五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題09計數(shù)原理與概率統(tǒng)計考點五年考情（2021-2025）命題趨勢考點1二項式定理（5年5考）2025天津卷：求指定項的系數(shù)；2024天津卷：求指定項的系數(shù)；2023天津卷：求指定項的系數(shù)；2022天津卷：求指定項的系數(shù)；2021天津卷：求指定項的系數(shù)；1.二項式定理在高考的考查主要包含了，求指定項的系數(shù)，常數(shù)項等。2.條件概率與乘法公式在高考的考查主要包含了，組合數(shù)的計算，全概率公式，條件概率與乘法公式等。3.線性相關(guān)在高考的考查主要包含了，散點圖判斷是否線性相關(guān)，正、負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的意義4.古典概型中的概率問題在高考的考查主要包含了，古典概型問題的概率，獨立事件的乘法公式。5.頻率分布直方圖在高考的考查主要包含了，頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量等?？键c2條件概率與乘法公式（5年4考）2025天津卷：條件概率及數(shù)學(xué)期望2024天津卷：實際問題中的組合計數(shù)問題!計算古典概型問題的概率計算條件概率；2022天津卷：計算條件概率乘法公式；2021天津卷：獨立重復(fù)試驗的概率問題；考點3線性相關(guān)（5年2考）2024天津卷：根據(jù)散點圖判斷是否線性相關(guān)；2023天津卷：判斷正、負(fù)相關(guān)相關(guān)系數(shù)的意義及辨析；考點4古典概型中的概率問題（5年1考）2023天津卷：計算古典概型問題的概率獨立事件的乘法公式；考點5頻率分布直方圖（5年2考）2022天津卷：由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量；2021天津卷：由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量；考點6正態(tài)分布（5年1考）2025天津卷：正態(tài)分布的概率計算考點01二項式定理1.（2025·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數(shù)為．【答案】【解析】展開式的通項公式為，當(dāng)時，，即展開式中的系數(shù)為.2．（2024·天津·高考真題）在3x3+x3【答案】20【解析】因為3x3+令6r-3=0，可得所以常數(shù)項為303．（2023·天津·高考真題）在2x3-1x6【答案】60【解析】展開式的通項公式Tk+1令18-4k=2可得，k=4，則x2項的系數(shù)為-14．（2022·天津·高考真題）在x+3x【答案】15【解析】由題意x+3x令5-5r2=0即r=1，則所以x+3x5．（2021·天津·高考真題）在2x3+1x6的展開式中，【答案】160【解析】2x3+令18-4r=6，解得r=3，所以x6的系數(shù)是2考點02條件概率與乘法公式6.（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，4圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動量達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望【答案】【解析】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件，設(shè)第二次跑5圈為事件，則；若至少跑11圈為運動量達(dá)標(biāo)為事件，，所以，；7．（2024·天津·高考真題）A,B,C,D,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為．【答案】35【解析】解法一：列舉法從五個活動中選三個的情況有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，則甲選到A得概率為：P=6乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，其中再選則B有3種可能性：ABC,ABD,ABE，故乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為36解法二：設(shè)甲、乙選到A為事件M，乙選到B為事件N，則甲選到A的概率為PM=乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P8．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為【答案】1221【解析】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則P(BC)=49．（2021·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為56和15，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為【答案】23【解析】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為56則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為C3考點03線性相關(guān)10．（2024·天津·高考真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，r值相比于其他3圖更接近1.故選：A11．（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為r=0.8642，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程為y=0.7501x+0.6105，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（

