專題11圓一、選擇題1.（2017浙江衢州第10題）運用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】試題解析：作直徑CG，連接OD、OE、OF、DG．∵CG是圓的直徑，∴∠CDG=90°，則DG==8，又∵EF=8，∴DG=EF，∴，∴S扇形ODG=S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，∴S陰影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圓=π×52=π．故選A．考點：1.圓周角定理；2.扇形面積的計算.2.（2017浙江寧波第9題）如圖，在中，，，以的中點為圓心分別與，相切于，兩點，則的長為()A. B. C. D.【答案】B.【解析】試題解析：如圖，連接OD，OE∵AC，AB是圓O的切線∴OE⊥AC，OD⊥AB∵O是BC的中點∴點E，點D分別是AC，AB的中點∴OE=AB，OD= AC∵OE=OD∴AC=AB∵BC=2由勾股定理得AB=2∴OE=1的弧長==.故選B.考點：1.三角形的中位線；2.弧長的計算.3.（2017重慶A卷第9題）如圖，矩形ABCD的邊AB=1，BE平分∠ABC，交AD于點E，若點E是AD的中點，以點B為圓心，BE為半徑畫弧，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B.∴圖中陰影部分的面積=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF=1×2﹣×1×1﹣=．故選B．考點：1.矩形的性質(zhì)；2.扇形的面積計算.4.（2017廣西貴港第9題）如圖，是上的四個點，是的中點，是半徑上任意一點，若，則的度數(shù)不可能是（）A．B．C.D．【答案】D【解析】試題解析：∵B是的中點，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一點，∴∠AMB≤∠AOB=80°．則不符合條件的只有85°．故選D．學(xué)*科網(wǎng)考點：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．5.（2017貴州如故經(jīng)9題）如圖，⊙O的直徑AB=4，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，OC=5，則AD的長為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】試題解析：連接BD．∵AB是直徑，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于點B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=，∴cos∠A=cos∠BOC=．又∵cos∠A=，AB=4，∴AD=．故選B．考點：解直角三角形；平行線的性質(zhì)；圓周角定理．6.（2017湖北武漢第9題）已知一個三角形的三邊長分別為5，7，8．則其內(nèi)切圓的半徑為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題解析：如圖，AB=7，BC=5，AC=8過A作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則CD＝5-x由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）2解得：x=1∴AD=4設(shè)ΔABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則有：（5r+7r+8r）=×5×4解得：r=故選C.考點：三角形的內(nèi)切圓.7.（2017江蘇無錫第9題）如圖，菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO=10，則⊙O的半徑長等于（）A．5 B．6 C．2 D．3【答案】C.【解析】試題解析：如圖作DH⊥AB于H，連接BD，延長AO交BD于E．∵菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∴AB?DH=32O，∴DH=16，在Rt△ADH中，AH==12，∴HB=AB﹣AH=8，在Rt△BDH中，BD=，設(shè)⊙O與AB相切于F，連接AF．∵AD=AB，OA平分∠DAB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF∽△DBH，∴，∴，∴OF=2．故選C．考點：1.切線的性質(zhì)；2.菱形的性質(zhì)．8.（2017甘肅蘭州第4題）如圖，在中，，點在上，，則()A. B. C. D.【答案】B考點：圓周角定理．9.（2017甘肅蘭州第2題）如圖，正方形內(nèi)接于半徑為2的，則圖中陰影部分的面積為()A. B. C. D.【答案】D．【解析】試題解析：連接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，AD=，圓內(nèi)接正方形的邊長為2，所以陰影部分的面積=[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm2．故選D．考點：1正多邊形和圓；2.扇形面積的計算．10.（2017貴州黔東南州第5題）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長為（）A．2 B．﹣1 C． D．4【答案】A．【解析】試題解析：∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=OC=1，∴CD=2OE=2，故選A．考點：圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．11.（2017貴州黔東南州第8題）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，F(xiàn)E⊥AB，AF=2AE，F(xiàn)C交BD于O，則∠DOC的度數(shù)為（）A．60° B．67.5° C．75° D．54°【答案】A．【解析】試題解析：如圖，連接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等邊三角形，∵AF=AD=AB，∴點A是△DBF的外接圓的圓心，∴∠FDB=∠FAB=30°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．故選A．考點：正方形的性質(zhì)．12.（2017山東煙臺第9題）如圖，□中，，，以為直徑的⊙交于點，則弧的長為（）A．