5.7三角函數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是A.2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2π,ω).3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).4、ωx＋φ稱為相位．5、x＝0時(shí)的相位φ稱為初相．二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．三、建立函數(shù)模型的一般步驟四、運(yùn)用三角函數(shù)模型解決問題的幾種類型1、由圖象求解析式：首先由圖象確定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根據(jù)圖象特征確定解析式中的字母參數(shù)，在求解過程中還要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)．2、由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)：通過觀察分析函數(shù)圖象，能得出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性．3、利用三角函數(shù)研究實(shí)際問題：首先分析、歸納實(shí)際問題，抽象概括出數(shù)學(xué)模型，再利用圖象及性質(zhì)解答數(shù)學(xué)問題，最后解決實(shí)際問題．五、解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟六、建立三角函數(shù)擬合模型的注意事項(xiàng)1、在由圖象確定函數(shù)的解析式時(shí)，注意運(yùn)用方程思想和待定系數(shù)法來確定參數(shù)．2、在已知解析式作圖時(shí)要用類比的方法將陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題．3、在應(yīng)用三角函數(shù)模型解答應(yīng)用題時(shí)，要善于將符號(hào)、圖形、文字等各種語言巧妙轉(zhuǎn)化，并充分利用數(shù)形結(jié)合思想直觀地理解問題．題型一三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用【例1】將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個(gè)簡(jiǎn)易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動(dòng)，同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像．它表示了漏斗對(duì)平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時(shí)間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示，已知一根長(zhǎng)為lcm的線一端固定，另一端懸一個(gè)漏斗，漏斗擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計(jì)線的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是（精確到0.1cm）（）A．15.4cmB．16.4cmC．17.4cmD．18.4cm【答案】C【解析】由，得.由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的周期為，所以，即.故選：C.【變式1-1】智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動(dòng)降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)樵胍舻穆暡ㄇ€（其中，，）的振幅為1，則，周期為，則，初相位為，，所以噪聲的聲波曲線的解析式為，所以通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為．故選：A.【變式1-2】單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離S（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺來回?cái)[動(dòng)的振幅（厘米）和一次所需的時(shí)間（秒）為（）A．3，4B．，4C．3，2D．，2【答案】A【解析】因?yàn)榫嚯xS（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，所以單擺來回?cái)[動(dòng)的振幅為3和一次所需的時(shí)間為，故選：A【變式1-3】如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度單位：由關(guān)系式確定以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．小球在開始振動(dòng)即時(shí)的位置在B．小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離均為C．小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需時(shí)間為D．每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次【答案】D【解析】對(duì)于A,由題意可得當(dāng)時(shí)，，故小球在開始振動(dòng)時(shí)的位置在；故A正確；對(duì)于B,由解析式可得振幅,故小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離均為；故B正確；對(duì)于C,可得函數(shù)的周期為，故小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次需；故C正確；對(duì)于D,由C可知，，可得頻率為（），即每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次，故D不正確.故選：D．【變式1-4】如圖，某個(gè)彈簧振子（簡(jiǎn)稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，其變化規(guī)律可以用求刻畫.（1）求此彈簧振子運(yùn)動(dòng)的周期；（2）求時(shí)彈簧振子所處的位置距離初始位置（）的距離是多少？