2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末試題：基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可視化的統(tǒng)計(jì)學(xué)案例分析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述性統(tǒng)計(jì)分析與推斷性統(tǒng)計(jì)分析的主要區(qū)別和聯(lián)系。二、假設(shè)你獲得了一個(gè)包含以下變量的數(shù)據(jù)集：年齡（整數(shù)）、收入（連續(xù)變量，單位：萬元）、教育程度（分類變量：小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)、研究生）、購買某產(chǎn)品的頻率（分類變量：每天、每周幾次、每月幾次、很少）。請分別說明對于以下研究問題，最適合采用哪些描述性統(tǒng)計(jì)量或圖表方法，并簡要說明理由。1.分析該產(chǎn)品購買者的人群畫像，包括年齡結(jié)構(gòu)和教育程度分布。2.比較不同教育程度群體在平均收入上的差異。3.展示購買頻率的分布情況。三、在一家電商平臺(tái)上，隨機(jī)抽取了100名購買電子產(chǎn)品（如手機(jī)）的顧客，記錄了他們的年齡（歲）和購買金額（元）。假設(shè)年齡X服從正態(tài)分布N(μ_X,σ_X^2)，購買金額Y與年齡X可能存在線性關(guān)系。請寫出你將如何利用這些數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)“年齡與購買金額之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系”這一假設(shè)的詳細(xì)步驟，包括需要使用的統(tǒng)計(jì)方法、需要計(jì)算或關(guān)注的統(tǒng)計(jì)量、以及基本的決策規(guī)則（顯著性水平α可設(shè)為0.05）。不需要進(jìn)行實(shí)際計(jì)算。四、某公司人力資源部想了解員工對其工作滿意度的評(píng)價(jià)是否因部門（假設(shè)有銷售部、技術(shù)部、市場部）的不同而存在差異。他們隨機(jī)抽取了來自各部門各15名員工，對他們使用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化滿意度量表進(jìn)行了評(píng)分（分?jǐn)?shù)范圍1-10，分?jǐn)?shù)越高代表滿意度越高）。請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法來分析這個(gè)問題，說明你的理由，并列出你需要執(zhí)行的步驟（包括假設(shè)的提出、統(tǒng)計(jì)量的選擇和計(jì)算說明、決策規(guī)則）。五、假設(shè)你正在分析一組關(guān)于房價(jià)（連續(xù)變量，單位：萬元）和房屋面積（連續(xù)變量，單位：平方米）的數(shù)據(jù)。請描述你會(huì)如何運(yùn)用圖表方法來探索房價(jià)與房屋面積之間的關(guān)系?？梢园憧赡軙?huì)繪制的圖表類型、圖表中需要關(guān)注的關(guān)鍵元素以及如何通過這些圖表來初步判斷兩者之間是否存在線性關(guān)系、關(guān)系的強(qiáng)度和方向。六、假設(shè)你使用統(tǒng)計(jì)軟件對一個(gè)關(guān)于網(wǎng)站用戶停留時(shí)間（分鐘）與頁面瀏覽量（次數(shù)）的數(shù)據(jù)集進(jìn)行了相關(guān)性分析和線性回歸分析，得到了以下部分結(jié)果：*相關(guān)系數(shù)r=0.65*回歸方程：瀏覽量=50+2*停留時(shí)間*回歸分析模型的R平方值為0.42請基于以上信息，解釋這些結(jié)果分別說明了什么？例如，相關(guān)系數(shù)r的值意味著什么？回歸方程中的系數(shù)代表什么？R平方值說明了什么？如果你需要向非專業(yè)人士解釋這些結(jié)果，你會(huì)如何表達(dá)？七、一家食品公司想知道其新推出的兩種口味的飲料（A和B）的市場接受度是否存在差異。他們設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷，隨機(jī)訪問了200名消費(fèi)者，詢問他們更偏好哪種口味，結(jié)果如下：偏好A口味的有115人，偏好B口味的有85人。請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法來分析兩種口味的偏好是否存在顯著差異。說明你選擇的檢驗(yàn)方法及其理由，并列出你需要執(zhí)行的步驟（包括假設(shè)的提出、統(tǒng)計(jì)量的選擇和計(jì)算說明、決策規(guī)則）。假設(shè)顯著性水平α=0.01。八、某城市交通管理部門想了解早高峰時(shí)段（7:00-9:00）主干道上汽車流量（車輛/小時(shí)）與平均車速（公里/小時(shí)）之間的關(guān)系。他們收集了連續(xù)30個(gè)工作日的數(shù)據(jù)。請描述你會(huì)如何利用這些數(shù)據(jù)來分析汽車流量與平均車速之間的關(guān)系，包括你可能會(huì)進(jìn)行的分析步驟和方法（統(tǒng)計(jì)和/或可視化），以及你期望通過分析得到什么信息。