B．C.D．【答案】B．∴的長=.故選：B．考點：弧長的計算；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．13.（2017四川瀘州第6題）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．若AB=8，AE=1，則弦CD的長是（）A.B.2C．6D．8【答案】B．考點：1.垂徑定理；2.勾股定理．14.（2017四川自貢第10題）AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C；連接BC，若∠P=40°，則∠B等于（）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】B.【解析】試題解析：∵PA切⊙O于點A，∴∠PAB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°﹣40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，故選B．考點：切線的性質(zhì).15.（2017新疆建設(shè)兵團第9題）如圖，⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接BE，CE．若AB=8，CD=2，則△BCE的面積為（）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A.【解析】考點：圓周角定理；垂徑定理．16.（2017江蘇徐州第6題）如圖，點，在⊙上，，則（）A．B．C.D．【答案】D．【解析】試題解析：根據(jù)圓周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，即∠ACB=36°，故選D．考點：圓周角定理．二、填空題1.（2017浙江衢州第15題）如圖，在直角坐標系中，⊙A的圓心A的坐標為（-1，0），半徑為1，點P為直線上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是__________【答案】．【解析】試題解析：連接AP，PQ，當(dāng)AP最小時，PQ最小，∴當(dāng)AP⊥直線y=﹣x+3時，PQ最小，∵A的坐標為（﹣1，0），y=﹣x+3可化為3x+4y﹣12=0，∴AP==3，∴PQ=．考點：1.切線的性質(zhì)；2.一次函數(shù)的性質(zhì).2.（2017山東德州第17題）某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計如圖所示.圓的圓心與矩形對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（為上切點），與左右兩邊相交(為其中兩個交點)，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為，根據(jù)設(shè)計要求，若，則此窗戶的透光率（透光區(qū)域與矩形窗面的面枳的比值）為．【答案】【解析】試題解析：如圖，過F作FG⊥OF，連接OG,OM,ON△OFH是等腰直角三角形，∴FH=OFsin45°=，AB=，BC=2OF=2∴矩形ABCD面積=∴S空白=2S扇形FOM+2SΔAOG==∴窗戶的透光率=考點：扇形的面積及概率3.（2017重慶A卷第15題）如圖，BC是⊙O的直徑，點A在圓上，連接AO，AC，∠AOB=64°，則∠ACB=．【答案】32°．【解析】試題解析：∵AO=OC，∴∠ACB=∠OAC，∵∠AOB=64°，∴∠ACB+∠OAC=64°，∴∠ACB=64°÷2=32°．考點：圓周角定理.4.（2017甘肅慶陽第14題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=32°，則∠C=°．【答案】58°．【解析】試題解析：如圖，連接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OAB=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．考點：圓周角定理．5.（2017甘肅慶陽第17題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以點A為圓心、AC的長為半徑畫弧，交AB邊于點D，則弧CD的長等于．（結(jié)果保留π）【答案】.【解析】考點：弧長的計算；含30度角的直角三角形．6.（2017廣西貴港第17題）如圖，在扇形中，是的中點，與交于點，以為圓心，的長為半徑作交于點，若，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）【答案】．【解析】試題解析：連接OD、AD，∵點C為OA的中點，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO為等邊三角形，∴S扇形AOD=，∴S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）===．考點：扇形面積的計算；線段垂直平分線的性質(zhì)．7.（2017湖南懷化第14題）如圖，的半徑為2，點，在上，，則陰影部分的面積為．【答案】π﹣2．考點：扇形面積的計算．8.（2017湖南懷化第16題）如圖，在菱形中，，，點是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點，若以為頂點的三角形是等腰三角形，則，(，兩點不重合)兩點間的最短距離為 cm.【答案】10﹣10（cm）.【解析】試題解析：連接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等邊三角形，①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內(nèi)部）的點滿足題意，此時就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點與直線上所有點連線的線段中垂線段最短”，即當(dāng)點P與點D重合時，PA最小，最小值PA=10；②若以邊PB為底，∠PCB為頂角時，以點C為圓心，BC長為半徑作圓，與AC相交于一點，則弧BD（除點B外）上的所有點都滿足△PBC是等腰三角形，當(dāng)點P在AC上時，AP最小，最小值為10﹣10；③若以邊PC為底，∠PBC為頂角，以點B為圓心，BC為半徑作圓，則弧AC上的點A與點D均滿足△PBC為等腰三角形，當(dāng)點P與點A重合時，PA最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在；綜上所述，PD的最小值為10﹣10（cm）.