2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（三）

一,選擇題（共6小題）

1.（2022?乙卷）已知向量工。滿足面=1,\b\=V3,\a-2b\=3,則:二=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2022?新高考I）在△ABC中，點(diǎn)。在邊A8上，BD=2DA.記&=/，CD=n,則a=（）

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

3.（2022?新高考II）已知向量；=（3,4）,d=（1,0）,c=a+tb,若<2,">=Vb,則/=（）

A.-6B.-5C.5D.6

4.（2022?北京）在△ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則易?麗的取值范圍是（）

A.[-5,31B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

5.（2022?乙卷）已知向量Z=（2,1）,ft=（-2,4）,則向一&=（）

A.2B.3C.4D.5

6.（2022?全國(guó)）已知向量。=（x+2,1+x）,b=（x-2?1-x）.若?！╞,則（）

A./=2B.|.r|=2C..r2=3D.\x\=3

二,填空題（共8小題）

7M2023?上海）已知△ABC中，角A,8,C所對(duì)的邊a=4,b=5,c=6,則sinA=.

8.（2023?上海）已知向量之二（-2,3）,b=（1,2）,貝狐工=.

9.（2023?甲卷）在△ABC中，NB4C=60°,AB=2,BC=瓜,D為BC上一點(diǎn),AO為N84C的平分線，

則AQ=.

10.（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與

水平面所成夾角為8.行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為（1.025-cose）,欲使行人走上斜坡所

消耗的總體力最小，則e=.

11.（2023?全國(guó)）在△4BC中，A=2B,a=6,b=4,則cos8=.

AC

12.（2022?甲卷）已知△A8C中，點(diǎn)。在邊8c上，ZADB=\20°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)一取得最小

AB

值時(shí)，BD=.

13.（2022?甲卷）已知向量。=（in,3）,b=（1,m+1）.若a_Lb,則〃?=

14.（2022?上海）已知在△ABC中，ZA=^,AB=2,AC=3,則△ABC的外接圓半徑

為_______________________

三,解答題(共6小題)

15.(2023?新高考I)已知在△48。中，A+B=3C,2sin(A?C)=sin8.

(1)求sinA；

(2)設(shè)A4=5,求A4邊上的高.

82+。2―02

16.(2023?甲卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知---------=2.

COSA

(1)求力c；

acosB-bcosAb

⑵若=一1求△48C面積.

17.（2。23?天津）在△A8C'4J,比A,B,C.所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=顧，b=2,Z>4=120°.

(I)求sin/9的值;

(II)求。的值；

(III)求sin(5-C)的值.

18.(2023?新高考II)記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為V5,D為BC

的中點(diǎn)，且AO=1.

(1)若N4￡>C=',求tan伙

(2)若戶+C，2=8,求乩c.

19.(2023?上海)在△4BC中，角A、B、。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,其中b=2.

(I)若A+C=12()°,a=2c,求邊長(zhǎng)c；

(2)若A-C=15。，a=V2csinA,求△48C的面積.

20.(2023?乙卷)在△ABC中，己知N84C=120°,AB=2,AC=\.

(1)求sin/ABC；

(2)若D為BC上一點(diǎn).且/朋。=90°,求△ADC的面積.

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（三）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

題號(hào)123456

答案CBCDDA

一.選擇題（共6小題）

1.（2022?乙卷）已知向量。滿足向=1,\b\=V3,\a-2b\=3f則=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：方程思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解?.

【答案】C

【分析】利用丘-2a=JG-2^）2,結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)橄蛄抗?滿足而=1,\b\=V3,|a-2b|=3,

所以丘—2b\=J（a—2b）2=Ja2—4a-b+4b2=J1—42b+4x3=3,

兩邊平方得，

13-4a-b=9,

解得a-b=1,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022?新高考I）在中.點(diǎn)。在邊AAr.RD=2DA.記占=/，2）=/則2?=（）

A.3m—2nB.-2m+3nC.3?n+2nD.2m+3n

【考點(diǎn)】平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】B

1T3TT

【分析】直接利用平面向量的線性運(yùn)算可得5cB=-CD-CA,進(jìn)而得解.

則P力?PB的取值范圍是（）

A.[-5,31B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解..

【答案】。

【分析】根據(jù)條件，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)。（工，），），計(jì)算可得易?讀二-31-4），+1,進(jìn)而可利用

參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解.

【解答】解：在△A8C中，AC=3,BC=4,ZC=90°,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,C8所在的直線為k軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

則A(3,0),B(0,4),C(0,0),

設(shè)P(羽)，)，

因?yàn)镻C=1,

所以』+『=1,

又P4=(3-x,-y),PB=(-x,4-y),

所以PAPB=-x(3-^)-y(4-y)=.，+)?-3x-4y=-3x-4y+l,

設(shè)X=以)3。，y=sin8,

TTQ

所以=—(3cosG+4sin9)+1=-5sin(0+(p)+1,其中tan(p=彳

當(dāng)sin(0+(p)=1時(shí)，易?而有最小值為-4,

當(dāng)sin（0+（p）=?1時(shí)，P/TP8有最大值為6,

所以P4?PB曰-4,6],

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的最值問(wèn)題，屬于中檔邈.

5.(2022?乙卷)已知向量之=(2,1),b=(-2,4),則向一&=()

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

【專題】平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】。

【分析】先計(jì)算公-1的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)模長(zhǎng)公式求解.

