第4講空間曲面第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）主講教師|01空間曲面的定義本講內(nèi)容02特殊的空間曲面301空間曲面的定義定義8.12如果曲面Σ與方程??(??,??,??)=0滿足如下關(guān)系：(1)曲面Σ上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程??(??,??,??)=0；(2)以滿足方程??(??,??,??)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲面Σ上.ΣzOxy??則稱方程??(??,??,??)=0為曲面Σ的方程,而稱曲面Σ為此方程的圖形,如圖所示.01空間曲面的定義本講內(nèi)容02特殊的空間曲面502特殊的空間曲面1.球面在空間中,到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面

,其中定點(diǎn)為球心,定長(zhǎng)為半徑.602特殊的空間曲面建立球面的中心點(diǎn)為M0(x0,y0,z0)

,半徑為??的球面方程,如圖所示.??例1MM0ROxyz702特殊的空間曲面解

設(shè)??(??,??,??)是球面上任一點(diǎn),則即

兩邊平方,得這也就是說(shuō)，球面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(8.10),而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定不滿足方程(8.10).特別地,以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心,以??為半徑的球面方程為

802特殊的空間曲面

令

將（8.10）式展開(kāi)得

902特殊的空間曲面球面方程具有下列兩個(gè)特點(diǎn)：(1)它是??,??,??之間的二次方程,且方程中缺????,????,????項(xiàng)；(2)x2,y2,z2的系數(shù)相同且不為零.

則有此方程稱為球面的一般方程.1002特殊的空間曲面方程x2+y2+z2?4x+2y

=0表示怎樣的曲面？通過(guò)配方原方程可以改寫為解??例2

1102特殊的空間曲面

準(zhǔn)線C母線L2.柱面用直線??沿空間一條曲線??平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面.下面只研究在空間直角坐標(biāo)系中準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上,母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.動(dòng)直線L稱為柱面的母線，定曲線??稱為柱面的準(zhǔn)線,如圖所示.??例3在??????平面上,方程x2+y2=R2表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為??的圓.1202特殊的空間曲面解分析方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？在空間直角坐標(biāo)系中,由于方程缺少??,這意味著不論空間的點(diǎn)??怎么取,坐標(biāo)??和??滿足x2+y2=R2的點(diǎn)都在曲面上.1302特殊的空間曲面MM0xyOz因此,任意點(diǎn)??(??,??,??)在曲面上的充分必要條件是??0(??,??,0)在圓x2+y2=R2上,而點(diǎn)??是過(guò)點(diǎn)??0且平行于??軸的直線組成,即方程x2+y2=R2表示柱面，此柱面為圓柱面,如圖所示.1402特殊的空間曲面一般地：方程中缺少??,即??(??,??)=0,表示準(zhǔn)線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面；方程中缺少??,即??(??,??)=0,表示準(zhǔn)線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面；方程中缺少??,即?(??,??)=0,表示準(zhǔn)線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面.1502特殊的空間曲面xyOz（a)常見(jiàn)柱面

(1)方程

表示母線平行于??軸的雙曲柱面,

其準(zhǔn)線為??????平面上的雙曲線

如圖(??)所示；1602特殊的空間曲面

xyOz（b)

1702特殊的空間曲面3.旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線??繞同一平面內(nèi)的一條定直線??旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.曲線??稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線,母線旋轉(zhuǎn)軸定直線??稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸,簡(jiǎn)稱軸，如圖所示.繞??軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,如圖8.26所示,其方程為1802特殊的空間曲面解??例4圖8.26Oyxz將坐標(biāo)面??????上的

分別繞??軸和??軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

1902特殊的空間曲面繞??軸旋轉(zhuǎn)生成旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,如圖8.27所示,其方程為

圖8.27Oxyz

2002特殊的空間曲面??例5

2102特殊的空間曲面或

這是一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為??軸的圓錐面,如圖8.28所示.解

其中

yoz面上直線方程為z=ycotα,因?yàn)樾D(zhuǎn)軸為Z軸,所以只要將方程中的

??改成

便得到這個(gè)圓錐面方程

xyOz圖8-28

設(shè)直線??過(guò)??(1,0,0),??(0,1,1)兩點(diǎn),將??繞??軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面Σ,求曲面Σ的方程.2202特殊的空間曲面??例6解所以直線??繞??軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面Σ方程為即

過(guò)??(1,0,0),??(0,1,1)兩點(diǎn)的直線方程為

設(shè)直線??過(guò)??(1,0,0),??(0,1,1)兩點(diǎn),將??繞??軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面Σ,求曲面Σ的方程.2302特殊的空間曲面??例7解

1其圖形是一個(gè)開(kāi)口向下的