專題十六帶電粒子在有界勻強磁場中的運動帶電粒子在幾種典型有界勻強磁場中的運動1.基本思路:定圓心→畫軌跡→找?guī)缀侮P系→算半徑→代入規(guī)律.2.具體方法(1)兩種方法定圓心方法一:已知入射點、入射方向和出射點、出射方向時,可通過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線,兩條直線的交點就是圓弧軌跡的圓心(如圖甲所示).方法二:已知入射方向和入射點、出射點的位置時,可以通過入射點作入射方向的垂線,連接入射點和出射點,作其中垂線,這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心(如圖乙所示).(2)幾何知識求半徑利用平面幾何關系,求出軌跡圓的可能半徑(或圓心角),求解時注意以下幾個重要的幾何特點:①粒子速度的偏向角(φ)等于圓心角(α),并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖丙所示),即φ=α=2θ=ωt.②直角三角形的應用(勾股定理):找到AB的中點C,連接OC,則△AOC、△BOC都是直角三角形.(3)兩個觀點算時間觀點一:由運動弧長計算,t=lv(l為弧長)觀點二:由旋轉角度計算,t=α360°T(或t=α2π考向一直線邊界問題注意:進出直線邊界磁場具有對稱性.例1(多選)[2024·河北石家莊二中模擬]如圖所示,豎直線CD右邊的空間存在范圍無限大且垂直紙面向里的有界勻強磁場,帶有同種電荷的M粒子和N粒子同時從勻強磁場的邊界CD上的S點分別以與邊界的夾角為30°和60°射入磁場,兩粒子又恰好同時到達Q點.不計粒子重力和粒子間的相互作用,則()A.M、N兩粒子的運動軌跡半徑之比為3∶1B.M、N兩粒子的運動軌跡半徑之比為2∶1C.M、N兩粒子的初速度大小之比為3∶1D.M、N兩粒子的比荷之比為5∶2考向二平行邊界問題注意:平行邊界存在臨界條件.例2[2024·廣東惠州模擬]如圖所示,平行邊界區(qū)域內存在勻強磁場,比荷相同的帶電粒子a和b依次從O點垂直于磁場的左邊界射入,經(jīng)磁場偏轉后從右邊界射出,帶電粒子a和b射出磁場時速度方向與磁場右邊界的夾角分別為30°和60°.不計粒子的重力,下列判斷正確的是()A.粒子a帶負電,粒子b帶正電B.粒子a和b在磁場中運動的半徑之比為1∶3C.粒子a和b在磁場中運動的速率之比為3∶1D.粒子a和b在磁場中運動的時間之比為1∶2考向三圓形邊界問題1.沿徑向射入圓形磁場的粒子必沿徑向射出,運動具有對稱性(如圖甲所示).粒子做圓周運動的半徑r=Rtanθ粒子在磁場中運動的時間t=θπT=2θmqB,其中θ+α2.不沿徑向射入圓形磁場的粒子進磁場的速度方向與半徑的夾角為θ,根據(jù)對稱性,出磁場時速度方向與半徑的夾角也為θ,如圖乙所示.例3[2024·湖北卷]如圖所示,在以O點為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B.圓形區(qū)域外有大小相等、方向相反、范圍足夠大的勻強磁場.一質量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子沿直徑AC方向從A點射入圓形區(qū)域.不計重力,下列說法正確的是()A.粒子的運動軌跡可能經(jīng)過O點B.粒子射出圓形區(qū)域時的速度方向不一定沿該區(qū)域的半徑方向C.粒子連續(xù)兩次由A點沿AC方向射入圓形區(qū)域的最小時間間隔為7D.若粒子從A點射入到從C點射出圓形區(qū)域用時最短,粒子運動的速度大小為3[反思感悟]

例4(多選)[2023·全國甲卷]光滑剛性絕緣圓筒內存在著平行于軸的勻強磁場,筒上P點開有一個小孔,過P的橫截面是以O為圓心的圓,如圖所示.一帶電粒子從P點沿PO射入,然后與筒壁發(fā)生碰撞.假設粒子在每次碰撞前、后瞬間,速度沿圓上碰撞點的切線方向的分量大小不變,沿法線方向的分量大小不變、方向相反,電荷量不變.不計重力.下列說法正確的是()A.粒子的運動軌跡可能通過圓心OB.最少經(jīng)2次碰撞,粒子就可能從小孔射出C.射入小孔時粒子的速度越大,在圓內運動時間越短D.每次碰撞后瞬間,粒子速度方向一定平行于碰撞點與圓心O的連線[反思感悟]

例5[2024·山東濟南模擬]如圖所示,圓形區(qū)域內有一垂直于紙面的勻強磁場,P為磁場邊界上的一點.現(xiàn)有無數(shù)個相同的帶電粒子在紙面內沿各個不同方向以相同的速率通過P點進入磁場.這些粒子射出邊界的位置均處于磁場邊界的某一段弧上,這段圓弧的弧長是圓周長的13.若將磁感應強度的大小從原來的B1變?yōu)锽2,相應的弧長將變?yōu)樵瓉淼囊话?則這些帶電粒子在前后兩種磁場中運動的周期之比T1T2等于A.2 B.2 C.3 D.3[反思感悟]

