1個(gè)人介紹：康淑瑰，女，1964年生，教授，博士，碩士生導(dǎo)師,山西省教學(xué)名師，山西省“131”領(lǐng)軍人才中青年撥尖創(chuàng)新人才，山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院院長(zhǎng).1984年于山西師范學(xué)院數(shù)學(xué)系畢業(yè)獲理學(xué)學(xué)士學(xué)位,1998年于北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系獲理學(xué)碩士學(xué)位,年于海軍航空工程學(xué)院控制工程系畢業(yè)獲博士學(xué)位.1992年任講師,1998年任副教授,年任教授.主持和參加各類(lèi)項(xiàng)目16項(xiàng),其中主持國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目1項(xiàng)（68萬(wàn)）,山西省自然科學(xué)基金1項(xiàng)（4萬(wàn)）,山西省高校科技研究開(kāi)發(fā)項(xiàng)目1項(xiàng),山西省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃項(xiàng)目、“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目各1項(xiàng).參加山西省高校科技研究開(kāi)發(fā)項(xiàng)目4項(xiàng).在國(guó)內(nèi)外主要學(xué)術(shù)刊物發(fā)表論文60余篇，其中SCI檢索17篇。取得山西省優(yōu)異教學(xué)結(jié)果二等獎(jiǎng)1項(xiàng)、山西省高等學(xué)校優(yōu)異結(jié)果獎(jiǎng)（科學(xué)技術(shù)）一等獎(jiǎng)1項(xiàng)。第1頁(yè)2游戲中數(shù)學(xué)問(wèn)題山西大同大學(xué)康淑瑰第2頁(yè)3兩句耐人尋味話(huà)一個(gè)人不識(shí)字能夠生活，不過(guò)若不識(shí)數(shù)，就極難生活了

。一個(gè)國(guó)家科學(xué)進(jìn)步，能夠用它消耗數(shù)學(xué)來(lái)度量。

第3頁(yè)4游戲中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是加強(qiáng)師生關(guān)系紐帶，經(jīng)過(guò)做游戲，會(huì)使教師和學(xué)生關(guān)系變得十分融洽。在游戲中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。邏輯推理使人聰明！?。〉?頁(yè)5

（一）數(shù)學(xué)素養(yǎng)才使人終生受益

一個(gè)人學(xué)歷教育中，從小學(xué)一年級(jí)到大學(xué)一年級(jí)，普通要學(xué)十三年數(shù)學(xué)課程，但許多人并未因?yàn)閷W(xué)時(shí)間長(zhǎng)就掌握了數(shù)學(xué)精華。相反，大多數(shù)學(xué)生依然對(duì)數(shù)學(xué)思想、精神了解得較淺薄，對(duì)數(shù)學(xué)宏觀認(rèn)識(shí)和總體把握較差，數(shù)學(xué)素養(yǎng)較差；甚至誤認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了會(huì)做題、能應(yīng)付考試，不知道“數(shù)學(xué)方式理性思維”重大價(jià)值，不了解數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中主要作用，不了解數(shù)學(xué)文化與很多文化交匯。第5頁(yè)6

實(shí)際上，學(xué)生畢業(yè)后走入社會(huì)，假如不是在與數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域工作（從事與數(shù)學(xué)直接相關(guān)工作人不到1%），他們學(xué)過(guò)詳細(xì)數(shù)學(xué)定理、公式和解題方法可能大多用不上，以至很快就忘記了；而他們有所欠缺數(shù)學(xué)素養(yǎng)，反而是數(shù)學(xué)讓人終生受益精華。一位數(shù)學(xué)教育家說(shuō)，不論人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中數(shù)學(xué)思想精神、數(shù)學(xué)思維方法和看問(wèn)題著眼點(diǎn)等，都會(huì)隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使人們終生受益。

第6頁(yè)7重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”通俗說(shuō)法

—把所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)都排除或忘記后，剩下東西從數(shù)學(xué)角度看問(wèn)題出發(fā)點(diǎn)；有條理地理性思維，嚴(yán)密地思索、求證，簡(jiǎn)練、清楚、準(zhǔn)確地表示；在處理問(wèn)題時(shí)、總結(jié)工作時(shí)，邏輯推理意識(shí)和能力；對(duì)所從事工作，合理地量化和簡(jiǎn)化，周到地運(yùn)籌帷幄。第7頁(yè)8（1）社會(huì)重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)