A．花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系B．花瓣長度和花萼長度負(fù)相關(guān)C．花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為5.8612D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642【答案】C【解析】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，把x=7代入y=0.7501x+0.6105可得y=5.8612cm由于r=0.8642是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8642，D選項錯誤故選：C考點04古典概型中的概率問題12．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進(jìn)三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%．若從每個箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個球都是黑球的概率為【答案】0.0535/【解析】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為5n,4n,6n，所以總數(shù)為15n，所以甲盒中黑球個數(shù)為40%×5n=2n，白球個數(shù)為乙盒中黑球個數(shù)為25%×4n=n，白球個數(shù)為丙盒中黑球個數(shù)為50%×6n=3n，白球個數(shù)為記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A，所以，PA記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件B，黑球總共有2n+n+3n=6n個，白球共有9n個，所以，PB考點05頻率分布直方圖13．（2022·天津·高考真題）將1916到2015年的全球年平均氣溫（單位：°C），共100個數(shù)據(jù)，分成6[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]內(nèi)的有（

A．22年 B．23年 C．25年 D．35年【答案】B【解析】全球年平均氣溫在區(qū)間[14.55,14.75]內(nèi)的頻率為0.50+0.65×0.2=0.23則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]內(nèi)的有100×0.23=23年.故選：B.14．（2021·天津·高考真題）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個評分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：66,70、70,74、?、94,98，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間82,86內(nèi)的影視作品數(shù)量是（

）A．20 B．40 C．64 D．80【答案】D【解析】由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間82,86內(nèi)的影視作品數(shù)量為400×0.05×4=80.故選：D.考點06正態(tài)分布15.（2025·天津·高考真題）下列說法中錯誤的是（

）A．若，則B．若，，則C．越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)D．越接近0，相關(guān)性越弱【答案】B【解析】對于A，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，A說法正確；對于B，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，B說法錯誤；對于C和D，相關(guān)系數(shù)越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.故選：B1．（2025·天津·二模）為研究某奶茶店每日的熱奶茶銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計該店（2025年2月6日至3月24日）每天的熱奶茶銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點圖（軸表示氣溫，軸表示熱奶茶銷售量），由散點圖可知與的相關(guān)關(guān)系為（

）A．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為0.8 B．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為0.8C．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為 D．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為【答案】D【解析】由散點圖知隨著的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān)．相關(guān)系數(shù)為負(fù)．故選：D．2．（2025·天津·二模）如圖是兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象，則下列表述正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】令對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)分別為，則函數(shù)圖象的對稱軸分別為，且，觀察圖象，得，，所以，.故選：C3．（2025·天津南開·二模）某中學(xué)三個不同選課組合的學(xué)生在一次高三質(zhì)量監(jiān)測的數(shù)學(xué)平均分分別為，若按不同選課組合采用分層抽樣的方法抽取了一個120人的樣本，抽到三個不同選課組合的學(xué)生人數(shù)分別為20，40，60，則估計這三個不同選課組合學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因為三個不同選課組合的學(xué)生人數(shù)分別為20，40，60，所以三個不同選課組合的學(xué)生的人數(shù)的比列分別為：，所以估計這三個不同選課組合學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為.故選：C.4．（2025·天津·二模）小明研究溫差（單位：）與本單位當(dāng)天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關(guān)系，他記錄了5天的數(shù)據(jù)：345671620252836由表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．與正相關(guān) B．經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點C．當(dāng)時，殘差為1.8 D．【答案】C【解析】選項A：觀察數(shù)據(jù)，增大時也增大，說明正相關(guān),故A正確；選項B：易得，,樣本中心點為,回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點，故B正確；將樣本中心點坐標(biāo)代入回歸直線方程得,故D正確.計算預(yù)測值，實際值，殘差.題目中殘差為1.8（未考慮符號），故C錯誤，故選：C5．（2025·天津·二模）某地組織全體中學(xué)生參加了主題為“強(qiáng)國之路”的知識競賽，隨機(jī)抽取了2000名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（