試卷答案一、描述性統(tǒng)計(jì)主要關(guān)注數(shù)據(jù)的概括和描述，通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量（如均值、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等）或繪制圖表（如直方圖、散點(diǎn)圖）來展示數(shù)據(jù)的基本特征和分布規(guī)律，其目的是描述數(shù)據(jù)本身。推斷性統(tǒng)計(jì)則基于樣本數(shù)據(jù)對總體特征進(jìn)行推斷和檢驗(yàn)，通過假設(shè)檢驗(yàn)、置信區(qū)間等方法來評(píng)估總體的參數(shù)或判斷總體的關(guān)系，其目的是從樣本推斷總體。兩者聯(lián)系緊密，描述性統(tǒng)計(jì)為推斷性統(tǒng)計(jì)提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)和初步分析，而推斷性統(tǒng)計(jì)則利用描述性統(tǒng)計(jì)的結(jié)果對總體進(jìn)行更深入的結(jié)論性判斷。二、1.對于研究問題1（分析人群畫像），最適合采用的描述性統(tǒng)計(jì)量或圖表方法包括：*年齡：計(jì)算均值、標(biāo)準(zhǔn)差以了解年齡的集中趨勢和離散程度；繪制直方圖或莖葉圖以觀察年齡的分布形態(tài)（如是否存在某種年齡段集中）。*教育程度：計(jì)算各分類的頻數(shù)和頻率（百分比）以了解教育程度的構(gòu)成；繪制餅圖或條形圖以直觀展示不同教育程度人群的比例。*理由：這些方法能夠有效地概括和展示不同變量的分布特征，從而勾勒出購買者的人群畫像。2.對于研究問題2（比較不同教育程度群體平均收入差異），最適合采用的描述性統(tǒng)計(jì)量或圖表方法是：*計(jì)算各教育程度組別的樣本量、均值和標(biāo)準(zhǔn)差。*繪制箱線圖，可以直觀比較不同教育程度組別在收入上的分布位置、離散程度和異常值情況。*繪制分組柱狀圖，展示各教育程度組別的平均收入，并可以包含誤差線（如標(biāo)準(zhǔn)誤或置信區(qū)間）。*理由：均值可以直接反映收入水平的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)差反映離散程度。箱線圖和分組柱狀圖則能直觀比較不同組別之間的差異。3.對于研究問題3（展示購買頻率分布情況），最適合采用的描述性統(tǒng)計(jì)量或圖表方法是：*計(jì)算購買頻率各分類的頻數(shù)和頻率（百分比）。*繪制餅圖以展示各購買頻率類別的占比。*繪制條形圖以比較各購買頻率類別的頻數(shù)或頻率。*理由：這些圖表能夠清晰地展示購買頻率的構(gòu)成情況，即哪種頻率最常見。三、檢驗(yàn)“年齡與購買金額之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系”假設(shè)的步驟如下：1.提出假設(shè)：*原假設(shè)H?：年齡與購買金額之間不存在顯著的正相關(guān)關(guān)系（ρ=0或ρ≤0，ρ為總體相關(guān)系數(shù)）。*備擇假設(shè)H?：年齡與購買金額之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系（ρ>0）。2.選擇統(tǒng)計(jì)方法：由于年齡和購買金額均為連續(xù)變量，且假設(shè)檢驗(yàn)相關(guān)關(guān)系，可選擇Pearson積矩相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)（假設(shè)數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布）或Spearman秩相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)（假設(shè)數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)分布或?yàn)橛行蜃兞浚?。此處以Pearson相關(guān)系數(shù)r為例。3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：*根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)r的值。*計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的值：t=r*sqrt((n-2)/(1-r2))，其中n為樣本量（100）。4.確定拒絕域或計(jì)算p值：*方法一（臨界值法）：查找自由度為n-2=98的t分布表，在顯著性水平α=0.05的單尾檢驗(yàn)下，確定臨界值t_crit。如果計(jì)算得到的t值大于t_crit，則拒絕H?。*方法二（p值法）：使用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算得到r值對應(yīng)的t值，并根據(jù)該t值和自由度（98）計(jì)算p值。如果p值小于α=0.05，則拒絕H?。5.做出決策：根據(jù)步驟4的結(jié)果，若拒絕H?，則認(rèn)為有統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持“年齡與購買金額之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系”；若不能拒絕H?