2025年大學統(tǒng)計學期末考試題庫——與決策理論試題解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述參數(shù)估計和假設檢驗的基本思想及其在決策分析中的作用。二、某公司考慮是否推出一種新產品。市場分析提供了兩種可能的銷售狀態(tài)：狀態(tài)A（高需求）和狀態(tài)B（低需求），以及兩種可能的行動方案：方案I（大規(guī)模生產）和方案II（小規(guī)模生產）。預計的收益（單位：萬元）如下：*若選擇方案I，狀態(tài)A時收益為100，狀態(tài)B時虧損為20。*若選擇方案II，狀態(tài)A時收益為40，狀態(tài)B時虧損為10。公司無法確定未來是狀態(tài)A還是狀態(tài)B，但根據經驗估計，狀態(tài)A出現(xiàn)的概率為0.6，狀態(tài)B出現(xiàn)的概率為0.4。請分別使用期望值法，為該公司選擇最優(yōu)行動方案。三、假設某醫(yī)生需要診斷一位患者可能患有A病或B病。如果患者患有A病，進行某種檢測的概率為0.9；如果患者患有B病，進行同一檢測的概率為0.2。已知該地區(qū)A病發(fā)病率為0.01，B病發(fā)病率為0.03。如果檢測結果為陽性，請使用貝葉斯定理計算該患者患有A病的后驗概率。四、某投資者面臨一個投資決策。有兩種投資方案：方案X和方案Y。市場可能發(fā)生三種狀態(tài)：狀態(tài)1（經濟繁榮）、狀態(tài)2（經濟穩(wěn)定）、狀態(tài)3（經濟衰退）。預計的收益（單位：萬元）如下：*方案X：狀態(tài)1時收益200，狀態(tài)2時收益100，狀態(tài)3時虧損50。*方案Y：狀態(tài)1時收益150，狀態(tài)2時收益120，狀態(tài)3時虧損30。該投資者對三種狀態(tài)的發(fā)生概率估計如下：P(狀態(tài)1)=0.3，P(狀態(tài)2)=0.5，P(狀態(tài)3)=0.2。請計算方案X和方案Y的期望收益，并根據期望值法做出決策。五、假設你需要決定是否購買一份保險。保險費用為500元。如果發(fā)生保險事故（如房屋失火），將造成10000元的損失。根據歷史數(shù)據，該保險事故每年發(fā)生的概率為0.001。如果不購買保險，發(fā)生事故時你需要自己承擔損失；如果購買保險，發(fā)生事故時保險公司會賠償全部損失（扣除保費）。請計算購買保險的期望凈收益，并根據期望值法分析你是否應該購買這份保險。六、某工廠生產一種產品，需要進行質量檢驗。檢驗結果可能是“合格”或“不合格”。實際生產結果也可能是“正品”或“次品”。已知：*檢驗結果為“合格”的概率：P(合格|正品)=0.95，P(合格|次品)=0.05。*生產次品的概率：P(次品)=0.1。如果檢驗結果為“合格”，請計算該產品確實是“正品”的概率。七、比較最大最小收益法（悲觀主義原則）和最大最大收益法（樂觀主義原則）在不確定型決策中的應用特點。請各舉一個簡單例子說明如何使用這兩種方法進行決策。八、假設你需要選擇一條從A地到B地的路。有兩條可選路線：路線1和路線2。天氣可能狀況有：晴天、雨天、雪天。三條路線在不同天氣狀況下的行駛時間（單位：分鐘）如下：*晴天：路線130，路線240。*雨天：路線150，路線235。*雪天：路線170，路線280。如果你認為這三種天氣狀況發(fā)生的可能性分別是：晴天50%，雨天30%，雪天20%。請使用期望值法選擇最優(yōu)路線。如果你是極度規(guī)避風險的人，可能會選擇哪條路線？請說明理由（無需計算）。九、解釋什么是后悔值（RegretValue或OpportunityLoss）。假設在第三題的貝葉斯決策問題中，除了收益值和先驗概率，你還知道后悔值矩陣如下（單位：萬元）：*若選擇檢測，狀態(tài)A時后悔值為0，狀態(tài)B時后悔值為18。*若不選擇檢測，狀態(tài)A時后悔值為90，狀態(tài)B時后悔值為0。請使用期望后悔值法，計算選擇檢測和不選擇檢測的期望后悔值，并做出決策。