學(xué)*科網(wǎng)考點：菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．9.（2017江蘇無錫第17題）如圖，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分別以邊AD，BC為直徑在矩形ABCD的內(nèi)部作半圓O1和半圓O2，一平行于AB的直線EF與這兩個半圓分別交于點E、點F，且EF=2（EF與AB在圓心O1和O2的同側(cè)），則由，EF，，AB所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于．【答案】﹣．【解析】試題解析：連接O1O2，O1E，O2F，則四邊形O1O2FE是等腰梯形，過E作EG⊥O1O2，過F⊥O1O2，∴四邊形EGHF是矩形，∴GH=EF=2，∴O1G=，∵O1E=1，∴GE=，∴；∴∠O1EG=30°，∴∠AO1E=30°，同理∠BO2F=30°，∴陰影部分的面積=S矩形ABO2O1﹣2S扇形AO1E﹣S梯形EFO2O1=3×1﹣2×=（2+3）×=3﹣﹣．考點：1.扇形面積的計算；2.矩形的性質(zhì)．10.（2017江蘇鹽城第14題）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，點C在上，點D在上，若∠ACB=70°，則∠ADB=°．【答案】110°【解析】試題解析：∵點C在上，點D在上，若∠ACB=70°，∴∠ADB+∠ACB=180°，∴∠ADB=110°考點：圓周角定理.11.（2017山東煙臺第18題）如圖1，將一圓形紙片向右、向上兩次對折后得到如圖2所示的扇形.已知，取的中點，過點作交弧于點，點是弧上一點，若將扇形沿翻折，點恰好與點重合.用剪刀沿著線段依次剪下，則剪下的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為.【答案】36π﹣108【解析】試題解析：如圖，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于點E，則DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，則剪下的紙片面積之和為12×（3π﹣9）=36π﹣108考點：扇形面積的計算12.（2017四川宜賓第15題）如圖，⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE的對角線AD與BE相交于點G，AE=2，則EG的長是．【答案】﹣1【解析】考點：正多邊形和圓．13.（2017四川宜賓第17題）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直徑，如果CD=，則AD=．【答案】4.【解析】試題解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直徑，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴，∴，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD?tan60°=?=4，∴AD=BC=4．考點：1.圓周角定理；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.含30°角的直角三角形.14.（2017江蘇徐州第15題）正六邊形的每個內(nèi)角等于．【答案】120°.【解析】試題解析：六邊形的內(nèi)角和為：（6-2）×180°=720°，∴正六邊形的每個內(nèi)角為：=120°.考點：多邊形的內(nèi)角與外角.15.（2017江蘇徐州第16題）如圖，與⊙相切于點，線段與弦垂直，垂足為，則．【答案】60°．【解析】考點：切線的性質(zhì).16.（2017浙江嘉興第13題）如圖，小明自制一塊乒乓球拍，正面是半徑為的，，弓形（陰影部分）粘貼膠皮，則膠皮面積為．【答案】（32+48π）cm2【解析】試題解析：連接OA、OB，∵=90°，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=×8×8=32，扇形ACB（陰影部分）==48π，則弓形ACB膠皮面積為（32+48π）cm2考點：1.垂徑定理的應(yīng)用；2.扇形面積的計算．三、解答題1.（2017浙江衢州第19題）如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點，CD切半圓O于點D。連結(jié)OD，作BE⊥CD于點E，交半圓O于點F。已知CE=12，BE=9（1）求證：△COD∽△CBE；（2）求半圓O的半徑的長【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：試題解析：（1）∵CD切半圓O于點D，∴CD⊥OD，∴∠CDO=90°，∵BE⊥CD，∴∠E=90°=∠CDO，又∵∠C=∠C，∴△COD∽△CBE．（2）在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，∴BC==15，∵△COD∽△CBE．∴，即，解得：r=．考點：1.切線的性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì).2.（2017山東德州第20題）如圖，已知RtΔABC,∠C=90°，D為BC的中點.以AC為直徑的圓O交AB于點E.（1）求證：DE是圓O的切線.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的長.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】：試題分析：利用思路：知（連）半徑，證垂直，證明DE是圓O的切線；利用射影定理或相似三角形證明：BE2=BE×BA,再列方程，求AE的長.試題解析：(1)如圖所示，連接OE，CE∵AC是圓O的直徑∴∠AEC=∠BEC=90°∵D是BC的中點∴ED＝BC＝DC∴∠1=∠2∵OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD∵∠ACD=90°∴∠OED=90°,即OE⊥DE又∵E是圓O上的一點∴DE是圓O的切線.考點：圓切線判定定理及相似三角形3.（2017甘肅慶陽第27題）如圖，AN是⊙M的直徑，NB∥x軸，AB交⊙M于點C．（1）若點A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求點B的坐標；（2）若D為線段NB的中點，求證：直線CD是⊙M的切線．【答案】(1)B（，2）．