線性代數(shù)（慕課版）第4講正定二次型第6章

二次型01正定二次型的定義02霍爾維茨定理本講內(nèi)容3??定理6.2設(shè)有二次型，且它的秩為

r，若有兩個實的可逆線性變換X=PY，X=QZ，使二次型化為

則λ1,

λ2,

…,λr

和p1,p2,…,pr中正數(shù)的個數(shù)相等，均為m，稱m為二次型的正慣性指數(shù)；負數(shù)的個數(shù)也相等，均為r–m，稱r–m為二次型的負慣性指數(shù)；稱正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)之差為2r–m為符號差.01

正定二次型的定義4??慣性定理任意二次型XTAX

都可通過非退化線性變換化為規(guī)范形其中

p為正慣性指數(shù)，q為負慣性指數(shù)，p+q為二次型的秩且p、q由二次型唯一確定，即規(guī)范形式唯一的.01

正定二次型的定義5??定義6.3實二次型若對任意，恒有則稱二次型是正定二次對應(yīng)矩陣

A稱為正定矩陣.型，01

正定二次型的定義6正定性判定

實二次型f=XTAX正定的充要條件是的正慣性指數(shù)等于

n.實二次型f=XTAX正定的充要條件f的矩陣A的特征值為正.??定理6.3??結(jié)論01

正定二次型的定義7??例1解二次型的正負慣性指數(shù)為1、2，則

.A.a>1B.a<-2C.-2<a<1D.a

=1或a=-2故A的特征值為因為正負慣性指數(shù)為1、2，所以a+2>0，a

–1<0，故–2<a<1.

C01

正定二次型的定義8??例2解判定下列二次型的正定性：（1）由于01

正定二次型的定義9由推論1可知，為正定二次型.（2）二次型的矩陣為得矩陣A的特征值為1，1，5.01

正定二次型的定義10得矩陣A的特征值為因為所以A不是正定矩陣，從而二次型不是正定二次型.由01

正定二次型的定義11??例3解已知A為n階正定矩陣，E為n階單位矩陣，證明設(shè)A的特征值為由A為正定矩陣知A+E的特征值為故01

正定二次型的定義12??例4解設(shè)矩陣，矩陣B=(kE+A)2，其中k為實數(shù)，E為單位矩陣，并求出k為使得B與相似，求對角矩陣何值時，B為正定矩陣.得01

正定二次型的定義13因A是實對稱矩陣，故即B也是實對稱矩陣.B的特征值為B與相似.當(dāng)k≠

-2且k

≠0時，B的特征值都大于零，此時B為正定矩陣.01

正定二次型的定義01正定二次型的定義02霍爾維茨定理本講內(nèi)容15??例5解方程

表示何種二次曲面.因為是一個二次型，其矩陣由

得原方程可化為

，它表示橢圓柱面.02

霍爾維茨定理16??定理6.3??定義6.4位于n階矩陣A的左上角的1，2，…，n階子式稱為矩陣A的1，2，…，n階順序子式.實二次型f=XTAX正定的充要條件是A的各階順序主子式全大于零.霍爾維茨定理02

霍爾維茨定理17??例6解判定下列二次型的正定性：02

霍爾維茨定理18該二次型是正定二次型.顯然該二次型不是正定二次型.02

霍爾維茨定理19??例7解在實數(shù)域上討論函數(shù)的凹凸性并求其極值.設(shè)其中由于矩陣A的各階順序主子式分別是02

霍爾維茨定理20所以A是正定矩陣.又因為的赫斯矩陣顯然的各階順序主子式均大于0，所以

為凹函數(shù)。02

霍爾維茨定理21

由得駐點故在取得極小值02

霍爾維茨定理22??例8解已知二次型其中k為參數(shù)，求的矩陣和使用此二次型為正定得k的范圍.由f是正定的充要條件知02

霍爾維茨定理23由A2>0推出由A2>0推出從而k>2或-1<k<0綜上，使A1>0，A2>0，A3>0同時成立的k的范圍是：02

霍爾維茨定理24正定矩陣的性質(zhì)

(1)若A為正定矩陣,則|A|>0;(2)若A為正定矩陣,則A的主對角線元素(3)若A為正定矩陣,則A-1，kA(k>0為實數(shù))均為正定矩陣;(4)若A為正定矩陣,則A*,Am均為正定矩陣,其中m為正整數(shù);(5)若A,B為n階正定矩陣,則A+B為正定矩陣.02

霍爾維茨定理25??例9解設(shè)A，B為n階正定矩陣，證明A+B為正定矩陣.A，B為n階正