）A．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有750人B．直方圖中的值為0.020C．估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)為87D．估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為90【答案】C【解析】A.由圖可知，成績在區(qū)間內(nèi)的頻率為，人，故A錯誤；B.由圖可知，，得，故B錯誤；C.前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以中位數(shù)在第4組，所以，得，故C正確；D.樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在第5組，，得，故D錯誤.故選：C6．（2025·天津北辰·三模）下列命題中①根據(jù)經(jīng)驗回歸方程所得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值②若隨機(jī)變量滿足，則③兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1④設(shè)且，則其中錯誤命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】經(jīng)驗回歸方程所得到的預(yù)報值是響應(yīng)變量的估計值，而不是精確值，所以命題①錯誤.若隨機(jī)變量滿足，根據(jù)方差的性質(zhì)（其中、為常數(shù)），可得，而不是，所以命題②錯誤.根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，所以命題③正確.已知，則正態(tài)曲線關(guān)于對稱.因為，所以.那么，所以，所以命題④錯誤.綜上，錯誤的命題有①②④，共個.故選：B.7．（2025·天津濱海新·三模）下列說法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14B．某新能源汽車企業(yè)基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，從某年起改進(jìn)并生產(chǎn)新車型，設(shè)改進(jìn)后該企業(yè)第年的生產(chǎn)利潤為（單位：億元），現(xiàn)統(tǒng)計前7年的數(shù)據(jù)為，根據(jù)該組數(shù)據(jù)可得關(guān)于的回歸直線方程為，且，預(yù)測改進(jìn)后該企業(yè)第8年的生產(chǎn)利潤為6.3億元C．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則D．若隨機(jī)變量，滿足，則，【答案】B【解析】對于A，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，，，所以，即，則，當(dāng)時，億元，故B正確；對于C，由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，因為，所以，則，故C錯誤；對于D，由，則，，故D錯誤.故選：B.二、填空題8．（2025·天津濱海新·三模）在二項式的展開式中常數(shù)項為．【答案】112【解析】的展開式中常數(shù)項為.9．（2025·天津和平·一模）在的展開式中，的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】因為的通項為，令，得，所以的系數(shù)為．10．（2025·天津·一模）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】【解析】由二項式的展開式的通項為，其中，令，可得，所以的系數(shù).11．（2025·天津河西·二模）在的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為128，則常數(shù)項為.【答案】【解析】由條件可知，，則，二項展開式的通項公式，令，得，所以常數(shù)項為.12．（2025·天津·一模）已知隨機(jī)變量，若，則.【答案】【解析】由，則，所以.13．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）一紙箱中裝有4瓶未過期的飲料和2瓶過期飲料．若每次從中隨機(jī)取出1瓶，取出的飲料不再放回，則在第一次取到過期飲料的條件下，第二次取到未過期飲料的概率為；對這6瓶飲料依次進(jìn)行檢驗，每次檢驗后不再放回，直到區(qū)分出6瓶飲料的保質(zhì)期時終止檢驗，記檢驗的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為．【答案】【解析】記事件A為“第一次取到過期飲料”，事件B為“第二次取到未過期飲料”，則，，所以在第一次取到過期飲料的條件下，第二次取到未過期的概率為.隨機(jī)變量的取值為2,3,4,5，記為“第“i”次取到過期飲料”，，,.14．（2025·天津濱海新·三模）某校高三1班一學(xué)習(xí)小組有男生4人，女生2人，為提高學(xué)生對AI人工智能的認(rèn)識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開展的AI人工智能學(xué)習(xí)，恰有一名男生參加的概率為；在有女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率．【答案】【解析】從個人中任取人，全部情況有種，恰有一名兩名男生的情況有，故恰有一名男生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率為；有女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的情況有種，恰有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的情況有種，故在至少有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率為.15．