(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解決問題；（2）連接MC，NC．只要證明∠MCD=90°即可試題解析：（1）∵A的坐標為（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）連接MC，NC∵AN是⊙M的直徑，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D為NB的中點，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直線CD是⊙M的切線．考點：切線的判定；坐標與圖形性質(zhì)．4.（2017廣西貴港第24題）如圖，在菱形中，點在對角線上，且，是的外接圓.（1）求證：是的切線；（2）若求的半徑.【答案】(1)證明見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切；（2）連結(jié)BD，交AC于點F，根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分，則AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根據(jù)勾股定理得到AD==2，求得AE=，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．試題解析：（1）連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，如圖，∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，∴直線AB與⊙O相切；（2）連結(jié)BD，交AC于點F，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴DB與AC互相垂直平分，∵AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，∴DF=2，∴AD==2，∴AE=，在Rt△PAE中，tan∠1==，∴PE=，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R，在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，∴R=，即⊙O的半徑為．考點：切線的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；解直角三角形．5.（2017貴州安順第25題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．（1）求證：BE與⊙O相切；（2）設(shè)OE交⊙O于點F，若DF=1，BC=2 ，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析；（2）4﹣π．【解析】試題分析：（1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠OCE=90°，再根據(jù)垂徑定理得到CD=BD，則OD垂中平分BC，所以EC=EB，接著證明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用三角函數(shù)得到∠BOD=60°，則∠BOC=2∠BOD=120°，接著計算出BE=OB=2，然后根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式，利用陰影部分的面積=2S△OBE﹣S扇形BOC進行計算即可．試題解析：（1）證明：連接OC，如圖，∵CE為切線，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE與⊙O相切；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，∵tan∠BOD==，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt△OBE中，BE=OB=2，∴陰影部分的面積=S四邊形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2××2×2﹣=4﹣π．考點：切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算．6.（2017湖北武漢第21題）如圖，內(nèi)接于，的延長線交于點．（1）求證平分；（2）若，求和的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；.【解析】試題分析：（1）連接OB，證明ΔAOB≌ΔAOC即可得出結(jié)論；（2）過點C作CE⊥AB于E，由sin∠BAC=，設(shè)AC=5m，CE=3則可表示出AE=4m，BE=m，在RtΔCBE中，由勾股定理可求出m的值，即可得出AC的值；延長AO交BC于點H，則AH⊥BC，過點O作OF⊥AH，可求OF的值，由OF∥BC可得結(jié)論.（2）過點C作CE⊥AB于E∵sin∠BAC=,設(shè)AC=5m，則CE=3m∴AE=4m，BE=m在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36∴m=，∴AC=延長AO交BC于點H，則AH⊥BC，且BH=CH=3，過點O作OF⊥AH交AB于點F，∵∠HOC=∠BAC∴OH=4，OC=5∴AH=9∴tan∠BAH=∴OF=AO=∵OF∥BC∴，即∴DC=.考點：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.解直角三角形；3.平行線分線段成比例.7.（2017湖南懷化第23題）如圖，已知是的直徑，點為延長線上的一點，點為圓上一點，且，.(1)求證：；(2)求證：是的切線.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）連接OA，根據(jù)的一句熟悉的性質(zhì)得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°即可得到結(jié)論．試題解析：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）連接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；切線的判定．8.（2017江蘇無錫第24題）如圖，已知等邊△ABC，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：（1）作△ABC的外心O；（2）設(shè)D是AB邊上一點，在圖中作出一個正六邊形DEFGHI，使點F，點H分別在邊BC和AC上．