二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練題集二次函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不僅在理論層面占據(jù)核心地位，其在解決實際問題中的應(yīng)用也極為廣泛。從最優(yōu)化問題到運動軌跡分析，從幾何圖形計算到經(jīng)濟(jì)模型構(gòu)建，二次函數(shù)都扮演著不可或缺的角色。本訓(xùn)練題集旨在通過一系列具有代表性的應(yīng)用題，幫助學(xué)習(xí)者深化對二次函數(shù)概念、性質(zhì)及其應(yīng)用的理解，提升運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。題集內(nèi)容注重與現(xiàn)實情境的結(jié)合，強調(diào)分析問題、建立模型、求解驗證的完整思維過程。一、利潤最大化與成本最小化問題在經(jīng)濟(jì)活動中，如何根據(jù)市場變化調(diào)整策略以實現(xiàn)利潤最大化或成本最小化，是經(jīng)營者關(guān)注的核心。二次函數(shù)因其獨特的最值性質(zhì)，常被用于此類問題的建模與求解。例題1：商品定價與利潤某商店經(jīng)營一種小商品，已知該商品的進(jìn)價為每件a元。經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每件b元時，每天可售出c件。若售價每上漲1元，每天的銷售量將減少d件。為了獲得更好的經(jīng)濟(jì)效益，商店希望確定一個合適的售價，使得每天的銷售利潤最大。（1）請寫出每天銷售利潤y（元）與售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍。（2）當(dāng)售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？解答與解析：（1）首先，分析利潤的構(gòu)成。每件商品的利潤為售價減去進(jìn)價，即(x-a)元。當(dāng)售價為x元時，與基礎(chǔ)售價b元相比，上漲了(x-b)元。根據(jù)題意，銷售量減少d*(x-b)件，因此此時的銷售量為c-d*(x-b)件。這里需要注意，銷售量不能為負(fù)數(shù)，且售價通常也不應(yīng)低于進(jìn)價，因此自變量x的取值范圍需滿足c-d*(x-b)≥0且x≥a，即x≤b+c/d且x≥a。在實際解題時，a、b、c、d會是具體數(shù)值，我們需根據(jù)具體數(shù)值確定x的合理范圍。于是，每天的銷售利潤y=(x-a)[c-d(x-b)]。展開并整理可得：y=-dx2+(bd+c+ad)x-(abd+ac)。這是一個關(guān)于x的二次函數(shù)，且二次項系數(shù)-d<0，函數(shù)圖象開口向下，存在最大值。（2）對于二次函數(shù)y=Ax2+Bx+C(A≠0)，當(dāng)A<0時，函數(shù)在x=-B/(2A)處取得最大值。在（1）中得到的函數(shù)關(guān)系式里，A=-d，B=bd+c+ad。因此，利潤最大時的售價x=(bd+c+ad)/(2d)=(bd+c+ad)÷(2d)=b/2+(c+ad)/(2d)=b/2+c/(3d)+a/2。（此處為了展示表達(dá)式，實際計算時應(yīng)代入具體數(shù)值）。將此x值代入利潤函數(shù)y的表達(dá)式，即可求得最大利潤。需要強調(diào)的是，求得x后，需檢驗其是否在（1）所確定的自變量取值范圍內(nèi)，如果不在，則需根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性在區(qū)間端點處尋找最大值。例題2：生產(chǎn)批量與成本控制某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為m元。每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，可變成本增加n元。經(jīng)測算，當(dāng)產(chǎn)量為p件時，平均每件產(chǎn)品的成本最低。請問：（1）寫出總成本C與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）寫出平均每件產(chǎn)品成本y與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出使得平均成本最低的產(chǎn)量。解答與解析：（1）總成本由固定成本和可變成本組成。固定成本不隨產(chǎn)量變化，為m元。可變成本與產(chǎn)量成正比，每生產(chǎn)一件增加n元，則生產(chǎn)x件的可變成本為nx元。因此，總成本C=m+nx。（2）平均每件產(chǎn)品成本y=總成本/產(chǎn)量=(m+nx)/x=n+m/x。（思考：此處得到的y與x的關(guān)系式是反比例函數(shù)與常數(shù)的和，并非二次函數(shù)。這說明并非所有經(jīng)濟(jì)問題都直接呈現(xiàn)二次函數(shù)形式，需要仔細(xì)分析。或者，原題中可能隱含更復(fù)雜成本結(jié)構(gòu)，例如，當(dāng)產(chǎn)量超過一定數(shù)量后，可變成本的增長率會發(fā)生變化，比如原材料價格優(yōu)惠或產(chǎn)生額外的管理費用等，此時可能會引入二次項。為了符合本節(jié)主題及后續(xù)“求得最值”的邏輯，我們假設(shè)題目中存在隱含條件，例如，每件產(chǎn)品的可變成本并非固定的n元，而是隨著產(chǎn)量x的增加，平均可變成本會發(fā)生變化，比如平均可變成本為(n+kx)元/件，其中k為一個較小的正數(shù)或負(fù)數(shù)，反映規(guī)模效應(yīng)。則此時總成本C=m+x*(n+kx)=kx2+nx+m，平均成本y=C/x=kx+n+m/x。若k為正數(shù)，此時y=kx+m/x+n，這是一個對勾函數(shù)，在特定區(qū)間存在最小值。若k為負(fù)數(shù)，且考慮到實際產(chǎn)量為正，可能構(gòu)成一個二次函數(shù)模型y=(kx2+nx+m)/x=kx+n+m/x，依然不是純粹的二次函數(shù)?？磥?，為了構(gòu)建二次函數(shù)模型，題目條件應(yīng)設(shè)定為平均成本是產(chǎn)量x二次函數(shù)，例如：平均每件產(chǎn)品成本y=ax2+bx+c(a>0)；或者，總成本C是產(chǎn)量x二次函數(shù)，則平均成本y=C/x會是一個二次函數(shù)除以一次函數(shù)，可能為一次函數(shù)或分式函數(shù)。