【答案】（1）s；（2）【解析】（1）由圖可知，函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故，,即彈簧振子運(yùn)動(dòng)的周期為4.8s.（2）由圖知，，故，，因?yàn)?，由，所以，所以，故，而，所以時(shí)，該彈簧振子離時(shí)刻的距離是.題型二三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用【例2】（多選）血壓(bloodpressure，BP)是指血液在血管內(nèi)流動(dòng)時(shí)作用于單位面積血管壁的側(cè)壓力，它是推動(dòng)血液在血管內(nèi)流動(dòng)的動(dòng)力．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓．在未使用抗高血壓藥的前提下，18歲以上成人的收縮壓≥140mmHg或舒張壓≥90mmHg，則說明該成人有高血壓．設(shè)從未使用抗高血壓藥的陳華今年45歲，從某天早晨6點(diǎn)開始計(jì)算(即早晨6點(diǎn)時(shí)，t=0)，他的血壓p（t）(mmHg)與經(jīng)過的時(shí)間t（h）滿足關(guān)系式，則（）A．當(dāng)天早晨6~7點(diǎn)，陳華的血壓逐漸上升B．當(dāng)天早晨9點(diǎn)時(shí)陳華的血壓為125mmHgC．當(dāng)天陳華沒有高血壓D．當(dāng)天陳華的收縮壓與舒張壓之差為40mmHg【答案】ABD【解析】由已知，選項(xiàng)A，當(dāng)天早晨6~7點(diǎn)，則t∈[0，1]，t+∈[]，所以函數(shù)p（t）在[0，1]上單調(diào)遞增，陳華的血壓逐漸上升，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，當(dāng)t=3時(shí)，p（t）=115+20sin=125，所以當(dāng)天早晨9點(diǎn)時(shí)陳華的血壓為125mmHg，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C、選項(xiàng)D，因?yàn)閜（t）的最大值為115+20=135，最小值為115-20=95≥90，所以陳華的收縮壓為135mmHg，舒張壓為95mmHg，因此陳華有高血壓，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤且他的收縮壓與舒張壓之差為40mmHg，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【變式2-1】某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)（x=1，2，3，…，12）來表示，已知6月份的月平均氣溫為28℃；12月份的月平均氣溫為18℃，則10月份的平均氣溫為___________℃.【答案】20.5【解析】據(jù)題意得，解得，所以令得.故答案為：20.5【變式2-2】建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來的長(zhǎng)遠(yuǎn)大計(jì)．某市通宵營(yíng)業(yè)的大型商場(chǎng)，為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召，在氣溫低于時(shí)，才開放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空調(diào)．如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：）隨時(shí)間（，單位：小時(shí)）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足關(guān)系．（1）求的表達(dá)式；（2）請(qǐng)根據(jù)（1）的結(jié)論，求該商場(chǎng)的中央空調(diào)在一天內(nèi)開啟的時(shí)長(zhǎng)．【答案】（1），;（2）8小時(shí).【解析】（1）因?yàn)閳D像上最低點(diǎn)坐標(biāo)為，與之相鄰的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，，所以，解得．所以，．（2）由（1）得，，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，．所以該商?chǎng)的中央空調(diào)應(yīng)在本天內(nèi)開啟時(shí)長(zhǎng)為8小時(shí)．【變式2-3】某港口在一天之內(nèi)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，其中h為水深（單位：米），t為時(shí)間（單位：小時(shí)），該函數(shù)部分圖象如圖所示．若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內(nèi)能在該港口停留多久？【答案】8小時(shí)．【解析】由圖可知：,可得：A＝3，B＝4．由，得T＝12，所以．因?yàn)椋?，得，又，所以，所以．由題意得，得，得，即，當(dāng)k＝0時(shí)，，當(dāng)k＝1時(shí)，，所以該船一天之內(nèi)能在該港口停留7－3＋19－15＝8小時(shí)．題型三三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用【例3】如圖所示半徑為4m的水輪其圓心O距離水面2m．已知水輪自點(diǎn)A開始沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，1min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足函數(shù)關(guān)系，則有（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由題意可知，最高點(diǎn)到水面距離為5，故A=5，由水輪自點(diǎn)A開始沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，1min旋轉(zhuǎn)4圈，則周期,則，由題意知,代入解析式中，，由于，故或，根據(jù)圖象可知A處于函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間上，故，所以，，，故選：C【變式3-1】（多選）如圖所示，某摩天輪上一點(diǎn)從摩天輪的最低點(diǎn)處順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過秒后，點(diǎn)第一次位于摩天輪的最高點(diǎn)，且距離地面米，當(dāng)點(diǎn)距離地面最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，若點(diǎn)在時(shí)刻距離地面高度（米）關(guān)于（分鐘）的解析式為，則以下說法正確的是（）A．