第三章立體的投影立體由圍成它的各個(gè)表面擬定其范疇及形狀。立體基本體組合體平面立體：棱柱、棱錐等曲面立體：圓柱、圓錐、球體和環(huán)體等本章重要學(xué)習(xí)基本立體的投影及基本體被截切、相貫后形成的截切體、相貫體的投影。為后來(lái)組合體的投影學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).3.1平面立體常見(jiàn)平面基本體：圍成平面立體的表面都是平面，求平面立體的投影，就是把這些表面的投影畫(huà)出來(lái)，也就是把構(gòu)成立體的各個(gè)表面的交線（棱線）及各個(gè)頂點(diǎn)（棱線的交點(diǎn)）表達(dá)出來(lái)。由于各個(gè)表面存在方位關(guān)系，則棱線與頂點(diǎn)存在相對(duì)某個(gè)投影面可見(jiàn)與不可見(jiàn)，因此，作出立體的投影后，需要鑒別棱線與頂點(diǎn)的可見(jiàn)性，可見(jiàn)的棱線用實(shí)線表達(dá)，不可見(jiàn)的用虛線表達(dá)。3.1.1棱柱棱柱的投影及表面取點(diǎn)。以一種正六棱柱為例。

a

a

a

(b

)

b

b

a)六棱柱的三面投影；b)六棱柱表面取點(diǎn)3.1.2棱錐棱錐的投影及表面取點(diǎn)。以一種三棱錐為例。()

s

s

k

k

k

b

a

c

abc

a

(c

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n

n

n

a）三棱錐的三面投影；b）三棱錐表面取點(diǎn)。3.2曲面立體常見(jiàn)的曲面基本體有：圓柱圓錐球圓環(huán)3.2.1圓柱（1）圓柱體的構(gòu)成A1AOO1圓柱面上與軸線平行的任始終線稱為圓柱面的素線。由圓柱面和兩底面構(gòu)成。圓柱面是由直線AA1繞與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。直線AA1稱為母線。（2）圓柱體的三面投影（3）輪廓線的投影與曲面可見(jiàn)性的鑒別

m

A1COO1ABDC1B1（D1）a

a1

c

c1

(d)(d1)b

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c1

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(b)(b1)a(a1)(c1)c(b1)b(d1)d

m

m（4）圓柱面上取點(diǎn)3.2.2圓錐O1OSA（1）圓錐的構(gòu)成：由圓錐面和底平面構(gòu)成。圓錐面是由直線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。S稱為錐頂，直線SA稱為母線。圓錐面上過(guò)錐頂?shù)娜问冀K線稱為圓錐面的素線。圓錐面的形成：（２）圓錐體的三面投影在圖示位置，俯視圖為一圓。另兩個(gè)視圖為等邊三角形，三角形的底邊為圓錐底面的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。

s

●

s

●s（３）輪廓線素線的投影與曲面的可見(jiàn)性的判斷（４）圓錐表面取點(diǎn)Ａ輔助直線法

k

k

k

B輔助圓法

(n

)●n(n

)●3.2.3圓球三個(gè)視圖分別為三個(gè)和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個(gè)方向輪廓線的投影。圓母線以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。⑵圓球的三視圖⑶輪廓線的投影與曲面可見(jiàn)性的判斷⑷圓球面上取點(diǎn)

k

輔助圓法

k

k

⑴圓球的形成圓的半徑？3.3平面與立體相交截切：用一種平面與立體相交，截去立體的一部分。截平面——用以截切物體的平面。截交線——截平面與物體表面的交線。截?cái)嗝妗亟痪€圍成的平面圖形。討論的問(wèn)題：截交線的分析和作圖。截交線的普通性質(zhì)：1）截交線既在截平面上，又在立體表面上，因此，截交線是截平面與立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面的共有點(diǎn)。2）由于立體表面是封閉的，因此，截交線所圍成的截端面普通為封閉的平面圖形。3）截交線的形狀決定于立體表面的形狀和截平面與立體的相對(duì)位置。3.3.1平面與平面立體相交截交線是一種由直線構(gòu)成的封閉的平面多邊形，其形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的截切位置。截交線的每條邊是截平面與棱面的交線。求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：求平面截平面立體形成截交線的畫(huà)圖⒈求截交線的兩種辦法：★求各棱線與截平面的交點(diǎn)→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。核心是對(duì)的地畫(huà)出截交線的投影。⒉求截交線的環(huán)節(jié)：☆截平面與體的相對(duì)位置☆截平面與投影面的相對(duì)位置擬定截交線的投影特性擬定截交線的形狀★空間及投影分析★畫(huà)出截交線的投影分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。例1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●★空間分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查特別注意檢查截交線投影的類似性截平面與體的幾個(gè)棱面相交？截交線在俯、左視圖上的形狀？我們采用的是哪種解題方法？棱線法！例2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。121

(2

)Ⅰ、Ⅱ兩點(diǎn)分別同時(shí)位于三個(gè)面上。三面共點(diǎn)：2

●1

●

注意：要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。例3:求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。P