十、請闡述風險型決策中，如何利用補充信息（如樣本信息、后驗概率）來改進決策。以一個簡單的例子說明貝葉斯決策如何幫助決策者根據新的信息調整初始判斷，從而可能做出更優(yōu)的決策。試卷答案一、參數(shù)估計旨在通過樣本信息推斷總體的未知參數(shù)（如均值、方差），提供參數(shù)的估計值或置信區(qū)間。假設檢驗則是在一定顯著性水平下，根據樣本信息判斷關于總體參數(shù)的某個假設是否成立。兩者都為決策提供統(tǒng)計依據：參數(shù)估計為決策提供量化預測或范圍；假設檢驗通過檢驗與決策相關的假設（如某項措施是否有效）來支持或否定特定的決策選項。它們幫助決策者在信息不完全的情況下，基于數(shù)據和概率做出更理性的判斷。二、期望值法：計算各方案的期望收益。方案I期望收益=0.6*100+0.4*(-20)=60-8=52(萬元)方案II期望收益=0.6*40+0.4*(-10)=24-4=20(萬元)比較兩個期望收益，方案I的期望收益（52萬元）大于方案II的期望收益（20萬元）。決策：選擇方案I（大規(guī)模生產）。三、設事件A為患者患有A病，事件B為患者患有B病，事件T為檢測結果為陽性。已知P(A)=0.01,P(B)=0.03,P(T|A)=0.9,P(T|B)=0.2。根據全概率公式，計算檢測結果為陽性的總概率P(T)：P(T)=P(T|A)P(A)+P(T|B)P(B)=0.9*0.01+0.2*0.03=0.009+0.006=0.015。根據貝葉斯定理，計算在結果為陽性的情況下患有A病的概率P(A|T)：P(A|T)=[P(T|A)P(A)]/P(T)=(0.9*0.01)/0.015=0.009/0.015=0.6。該患者患有A病的后驗概率為0.6。四、期望值法：方案X期望收益=0.3*200+0.5*100+0.2*(-50)=60+50-10=100(萬元)方案Y期望收益=0.3*150+0.5*120+0.2*(-30)=45+60-6=99(萬元)比較兩個期望收益，方案X的期望收益（100萬元）大于方案Y的期望收益（99萬元）。決策：選擇方案X。五、期望值法：購買保險的期望凈收益=(發(fā)生事故概率*保險賠償-事故發(fā)生概率*保費)+(1-發(fā)生事故概率)*(0-保費)=P(事故)*(0-保費)+(1-P(事故))*(-保費)=-P(事故)*保費-(1-P(事故))*保費=-保費=-500(元)不購買保險的期望凈收益=P(事故)*(-損失)+(1-P(事故))*(0)=0.001*(-10000)+0.999*0=-10(元)比較兩個期望凈收益，不購買保險的期望凈收益（-10元）大于購買保險的期望凈收益（-500元）。決策：不應該購買這份保險。六、設事件G為檢驗結果為“合格”，事件P為產品是“正品”。已知P(G|P)=0.95,P(G|非P)=0.05(其中非P表示次品),P(非P)=P(次品)=0.1。首先計算P(P)=1-P(非P)=1-0.1=0.9。然后根據全概率公式計算P(G)：P(G)=P(G|P)P(P)+P(G|非P)P(非P)=0.95*0.9+0.05*0.1=0.855+0.005=0.86。再根據貝葉斯定理計算P(P|G)：P(P|G)=[P(G|P)P(P)]/P(G)=(0.95*0.9)/0.86=0.855/0.86≈0.9942。該產品確實是“正品”的概率約為0.9942。七、最大最小收益法（悲觀主義原則）：決策者對未來持悲觀態(tài)度，認為最可能發(fā)生的是最壞的情況。決策時先找出每個方案在所有可能狀態(tài)下的最小收益（或最大損失），然后從中選擇最大值對應的方案。這種策略旨在規(guī)避最大風險，保證在最不利情況下仍有相對較好的結果。例子：某農場決定是否種植作物A或作物B。市場可能狀況為好、中、差。兩種作物的預期收益如下（單位：萬元）：*作物A：好時10，中時5，差時-2。*作物B：好時8，中時6，差時-5。計算各方案的最小收益：作物A為-2，作物B為-5。選擇最大最小收益對應的方案，即作物A。最大最大收益法（樂觀主義原則）：決策者對未來持樂觀態(tài)度，相信最可能發(fā)生的是最好的情況。