，則認(rèn)為沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持這種正相關(guān)關(guān)系。四、檢驗(yàn)員工滿意度評(píng)價(jià)是否因部門不同而存在差異，適合采用單因素方差分析（One-wayANOVA）。理由是：研究變量（滿意度評(píng)分）是連續(xù)型變量，影響因素（部門）是分類變量（三個(gè)水平：銷售部、技術(shù)部、市場部），且要比較多個(gè)組別（三個(gè)部門）在某個(gè)連續(xù)變量上的均值差異。執(zhí)行步驟如下：1.提出假設(shè)：*原假設(shè)H?：三個(gè)部門的員工滿意度均值相等（μ_銷售=μ_技術(shù)=μ_市場）。*備擇假設(shè)H?：至少有兩個(gè)部門的員工滿意度均值不相等（至少存在i≠j使得μ_i≠μ_j）。2.計(jì)算樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本量：分別計(jì)算銷售部、技術(shù)部、市場部三個(gè)組別的樣本均值（??,??,??）、樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s?,s?,s?）和樣本量（n?=15,n?=15,n?=15）。3.計(jì)算總體均值（grandmean）：G=(Σ(??*n?))/N，其中i=1,2,3，N=n?+n?+n?=45。4.計(jì)算組間平方和（Between-GroupsSS）和均方（Between-MS）：*SS_between=Σ(n?*(??-G)2)*MS_between=SS_between/(k-1)，其中k=3（組數(shù)）。5.計(jì)算組內(nèi)平方和（Within-GroupsSS）和均方（Within-MS）：*SS_within=Σ((n?-1)*s?2)*MS_within=SS_within/(N-k)。6.計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：F=MS_between/MS_within。7.做出決策：*查找自由度為df?=k-1=2和df?=N-k=43的F分布表，在顯著性水平α=0.01下，確定臨界值F_crit。*如果計(jì)算得到的F值>F_crit，則拒絕H?。*或者，使用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算F值及其對應(yīng)的p值。如果p值<0.01，則拒絕H?。8.結(jié)論：若拒絕H?，則認(rèn)為不同部門的員工滿意度均值存在顯著差異；若不能拒絕H?，則認(rèn)為沒有足夠的證據(jù)表明部門間滿意度均值存在顯著差異。五、探索房價(jià)與房屋面積之間關(guān)系的圖表方法：1.散點(diǎn)圖（ScatterPlot）：這是最基本也是常用的方法。將房屋面積作為自變量（X軸），房價(jià)作為因變量（Y軸），繪制所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖。*關(guān)注點(diǎn)：觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)的整體分布模式。初步判斷是否存在線性趨勢（點(diǎn)大致呈直線狀）、非線性趨勢（點(diǎn)呈曲線狀）、或者無明顯趨勢。觀察關(guān)系的強(qiáng)度（點(diǎn)聚集得越緊密，線性關(guān)系越強(qiáng)）和方向（點(diǎn)呈上升趨勢表示正相關(guān)，呈下降趨勢表示負(fù)相關(guān)）。同時(shí)注意是否存在異常值（遠(yuǎn)離其他點(diǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)）。2.添加趨勢線（RegressionLine）：在散點(diǎn)圖的基礎(chǔ)上，使用統(tǒng)計(jì)軟件擬合一條最佳擬合直線（線性回歸線），并顯示其方程式（如y=a+bx）。*關(guān)注點(diǎn)：觀察趨勢線的方向和陡峭程度，進(jìn)一步確認(rèn)線性關(guān)系的方向和強(qiáng)度。趨勢線的斜率（b）表示面積每增加一個(gè)單位，房價(jià)的預(yù)期變化量。檢查數(shù)據(jù)點(diǎn)是否緊密圍繞趨勢線，以評(píng)估擬合優(yōu)度。3.計(jì)算相關(guān)系數(shù)（CorrelationCoefficient）：計(jì)算房價(jià)與房屋面積之間的Pearson相關(guān)系數(shù)r。*關(guān)注點(diǎn)：r的值介于-1和1之間。|r|越接近1，表示線性關(guān)系越強(qiáng)；|r|越接近0，表示線性關(guān)系越弱。r的符號(hào)表示關(guān)系方向。結(jié)合散點(diǎn)圖和r值，可以更全面地描述兩者關(guān)系。六、對結(jié)果解釋如下：1.相關(guān)系數(shù)r=0.65：表示在樣本中，網(wǎng)站用戶的停留時(shí)間與頁面瀏覽量之間存在中等強(qiáng)度的正相關(guān)關(guān)系。具體來說，停留時(shí)間每增加一個(gè)單位，頁面瀏覽量平均增加0.65個(gè)單位。這是一個(gè)正向的關(guān)聯(lián)，即停留時(shí)間越長，瀏覽量往往也越高。需要注意的是，相關(guān)系數(shù)僅表示線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向，不表示因果關(guān)系。