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)垂直平分線的作法作出AB，AC的垂直平分線交于點O即為所求；（2）過D點作DI∥BC交AC于I，分別以D，I為圓心，DI長為半徑作圓弧交AB于E，交AC于H，過E點作EF∥AC交BC于F，過H點作HG∥AB交BC于G，六邊形DEFGHI即為所求正六邊形．試題解析：（1）如圖所示：點O即為所求．（2）如圖所示：六邊形DEFGHI即為所求正六邊形．考點：1.作圖—復(fù)雜作圖；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.三角形的外接圓與外心．9.（2017江蘇無錫第27題）如圖，以原點O為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A，B兩點（點B在點A的右邊），P是半徑OB上一點，過P且垂直于AB的直線與⊙O分別交于C，D兩點（點C在點D的上方），直線AC，DB交于點E．若AC：CE=1：2．（1）求點P的坐標；（2）求過點A和點E，且頂點在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達式．【答案】(1)P（1，0）．(2)y=x2﹣x﹣．【解析】試題分析：（1）如圖，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H．設(shè)H（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．首先證明△ACP∽△ECH，推出，推出CH=2n，EH=2m=6，再證明△DPB∽△DHE，推出，可得，求出m即可解決問題；（2）由題意設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣5），求出E點坐標代入即可解決問題.試題解析：（1）如圖，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H．設(shè)H（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．∵EH∥AP，∴△ACP∽△ECH，∴，∴CH=2n，EH=2m=6，∵CD⊥AB，∴PC=PD=n，∵PB∥HE，∴△DPB∽△DHE，∴，∴，∴m=1，∴P（1，0）．（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，連接OP，在Rt△OCP中，PC=，∴CH=2PC=4，PH=6，∴E（9，6），∵拋物線的對稱軸為CD，∴（﹣3，0）和（5，0）在拋物線上，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，6）代入得到a=，∴拋物線的解析式為y=（x+3）（x﹣5），即y=x2﹣x﹣．考點：圓的綜合題．10.（2017江蘇鹽城第24題）如圖，△ABC是一塊直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，現(xiàn)將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部．（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運動的路徑長．【答案】（1）作圖見解析；（2）15+．【解析】試題分析：（1）作∠ACB的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心O，作射線CO即可；（2）添加如圖所示輔助線，圓心O的運動路徑長為C△OO1O2，先求出△ABC的三邊長度，得出其周長，證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，從而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．試題解析：（1）如圖①所示，射線OC即為所求；（2）如圖，圓心O的運動路徑長為C△OO1O2，過點O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分別為點D、F、G，過點O作OE⊥BC，垂足為點E，連接O2B，過點O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分別為點H、I，在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，∴AC=，AB=2BC=18，∠ABC=60°，∴C△ABC=9+9+18=27+9，∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，∴D、G為切點，∴BD=BG，在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，∵，∴△O1BD≌△O1BG（HL），∴∠O1BG=∠O1BD=30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，∴BD=，∴OO1=9-2-2=7-2，∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D=OE，∴四邊形OEDO1為平行四邊形，∵∠OED=90°，∴四邊形OEDO1為矩形，同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形，又OE=OF，∴四邊形OECF為正方形，∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，∴∠GO1D=120°，又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC，同理，∠O1OO2=90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴，即，∴C△OO1O2=15+，即圓心O運動的路徑長為15+．考點：切線的性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖．11.（2017江蘇鹽城第25題）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，AE平分∠BAC交邊BC于點E，經(jīng)過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點G．