決策時先找出每個方案在所有可能狀態(tài)下的最大收益，然后從中選擇最大值對應的方案。這種策略追求最高可能收益，但承擔了較大風險。例子：同上。計算各方案的最大收益：作物A為10，作物B為8。選擇最大最大收益對應的方案，即作物A。八、期望值法：路線1期望時間=0.5*30+0.3*50+0.2*70=15+15+14=44(分鐘)路線2期望時間=0.5*40+0.3*35+0.2*80=20+10.5+16=46.5(分鐘)比較兩個期望時間，路線1的期望時間（44分鐘）小于路線2的期望時間（46.5分鐘）。決策：選擇路線1。規(guī)避風險決策：極度規(guī)避風險的人可能會考慮期望后悔值。計算后悔值矩陣：*晴天：路線10(30-30),路線210(40-30)。*雨天：路線120(50-30),路線215(35-20)。*雪天：路線150(70-20),路線260(80-20)。后悔值矩陣：||晴天|雨天|雪天||:----|:---|:---|:---||路線1|0|20|50||路線2|10|15|60|計算各方案的期望后悔值：路線1期望后悔值=0.5*0+0.3*20+0.2*50=0+6+10=16(分鐘)路線2期望后悔值=0.5*10+0.3*15+0.2*60=5+4.5+12=21.5(分鐘)選擇期望后悔值較小的方案，即路線1。理由：規(guī)避風險者在決策時傾向于最小化最壞情況下的可能損失，期望后悔值越小，表示在最壞情況下的時間損失（相對于最優(yōu)選擇）越少，因此選擇路線1。九、期望后悔值法：計算各方案在不同狀態(tài)下的后悔值：*狀態(tài)A：檢測后悔值0，不檢測后悔值90。選擇0，后悔值0。*狀態(tài)B：檢測后悔值18，不檢測后悔值0。選擇0，后悔值0。構建后悔值矩陣：||狀態(tài)A|狀態(tài)B|期望后悔值||:----|:----|:----|:---------||檢測|0|0|0||不檢測|90|0|45|計算方案的期望后悔值：*檢測：0.01*0+0.03*0=0*不檢測：0.01*90+0.03*0=0.9比較期望后悔值，選擇期望后悔值較小的方案。決策：選擇檢測。十、風險型決策中，僅依據先驗概率可能無法完全反映決策環(huán)境的信息或變化。補充信息（如樣本數(shù)據、市場調研結果、新的觀測信息等）可以提供關于狀態(tài)發(fā)生概率的更新估計，從而改進初始的判斷。貝葉斯決策正是利用補充信息改進決策的典型方法。貝葉斯決策過程如下：1.基于先驗知識確定各狀態(tài)的概率P(狀態(tài))。2.收集補充信息，計算在給定補充信息條件下各狀態(tài)的條件概率P(補充信息|狀態(tài))。3.使用貝葉斯定理計算后驗概率P(狀態(tài)|補充信息)=[P(補充信息|狀態(tài))P(狀態(tài))]/P(補充信息)。4.根據后驗概率，重新計算各方案的期望收益或期望后悔值。5.選擇最優(yōu)方案。例子：一個工廠生產產品，正常概率0.95，次品概率0.05。次品率升高會導致利潤下降。工廠可以購買檢測設備（成本100元）來降低不確定性。檢測設備有90%的概率正確識別次品，10%的概率將次品誤判為正品。若不檢測，按正常概率0.95生產，若檢測后為次品則返工（成本50元）。假設產品售價100元，正常成本20元，次品成本50元。先驗：P(正常)=0.95,P(次品)=0.05。補充信息：檢測結果。條件概率：P(檢測為次品|正常)=0.1,P(檢測為次品|次品)=0.9。計算后驗概率：P(正常|檢測為次品)=[(0.1*0.95)/(0.1*0.95+0.9*0.05)]=[0.095/(0.095+0.045)]=0.68.P(次品|檢測為次品)=1-P(正常|檢測為次品)=1-0.68=0.32.重新計算期望成本：*不檢測：期望成本=0.95*20+0.05*50=19+2.5=21.5元。*檢測后為次品返工：期望成本=P(次品|檢測為次品)*[50(返工成本)+100(售價)-100(售價)]+P(正常|檢測為次品)*