（2025·天津·一模）某大學(xué)開設(shè)了“九章算術(shù)”，“數(shù)學(xué)原理”，“算術(shù)研究”三門選修課程．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行選課，每人只能等可能地選擇一門課程，每門課程至少一個人選擇，甲和乙選擇的課程不同，則四人選課的不同方案共有種；若定義事件為甲和乙選擇的課程不同，事件為丙和丁恰好有一人選擇的是“九章算術(shù)”，則．【答案】30【解析】四個人參加三門選修課程共有種方案，其中甲和乙選擇的課程相同共有種方案，所以甲和乙選擇的課程不同共有種方案；事件共有種方案，以下考慮事件，即“甲和乙選擇的課程不同，丙和丁恰好有一人選擇的是九章算術(shù)”先從丙、丁兩個人中選一個人選擇“九章算術(shù)”，則有種方案，若四個人中只有一個人選擇“九章算術(shù)”，則甲、乙分別選擇另外兩門課程，有種方案，丙、丁中沒選擇“九章算術(shù)”的也從另外兩門中選擇一門，有種方案，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種方案；若四個人中有兩人選擇“九章算術(shù)”，則除了包含丙、丁中的一個人外，還包含甲、乙中的一個人，有種方案，其余兩人分別選擇另外兩門課程，有種方案，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種方案；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理，事件中共有種方案，根據(jù)條件概率公式，；16．（2025·天津南開·一模）有編號分別為的3個盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球．現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，則從第1個盒子中取到白球的概率是；從第3個盒子中取到白球的概率是．【答案】【解析】由第1個盒子中有2個白球1個黑球，則從第1個盒子中取到白球的概率是，當(dāng)從第1個盒子中取到白球且概率為，則第2個盒子中有2個白球1個黑球，從第2個盒子抽到白球概率為，則第3個盒子中有2個白球1個黑球，故抽到白球概率為，從第2個盒子抽到黑球概率為，則第3個盒子中有1個白球2個黑球，故抽到白球概率為，所以，對應(yīng)概率為；當(dāng)從第1個盒子中取到黑球且概率為，則第2個盒子中有1個白球2個黑球，從第2個盒子抽到白球概率為，則第3個盒子中有2個白球1個黑球，故抽到白球概率為，從第2個盒子抽到黑球概率為，則第3個盒子中有1個白球2個黑球，故抽到白球概率為，所以，對應(yīng)概率為；綜上，從第3個盒子中取到白球的概率是.17．（2025·天津河西·一模）某體育器材商店經(jīng)營三種型號的組合器械，三種型號組合器械的優(yōu)質(zhì)率分別為0.9，0.8，0.7，市場占有比例為，某健身中心從該商店任意購買一種型號的組合器械，則買到的組合器械是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為；若該健身中心從三種型號的組合器械各買一件，則恰好買到兩件優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為．【答案】0.820.398【解析】第一空：由全概率公式可得：；第二空：恰好買到兩件優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品是“AB優(yōu)C不優(yōu)，AC優(yōu)B不優(yōu)，BC優(yōu)A不優(yōu)”這三個互斥事件的和，故所求概率為：，18．（2025·天津·一模）某中學(xué)組建了，，，，五個不同的社團(tuán)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，要求每個學(xué)生必須且只能參加一個社團(tuán)．假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團(tuán)的選擇是等可能的，且結(jié)果互不影響．記事件為“甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)”，則；若甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)的概率為．【答案】【解析】依題意甲、乙、丙三名學(xué)生選擇社團(tuán)的可能結(jié)果有個，若甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)，則有種選擇，所以；甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)，則有種選擇，所以甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)，則恰巧甲參加社團(tuán)的概率.19．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的、、.已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為、、，現(xiàn)從這批零件中任取一個零件，則它是次品的概率為.【答案】【解析】分別記事件、、表示抽取的一個零件為甲、乙、丙生產(chǎn)的，記事件抽取的一個零件為次品，由題意可得，，，，，由全概率公式可得.20．（2025·天津·一模）已知甲、乙兩名乒乓球運動員進(jìn)行比賽，根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計，在一局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽互不影響.現(xiàn)在甲、乙二人準(zhǔn)備進(jìn)行三局比賽.則在三局比賽中甲勝前兩局、乙勝第三局的概率是，用表示三局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，則的數(shù)學(xué)期望是.【答案】.【解析】（1）設(shè)事件表示“在三局比賽中甲勝前兩局、乙勝第三局”，則.（2）由題意知，的可能值為，則的分布列為：0123所以.專題09計數(shù)原理與概率統(tǒng)計考點五年考情（2021-2025）命題趨勢考點1二項式定理（5年5考）2025天津卷：求指定項的系數(shù)；2024天津卷：求指定項的系數(shù)；2023天津卷：求指定項的系數(shù)；2022天津卷：求指定項的系數(shù)；2021天津卷：求指定項的系數(shù)；1.二項式定理在高考的考查主要包含了，求指定項的系數(shù)，常數(shù)項等。2.條件概率與乘法公式在高考的考查主要包含了，組合數(shù)的計算，全概率公式，條件概率與乘法公式等。3.