某外企招考員工一道題

有兩只烏龜一起賽跑。甲龜?shù)诌_(dá)10米終點(diǎn)線(xiàn)時(shí)，乙龜才跑到9米?，F(xiàn)在假如讓甲龜起跑線(xiàn)退后1米，這時(shí)兩龜再同時(shí)起跑比賽，問(wèn)比賽結(jié)果將怎樣？

（假設(shè)兩龜均作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)）第8頁(yè)9某外企招考員工又一道題

有三個(gè)筐，一個(gè)筐裝著柑子，一個(gè)筐裝著蘋(píng)果，一個(gè)筐混裝著柑子和蘋(píng)果。裝完后封好了。然后做了“柑子”、“蘋(píng)果”、“混裝”三個(gè)標(biāo)簽，分別往上述三個(gè)筐上貼。因?yàn)轳R虎，結(jié)果全都貼錯(cuò)了。請(qǐng)你想一個(gè)方法，只許從某一個(gè)筐中拿出一個(gè)水果，就能夠糾正全部標(biāo)簽。第9頁(yè)10某外企招考員工又一道題

老師讓6名學(xué)生圍坐成一圈，另讓一名學(xué)生坐在中央，并拿出七頂帽子，其中四頂白色，三頂黑色。然后讓七名學(xué)生都戴上眼罩，并給每個(gè)學(xué)生戴一頂帽子；再只解開(kāi)坐在圈上六名學(xué)生眼罩。這時(shí)，因?yàn)樽谥醒雽W(xué)生阻擋，每個(gè)人只能看到五個(gè)人帽子。老師說(shuō)：“現(xiàn)在，你們七人猜一猜自己戴帽子顏色?！贝蠹异o靜地思索了好大一會(huì)。最終，坐在中央、被蒙住雙眼學(xué)生說(shuō)：“我猜到了。”問(wèn)：中央被蒙住雙眼學(xué)生帶是什么顏色帽子？他是怎樣猜到?第10頁(yè)11微軟企業(yè)招考員工一道面試題

一個(gè)屋子里面有五十個(gè)人，每個(gè)人領(lǐng)著一條狗，而這些狗中有一部分病狗。假定有以下條件：1、狗病不會(huì)傳染，也不會(huì)不治而愈；2、狗主人不能直接看出自己狗是否有病,只能靠看他人狗和推理，來(lái)發(fā)覺(jué)自己狗是否有病；3、一旦主人發(fā)覺(jué)自己狗是一只病狗，就會(huì)在當(dāng)日開(kāi)槍打死這條狗；

4、狗只能由他主人開(kāi)槍打死。假如他們?cè)谝黄?，第一天沒(méi)有槍聲、第二天沒(méi)有槍聲……第十天發(fā)出了一片槍聲，問(wèn)有幾條狗被打死？（不是“腦筋急轉(zhuǎn)彎”！是歸納法）第11頁(yè)12著力提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是與生俱來(lái)，是在學(xué)習(xí)和實(shí)踐中培養(yǎng)。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，更要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)文化，了解“數(shù)學(xué)方式理性思維”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。第12頁(yè)13（三）趣味題一——找次品：

1）有5個(gè)外形相同乒乓球，其中只有

1個(gè)重量不標(biāo)準(zhǔn)次品乒乓球。現(xiàn)再給你一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球；請(qǐng)用一架不帶砝碼天平，最多兩次使用該天平，找出上述次品乒乓球。第13頁(yè)14最優(yōu)化思想最少次數(shù)完成預(yù)定任務(wù)最大程度發(fā)揮該天平作用第14頁(yè)15趣味題二：抓單堆1.抓單堆：有一堆谷粒（比如100粒），甲、乙輪番抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，要求誰(shuí)抓到最終一把誰(shuí)贏。問(wèn)：甲應(yīng)該怎樣抓？為何？第15頁(yè)16趣味題三：抓兩堆1.抓兩堆：有兩堆谷粒（每堆有十幾粒），甲、乙輪番抓，每次可抓1粒，也能夠抓1粒－3粒，每次只能在一堆中取，下一次能夠換堆。甲、乙輪番抓，要求誰(shuí)抓到最終一粒誰(shuí)贏。問(wèn)：怎樣抓？為何？第16頁(yè)17趣味題三：抓兩堆