（1）求證：BC是⊙F的切線；（2）若點A、D的坐標分別為A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半徑；（3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）⊙F的半徑為；（3）AG=AD+2CD．證明見解析.試題解析：（1）連接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切線；（2）連接FD，設(shè)⊙F的半徑為r，則r2=（r-1）2+22，解得，r=，即⊙F的半徑為；（3）AG=AD+2CD．證明：作FR⊥AD于R，則∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四邊形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，∴AR=RD，∴EF=RD+CD=AD+CD，∴AG=2FE=AD+2CD．考點：圓的綜合題．12.（2017甘肅蘭州第22題）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程：已知：直線和外一點求作：直線的垂線，使它經(jīng)過點.做法：如圖：(1)在直線上任取兩點、；(2)分別以點、為圓心，，長為半徑畫弧，兩弧相交于點；(3)作直線.參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：(1)以上材料作圖的依據(jù)是 .(3)已知：直線和外一點，求作：，使它與直線相切。(尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)【答案】（1）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；（2）作圖見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，可得答案．試題解析：（1）以上材料作圖的依據(jù)是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，（2）如圖．考點：作圖—復(fù)雜作圖；切線的判定．13.（2017甘肅蘭州第27題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，弦交于點，延長到點，連接，，使得，.(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長.【答案】(1)證明見解析;(2)．【解析】試題分析:（1）由BC是⊙O的直徑，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代換得到∠D+∠AOD=90°，于是得到結(jié)論；（2）連接BF，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．（2）連接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△DCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴，∴EF=．考點：切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．14.（2017貴州黔東南州第21題）如圖，已知直線PT與⊙O相切于點T，直線PO與⊙O相交于A，B兩點．（1）求證：PT2=PA?PB；（2）若PT=TB=，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析。（2）.【解析】試題分析：（1）連接OT，只要證明△PTA∽△PBT，可得，由此即可解決問題；（2）首先證明△AOT是等邊三角形，根據(jù)S陰=S扇形OAT﹣S△AOT計算即可；試題解析：（1）證明：連接OT．∵PT是⊙O的切線，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB是直徑，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PTA∽△PBT，∴，∴PT2=PA?PB．（2）∵TP=TB=，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB=∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等邊三角形，∴S陰=S扇形OAT﹣S△AOT=.考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)；扇形面積的計算．15.（2017貴州黔東南州第24題）如圖，菱形中，對角線相交于點，，動點從點出發(fā)，沿線段以的速度向點運動，同時動點從點出發(fā)，沿線段以的速度向點運動，當(dāng)其中一個動點停止運動時另一個動點也隨之停止.設(shè)運動時間為，以點為圓心，為半徑的⊙與射線，線段分別交于點，連接.（1）求的長（用含有的代數(shù)式表示），并求出的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時，線段與⊙相切？（3）若⊙與線段只有一個公共點，求的取值范圍.【答案】（1）BF=t（0＜t≤8）．（2）t=s時，線段EN與⊙M相切．（3）當(dāng)0＜t≤或＜t＜8時，⊙M與線段EN只有一個公共點．【解析】試題分析：（1）連接MF．只要證明MF∥AD，可得，即，解方程即可；（2）當(dāng)線段EN與⊙M相切時，易知△BEN∽△BOA，可得，即，解方程即可；（3）①由題意可知：當(dāng)0＜t≤時，⊙M與線段EN只有一個公共點．②當(dāng)F與N重合時，則有t+2t=16，解得t=，觀察圖象即可解決問題試題解析：（1）連接MF．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，在Rt△AOB中，AB==10，∵MB=MF，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，∴MF∥AD，∴，∴，∴BF=t（0＜t≤8）．（3）①由題意可知：當(dāng)0＜t≤時，⊙M與線段EN只有一個公共點．②當(dāng)F與N重合時，則有t+2t=16，解得t=，關(guān)系圖象可知，＜t＜8時，⊙M與線段EN只有一個公共點．綜上所述，當(dāng)0＜t≤或＜t＜8時，⊙M與線段EN只有一個公共點．考點：圓的綜合題．16.（2017四川瀘州第24題）如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點C、D，與邊BC相交于點F，OA與CD相交于點E，連接FE并延長交AC邊于點G．（1）求證：DF∥AO；（2）