2.回歸方程：瀏覽量=50+2*停留時(shí)間：*截距項(xiàng)（50）：表示當(dāng)用戶停留時(shí)間為0分鐘時(shí)，預(yù)測的頁面瀏覽量是50次。這在實(shí)際中可能沒有物理意義，但它是回歸直線在Y軸上的截點(diǎn)。*斜率項(xiàng)（2）：表示在控制其他因素不變的情況下，用戶停留時(shí)間每增加1分鐘，頁面瀏覽量預(yù)計(jì)會(huì)增加2次。這是回歸分析估計(jì)出的兩者之間的平均變化關(guān)系。3.R平方值（R2）=0.42：表示用戶停留時(shí)間可以解釋頁面瀏覽量變異性的42%。換句話說，在影響頁面瀏覽量的所有因素中，停留時(shí)間這個(gè)因素起到了相當(dāng)一部分（42%）的解釋作用。剩余的58%的變異性可能由其他未包含在模型中的因素（如頁面內(nèi)容質(zhì)量、用戶興趣、設(shè)備類型等）或隨機(jī)誤差導(dǎo)致。4.向非專業(yè)人士解釋：*“我們研究發(fā)現(xiàn)，用戶在網(wǎng)站上待的時(shí)間越長，他們看的頁面數(shù)量也tendstobemore(呈正相關(guān))。”*“具體來說，如果一個(gè)人多停留1分鐘，我們預(yù)計(jì)他會(huì)多看大約2頁?！保ń忉屝甭剩?“停留時(shí)間能幫助我們解釋為什么有些用戶看更多頁面，大約能解釋全部原因中的42%?！保ń忉孯平方）七、檢驗(yàn)兩種飲料偏好是否存在顯著差異，適合采用卡方檢驗(yàn)（Chi-squaretestforindependence）。理由是：研究變量（偏好）是分類變量（兩種水平：A、B），要比較兩個(gè)不同組別（隨機(jī)訪問的200名消費(fèi)者）在分類變量上的頻率差異。執(zhí)行步驟如下：1.提出假設(shè)：*原假設(shè)H?：消費(fèi)者對兩種飲料的偏好與飲料種類無關(guān)（偏好A與偏好B的概率不受飲料種類影響）。*備擇假設(shè)H?：消費(fèi)者對兩種飲料的偏好與飲料種類有關(guān)（偏好A與偏好B的概率受飲料種類影響）。2.構(gòu)建列聯(lián)表（ContingencyTable）：將數(shù)據(jù)整理成2x2的列聯(lián)表：||偏好A|偏好B|總計(jì)||:----------|:----|:----|:---||訪問者數(shù)量|115|85|200|3.計(jì)算期望頻數(shù)（ExpectedFrequencies）：在H?成立的情況下，計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)E??=(行總計(jì)*列總計(jì))/總樣本量N。*E??=(200*115)/200=115*E??=(200*85)/200=85*E??=(200*115)/200=115*E??=(200*85)/200=85*（在本例中，實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)相同，但通常需要計(jì)算）4.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2：*χ2=Σ[(O??-E??)2/E??]，其中O??是觀測頻數(shù)，E??是期望頻數(shù)。計(jì)算所有四個(gè)單元格的值并求和。*χ2=[(115-115)2/115]+[(85-85)2/85]+[(115-115)2/115]+[(85-85)2/85]=0+0+0+0=0（注意：實(shí)際計(jì)算時(shí)，如果頻數(shù)不為0，會(huì)進(jìn)行此計(jì)算）5.確定拒絕域或計(jì)算p值：*查找自由度為df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=(2-1)*(2-1)=1的χ2分布表，在顯著性水平α=0.01下，確定臨界值χ2_crit。如果計(jì)算得到的χ2值大于χ2_crit，則拒絕H?。*或者，使用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算得到χ2值及其對應(yīng)的p值。如果p值小于α=0.01，則拒絕H?。6.做出決策：根據(jù)步驟5的結(jié)果，若拒絕H?，則認(rèn)為消費(fèi)者對兩種飲料的偏好與飲料種類之間存在顯著關(guān)聯(lián)（即偏好有顯著差異）；若不能拒絕H?，則認(rèn)為沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明偏好存在顯著差異。八、分析汽車流量與平均車速之間關(guān)系的步驟：1.數(shù)據(jù)探索與可視化：*繪制汽車流量與平均車速的散點(diǎn)圖。以汽車流量為X軸，平均車速為Y軸。觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布模式，初步判斷兩者是否存在線性或非線性關(guān)系，關(guān)系的方向（正或負(fù)），以及關(guān)系的強(qiáng)度。*觀察散點(diǎn)圖是否存在明顯的異常值或離群點(diǎn)。*計(jì)算并繪制汽車流量的直方圖和平均車速的直方圖，了解各自的分布特征（如是否近似正態(tài)分布）。2.描述性統(tǒng)計(jì)分析：*計(jì)算汽車流量的均值、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等描述性統(tǒng)計(jì)量。*計(jì)算平均車速的均值