定理1：在抓兩堆游戲中，限定最多抓3粒，并約定拿到最終一顆者贏，那么把兩堆相等局面留給對(duì)方，則穩(wěn)操勝券。證實(shí)：甲在某一堆中取幾顆，乙另一堆中也取幾顆，總能夠拿成（1，1）局面。今后，只能是甲取1，乙取最終一個(gè)1。假如當(dāng)（A，A）中A小于或等于3時(shí)，甲一次把一堆拿光，乙也把另一堆一次拿光。第17頁(yè)18趣味題三：抓兩堆

定理2：在抓兩堆游戲中，限定最多抓3粒，并約定拿到最終一顆者贏，那么把兩堆之差為4倍數(shù)之局面留給對(duì)方，則穩(wěn)操勝券。證實(shí)：用數(shù)學(xué)歸納法。問(wèn)題是對(duì)全部自然數(shù)K，把（A，A+4K）留給對(duì)方，準(zhǔn)贏。第18頁(yè)19趣味題四：抓三堆1.抓三堆：有三堆谷粒，第一堆3粒，第二堆5粒，第三堆7粒，甲、乙輪番抓，每次可抓1粒、2粒、……、也能夠把整堆拿完，每次只能在一堆中取，下一次能夠換堆。甲、乙輪番抓，要求誰(shuí)抓到最終一粒誰(shuí)贏。問(wèn)：怎樣抓？為何？第19頁(yè)20趣味題四：抓三堆（1）當(dāng)剩1堆時(shí)：先拿者能夠一下子拿完，無(wú)疑先拿者贏。（2）當(dāng)剩2堆時(shí)：若兩堆個(gè)數(shù)相同，甲在某堆中拿幾粒，乙在另一堆中拿幾粒，所以后拿者贏。若兩堆個(gè)數(shù)不相等，甲只需把相差個(gè)數(shù)拿掉，把個(gè)數(shù)相等局面留給對(duì)方，他就立于不敗之地了，所以先拿者贏。（3）當(dāng)剩3堆時(shí)：可分情況討論。假如其中兩堆個(gè)數(shù)相等，則先拿者贏。因?yàn)橹灰训?堆拿掉，就把兩個(gè)相等局面留給對(duì)方了。假如任意兩堆個(gè)數(shù)均不相等，即情況為（A，B，C），A〈B〈C。第20頁(yè)21趣味題五：隔墻猜數(shù)

隔墻猜物是西游記中一個(gè)戲法。我們不會(huì)隔墻猜物，但我們能夠猜你手中有幾個(gè)物體。假如我左右手中分別有幾個(gè)粉筆頭，右手中比左手中多3個(gè)，你們能猜出我左右手中有幾個(gè)粉筆頭嗎？普通不行，假如我猜你們，普通能行。第21頁(yè)22趣味題五：隔墻猜數(shù)

李老師拿幾根牙簽分別攥在左右手中，我問(wèn)李老師，哪只手多，多幾根？他回答，右手多，多3根。于是我攥了4根牙簽，我說(shuō)我手中也攥了幾根牙簽，牙簽根數(shù)和你左手中一樣多，在我們張開(kāi)手驗(yàn)證之前，還需要做一件事情，請(qǐng)把你右手中牙簽變成7根，假如多于7根，把多出給我，假如少于7根，用我牙簽給你補(bǔ)，交換之后，張開(kāi)手驗(yàn)證。我手中牙簽恰好和李老師手中一樣多，不信我們能夠一起做。請(qǐng)大家悟出其中道理。第22頁(yè)23趣味題五：隔墻猜數(shù)