因此，原題可能需要調(diào)整表述，例如：“已知生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本（單位：元）是C(x)=ax2+bx+c(a>0)”，則平均成本y=C(x)/x=ax+b+c/x，仍非二次函數(shù)。或許，題目聚焦于“總成本最低化”更為直接。例如：“某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，如果每天生產(chǎn)x件，其總成本（單位元）可表示為C(x)=ax2+bx+c(a>0)”，則求最低總成本，這便是一個標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)求最值問題，當(dāng)x=-b/(2a)時，C(x)取得最小值（需檢驗x是否為正整數(shù)及實際生產(chǎn)可行性）。）（修正與說明：為確保二次函數(shù)模型的純粹性，我們調(diào)整題目條件為：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其總成本C（元）與日產(chǎn)量x（件）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系。經(jīng)統(tǒng)計，當(dāng)產(chǎn)量為10件時，總成本為2000元；產(chǎn)量為20件時，總成本為3000元；產(chǎn)量為30件時，總成本為4500元。）（1）設(shè)總成本C(x)=ax2+bx+c(a≠0)。根據(jù)題意，可得方程組：2000=a*(10)^2+b*(10)+c3000=a*(20)^2+b*(20)+c4500=a*(30)^2+b*(30)+c解此方程組即可得到a、b、c的值，從而確定C(x)的函數(shù)關(guān)系式。（2）要求最低總成本，因為a>0（通常總成本隨產(chǎn)量增加，在一定范圍內(nèi)先減后增，此處根據(jù)數(shù)據(jù)可判斷開口向上），所以函數(shù)C(x)在頂點處取得最小值(x=-b/(2a))。求出頂點橫坐標(biāo)x0，若x0合理（正整數(shù)或在實際產(chǎn)量范圍內(nèi)），則C(x0)為最低總成本。二、幾何圖形中的最值問題二次函數(shù)在幾何圖形方面的應(yīng)用非常廣泛，尤其在求解與面積、體積、長度相關(guān)的最值問題時，表現(xiàn)突出。通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系和函數(shù)關(guān)系，可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。例題3：矩形面積的最值用一段長度為L的籬笆，靠墻圍成一個矩形的菜園。問：如何設(shè)計這個矩形的長和寬，才能使菜園的面積最大？最大面積是多少？解答與解析：這是一個經(jīng)典的二次函數(shù)最值應(yīng)用題。首先，明確問題條件：籬笆長度為L，靠墻圍成矩形，因此只需要圍三個邊（假設(shè)墻足夠長，作為矩形的一條長邊）。設(shè)矩形的寬為x（與墻垂直的邊），則由于籬笆總長L，矩形與墻平行的一邊長（即長）為L-2x（剩下的籬笆用于兩個寬）。這里需要注意自變量x的取值范圍：x>0，且L->0，即x<L>。矩形面積S=×寬=(L->)×>=Lx->2。這顯然是一個關(guān)于x的二次函數(shù)S=-2x2+Lx。其中二次項系數(shù)a=-2<0，函數(shù)圖象開口向下，因此函數(shù)存在最大值。對于二次函數(shù)S=ax2+bx+c，其頂點的橫坐標(biāo)x=-b/(>a)。在此題函數(shù)中，a=-2，b=L>，因此當(dāng)x=-L/(>×(-->))=L/(.4)時，面積S取得最大值。>此時矩形的寬x=L/4，長為L-2x=L-2*(L/>4)=L/>4。最大面積S_max=L*(L/>4)-2*(L/>4)2=L2/>4-2*(L2/>16)=L2/>4-L2/>8=L2/>8。我們發(fā)現(xiàn)，此時矩形的長和寬都是L/4和L>/2？不，剛才計算長為L-2x=L-2*(L/4)=L-L>/">2=L>/">2。所以長是L>/">2，寬是L>/">4。長恰好等于寬的2倍。結(jié)論：當(dāng)圍成的矩形寬為L>/">4，長為L>/">2時（即長是寬的兩倍）面積最大<em></em>.最大面積為L平方除以8<em></em>.>（思考：若題目未明確哪條邊靠墻，解題時應(yīng)考慮兩種情況：一種是長靠墻，則寬為x，長為L-2x；另一種是寬靠墻，則長為x，寬為(L-<x>)/<2>><。兩種情況下，通過類似計算，可發(fā)現(xiàn)結(jié)論一致，最大面積相同，只是長和寬的定義互換。）<h3>例題<.4：拋物線形拱橋問題</h3>一座拋物線形拱橋，正常水位時，拱頂離水面<u>若干</u>米<emstyle="font-family:"">，</em>水面寬為<u>若干</u>米<emstyle="font-family:"">。</em>當(dāng)水位上漲<u>若干</u>米后<emstyle="font-family:"">，</em>水面寬度變?yōu)槎嗌倜?lt;emstyle="font-family:"">？</em></u></span></p><em><spanstyle="font-family:宋體">解答與解析：</span></em><em><spanstyle="font-family:宋體">為了利用二次函數(shù)解決此問題</span></em><em><spanstyle="font-family:宋體">建立合適的平面直角坐標(biāo)系至關(guān)重要。</span></em><em><spanstyle="font-family:宋體">通常的做法是：</span></em><em><spanstyle="font-family:"TimesNewRoman",serif">i)</span></em><spanstyle="font-family:"TimesNewRoman",serif"></span><em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc,sans-serif">以拋物線的頂點（即拱頂）<spanstyle="white-space:...">為坐標(biāo)原點O(0,0)</span></span></em><em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc,sans-serif">。