得（舍去）或此時M表示的數(shù)為5當5≤t≤6時，N從C點返回，M還沒有到達終點C點N表示的數(shù)為9-2（t-5）=-2t+19；M表示的數(shù)為3+tMN==2解得或（舍去）此時M表示的數(shù)為9當6≤t≤8時，N從C點返回，M到達終點C此時M表示的數(shù)是9點N表示的數(shù)為9-2（t-5）=-2t+19；MN==2解得此時M表示的數(shù)是9綜上所述：當t的值為6或2時，M、N兩點之間的距離為2個單位，此時點M表示的數(shù)為5或9．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程．3．已知數(shù)軸上三點，，對應的數(shù)分別為，0，3，點為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為．（1）如果點到點、點的距離相等，那么的值是______．（2）數(shù)軸上是否存在點，使點到點、點的距離之和是8？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（3）如果點以每分鐘1個單位長度的速度從點向右運動，同時另一點從點以每分鐘2個單位長度的速度向左運動．設分鐘時點和點到點的距離相等，則的值為______．（直接寫出答案）答案：（1）1（2）存在，或（3）或【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離列方程求解即可；（2）分兩種情況求解即可；（3）分點P和點Q相遇時和點Q運動到點M的左側時兩種情況解析：（1）1（2）存在，或（3）或【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離列方程求解即可；（2）分兩種情況求解即可；（3）分點P和點Q相遇時和點Q運動到點M的左側時兩種情況求解．【詳解】解：（1）由題意得3-x=x-(-1)，解得x=1；（2）存在，∵MN=3-(-1)=4，∴點P不可能在M、N之間．當點P在點M的左側時，(-1-x)+(3-x)=8，解得x=-3；當點P在點N的右側時，x-(-1)+(x-3)=8，解得x=5；∴或；（3）當點P和點Q相遇時，t+2t=3，解得t=1；當點Q運動到點M的左側時，t+1=2t-4，解得t=5；∴或．【點睛】此題主要考查了數(shù)軸的應用以及一元一次方程的應用，分類討論得出是解題關鍵．4．如圖，一個電子跳蚤從數(shù)軸上的表示數(shù)a的點出發(fā)，我們把“向右運動兩個單位或向左運動一個單位”作為一次操作，如：當時，則一次操作后跳蚤可能的位置有兩個，所表示的數(shù)分別是2和5．（1）若，則兩次操作后跳蚤所在的位置表示的數(shù)可能是多少？（2）若，且跳蚤向右運動了20次，向左運動了n次．①它最后的位置所表示的數(shù)是多少？（用含n的代數(shù)式表示）②若它最后的位置所表示的數(shù)為10，求n的值．（3）若，跳蚤共進行了若干次操作，其中有50次是向左運動，且最后的位置所表示的數(shù)為260，求操作的次數(shù)．答案：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次【分析】（1）先得出一次操作后所可能表示的數(shù)，再得出第二次操作后的數(shù)；（2）①根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；②令①中代數(shù)式的值為10，求解析：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次【分析】（1）先得出一次操作后所可能表示的數(shù)，再得出第二次操作后的數(shù)；（2）①根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；②令①中代數(shù)式的值為10，求出n值即可；（3）設跳蚤向右運動了m次，根據(jù)題意列出方程，解出m值，再加上50即可．【詳解】解：（1）∵a=0，則一次操作后表示的數(shù)為-1或2，則兩次操作后表示的數(shù)為-2或1或4；（2）①由題意可得：a=3時，向右運動了20次，向左運動了n次，∴最后表示的數(shù)為：3+20×2-n=43-n；②令43-n=10，則n=33；（3）設跳蚤向右運動了m次，根據(jù)題意可得：-10-50+2m=260，則m=160，∴操作次數(shù)為50+160=210．【點睛】本題考查了數(shù)軸，一元一次方程，解題的關鍵是要理解“一次操作”的意義．5．如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，，滿足．（1）求，的值；（2）若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，請在數(shù)軸上找一點，使，求點表示的數(shù)；（3）如圖，一小球甲從點處以2個單位/秒的速度向左運動；同時另一個小球乙從點處以3個單位/秒的速度也向左運動，設運動的時間為（秒）．①分別表示出（秒）時甲、乙兩小球在數(shù)軸上所表示的數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；②求甲、乙兩小球相距兩個單位時所經(jīng)歷的時間．