設(shè)李老師左手中牙簽數(shù)為X，右手便有X+3根，假如我手中有4根，李老師右手中和我手中共有X+7根，交換后，李老師右手中變成7根，我手中就成了X根了。普通情況下，對(duì)方告訴你多B，你中有A，讓對(duì)方手中變成（A+B），你手中就是X了。其原理是下面恒等式：（X+B）+A=（A+B）+X第23頁(yè)24趣味題六：老板損失了多少錢(qián)？

老師拿著8頂帽子走進(jìn)教室，對(duì)同學(xué)們說(shuō)：“剛才去買(mǎi)帽子，碰到一件新鮮事，賣(mài)帽子老板娘被人騙了，正在罵大街呢”。事情是這么：一頂帽子進(jìn)價(jià)是2元，售價(jià)是4元，一頂帽子賺2元。有一個(gè)染了黃頭發(fā)年輕人要買(mǎi)10頂帽子，他給老板娘100元整票，老板娘沒(méi)有零錢(qián)找。于是找賣(mài)鞋老板換了100元零錢(qián)。年輕人拿著帽子和60元錢(qián)急忙地走了。老板娘正為賺了20元錢(qián)高興呢，賣(mài)鞋老板找來(lái)了，說(shuō)：“這100元是假鈔?！崩习迥镏缓媒o人家換了100元真鈔。老板娘愉快心情一下子掉到了冰谷，拿著100元假鈔，一遍又一遍地嘮叨：“天殺黃毛，坑了老娘180元錢(qián)，你不得好死”。老板娘到底損失了多省錢(qián)？請(qǐng)先擇：

A：160元B：180元C：大于100元D：小于100元第24頁(yè)25趣味題七：一元錢(qián)哪里去了？

三個(gè)窮學(xué)生去一個(gè)農(nóng)村小鎮(zhèn)旅館投宿，每人拿了10元合租一間客房，交了30元錢(qián)。老板發(fā)善心，只收了25元。叫服務(wù)生退給學(xué)生5元。服務(wù)員想：三個(gè)怎樣分5元錢(qián)呀？于是私自扣下2元，只退給學(xué)生3元。請(qǐng)問(wèn)：每個(gè)學(xué)生交了9元，服務(wù)員拿了2元，共29元，另外1元哪里去了？第25頁(yè)26趣味題八：實(shí)話(huà)城與謊話(huà)城

有兩座相鄰城市座落在同一條河畔，城門(mén)相對(duì)，城市建筑含有一樣格調(diào)，規(guī)模大小相同，城門(mén)樓上也都沒(méi)有寫(xiě)城市名稱(chēng)。兩座城市居民相互往來(lái)頻繁，過(guò)著安居樂(lè)業(yè)友好生活。但有一點(diǎn)不一樣，一座城市居民，個(gè)個(gè)都很老實(shí)，句句說(shuō)都是實(shí)話(huà)，不妨稱(chēng)這座城市為“實(shí)話(huà)城”；另一座城市居民，個(gè)個(gè)都很滑稽，從來(lái)不說(shuō)一句實(shí)話(huà)，姑且稱(chēng)這座城市為“謊話(huà)城”。第26頁(yè)27趣味題八：實(shí)話(huà)城與謊話(huà)城

假定有一外鄉(xiāng)人要去“實(shí)話(huà)城”辦事，走到兩座城門(mén)之間，不知道該進(jìn)哪座城。他問(wèn)一位老鄉(xiāng)：“勞駕，請(qǐng)問(wèn)哪是實(shí)話(huà)城？”老鄉(xiāng)指了指左邊城市說(shuō)：“這一座。”他不放心，又問(wèn)另一位老鄉(xiāng)：“勞駕，請(qǐng)問(wèn)哪是實(shí)話(huà)城？”這位老鄉(xiāng)卻指了指右邊城市說(shuō)：“這一座?！蓖忄l(xiāng)人無(wú)所適從了。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一句話(huà)，不論問(wèn)到“實(shí)話(huà)城”人，還是問(wèn)到“謊話(huà)城”人，都能立刻得到正確答案。第27頁(yè)28趣味題八：實(shí)話(huà)城與謊話(huà)城