摩天輪離地面最近的距離為米B．摩天輪的轉(zhuǎn)盤直徑為米C．若在時(shí)刻，點(diǎn)距離地面的高度相等，則的最小值為D．，使得點(diǎn)在時(shí)刻距離地面的高度均為米【答案】ABD【解析】由題意得：，解得：；摩天輪轉(zhuǎn)一圈需要秒，即分鐘，，；又，，又，，；對(duì)于A，摩天輪離地面最近的距離為米，A正確；對(duì)于B，摩天輪的轉(zhuǎn)盤直徑為米，B正確；對(duì)于C，令，則，若取最小值，則，關(guān)于對(duì)稱，，解得：，的最小值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，即，則或，解得：或，則當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)在時(shí)刻距離地面的高度均為米，D正確.故選：ABD.【變式3-2】為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖的位置為，若初始位置為，當(dāng)秒針針尖從（注：此時(shí)）正常開始走時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為__________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為，由初始位置可得函數(shù)的初相位為，又函數(shù)周期是秒，且秒針按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即，所以，即，所以.故答案為：.【變式3-3】某游樂場(chǎng)的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1～12（可視為點(diǎn)），現(xiàn)從圖示位置，即1號(hào)座艙位于圓周最右端時(shí)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．（1）當(dāng)時(shí)，求1號(hào)座艙與地面的距離；（2）在前24分鐘內(nèi)，求1號(hào)座艙與地面的距離為17米時(shí)t的值；（3）記1號(hào)座艙與5號(hào)座艙高度之差的絕對(duì)值為H米，若在這段時(shí)間內(nèi)，H恰有三次取得最大值，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（1）設(shè)1號(hào)座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，，則，，所以依題意，所以，當(dāng)時(shí)，所以，故，所以，即當(dāng)時(shí)，求1號(hào)座艙與地面的距離為；（2）令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或時(shí)1號(hào)座艙與地面的距離為17米；（3）依題意，，所以令，解，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，依題意可得題型四擬合法建立三角函數(shù)模型【例4】表中給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深關(guān)系．時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深y(m)和時(shí)刻t（0≤t≤24）的關(guān)系可用函數(shù)來近似描述，則該港口在11：00的水深為（）A．4mB．5mC．6mD．7m【答案】A【解析】由表格知函數(shù)的最大值是7，最小值是3，則滿足，得A＝2，h＝5，相鄰兩個(gè)最大值之間的距離T＝15－3＝12，即12，則ω，此時(shí)，當(dāng)t＝11時(shí)，.故選：A．【變式4-1】潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運(yùn)動(dòng)習(xí)慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動(dòng)稱為潮流．早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r(shí)刻，把發(fā)生在早晨的最高的潮叫潮，發(fā)生在晚上的最高的潮叫汐，這是潮汐名稱的由來．下表中給出了某市碼頭某一天水深與時(shí)間的關(guān)系（夜間零點(diǎn)開始計(jì)時(shí)）．時(shí)刻（t）024681012水深（y）單位：米5.04.84.74.64.44.34.2時(shí)刻（t）141618202224水深（y）單位：米4.34.44.64.74.85.0用函數(shù)模型來近似以地描述這些數(shù)據(jù)，則函數(shù)________．【答案】【解析】由題知，所生潮的高的最大值為，最小值為，周期為所以且，解得，，故，因?yàn)樵诹銜r(shí)，所生潮的高的最大值為，所以，，解得，所以.故答案為：【變式4-2】下表是某地一年中10天測(cè)量得白晝時(shí)間統(tǒng)計(jì)表（時(shí)間近似0.1小時(shí)，一年按365天計(jì)）．日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號(hào)15980117126172225268298355白晝時(shí)間（小時(shí)）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）以日期在365一天中得位置序號(hào)為橫坐標(biāo)，白晝時(shí)間為縱坐標(biāo)，在給定的坐標(biāo)中，試選用一個(gè)形如的函數(shù)來近似描述一年中，白晝時(shí)間與日期位置序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系；（2）用（1）中的函數(shù)模型估計(jì)該地一年中大約有多少天白晝時(shí)間大于15.9小時(shí)．【答案】（1），，；（2）121（或122）天【解析】（1）由散點(diǎn)圖知白晝時(shí)間與日期序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系式近似，由圖形知函數(shù)的最大值為19.4，最小值為5.4，即，，所以，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，．（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，即，解得，所以該地區(qū)有121（或122）天白晝時(shí)間．【變式4-