答案：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質求得a=-2，b=6；（2）分C點在線段AB上和線段AB的延長線上兩種情解析：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質求得a=-2，b=6；（2）分C點在線段AB上和線段AB的延長線上兩種情況討論即可求解；（3）①根據(jù)兩個小球的運動情況直接列式即可；②根據(jù)甲、乙兩小球在數(shù)軸上表示的數(shù)列出關于t的方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵，∴a+2=0，b-6=0，解得，a=-2，b=6，故答案為：a=-2，b=6；（2）設數(shù)軸上點C表示的數(shù)為c．∵AC=2BC，∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．∵AC=2BC＞BC，∴點C不可能在BA的延長線上，則C點可能在線段AB上和線段AB的延長線上．①當C點在線段AB上時，則有-2≤c≤6，得c+2=2（6-c），解得；②當C點在線段AB的延長線上時，則有c＞6，得c+2=2（c-6），解得c=14．故當AC=2BC時，c=或c=14；（3）①∵甲球運動的路程為：2?t=2t，OA=2，∴甲球在數(shù)軸上表示的數(shù)為-2t-2；乙球運動的路程為：3?t=3t，OB=6，乙球在數(shù)軸上表示的數(shù)為：6-3t；②由題意得：，解得：t=10或t=6，∴甲、乙兩小球相距兩個單位時所經(jīng)歷的時間為6秒或10秒．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質，一元一次方程，數(shù)軸，兩點間的距離，有一定難度，運用分類討論思想、方程思想及數(shù)形結合思想是解題的關鍵．6．閱讀理解：定義：A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是它到點B的時距離的n（n為大于1的常數(shù)）倍，則稱點C是（A，B）的n倍點，且當C是（A，B）的n倍點或（B，A）的n倍點時，我們也稱C是A和B兩點的n倍點．例如，在圖1中，點C是（A，B）的2倍點，但點C不是（B，A）的2倍點．（1）特值嘗試．①若，圖1中，點________是（D，C）的2倍點．（填A或B）②若，如圖2，M，N為數(shù)軸上兩個點，點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是4，數(shù)________表示的點是（M，N）的3倍點．（2）周密思考：圖2中，一動點P從N出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸向左運動t秒，若P恰好是M和N兩點的n倍點，求所有符合條件的t的值．（用含n的式子表示）（3）拓展應用：數(shù)軸上兩點間的距離不超過30個單位長度時，稱這兩點處于“可視距離”．若（2）中滿足條件的M和N兩點的所有n倍點P均處于點N的“可視距離”內(nèi)，請直接寫出n的取值范圍．（不必寫出解答過程）答案：（1）①B；②或7；（2）或或；（3）【分析】（1）①直接根據(jù)新定義的概念即可得出答案；②根據(jù)新定義的概念列絕對值方程求解即可得出答案；（2）設點P所表示的數(shù)為，再根據(jù)新定義的概念列方程求解析：（1）①B；②或7；（2）或或；（3）【分析】（1）①直接根據(jù)新定義的概念即可得出答案；②根據(jù)新定義的概念列絕對值方程求解即可得出答案；（2）設點P所表示的數(shù)為，再根據(jù)新定義的概念列方程求解即可；（3）分，，三種情況分別表示出PN的值，再根據(jù)PN的范圍列不等式組求解即可．【詳解】（1）①由數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為2，點C表示的數(shù)為1，點D表示的數(shù)為0，，，，數(shù)點A不是【D，C】的2倍點，，，，∴點B是【D，C】的2倍點，故答案為：B．②若點C是點【M，N】的3倍點，，設點C表示的數(shù)為，，，，即或，解得或，數(shù)或7表示的點是【M，N】的3倍點．（2）設點P所表示的數(shù)為，點P是M，N兩點的倍點，當點P是【M，N】的n倍點時，，，或，解得或，，，當點P是【N，M】的n倍點時，，，，或，解得或，符合條件的的值為或或．（3），當時，，當時，，當時，，點P均在點N的可視點距離之內(nèi)，，解得，的取值范圍是．【點睛】本題考查了倍點的概念，解題的關鍵是掌握倍點的兩種不同情況．7．如圖，數(shù)軸上有三個點、、，表示的數(shù)分別是、、，請回答：（1）若使、兩點的距離與、兩點的距離相等，則需將點向左移動______個單位．（2）若移動、、三點中的兩個點，使三個點表示的數(shù)相同，移動方法有種，其中移動所走的距離和最小的是_______個單位；（3）若在表示的點處有一只小青蛙，一步跳個單位長．小青蛙第次先向左跳步，第次再向右跳步，然后第次再向左跳步，第次再向右跳步按此規(guī)律繼續(xù)跳下去，那么跳第次時，應跳_______步，落腳點表示的數(shù)是_______．（4）數(shù)軸上有個動點表示的數(shù)是，則的最小值是_______．答案：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）設需將點C向左移動x個單位，再根據(jù)數(shù)軸的定義建立方程，解方程即可得；（2）分為三種：移動點B、C；移動點A、C；移動點A、B，再解析：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）設需將點C向左移動x個單位，再根據(jù)數(shù)軸的定義建立方程，解方程即可得；（2）分為三種：移動點B、C；移動點A、C；移動點A、B，再利用數(shù)軸的定義分別求出移動所走的距離和即可得；（3）先根據(jù)前4次歸納類推出一般規(guī)律，再列出運算式子，計算有理數(shù)的加減法即可得；（4）分，，和數(shù)四種情況，再分別結合數(shù)軸的定義、化簡絕對值即可得．