指著左邊城市問(wèn)老鄉(xiāng)：“勞駕，請(qǐng)問(wèn)你是這座城市居民嗎？”

老鄉(xiāng)回答說(shuō)：“是”。則左邊城市就是實(shí)話(huà)城。因?yàn)?，這位老鄉(xiāng)假如是“實(shí)話(huà)城”居民，他當(dāng)然回答“是”；這位老鄉(xiāng)假如是“謊話(huà)城”居民，他把話(huà)反說(shuō)，也會(huì)回答“是”。

老鄉(xiāng)回答說(shuō)：“不是”。則左邊城市就是謊話(huà)城。因?yàn)椋@位老鄉(xiāng)不論是“實(shí)話(huà)城”居民，還是“謊話(huà)城”居民，他都會(huì)回答“不是”。

第28頁(yè)29趣味題八：實(shí)話(huà)城與謊話(huà)城

指著左邊城市問(wèn)老鄉(xiāng)：“勞駕，你不是這座城市居民嗎？”假如老鄉(xiāng)穿著白色衣服，接著問(wèn)他：“你衣服是白色嗎？”回答說(shuō)“是”，則是“實(shí)話(huà)城”人；回答說(shuō)“不是”，則是“謊話(huà)城”人。

第29頁(yè)30（三）韓信點(diǎn)兵與中國(guó)剩下定理

第30頁(yè)31

一、“韓信點(diǎn)兵”故事和《孫子算經(jīng)》中題目

1.“韓信點(diǎn)兵”故事

韓信閱兵時(shí)，讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過(guò)，他記下最終一行士兵人數(shù)（1人）；再讓這隊(duì)士兵6人一行排隊(duì)從他面前走過(guò)，他記下最終一行士兵人數(shù)（5人）；再讓這隊(duì)士兵7人一行排隊(duì)從他面前走過(guò)，他記下最終一行士兵人數(shù)（4人），再讓這隊(duì)士兵11人一行排隊(duì)從他面前走過(guò)，他記下最終一行士兵人數(shù)（10人）。然后韓信就憑這些數(shù)，能夠求得這隊(duì)士兵總?cè)藬?shù)。第31頁(yè)32

這里面有什么秘密呢？韓信好像非常重視作除法時(shí)余數(shù)第32頁(yè)33

2.《孫子算經(jīng)》中題目

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”題目：

今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩2，五五數(shù)之剩3，七七數(shù)之剩2，問(wèn)物幾何？

第33頁(yè)34

這里面又有什么秘密呢？題目給出條件，也僅僅是作除法時(shí)余數(shù)第34頁(yè)35《孫子算經(jīng)》第35頁(yè)36

二．問(wèn)題解答

1．從另一個(gè)問(wèn)題入手問(wèn)題：今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩1，三三數(shù)之剩2，四四數(shù)之剩3，五五數(shù)之剩4，六六數(shù)之剩5，七七數(shù)之剩6，八八數(shù)之剩7，九九數(shù)之剩8，問(wèn)物幾何？第36頁(yè)37

1）篩法1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，

21，23，25，…（

用2除余1）5，11，17，23，…（

用3除余2）11，23，…（

用4除余3）第37頁(yè)38

再?gòu)闹刑簟坝?除余4”數(shù)，…

一直篩選下去，舍得下功夫，就一定可得結(jié)果。而且看起來(lái)，解，還不是唯一；可能有沒(méi)有窮多個(gè)解。第38頁(yè)39

化繁為簡(jiǎn)思想當(dāng)問(wèn)題中有很多類(lèi)似條件時(shí)，我們先只看其中兩三個(gè)條件，這就是化繁為簡(jiǎn)。一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題，假如在簡(jiǎn)化時(shí)依然保留了原來(lái)問(wèn)題特點(diǎn)和本質(zhì)，那么簡(jiǎn)化就“不失普通性”。學(xué)會(huì)“簡(jiǎn)化問(wèn)題”與學(xué)會(huì)“推廣問(wèn)題”一樣，是一個(gè)主要數(shù)學(xué)能力。