截交線的形狀？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ1

5

4

3

2

8

7

6

截交線的投影特性？2

≡3

≡6

≡7

1

≡8

4

≡5

求截交線15476328分析棱線的投影檢查截交線的投影3.3.1平面與曲面立體相交平面截回轉(zhuǎn)體的基本形式：

根據(jù)前面的介紹，常見(jiàn)基本曲面立體的曲面都是通過(guò)母線圍繞軸線回轉(zhuǎn)而形成，因此，又把常見(jiàn)基本曲面立體叫做回轉(zhuǎn)體。截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。截交線都是封閉的平面圖形。求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的普通環(huán)節(jié)：⒈空間及投影分析☆分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置，方便擬定截交線的形狀。☆分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確截交

線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，予見(jiàn)未知投影。⒉畫(huà)出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖環(huán)節(jié)為：☆將各點(diǎn)光滑地連接起來(lái)，并判斷截交線的可見(jiàn)性。☆先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。㈠平面與圓柱體相交

截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置垂直圓橢圓平行兩平行直線傾斜P(pán)VPPVPPVP例：求圓柱被正垂面截切后的截交線及圓柱被平面截切后的側(cè)面投影。截交線的已知投影？●●●●●●●●●●●●★找特殊點(diǎn)★補(bǔ)充中間點(diǎn)★光滑連接各點(diǎn)★分析輪廓素線的投影截交線的側(cè)面投影是什么形狀？截交線的空間形狀？完畢作圖例：求圓柱被兩個(gè)平面截切后的投影虛實(shí)分界點(diǎn)完畢作圖兩個(gè)平面截切圓柱筒●●●●完畢作圖㈡平面與圓錐相交

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同，截交線有五種形狀。過(guò)錐頂兩相交直線PV圓PVθθ=90°PV橢圓αθθ＞α拋物線PVθαθ=α雙曲線PVαθ=0°＜α例:圓錐被正垂面截切，求截交線，并完畢三視圖。截交線的空間形狀？截交線的投影特性？★找特殊點(diǎn)如何找橢圓另一根軸的端點(diǎn)？★補(bǔ)充中間點(diǎn)★光滑連接各點(diǎn)★分析輪廓線的投影完畢后的作圖(三)平面與圓球相交平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對(duì)位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。由于球面的特殊性及平面截球面的截交線在空間中體現(xiàn)是圓的特性，除截交線在球面投影的輪廓線上的特殊點(diǎn)能夠直接求出外，我們普通都是通過(guò)輔助圓法來(lái)求截交線上點(diǎn)的投影。典型的例子見(jiàn)P42的圖3.13。截交線小節(jié)一、平面體的截交線普通狀況下是由直線構(gòu)成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線。求截交線的辦法：棱線法棱面法二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截平面與被截立體軸線的相對(duì)位置。

截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。

當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，要先找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)，最后光滑連接各點(diǎn)。注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。⑵分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，以擬定截交線的投影特性。⒉求截交線三、解題辦法與環(huán)節(jié)⒈空間及投影分析⑴分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以擬定截交線的形狀。⒊當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有

局部被截切時(shí)，先按整體被截切求出截

交線，然后再取局部。⒋求復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體構(gòu)成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。END3.4立體與立體相交兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫做相貫線。本節(jié)重要研究相貫線的畫(huà)法。兩立體相貫的形式：平面立體與平面立體平面立體與曲面立體曲面立體與曲面立體★相貫線的性質(zhì)：①相貫線既是相交兩立體表面的共有線，同時(shí)也是相交兩立體表面的分界限，因此，相貫線由兩立體表面上一系列的共有點(diǎn)構(gòu)成。②由于立體含有一定的范疇，因此，相貫線普通都是封閉的?！锉竟?jié)重要討論曲面立體與曲面立體相貫的狀況兩曲面立體相交：兩曲面立體相交，其相貫線普通為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線，由一系列的共有點(diǎn)構(gòu)成。求其相貫線的實(shí)質(zhì)就是求兩曲面立體表面上一系列的共有點(diǎn)，然后依次光滑連線。作圖辦法：運(yùn)用投影的積聚性直接找點(diǎn)。用輔助平面法。先找特殊點(diǎn)：最高、最低、最左、最右等極限位置上的點(diǎn)及曲面輪廓線上的點(diǎn)。作圖過(guò)程：補(bǔ)充中間點(diǎn)。擬定交線的彎曲趨勢(shì)擬定交線的范疇光滑連線，并鑒別其可見(jiàn)性。1.運(yùn)用積聚性求相貫線●●●●●●●●●

空間及投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。求相貫線的投影：運(yùn)用積聚性，采用表面取點(diǎn)法?！钫姨厥恻c(diǎn)☆補(bǔ)充中間點(diǎn)☆光滑連接兩圓柱外表面相交完畢作圖：當(dāng)圓柱直徑變化時(shí)，相貫線投影的變化趨勢(shì)：交線向大圓柱一側(cè)彎交線的投影為兩條直線，在空間中實(shí)際為兩條平面曲線（橢圓）內(nèi)外圓柱面相交：●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆兩外表面及內(nèi)外表面相貫★內(nèi)形交線◆兩內(nèi)表面相貫完畢作圖：無(wú)輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的辦法和思路是同樣的。小結(jié)：2.運(yùn)用輔助平面求相貫線有些兩曲面立體相貫，由于不能通過(guò)相貫線的已知投影運(yùn)用積聚性求相貫線的未知投影，此時(shí)就運(yùn)用選擇輔助平面分別與相貫的兩曲面立體截交形成交線，尋找兩交線的交點(diǎn)，此交點(diǎn)就是相貫線上的點(diǎn)，即運(yùn)用三面共點(diǎn)的原理