線性相關(guān)在高考的考查主要包含了，散點圖判斷是否線性相關(guān)，正、負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的意義4.古典概型中的概率問題在高考的考查主要包含了，古典概型問題的概率，獨立事件的乘法公式。5.頻率分布直方圖在高考的考查主要包含了，頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量等?？键c2條件概率與乘法公式（5年4考）2025天津卷：條件概率及數(shù)學(xué)期望2024天津卷：實際問題中的組合計數(shù)問題!計算古典概型問題的概率計算條件概率；2022天津卷：計算條件概率乘法公式；2021天津卷：獨立重復(fù)試驗的概率問題；考點3線性相關(guān)（5年2考）2024天津卷：根據(jù)散點圖判斷是否線性相關(guān)；2023天津卷：判斷正、負(fù)相關(guān)相關(guān)系數(shù)的意義及辨析；考點4古典概型中的概率問題（5年1考）2023天津卷：計算古典概型問題的概率獨立事件的乘法公式；考點5頻率分布直方圖（5年2考）2022天津卷：由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量；2021天津卷：由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量；考點6正態(tài)分布（5年1考）2025天津卷：正態(tài)分布的概率計算考點01二項式定理1.（2025·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數(shù)為．【答案】【解析】展開式的通項公式為，當(dāng)時，，即展開式中的系數(shù)為.2．（2024·天津·高考真題）在3x3+x3【答案】20【解析】因為3x3+令6r-3=0，可得所以常數(shù)項為303．（2023·天津·高考真題）在2x3-1x6【答案】60【解析】展開式的通項公式Tk+1令18-4k=2可得，k=4，則x2項的系數(shù)為-14．（2022·天津·高考真題）在x+3x【答案】15【解析】由題意x+3x令5-5r2=0即r=1，則所以x+3x5．（2021·天津·高考真題）在2x3+1x6的展開式中，【答案】160【解析】2x3+令18-4r=6，解得r=3，所以x6的系數(shù)是2考點02條件概率與乘法公式6.（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，4圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動量達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望【答案】【解析】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件，設(shè)第二次跑5圈為事件，則；若至少跑11圈為運動量達(dá)標(biāo)為事件，，所以，；7．（2024·天津·高考真題）A,B,C,D,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為．【答案】35【解析】解法一：列舉法從五個活動中選三個的情況有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，則甲選到A得概率為：P=6乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，其中再選則B有3種可能性：ABC,ABD,ABE，故乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為36解法二：設(shè)甲、乙選到A為事件M，乙選到B為事件N，則甲選到A的概率為PM=乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P8．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為【答案】1221【解析】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則P(BC)=49．（2021·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為56和15，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為【答案】23【解析】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為56則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為C3考點03線性相關(guān)10．（2024·天津·高考真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，r值相比于其他3圖更接近1.故選：A11．（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為r=0.8642，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程為y=0.7501x+0.6105，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（

A．花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系B．花瓣長度和花萼長度負(fù)相關(guān)C．花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為5.8612D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642【答案】C【解析】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，把x=7代入y=0.7501x+0.6105可得y=5.8612cm由于r=0.8642是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8642，D選項錯誤故選：C考點04古典概型中的概率問題12．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進(jìn)三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%．若從每個箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個球都是黑球的概率為【答案】0.0535/【解析】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為5n,4n,6n，所以總數(shù)為15n，所以甲盒中黑球個數(shù)為40%×5n=2n，白球個數(shù)為乙盒中黑球個數(shù)為25%×4n=n，白球個數(shù)為丙盒中黑球個數(shù)為50%×6n=3n，白球個數(shù)為記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A，所以，PA記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件B，黑球總共有2n+n+3n=6n個，白球共有9n個，所以，PB考點05頻率分布直方圖13．（2022·天津·高考真題）將1916到2015年的全球年平均氣溫（單位：°C），共100個數(shù)據(jù)，分成6[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]內(nèi)的有（