尋找規(guī)律思想

把我們解題方法總結(jié)為篩法，是主要進(jìn)步，是質(zhì)飛躍：

——找到規(guī)律了。篩法是普通性方法，還能夠用來(lái)處理其它類(lèi)似問(wèn)題。第39頁(yè)40

2）公倍數(shù)法

①化繁為簡(jiǎn)我們還是先看只有前兩個(gè)條件簡(jiǎn)化題目。

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…（

用2除余1）

5，11，17，23，…（

用3除余2）上述篩選過(guò)程第一步，得到:1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…

其實(shí)是列出了“用2除余1”數(shù)組成數(shù)列。這個(gè)數(shù)列實(shí)際上是用帶余除法式子得到。第40頁(yè)41

所謂“帶余除法”，是指整數(shù)以下“除法”：被除數(shù)，除數(shù),必唯一存在商和余，使

第41頁(yè)42

當(dāng)余時(shí)，則，稱(chēng)為“整除”，或“整除”，這是通常除法“”另一個(gè)表示形式。所以，帶余除法是通常除法推廣。第42頁(yè)43

回到求“用2除余1數(shù)”問(wèn)題。設(shè)這樣數(shù)為，則。這里是被除數(shù)，2是除數(shù)，是商，1是余，且。第43頁(yè)44

這就是“帶余除法”式子。當(dāng)取時(shí)，用上式求得恰好組成上述數(shù)列

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…

第44頁(yè)45

接著從中篩選出“用3除余2”數(shù)，就是挑出符合下面“帶余除法”表示式數(shù)，這里可取0，1，2，3，4，…

再繼續(xù)做下去。。。。。。第45頁(yè)46

假如我們不分上面兩步，而是一上來(lái)就綜合考慮二者，則就是要解聯(lián)立方程組

第46頁(yè)47

那么，為了解這個(gè)方程組，除了剛才篩法外，還有沒(méi)有愈加巧妙解法？我們考查上邊兩個(gè)方程特點(diǎn)，發(fā)覺(jué)，兩個(gè)“帶余除法”式子，都是“余數(shù)比除數(shù)少1”。于是想到，假如把被除數(shù)再加1，不是余數(shù)就為0了嗎？換句話(huà)說(shuō)，不是就出現(xiàn)整除情況了嗎？第47頁(yè)48

于是把上邊每個(gè)方程兩邊都加上1，成為

這說(shuō)明，既是2倍數(shù)，又是3倍數(shù)，所以，它是2與3公倍數(shù)。由此想到第48頁(yè)49對(duì)整個(gè)問(wèn)題尋找規(guī)律問(wèn)題：今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩1，三三數(shù)之剩2，四四數(shù)之剩3，五五數(shù)之剩4，六六數(shù)之剩5，七七數(shù)之剩6，八八數(shù)之剩7，九九數(shù)之剩8，問(wèn)物幾何？第49頁(yè)50

②尋找規(guī)律設(shè)問(wèn)題中，需要求數(shù)是，則被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得余數(shù)都是比除數(shù)少1，于是我們把被除數(shù)再加1，則就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是說(shuō)，是2,3,4,5,6,7,8,9公倍數(shù)，從而是其最小公倍數(shù)[2,3,4,5,6,7,8,9]倍數(shù)。第50頁(yè)51

即

這就是原問(wèn)題全部解，有沒(méi)有窮多個(gè)解，其中第一個(gè)解是2519；我們只取正數(shù)解，因?yàn)椤拔矬w個(gè)數(shù)”總是正整數(shù)。

第51頁(yè)52

[思]：①求“用2除余1，3除余2，…用m除余

m－1”數(shù)。②求“用a除余a－1，用b除余b－1，用c除余c－1”數(shù)。（a,b,c是任意大于1自然數(shù)）③求“用2，3，4，5，6，7，8，9除都余1”數(shù)。④求“用5，7，9，11除都余2”數(shù)。第52頁(yè)53

