第2講空間平面方程高等數(shù)學(xué)（下冊）（慕課版）第8章向量代數(shù)與空間解析幾何主講教師|本講內(nèi)容空間平面方程表示兩平面的位置關(guān)系02點(diǎn)到平面的距離0301301空間平面方程表示??定義8.1設(shè)Π,是空間中的一個平面如果非零向量n

與平面Π垂直則稱向量n為顯然,一個平面的法線向量不唯一,且法線向量與平面上的任何一個向量都垂直.平面Π的法線向量（簡稱平面的法向量）.1.向量平面的點(diǎn)法式方4其中A,B,C不同時(shí)為零.下面要建立平面Π方程,就是刻畫平面上任意一點(diǎn)所滿足的關(guān)系式.

01空間平面方程表示5法線向量的定義得

所以

由于xOyzM0M因此有設(shè)??(??,??,??)為平面Π上的任一點(diǎn),根據(jù)如圖所示,01空間平面方程表示6唯一確定了這個平面.方程（8.1）對于平面上的所有點(diǎn)都成立,對于不在平面上的點(diǎn)就不成立,所以方程（8.1）

01空間平面方程表示7由平面的點(diǎn)法式方程(8,1),得所求平面的方程為整理得解??例1

01空間平面方程表示8

??例2為該平面的一個法向量n,的向量積因此可取

即解

解法一所求平面Π的法向量同時(shí)垂直于01空間平面方程表示9因此由于

01空間平面方程表示10化簡得

解

??例3

01空間平面方程表示11解

??例4

01空間平面方程表示12即

化簡得01空間平面方程表示13上式稱為平面的三點(diǎn)式方程.解

??例5

01空間平面方程表示14稱(8.2)式為平面的一般式方程,其中n={??,??,??}為平面的一個法向量.平面的點(diǎn)法式方程(8.1)可化為??定義8.2令得

2.平面的一般式方程01空間平面方程表示15??幾個特殊平面（1）若??=0時(shí),平面????+????+????=0過原點(diǎn).01空間平面方程表示xyz16(2)平行于坐標(biāo)軸的平面當(dāng)??=0時(shí),平面????+????+??=0的法向量

特別地,當(dāng)??=0時(shí),平面????+????=0表示過??軸的平面.01空間平面方程表示xyzO17xyzOxyzO同理,平面????+????+??=0平行于??軸,特點(diǎn)：??=0平面????+????+??=0平行于??軸,特點(diǎn)：??=0.01空間平面方程表示18xyz(3)平行于坐標(biāo)面的平面平行于??????平面.此平面既平行于??軸,又平行于??軸,即

01空間平面方程表示19xyzOxyzO特點(diǎn)：??=??=0.特點(diǎn)：??=??=0.同理，平面????+??=0平行于??????平面,平面????+??=0平行于??????軸,01空間平面方程表示20求過兩點(diǎn)??(3,0,?2),??(?1,2,4)且與??軸平行的平面方程.解法一由已知，所求平面的法向量同時(shí)與

和??軸垂直.即法向

作為該平面的一個法向量.因此,可取垂直.

解??例601空間平面方程表示21

由平面的點(diǎn)法式方程得

01空間平面方程表示22若平面過三點(diǎn)??(??,0,0),??(0,??,0),根據(jù)平面的三點(diǎn)式方程得化簡整理得

??定義8.3C（0,0,c）B（0,b,0）A（a,0,0）(8.3)式稱為平面的截距式方程,其中??,??,??分別稱為平面在??軸,??軸和??軸上截距.

3.平面的截距式方程??(0,0,??)(??????≠0),如圖所示.01空間平面方程表示本講內(nèi)容空間平面方程表示兩平面的位置關(guān)系02點(diǎn)到平面的距離0301

2402兩平面的位置關(guān)系定義兩平面法線向量的夾角θ（通常指銳角和直角）稱為兩平面的夾角.設(shè)有兩個平面的方程分別為θθ

2502兩平面的位置關(guān)系則兩平面的法向量分別為

（8.4）

式（8.4）就是兩平面夾角的公式.2602兩平面的位置關(guān)系兩平面的位置特征：(1)兩平面垂直(2)兩平面平行時(shí),兩平面重合.

特別地,當(dāng)

2702兩平面的位置關(guān)系解求兩平面?????+2???6=0和2??+??+???5=0的夾角.??例7

根據(jù)公式(8.4),得

本講內(nèi)容空間平面方程表示兩平面的位置關(guān)系02點(diǎn)到平面的距離03012903點(diǎn)到平面的距離

外的一點(diǎn)，M0M1θd

(8.5)

求兩個平行平面x?y+3z+1=0與x?y+3z?5=0間的距離.3003點(diǎn)到平面的距離在平面?????+3??+1=0上選取一點(diǎn)(?1,0,0),由點(diǎn)到平面的距離公式（8.5）得

解??例8

3103點(diǎn)到平面的距離

解

??例91

，

即

33

解

??例102

即