【詳解】（1）設需將點C向左移動x個單位，由題意得：，解得，即需將點C向左移動3個單位，故答案為：3；（2），，，由題意，分以下三種情況：①移動點B、C，把點B向左移動2個單位，點C向左移動7個單位，此時移動所走的距離和為；②移動點A、C，把點A向右移動2個單位，點C向左移動5個單位，此時移動所走的距離和為；③移動點A、B，把點A向右移動7個單位，點B向右移動5個單位，此時移動所走的距離和為；綜上，移動方法有3種，其中移動所走的距離和最小的是7個單位，故答案為：3，7；（3）第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，歸納類推得：第n次跳的步數(shù)為，其中n為正整數(shù)，則第99次跳的步數(shù)為，落腳點表示的數(shù)為，，，，故答案為：197，；（4）由題意，分以下四種情況：①當時，則；②當時，則，，；③當時，則，，；④當時，則；綜上，，則的最小值是9，故答案為：9．【點睛】本題考查了數(shù)軸、化簡絕對值、一元一次方程的應用等知識點，熟練掌握數(shù)軸的定義是解題關鍵．8．點A，B為數(shù)軸上的兩點，點A對應的數(shù)為a，點B對應的數(shù)為3，a3＝﹣8．（1）求A，B兩點之間的距離；（2）若點C為數(shù)軸上的一個動點，其對應的數(shù)記為x，試猜想當x滿足什么條件時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小．請寫出你的猜想，并說明理由；（3）若P，Q為數(shù)軸上的兩個動點（Q點在P點右側），P，Q兩點之間的距離為m，當點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和有最小值4時，m的值為．答案：（1）5；（2）當﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5，見詳解；（3）1或9【分析】（1）先根據(jù)立方根的定義求出a，再根據(jù)兩點之間的距離公式即可求解；（2）當解析：（1）5；（2）當﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5，見詳解；（3）1或9【分析】（1）先根據(jù)立方根的定義求出a，再根據(jù)兩點之間的距離公式即可求解；（2）當點C在數(shù)軸上A、B兩點之間時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，依此即可求解；（3）分兩種情況：點P在點A的左邊，點P在點B的右邊，進行討論即可求解．【詳解】解：（1）∵a3＝﹣8．∴a＝﹣2，∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；（2）點C到A的距離為|x+2|，點C到B的距離為|x﹣3|，∴點C到A點的距離與點C到B點的距離之和為|x+2|+|x﹣3|，當距離之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，此時的最小值為3﹣（﹣2）＝5，∴當﹣2＜x＜3時，點C到A點的距離與點C到B點的距離之和最小，最小值為5；（3）設點P所表示的數(shù)為x，∵PQ＝m，Q點在P點右側，∴點Q所表示的數(shù)為x+m，∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|∴點P到A點的距離與點Q到B點的距離之和為：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|當x在﹣2與3﹣m之間時，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值為|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4時，解得，m＝1，故答案為：1或9．【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示是解題的關鍵．9．“數(shù)形結合”是重要的數(shù)學思想．請你結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于│m－n│．如果表示數(shù)a和－2的兩點之間的距離是3，記作│a－(－2)│＝3，那么a＝．（2）利用絕對值的幾何意義，探索│a＋4│＋│a－2│的最小值為______，若│a＋4│＋│a－2│＝10，則a的值為________．（3）當a＝______時，│a＋5│＋│a－1│＋│a－4│的值最?。?）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為4，點B表示的數(shù)為1，C是數(shù)軸上一點，且AC＝8，動點P從點B出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t(t0)秒．點M是AP的中點，點N是CP的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變，求線段MN的長度．答案：（1）1或-5；（2）6，4或-6；（3）1；（4）不變，線段MN的長度為4【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式，到－2點距離是3的點有兩個，即可求解；（2）當點a在點-4和點2之間時，的值最小解析：（1）1或-5；（2）6，4或-6；（3）1；（4）不變，線段MN的長度為4【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式，到－2點距離是3的點有兩個，即可求解；（2）當點a在點-4和點2之間時，的值最?。