2．《孫子算經(jīng)》中“有物不知其數(shù)”問(wèn)題解答

問(wèn)題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩2，五五數(shù)之剩3，七七數(shù)之剩2，問(wèn)物幾何？第53頁(yè)541）篩法.2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2）8，23，…（用5除余3）23，…（用7除余2）

由此得到，23是最小一個(gè)解。至于下一個(gè)解是什么，要把“…”寫(xiě)出來(lái)才知道；實(shí)踐以后發(fā)覺(jué)，是要費(fèi)一點(diǎn)兒功夫。第54頁(yè)55

當(dāng)然，解，不是唯一，每差105，都是另一個(gè)解答，但假如結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，答案往往就是唯一了。比如一隊(duì)士兵大約人數(shù)，韓信應(yīng)是知道。第55頁(yè)56

當(dāng)然，解，不是唯一，每差105，都是另一個(gè)解答，但假如結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，答案往往就是唯一了。比如一隊(duì)士兵大約人數(shù)，韓信應(yīng)是知道。第56頁(yè)57

（四）有趣應(yīng)用

某單位有100把鎖，分別編號(hào)為1，2，3，…，100。現(xiàn)在要對(duì)鑰匙編號(hào)，使外單位人看不懂，而本單位人一看見(jiàn)鎖號(hào)碼就知道該用哪一把鑰匙。

第57頁(yè)58

能采取方法很多，其中一個(gè)就是利用中國(guó)剩下定理，把鎖號(hào)碼被3，5，7去除所得三個(gè)余數(shù)來(lái)作鑰匙號(hào)碼（首位余數(shù)是0時(shí)，也不能省略）。這么每把鑰匙都有一個(gè)三位數(shù)編號(hào)。比如23號(hào)鎖鑰匙編號(hào)是232號(hào)，52號(hào)鎖鑰匙編號(hào)是123號(hào)。第58頁(yè)59

8號(hào)鎖——23119號(hào)鎖——14545號(hào)鎖——00352號(hào)鎖——123

因?yàn)橹挥?00把鎖，不超出105，所以鎖號(hào)與鑰匙號(hào)是一一對(duì)應(yīng)。假如希望保密性再?gòu)?qiáng)一點(diǎn)兒，則能夠把剛才所說(shuō)鑰匙編號(hào)加上一個(gè)固定常數(shù)作為新鑰匙編號(hào)系統(tǒng)。甚至能夠每過(guò)一個(gè)月更換一次這個(gè)常數(shù)。這么，仍不破壞鎖號(hào)與鑰匙號(hào)之間一一對(duì)應(yīng)，而外人則更難知道了。第59頁(yè)60（五）整數(shù)表示為連續(xù)整數(shù)和

第60頁(yè)61

有一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象是很有趣而且奇怪，不知道大家是否注意到，我們來(lái)看一看，并想想為何？我們看自然數(shù)1，2，3，4，5，……一直下去，其中有許多整數(shù)是有這么奇怪性質(zhì)，它能夠用前面一串連續(xù)整數(shù)和得到，比如：

3=1+2，4不行，5=2+3，6=1+2+3，

7=3+4，8不行，9=4+5，10=1+2+3+4，

11=5+6，12=3+4+5，13=6+7，

14=2+3+4+5，15=7+8=1+2+3+4+5，

16不行，……第61頁(yè)62

大家能夠一直算下去，你們發(fā)覺(jué)什么？假如你一直算到200，你會(huì)發(fā)覺(jué)從100開(kāi)始，我們有

100=18+19+20+21+22，101=50+51，

102=33+34+35，103=51+52，

104=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14等等，而從100到200之間，只有一個(gè)數(shù)128是唯一你沒(méi)法用連續(xù)整數(shù)和來(lái)表示它。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我敢和你們打賭，因?yàn)槭澜缟蠜](méi)有一個(gè)人能表示128為連續(xù)整數(shù)和。第62頁(yè)63

我們現(xiàn)在問(wèn)幾個(gè)為何？（1）什么樣整數(shù)才能表示為連續(xù)整數(shù)和？我們看2，4，8，16，32，64，128，……等等都不行，這些數(shù)都是樣子，是否形如數(shù)都不能有這么表示？（2）那些能表示為連續(xù)整數(shù)整數(shù)個(gè)數(shù)是否無(wú)窮還是有限？從實(shí)際驗(yàn)算，我們多數(shù)會(huì)猜測(cè)它應(yīng)該是無(wú)窮，可是怎么證實(shí)呢？第63頁(yè)64

