2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）素養(yǎng)拓展01柯西不等式與權(quán)方和不等式（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、柯西不等式1.二維形式的柯西不等式2.二維形式的柯西不等式的變式3.擴(kuò)展：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.注：有條件要用；沒(méi)有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對(duì)，并不是不等式的形狀，但變成就可以用柯西不等式了.二、權(quán)方和不等式權(quán)方和不等式：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.證明1：要證只需證即證故只要證當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.證明2：對(duì)柯西不等式變形，易得在時(shí)，就有了當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．推廣1：當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．推廣:2：若，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.推廣3：若，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】實(shí)數(shù)x、y滿足，則x+y的最大值是________.解：，則所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.答案：【典例2】設(shè)，且.（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或.【分析】(1)根據(jù)條件，和柯西不等式得到，再討論是否可以達(dá)到等號(hào)成立的條件.(2)恒成立問(wèn)題，柯西不等式等號(hào)成立時(shí)構(gòu)造的代入原不等式，便可得到參數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)故等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)而又因，解得時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.(2)因?yàn)椋?根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立條件，當(dāng)，即時(shí)有成立.所以成立，所以有或.【典例3】已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．【詳解】因?yàn)?，所以由?quán)方和不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．【答案】C【題型訓(xùn)練-刷模擬】1.柯西不等式一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的.而后來(lái)有兩位數(shù)學(xué)家Buniakowsky和Schwarz彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和，有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)已知，請(qǐng)你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】利用柯西不等式求出即可.【詳解】由題干中柯西不等式可得，所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：A2．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知空間向量，，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】由空間向量的坐標(biāo)表示計(jì)算，然后由柯西不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以的最小值為.故選：B二、填空題3．（2024·山西·二模）柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的一個(gè)重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).現(xiàn)已知，，，則的最大值為.【答案】【分析】令，代入公式即可得解.【詳解】令，又，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：4．（22-23高二下·浙江·階段練習(xí)）已知，，則的最小值為.【答案】9【分析】根據(jù)柯西不等式求解最小值即可.【詳解】∵∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可取故答案為：95．（22-23高一·全國(guó)·課堂例題）若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為.【答案】/【分析】運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由柯西不等式的變形可知，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則k的最小值為.故答案為：6．（22-23高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，最小值為4，則取值范圍為．【答案】【分析】先根據(jù)的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范圍.【詳解】由于最小值為4，圓C的半徑為1，圓D的半徑為2，故兩圓圓心距離，即，由柯西不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，解得：.故答案為：7．已知正實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值是．【答案】/【分析】利用配湊法及柯西不等式即可求解.【詳解】由題意可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)．所以原式的最小值為．故答案為：.三、解答題8．（2024·四川南充·三模）若a，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用柯西不等式直接求解；（2）由分析法轉(zhuǎn)化為求證，換元后由函數(shù)單調(diào)性得證.【詳解】（1）由柯西不等式得：，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最大值為.（2）要證：，只需證：，只需證：，即證：，由a，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，設(shè)，則設(shè)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，即.9．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足．(1)求的最小值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合已知等式，將化為，利用基本不等式，即可求得答案；（2）利用柯西不等式，即可證明原不等式.【詳解】（1）因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．（2）證明：根據(jù)柯西不等式有，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即原命題得證.10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足．(1)若，求證：；(2)若a，b，，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，又，結(jié)合基本不等式可得，化簡(jiǎn)求得，得證；（2）法一，由已知條件得，同理可得，，三式相加得證；法二，根據(jù)已知條件可得，所以，利用柯西不等式求解證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，整理得，所以．（2）解法一：因?yàn)椋襛，b，，所以，，，所以，同理可得，，以上三式相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．解法二：因?yàn)椋襛，b，，所以，，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．2.權(quán)方和不等式一、填空題1．已知，且滿足，則的最小值為________．【答案】【分析】由知：，為保證分母和為定值，對(duì)所求作適當(dāng)?shù)淖冃危缓缶涂梢允褂脵?quán)方和不等式了.【解析】（等號(hào)成立條件，略）.2．已知x＞0，y＞0，且則的最小值是．【答案】【解析】當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．3．已知a＞0，b＞0，且，則的最小值是．【答案】【解析】當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，．4．（23-24高一上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值．【答案】【分析】由，再利用權(quán)方和不等式即可得解.【詳解】由，得，由權(quán)方和不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為.故答案為：.5．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【答案】【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.6．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求的最小值為【答案】【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故答案為：607．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為銳角，則的最小值為.【答案】【分析】利用權(quán)方和不等式：求解.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取“”.故答案為：8．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)、且滿足，求的最小值.【答案】【分析】設(shè)，，，由權(quán)方和不等式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，，，由權(quán)方和不等式，可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則的最小值是．【答案】8【分析】利用權(quán)方和不等式求解最值即可.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，原式取得最小值8．故答案為：810．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，的最小值為.【答案】/1.6【分析】巧妙運(yùn)用權(quán)方和不等式求解和式的最小值問(wèn)題，關(guān)鍵是找到所求式的兩個(gè)分母與題設(shè)和式的內(nèi)在聯(lián)系.【詳解】要求最小值，先來(lái)證明權(quán)方和不等式，即：有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).證明：利用柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要證只須證，因則=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).不妨令,整理得，則解得則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立，由解得：，即當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則的最小值是．【答案】【分析】利用權(quán)方和不等式求解最值即可.【詳解】由題意得，．（權(quán)方和的一般形式為：,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．故答案為：12．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正數(shù)滿