环謨煞N情況，或，化簡絕對值即可求得；（3）根據(jù)表示點a到﹣5，1，4三點的距離的和，即可求解；（4）因為點A表示的數(shù)為4和AC＝8，所以點C表示的數(shù)為-4，點P表示的數(shù)為（1-6t），則點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，兩數(shù)相減取絕對值即可求得．【詳解】（1）∵∴a－(－2)＝3或a－(－2)＝-3解得a=1或-5故答案為：1或-5（2）當點a在點-4和點2之間時，的值最小∵數(shù)a的點位于-4與2之間∴a+4＞0，a-2＜0∴=a+4-a+2=6；當時a+4＜0，a-2＜0∴===10解得a=-6當時a+4＞0，a-2＞0∴===10解得a=4故答案為：6，4或-6（3）根據(jù)表示一點到-5，1，4三點的距離的和．所以當a=1時，式子的值最小此時的最小值是9故答案為：1（4）∵AC＝8∴點C表示的數(shù)為-4又∵點P表示的數(shù)為（1-6t）∴則點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為∴．∴線段MN的長度不發(fā)生變化，其值為4．【點睛】此題考查絕對值的意義、數(shù)軸、結合數(shù)軸求兩點之間的距離，掌握數(shù)形結合的思想是解決此題的關鍵．10．已知射線在的內(nèi)部，射線平分，射線平分．（1）如圖1，若，則__________度；（2）若，①如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點旋轉，求的度數(shù)；②若射線在的外部繞點旋轉（旋轉中、均是指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究的大小，直接寫出的度數(shù)．答案：（1）60；（2）①∠EOF=α；②當射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，∠EOF=α；當射線OE，OF都在∠AOB外部時，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平解析：（1）60；（2）①∠EOF=α；②當射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，∠EOF=α；當射線OE，OF都在∠AOB外部時，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出∠EOC和∠FOC的度數(shù)，求和即可得出答案；（2）①根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；②分兩種情況：當射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；當射線OE，OF都在∠AOB外部時，根據(jù)角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，

∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，

∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．故答案為：60；（2）①∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，

∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；②分以下兩種情況：當射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，如圖3①，∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．當射線OE，OF都在∠AOB外部時，如圖3②，

∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．綜上所述，當射線OE，OF只有1條在∠AOB外面時，∠EOF=α；當射線OE，OF都在∠AOB外部時，∠EOF=180°-α．【點睛】本題考查的是角的計算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關鍵．注意分類思想的運用．11．如圖1，P點從點A開始以的速度沿的方向移動，Q點從點C開始以的速度沿的方向移動，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動時間．（1）如圖1，若點P在線段上運動，點Q在線段上運動，當t為何值時，；（2）如圖2，點Q在上運動，當t為何值時，三角形的面積等于三角形面積的；（3）如圖3，當P點到達C點時，P，Q兩點都停止運動，當t為何值時，線段的長度等于線段的長．答案：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）當P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當Q在解析：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）當P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當Q在線段CA上時，設CQ＝t，則AQ＝12﹣t，根據(jù)三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，列出方程即可解決問題．