假如我們現(xiàn)在有一個(gè)整數(shù)N，而我們能找到一串連續(xù)整數(shù)和來(lái)表示它，我們現(xiàn)在假定這連續(xù)整數(shù)開(kāi)頭是x,x+1,……,y,即

N=x+(x+1)+……+y

我們都知道高斯怎么算1+2+3+……+100故事吧，

N={1+2+3+……+（x-1）+x+(x+1)+……+y}-{1+2+3+……+（x-1）}=y(1+y)/2-(x-1)x/2

現(xiàn)在假定x+d=y，(這里d大于等于1)，代入上式可得第64頁(yè)65第65頁(yè)66

現(xiàn)在我們對(duì)d來(lái)考慮：情形1：d是偶數(shù)，則1+d是奇數(shù)，而(2x+d)/2是整數(shù)；情形2：d是奇數(shù)，則1+d是偶數(shù)，而2x+d是奇數(shù)；所以不論d是偶數(shù)還是奇數(shù)，N一定有一個(gè)因子是奇數(shù)，現(xiàn)在我們見(jiàn)到凡是形如2整數(shù)次冪數(shù)，都沒(méi)有奇因子，所以這么數(shù)一定不能表示為連續(xù)整數(shù)和。第66頁(yè)67（六）鴿籠原理日常利用

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鴿籠原理：假如把N＋1個(gè)東西放進(jìn)N個(gè)盒子里，有一些盒子必須包含最少兩個(gè)東西。有高六層鴿籠，每一層有四個(gè)間隔，所以總共有24個(gè)鴿籠?，F(xiàn)在放進(jìn)25只鴿子，你一定會(huì)看到最少有一個(gè)鴿籠會(huì)有2只鴿子擠在一起。鴿籠原理就這么簡(jiǎn)單，3歲以上小孩子都會(huì)明白。第68頁(yè)69

可是這原理在數(shù)學(xué)上卻是有很主要應(yīng)用。我們不要小看這個(gè)看來(lái)簡(jiǎn)單原理，假如我們善于利用這個(gè)原理，是能夠幫助我們處理一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。第69頁(yè)70鴿籠原理日常利用：（1）月黑風(fēng)高穿襪子（2）手指紋和頭發(fā)（3）戲院觀眾生日第70頁(yè)71鴿籠原理在數(shù)學(xué)上利用（1）斐波那契數(shù)一個(gè)性質(zhì)1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

在18世紀(jì)時(shí)法國(guó)大數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家拉格朗日發(fā)覺(jué)這斐波那契數(shù)有這么有趣性質(zhì)：假如你用2來(lái)除各項(xiàng)，并寫(xiě)下它余數(shù)，你會(huì)看到這么情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，…第71頁(yè)72

假如用3來(lái)除各項(xiàng)，寫(xiě)下它余數(shù)，你就得到

1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…

假如用4來(lái)除各項(xiàng)，寫(xiě)下它余數(shù)，你就會(huì)得到

1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…第72頁(yè)73

拉格朗日發(fā)覺(jué)，不論你用什么數(shù)字去除，余數(shù)數(shù)列會(huì)出現(xiàn)有規(guī)律重復(fù)現(xiàn)象。為何會(huì)有這么現(xiàn)象呢？用鴿籠原理能夠解釋。第73頁(yè)74（2）五個(gè)大頭釘在等邊三角板里位置有一個(gè)每邊長(zhǎng)2個(gè)單位正三角形（即三邊都相等三角形）三角板。你隨便在上面釘上五個(gè)大頭釘，一定會(huì)有一對(duì)大頭釘距離是小過(guò)一個(gè)單位。假如你不相信話(huà)，能夠做幾次試驗(yàn)看看是否一直如此。第74頁(yè)75我們用鴿籠原理處理這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在每一個(gè)小三角形里