A．22年 B．23年 C．25年 D．35年【答案】B【解析】全球年平均氣溫在區(qū)間[14.55,14.75]內(nèi)的頻率為0.50+0.65×0.2=0.23則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]內(nèi)的有100×0.23=23年.故選：B.14．（2021·天津·高考真題）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個評分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：66,70、70,74、?、94,98，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間82,86內(nèi)的影視作品數(shù)量是（

）A．20 B．40 C．64 D．80【答案】D【解析】由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間82,86內(nèi)的影視作品數(shù)量為400×0.05×4=80.故選：D.考點06正態(tài)分布15.（2025·天津·高考真題）下列說法中錯誤的是（

）A．若，則B．若，，則C．越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)D．越接近0，相關(guān)性越弱【答案】B【解析】對于A，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，A說法正確；對于B，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，B說法錯誤；對于C和D，相關(guān)系數(shù)越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.故選：B1．（2025·天津·二模）為研究某奶茶店每日的熱奶茶銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計該店（2025年2月6日至3月24日）每天的熱奶茶銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點圖（軸表示氣溫，軸表示熱奶茶銷售量），由散點圖可知與的相關(guān)關(guān)系為（

）A．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為0.8 B．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為0.8C．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為 D．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為【答案】D【解析】由散點圖知隨著的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān)．相關(guān)系數(shù)為負(fù)．故選：D．2．（2025·天津·二模）如圖是兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象，則下列表述正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】令對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)分別為，則函數(shù)圖象的對稱軸分別為，且，觀察圖象，得，，所以，.故選：C3．（2025·天津南開·二模）某中學(xué)三個不同選課組合的學(xué)生在一次高三質(zhì)量監(jiān)測的數(shù)學(xué)平均分分別為，若按不同選課組合采用分層抽樣的方法抽取了一個120人的樣本，抽到三個不同選課組合的學(xué)生人數(shù)分別為20，40，60，則估計這三個不同選課組合學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因為三個不同選課組合的學(xué)生人數(shù)分別為20，40，60，所以三個不同選課組合的學(xué)生的人數(shù)的比列分別為：，所以估計這三個不同選課組合學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為.故選：C.4．（2025·天津·二模）小明研究溫差（單位：）與本單位當(dāng)天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關(guān)系，他記錄了5天的數(shù)據(jù)：345671620252836由表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．與正相關(guān) B．經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點C．當(dāng)時，殘差為1.8 D．【答案】C【解析】選項A：觀察數(shù)據(jù)，增大時也增大，說明正相關(guān),故A正確；選項B：易得，,樣本中心點為,回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點，故B正確；將樣本中心點坐標(biāo)代入回歸直線方程得,故D正確.計算預(yù)測值，實際值，殘差.題目中殘差為1.8（未考慮符號），故C錯誤，故選：C5．（2025·天津·二模）某地組織全體中學(xué)生參加了主題為“強(qiáng)國之路”的知識競賽，隨機(jī)抽取了2000名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（