</span></em><em><spanstyle="font-family:"TimesNewRoman",serif">ii)</span></em><spanstyle="font-family:"TimesNewRoman",serif"></span><em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">以水平方向為x軸</span></em><em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，向右為正方向；以豎直方向為y軸</span></em><em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，向下為正方向（這樣處理</span></em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，水面的y坐標(biāo)值為正</span></em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，后續(xù)計算更符合直覺</span></em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">）</span></em><em><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">。</span></em></span></p><p><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">設(shè)正常水位時，拱頂離水面h米</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，則此時水面所在的y坐標(biāo)為h</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">。水面寬為2m米（這樣設(shè)是為了后續(xù)計算方便</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，則水面與拋物線的兩個交點坐標(biāo)分別為(-m,h)和(m,h)</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">）。</span></p><p><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">設(shè)此拋物線的解析式為y=ax2</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">（因為頂點在原點</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，且關(guān)于y軸對稱</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，所以一次項和常數(shù)項為0</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">）</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">。</span></p><p><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">由于點(m,h)在拋物線上</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，代入解析式可得：h=a*m2</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，解得a=h/m2</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">。因此，拋物線的解析式確定為y=</span><spanstyle="font-family:"TimesNewRoman",serif">(h/m2)x2</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">。</span></p><p><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">當(dāng)水位上漲k米后</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，新的水面高度為y=h-k</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">（因為水位上升</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，距離拱頂更近了</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，所以y值減小</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">）。</span></p><p><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">設(shè)此時水面寬度為2n，則此時水面與拋物線的交點坐標(biāo)分別為(-n,h-k)和(n,h-k)<spanstyle="white-space:...">將點(n,h-k)代入拋物線解析式：</span></span></p><p><spanstyle="font-family:"TimesNewRoman",serif">h-k=(h/m2)*n2</span></p><p><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">解方程可得n2=m2(h-)</span><spanstyle="font-family:"TimesNewRoman",serif">k)/h</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">，因此n=m*sqrt((h-k)/h)</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">（n取正值</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">）</span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc"></span><spanstyle="font-family:noto-sans-sc">。**</span></p><p><spanstyle="font-family:noto-sans-s