一元二次函數(shù)、方程和不等式利用基本不等式求最值常見方法專題練高中數(shù)學必修第一冊（人教A版）一、單選題1．若，且，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．2．已知，則和的最小值分別是（

）A．16，32 B．16，64 C．18，32 D．18，643．當時，（

）A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值4．若，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．85．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，則(1＋x)(1＋2y)的最大值為（

）A．36 B．4 C．16 D．96．設正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．98．已知，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．169．若正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．10．已知，，且，則（

）A．為定值 B．的最小值為C．為定值 D．的最小值為611．下列說法正確的是（

）A．若，則函數(shù)的最小值為3B．若，，，則的最小值為5C．若，，，則xy的最小值為1D．若，，，則的最小值為12．若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．二、填空題13．若，則的最小值是．14．已知，，且，則的最小值為.15．已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為.16．若，且，則的最小值為．17．對任意的正實數(shù)a，b，c，滿足，則的最小值為.三、解答題18．已知x，y都是正數(shù)．(1)若，求的最大值；(2)若，且，求的最小值．19．若正數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.

參考答案題號12345678910答案ADACDCCCCB題號1112答案DD1．A【分析】直接利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，且，所以，當且僅當時取等號；故選：A2．D【分析】運用基本不等式，已知等式進行求解即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，因為，所以，因此的最小值為；因為，所以，，當且僅當時取等號，也就是當時等號，即時取等號，因此的最小值為，故選：D3．A【分析】根據(jù)已知條件可得，將已知轉化為，再利用基本不等式即可求最值.【詳解】當時，，，所以，當且僅當即時等號成立，所以有最大值1，沒有最小值，故選：A.4．C【分析】化簡原式得，然后利用基本不等式求解【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故，的最小值為6．故選：C．5．D【分析】根據(jù)題意得到，進而通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意，，，所以，當且僅當時取“=”.故選：D.6．C【分析】計算得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】因為正實數(shù)、、滿足，則，則，當且僅當時取等號.故的最大值為.故選：C.7．C【分析】利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為；故選：C8．C【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】解：因為，所以，，所以，當且僅當，即時等號成立.故選：C9．C【分析】由題意可得，利用基本不等式可整理得，即可求解【詳解】由可得，因為，，所以，所以，解得，當且僅當時，取等號，故的最小值是12，故選：C10．B【分析】根據(jù)基本不等式即可根據(jù)選項逐一求解.【詳解】由，，且得，當且僅當時取等號，故A不正確，，當且僅當時取等號，故B正確,，當且僅當時取等號，故C錯誤，，當且僅當時取等號，故D錯誤.故選：B11．D【分析】選項A：將函數(shù)變形再利用基本不等式進行判斷最值即可，選項B：由基本不等式進行判斷即可，選項C：結合換元法與基本不等式求最值進行判斷即可，選項D：對式子進行變形得到，再利用基本不等式進行判斷即可．【詳解】解：選項A：，當且僅當時可以取等號，但題設條件中，故函數(shù)最小值取不到3，故A錯誤；選項B：若，，，則，當且僅當時不等式可取等號，故B錯誤；選項C：當且僅當時取等號，令，，解得，即，故xy的最大值為1，故C錯誤；選項D：，，，當且僅當時取等號，又因為，故時等號成立，即最小值可取到，故D正確．故選：D．12．D【分析】先把轉化為，再將，根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】，且，，，，，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為，故選：D．13．【分析】根據(jù)“乘1法”，即可由基本不等式求解最值.【詳解】因為，所以．因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，則．故答案為：14．4【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】由，，可得，當且僅當，即時取等號.故答案為：415．【分析】根據(jù)乘“1”法，即可利用基本不等式求解.【詳解】∵正數(shù)x，y滿足，∴.當且僅當，即時取等號，則，其最大值為.故答案為：16．5【分析】根據(jù)題意可得，結合基本不等式運算求解.【詳解】因為，且，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為5.故答案為：5.17．【分析】根據(jù)條件，得到，利用基本不等式得到，再通過構造，二次運用基本不等式即可求出結果.【詳解】因為，當且僅當時取等號.故答案為：.【點睛】關鍵點晴：解答本題的關鍵在于，利用條件將變形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出結果.18．(1)(2)【分析】(1)直接利用基本不等式即可求得最值；(2)利用，展開后直接利用基本不等式求出結果.【詳解】（1）因為x，y都是正數(shù)，則，即，解得：，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.（2）由x，y都是正數(shù)，且，由可得：，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.19．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，應用基本不