考向四多邊形或角形邊界問題帶電粒子在多邊形邊界或角形區(qū)域磁場運動時,會有不同的臨界情景,解答該類問題主要把握以下兩點:(1)射入磁場的方式:①從某頂點射入;②從某邊上某點以某角度射入.(2)射出點的判斷:經(jīng)常會判斷是否會從某頂點射出.①當α≤θ時,可以過兩磁場邊界的交點,發(fā)射點到兩磁場邊界的交點距離為d=2Rsinα,如圖甲所示.②當α>θ時,不能通過兩磁場邊界的交點,粒子的運動軌跡會和另一個邊界相切,如圖乙所示.例6(多選)[2024·河南鄭州模擬]如圖所示,△AOC為直角三角形,∠O=90°,∠A=60°,AO=L,D為AC的中點.△AOC中存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B,在O點放置一粒子源,可以向各個方向發(fā)射質量為m、電荷量為-q、速度大小均為v0=qBLm的粒子.不計粒子間的相互作用及重力作用,對于粒子進入磁場后的運動,下列說法正確的是()A.粒子在磁場中運動的半徑為LB.與OC成45°角入射的粒子將從AC邊射出C.在AC邊界上有粒子射出的區(qū)域長度為LD.所有從OA邊界射出的粒子在磁場中運動的時間相等[反思感悟]

例7[2024·湖南長沙模擬]如圖所示,正六邊形區(qū)域內存在垂直紙面向里的勻強磁場.一帶正電粒子以速度v1從a點沿ad方向射入磁場,從c點離開磁場;若該粒子以速度v2從a點沿ae方向射入磁場,則從d點離開磁場.不計粒子重力,則v1v2的值為(A.3B.6C.3D.3帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題兩種思路一是以定理、定律為依據(jù),首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式,然后分析、討論處于臨界條件時的特殊規(guī)律和特殊解二是直接分析、討論臨界狀態(tài),找出臨界條件,從而通過臨界條件求出臨界值兩種方法物理方法(1)利用臨界條件求極值;(2)利用邊界條件求極值;(3)利用矢量圖求極值數(shù)學方法(1)用三角函數(shù)求極值;(2)用二次函數(shù)的判別式求極值;(3)用不等式的性質求極值;(4)用圖像法求極值從關鍵詞找突破口許多臨界問題,題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示,審題時,一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱藏的規(guī)律,找出臨界條件例8[2024·四川成都模擬]如圖所示,豎直平行邊界MN、PQ之間有垂直紙面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B,兩邊界間距為d,邊界MN上A點有一粒子源,可沿紙面內任意方向射出完全相同的質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子,粒子射出的速度大小均為v=Bqdm,若不計粒子的重力及粒子間的相互作用,求(1)從PQ邊射出的粒子在磁場中運動的最短時間;(2)粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長度.變式[2024·湖北襄陽模擬]如圖所示,在直角三角形MON區(qū)域內存在垂直紙面向外的勻強磁場(未畫出),磁感應強度大小為B,O點處的粒子源可向紙面內磁場區(qū)域各個方向發(fā)射帶電粒子.已知帶電粒子的質量為m,電荷量為+q,速率均為v=qBd2m,ON長為d且∠ONM=30°,忽略粒子的重力及相互間的作用力.下列說法正確的是(A.自MN邊射出的粒子在磁場中運動的最短時間為πmB.自MN邊射出的粒子在磁場中運動的最長時間為2C.MN邊上有粒子到達區(qū)域的長度為dD.ON邊上有粒子到達區(qū)域的長度為3【技法點撥】臨界極值問題的四個重要結論(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切.(2)當速度v一定時,弧長(或劣弧的弦長)越長,則軌跡對應的圓心角越大,帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長.(3)當速率v變化時,圓心角越大,則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長.(4)在圓形勻強磁場中,當運動軌跡圓半徑大于磁場區(qū)域圓半徑,且入射點和出射點為磁場直徑的兩個端點時,軌跡對應的圓心角最大(所有的弦長中直徑最長).帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動,由于多種因素的影響,使問題形成多解.多解的形成原因一般包含4個方面:多解成因分析及圖例帶電粒子的電性不確定比荷相同的帶電粒子可能帶正電荷,也可能帶負電荷,在相同的初速度下,電性不同的粒子在有界磁場中運動軌跡不同,形成多解如圖所示,帶電粒子以速度v垂直進入勻強磁場,若帶正電,則其軌跡為a;若帶負電,則其軌跡為b磁場的方向不確定只知道磁感應強度的大小,而未具體指出磁感應強度的方向,此時由于磁感應強度方向不確定而形成多解如圖所示,帶正電粒子以速度v垂直進入勻強磁場,若磁場方向垂直于紙面向里,則其軌跡為a;若磁場方向垂直于紙面向外,則其軌跡為b臨界狀態(tài)不唯一帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時,由于粒子運動軌跡是圓弧狀,因此,它可能穿過磁場飛出,也可能轉過180°從入射界面反向飛出,于是形成多解,如圖所示運動具有周期性帶電粒子在部分是電場、部分是磁場的空間運動時,運動往往具有周期性,因而形成多解,如圖所示例9(多選)如圖所示,在邊長為L的正方形PQMN區(qū)域內存在垂直于紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場,在MN邊界放一剛性擋板,粒子碰到擋板則能夠以原速率彈回.一質量為m、帶電荷量為q的粒子以某一速度垂直于磁場方向從P點射入磁場,恰好從Q點射出.下列說法正確的是()A.帶電粒子一定帶負電荷B.帶電粒子的速度最小值為qBLC.若帶電粒子與擋板碰撞,則受到擋板作用力的沖量大小為5D.帶電粒子在磁場中運動的時間可能為πm[反思感悟]

例10(多選)[2024·江西南昌模擬]如圖所示,在等腰梯形abcd區(qū)域內(包含邊界)存在垂直紙面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B,邊長ad=dc=bc=l,ab=2l.一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子,從a點沿著ad方向射入磁場中,不計粒子的重力,為了使粒子不能從bc邊射出磁場區(qū)域,粒子的速率可能為()A.23qBl5m C.63qBl5m [反思感悟]

例11(多選)[2022·湖北卷]在如圖所示的