）A．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有750人B．直方圖中的值為0.020C．估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)為87D．估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為90【答案】C【解析】A.由圖可知，成績在區(qū)間內(nèi)的頻率為，人，故A錯誤；B.由圖可知，，得，故B錯誤；C.前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以中位數(shù)在第4組，所以，得，故C正確；D.樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在第5組，，得，故D錯誤.故選：C6．（2025·天津北辰·三模）下列命題中①根據(jù)經(jīng)驗回歸方程所得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值②若隨機(jī)變量滿足，則③兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1④設(shè)且，則其中錯誤命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】經(jīng)驗回歸方程所得到的預(yù)報值是響應(yīng)變量的估計值，而不是精確值，所以命題①錯誤.若隨機(jī)變量滿足，根據(jù)方差的性質(zhì)（其中、為常數(shù)），可得，而不是，所以命題②錯誤.根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，所以命題③正確.已知，則正態(tài)曲線關(guān)于對稱.因為，所以.那么，所以，所以命題④錯誤.綜上，錯誤的命題有①②④，共個.故選：B.7．（2025·天津濱海新·三模）下列說法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14B．某新能源汽車企業(yè)基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，從某年起改進(jìn)并生產(chǎn)新車型，設(shè)改進(jìn)后該企業(yè)第年的生產(chǎn)利潤為（單位：億元），現(xiàn)統(tǒng)計前7年的數(shù)據(jù)為，根據(jù)該組數(shù)據(jù)可得關(guān)于的回歸直線方程為，且，預(yù)測改進(jìn)后該企業(yè)第8年的生產(chǎn)利潤為6.3億元C．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則D．若隨機(jī)變量，滿足，則，【答案】B【解析】對于A，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，，，所以，即，則，當(dāng)時，億元，故B正確；對于C，由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，因為，所以，則，故C錯誤；對于D，由，則，，故D錯誤.故選：B.二、填空題8．（2025·天津濱海新·三模）在二項式的展開式中常數(shù)項為．【答案】112【解析】的展開式中常數(shù)項為.9．（2025·天津和平·一模）在的展開式中，的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】因為的通項為，令，得，所以的系數(shù)為．10．（2025·天津·一模）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】【解析】由二項式的展開式的通項為，其中，令，可得，所以的系數(shù).11．（2025·天津河西·二模）在的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為128，則常數(shù)項為.【答案】【解析】由條件可知，，則，二項展開式的通項公式，令，得，所以常數(shù)項為.12．（2025·天津·一模）已知隨機(jī)變量，若，則.【答案】【解析】由，則，所以.13．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）一紙箱中裝有4瓶未過期的飲料和2瓶過期飲料．若每次從中隨機(jī)取出1瓶，取出的飲料不再放回，則在第一次取到過期飲料的條件下，第二次取到未過期飲料的概率為；對這6瓶飲料依次進(jìn)行檢驗，每次檢驗后不再放回，直到區(qū)分出6瓶飲料的保質(zhì)期時終止檢驗，記檢驗的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為．【答案】【解析】記事件A為“第一次取到過期飲料”，事件B為“第二次取到未過期飲料”，則，，所以在第一次取到過期飲料的條件下，第二次取到未過期的概率為.隨機(jī)變量的取值為2,3,4,5，記為“第“i”次取到過期飲料”，，,.14．（2025·天津濱海新·三模）某校高三1班一學(xué)習(xí)小組有男生4人，女生2人，為提高學(xué)生對AI人工智能的認(rèn)識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開展的AI人工智能學(xué)習(xí)，恰有一名男生參加的概率為；在有女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率．【答案】【解析】從個人中任取人，全部情況有種，恰有一名兩名男生的情況有，故恰有一名男生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率為；有女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的情況有種，恰有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的情況有種，故在至少有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加AI人工智能學(xué)習(xí)的概率為.15．（2025·天津·一模）某大學(xué)開設(shè)了“九章算術(shù)”，“數(shù)學(xué)原理”，“算術(shù)研究”三門選修課程．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行選課，每人只能等可能地選擇一門課程，每門課程至少一個人選擇，甲和乙選擇的課程不同，則四人選課的不同方案共有種；若定義事件為甲和乙選擇的課程不同，事件為丙和丁恰好有一人選擇的是“九章算術(shù)”，則．【答案】30【解析】四個人參加三門選修課程共有種方案，其中甲和乙選擇的課程相同共有種方案，所以甲和乙選擇的課程不同共有種方案；事件共有種方案，以下考慮事件，即“甲和乙選擇的課程不同，丙和丁恰