（3）分三種情形討論即可①當0＜t≤8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動．②當8＜t≤12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動．③當t＞12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，分別列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動時，設CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，∵AQ＝AP，∴12﹣t＝2t，∴t＝4．∴t＝4時，AQ＝AP．（2）當Q在線段CA上時，設CQ＝t，則AQ＝12﹣t，∵三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，∴?AB?AQ＝×?AB?AC，∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9．∴t＝9時，三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的．（3）由題意可知，Q在線段CA上運動的時間為12秒，P在線段AB上運動時間為8秒，①當0＜t≤8時，P在線段AB上運動，Q在線段CA上運動，設CQ＝t，AP＝2t，則AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．②當8＜t≤12時，Q在線段CA上運動，P在線段BC上運動，設CQ＝t，則AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝．③當t＞12時，Q在線段AB上運動，P在線段BC上運動時，∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），綜上所述，t＝或4時，AQ＝BP．【點睛】本題考查線段和差、一元一次方程等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．12．已知：，、、是內(nèi)的射線．（1）如圖1，若平分，平分．當射線繞點在內(nèi)旋轉時，求的度數(shù)．（2）也是內(nèi)的射線，如圖2，若，平分，平分，當射線繞點在內(nèi)旋轉時，求的大?。鸢福海?）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出和，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)計算即可得解．【詳解】解：（1）∵平分，∴∵平分，∴解析：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出和，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)計算即可得解．【詳解】解：（1）∵平分，∴∵平分，∴∴（2）∵平分，∴，∵平分，∴∴=【點睛】本題考查了角的計算，角平分線的定義，準確識圖是解題的關鍵，難點在于要注意整體思想的利用．13．已知，O為直線AB上一點，射線OC將分成兩部分，若時，（1）如圖1，若OD平分，OE平分，求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的基礎上，將以每秒的速度繞點O順時針旋轉，同時射線OC以每秒的速度繞點O順時針旋轉，設運動時間為．①t為何值時，射線OC平分？②t為何值時，射線OC平分？答案：（1）90°；（2）①s；②12s【分析】（1）由角平分線的定義結合平角的定義可直接求解；（2）①結合角平分線的定義，平角的定義列方程，解方程結可求解；②結合角平分線的定義，平角的定義列方程解析：（1）90°；（2）①s；②12s【分析】（1）由角平分線的定義結合平角的定義可直接求解；（2）①結合角平分線的定義，平角的定義列方程，解方程結可求解；②結合角平分線的定義，平角的定義列方程，解方程結可求解．【詳解】解：（1）∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；（2）①由題意得：∵∠DOE=90°，∴當OC平分∠DOE時，∠C′OD′=∠C′OE′=45°，45°+60°-3t+9t+60°=180°，解得t=，故t為s時，射線OC平分∠DOE；②由題意得：∵∠BOE=60°，∴當OC平分∠BOE時，∠C′OE=∠C′OB=30°，30+3t+90°+2（120-9t）=180°，解得t=12，故t為12s時，射線OC平分∠BOE．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，角平分線的定義，角的計算等知識的綜合運用，列方程求解角的度數(shù)是解題的關鍵．14．如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可繞點P逆時針旋轉（1）試說明∠DPC=90°；（2）如圖②，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉旋轉一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如圖③．在圖①基礎上，若三角板PAC開始繞點P逆時針旋轉，轉速為5°/秒，同時三角板PBD繞點P逆時針旋轉，轉速為1°/秒，（當PA轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動），在旋轉過程中，PC、PB、PD三條射線中，當其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉的時間．答案：（1）見解析；（2）；（3）旋轉時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【分析】（1）結合題意利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明．（2）結合題意根據(jù)角平分線的解析：（1）見解析；（2）；（3）旋轉時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【分析】（1）結合題意利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明．（2）結合題意根據(jù)角平分線的定義，利用各角之間的等量關系即可求解．（3）設t秒時，其中一條射線平分另兩條射線的夾角．根據(jù)題意求出t的取值范圍，再根據(jù)情況討論，利用數(shù)形結合的思想列一元一次方程，求解即可．【詳解】（1）∵兩個三角板形狀、大小完全相同，∴，又∵，∴，∴．（2）根據(jù)題意可知，∵，，∴，又∵，∴．（3）設t秒時，其中一條射線平分另兩條射線的夾角，∵當PA轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動，∴秒．分三種情況討論：當PD平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=15秒<36秒，符合題意．當PC平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=秒<36秒，符合題意．當PB平分時，根據(jù)題意可列方程，解得t=秒>36秒，不符合題意舍去．所以旋轉時間為15秒或秒時，PB、PC、PD其中一條射線平分另兩條射線的夾角．【點睛】本題考查直角三角形的性質，角平分線的定義，圖形的旋轉．掌握圖形旋轉的特征，找出其等量關系來列方程求解是解答本題的關鍵．15．已知是關于x的二次二項式，A，B是數(shù)軸上兩點，且A，B對應的數(shù)分別為a，b．（1）求線段AB的中點C所對應的數(shù)；（2）如圖，在數(shù)軸上方從點C出發(fā)引出射線CD，CE，CF，CG，且CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，試猜想∠DCE與∠FCG之間是否存在確定的數(shù)量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，已知∠DCE=20°，∠ACE=30°，當∠DCE繞著點C以2°/秒的速度逆時針旋轉t秒()時，∠ACF和∠BCG中的一個角的度數(shù)恰好是另一個角度數(shù)的兩倍，求t的值答案：（1）7；（2）；（3）或．【分析】（1）根據(jù)是關于x的二次二項式可知，，求出a、b的值即為A、B對應的數(shù)，即可求出C點對應的數(shù)．（2）根據(jù)角平分線可知，．即可求出．再根據(jù)題意可知，，代入整理解析：（1）7；（2）；（3）或．【分析】（1）根據(jù)是關于x的二次二項式可知，，求出a、b的值即為A、B對應的數(shù)，即可求出C點對應的數(shù)．（2）根據(jù)角平分線可知，．即可求出．再根據(jù)題意可知，，代入整理即可得到（3）根據(jù)題意可用t表示出和．再分類討論當時和當時，列出的關于t的一元一次方程，解出t即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得出，解得，即A、B對應的數(shù)分別為16、-2，∴C對應的數(shù)為．（2）∵CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，∴，．∵，∴，即．∵，，∴，即．故存在數(shù)量關系，為：．（3）∵，，∴，即．∴．∵，∴．∴．當時，即，解得：且小于65，當時，即，解得：且小于65．綜上可知或時符合題意．【點睛】本題考查多項式的性質，角平分線的定義，一元一次方程的應用，結合分類討論以及數(shù)形結合的思想是解答本題的關鍵．16．我們知道，從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線，類似的我們給出一些新的概念：從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成度數(shù)為的兩個角的射線，叫做這個角的三分線；從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成度數(shù)為的兩個角的射線，叫做這個角的四分線……顯然，一個角的三分線、四分線都有兩條．例如：如圖，若，則是的一條三分線；若，則是的另一條三分線．（1）如圖，是的三分線，，若，則；（2）如圖，，是的四分線，，過點作射線，當剛好為三分線時，求的度數(shù)；（3）如圖，射線、是的兩條四分線，將繞點沿順時針方向旋轉，在旋轉的過程中，若射線、、中恰好有一條射線是其它兩條射線組成夾角的四分線，請直接寫出的值．答案：（1）；（2）的度數(shù)為或；（3）的值為或或或【分析】（1）根據(jù)三分線的定義解答即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三分線的定義分類解答即可；（3）根據(jù)四分線的定義分類解答即可．【詳解】解：解析：（1）；（2）的度數(shù)為或；（3）的值為或或或【分析】（1）根據(jù)三分線的定義解答即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三分線的定義分類解答即可；（3）根據(jù)四分線的定義分類解答即可．【詳解】解：（1）∵是的三分線，，，∴，故答案為：；（2），是的四分線，，，為的三分線，①當時，，，②當時，，，綜上所述，的度數(shù)為或，（3）∵射線、是的兩條四分線，∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，如①圖，當OC是∠BOD的四分線時，∠BOC=,∠BOD=80°，∠COD=20°，α=30°-20°=10°；如②圖，當OD是∠BOC的四分線且∠BOD>∠COD時，∠COD=∠BOC=15°，α=30°+15°=45°；如③圖，當OD是∠BOC的四分線且∠BOD<∠COD時，∠COD=∠BOC=45°，α=30°+45°=75°；如④圖，當OB是∠COD的四分線時，∠BOC=,∠COD=80°，α=30°+80°=110°；的值為或或或【點睛】本題考查了角的計算，解決問題的關鍵是掌握角的三分線、四分線的定義，利用分類討論思想．17．（學習概念）如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．（理解運用）（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；（拓展提升）（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉，旋轉的時間為t秒．當PQ與PN成110°時停止旋轉．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉，并與PQ同時停止．當PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．答案：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當∠MPQ=2∠QPN時；當∠QPN=2∠MPQ時；分別求出解析：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當∠MPQ=2∠QPN時；當∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設運用的時間為t秒，則PM運用后有，，然后對PM和PQ的運動情況進行分析，可分為四種情況進行分析，分別求出每一種情況的運動時間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當∠QPN=2∠MPQ時∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運動前∠MPN＝120°，設運用的時間為t秒，則PM運用后有，，①當時，如圖：∴，解得：；②當，即時，如圖：∴，解得：；③當，如圖：∴，解得：；④當，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點睛】本題考查了新定義的角度運算，角度的和差關系，以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確掌握運動狀態(tài)，運用分類討論的思想進行分析．18．如圖，一副三角板中各有一個頂點在直線的點處重合，三角板的邊落在直線上，三角板繞著頂點任意旋轉．兩塊三角板都在直線的上方，作的平分線，且，．（1）當點在射線上時（如圖1），的度數(shù)是_______．（2）現(xiàn)將三角板繞著頂點旋轉一個角度（即），請就下列兩種情形，分別求出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）①當為銳角時（如圖2）；②當為鈍角時（如圖3）；答案：（1）37.5°；（2）①當0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度解析：（1）37.5°；（2）①當0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度數(shù)；（2）根據(jù)圖形和第一問中的推導可以解答本題；（3）通過圖形可以發(fā)現(xiàn)∠BOD是∠AOB與∠COD的和與∠MOC的差，從而可以解答本題．【詳解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，點C在射線ON上，∴∠BOD＝180°?45°?60°＝75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝37.5°．故答案為：37.5°；（2）①當∠CON為銳角時，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠BOD＝180°?45°?60°?x°＝75°?x°．∵OP平分∠BOD，∴當0°＜x°≤75°時，∠BOP＝，當75°＜x°＜90°時，∠BOP＝；②當∠CON為鈍角時，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠MOC＝180°?x°．∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD?∠MOC＝45°＋60°?（180°?x°）＝x°?75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝．【點睛】本題考查角的計算，解題的關鍵是明確題意，可以根據(jù)圖形找出所求問題需要的條件．19．定義：在同一平兩內(nèi)，有公共端點的三條射線中，一條射線是另兩條射線組成夾角的角平分線，我們稱這三條射線為“共生三線”