【解答】解：a-b=(4,一3),

故II=代+(-3)2=5,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2022,全國(guó))已知向量。=(x+2,1+x),b=(x-2,1-x).若a〃b,則(

A.?=2B.W=2C.』=3D.|x|=3

【考點(diǎn)】平面向量的相等與共線.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】4

【分析】由已知可得x+2)(17)-(1+x)(x-2)=0,計(jì)算即可.

【解答】解：a//b,a=("2,1+x),b=(x-2,1-x).

J(x+2)(1-x)-(1+x)(x-2)=0,

???-2a2+4=0,???/=2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考資兩向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

二,填空題(共8小題)

V7

7.(2023?上海)已知△A8C中，角A,B,C所對(duì)的邊〃=4,b=5,c=6,貝UsinA=—

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】三y/7.

4

【分析】先利用余弦定理求出cosA,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解.

【解答】解：。=4,〃=5,c=6,

rktA?工田Ab2+c2—25+36—163

由余弦定理得，COSA=2bc=2x5x6=4，

又(0,n),

.*.sinA>0?

/.siiL4=V1—cos2A=Jl-(%=

V7

故答案為：—.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考杳了同角三角藥數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2023?上海)已知向量』=(-2,3),b=(1,2),則彳工=4.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

【專題】整體思想：綜合法；平面向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解.

【答案】4.

【分析】直接利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解.

【解答】解：,??向量:=(-2,3),d=(I,2),

Aa-b=-2X1+3X2=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2023?甲卷)在△ABC中，Z5AC=60°,AB=2,BC=*),。為BC上一點(diǎn)，A。為NBAC的平分線，

貝ijAD=2.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】2.

【分析】在△ABC中，根據(jù)正弦定理可求出NACB=45°,從而可得，即得A。

=AB=2.

【解答】解：如圖，???在△A5C中，AB=2,Z84C=60°,BC=瓜,

BCAB

???由正弦定理可得際F

sinZ-ACB'

ABxsinz.BAC=隼=辛，又NBAC=60°,

AsinZACB=

BCv6z

：.ZACB=45°,???NABC=180°-45°-60°=75°,

又4。為N84C的平分線，且N84c=60°,

，NBAO=30°,又NA8C=75°,，NAOB=75°,

：.AD=AB=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形問(wèn)題，正弦定理的應(yīng)用，屬中檔迎.

10.(2023?上海)某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與

水平面所成夾角為8.行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為(1.025-cos0),欲使行人走上斜坡所

40

消耗的總體力最小，則6=arccos—

41

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】arccos^.

【分析】先求出斜坡的長(zhǎng)度，求出上坡所消耗的總體力的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的最值即可.

【解答】解：斜坡的長(zhǎng)度為/=不篇，

上坡所消耗的總體力y=x(1.025-cos0)=41s甯

由和的目物,_4sEesEe-[4.1-4cos6)cose_4-4.1cos\

)—sin20c-sin26，

4()40

由y'=0,得4-4.1cos8=0,得cosO=萬(wàn)，0=arccos—,

4n40TT

由/(x)>0時(shí)coseV券，即arccos—<0V*時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增,

(X)V0時(shí)cos。>??，g|JO<0<arccos—H4,函數(shù)單調(diào)遞減，

4141

40

函數(shù)取得最小值，即此時(shí)所消耗的總體力最小.

41

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查生活的應(yīng)用問(wèn)題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵,

是中檔題.

3

11.（2023?全國(guó)）在△A3C中，A=2B,a=6,b=4,則cos5=一.

【考點(diǎn)】正弦定理：余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解.

3

【答案匕.

4

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解.

【解答】解：在△44C中，A=24,4=6,〃=4,

ab6642

則一:=~：,即-：----=-：--------=~：，解得COSB=7-

sinAsinBsin2BZsinBcosBsinB4

故答案為：；

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

AC

12.（2022?甲卷）已知△A8C中，點(diǎn)/）在邊上，NA/）8=120°,人。=2,CD=2BD.當(dāng)一取得最小

AB

值時(shí)，BD=_V3-1_.

【考點(diǎn)】正弦定理；三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

人。2匕24%2—4%+4

【分析】首先設(shè)出BD,CD,在兩個(gè)三角形中分別表示AC,BC,繼而==F=—T=4-

i4F2c2X2+2X+4

—從而利用均值不等式取等號(hào)的條件即可.

X+1+X—+1

【解答】解：設(shè)CD=2x,

在三角形AC。中，廬=4.1+4-2?2x?2?cos60。,可得:/?2=4x2-4x+4,

在三角形48￡>中,（?=^2+4-2*x*2*cosl20°,可得：c2=x2+2x+4,

AC匕2

要使得而最小，.最小,

b24X2-4X+44(X2+2X-4)-12X-12X+1X+1

-7=-;-----------=------------;-------------------=4—12?------------=4—12--------——=4—

c2X2+2X+4X2+2X+4%2+2X4-4(X+1)2+3

12

x+l+a

ob乙l

其中％+1+R22次，此時(shí)-7>4-2V3,

X-r1c，

當(dāng)且僅當(dāng)（］十1）2=3時(shí)，即4二b-1或兀=一百一I（舍去），即兀二逐一1時(shí)取等號(hào),

故答案為：x/3—1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

TTTTQ

13.（2022?甲卷）已知向量。=（m,3）,b=（1,6+1）.若。_1_5,則加=一耳.

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量枳公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,

計(jì)算求得機(jī)的值.

【解答】解：,向量Q=("7,3),b=(1,m+1).Q_Lb,

.\ab=m+3(m+1)=0?

3

貝n

u--T

故答案為：-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,

屬于基礎(chǔ)題.

14.（2022?上海）已知在△ABC中，ZA=AB=2,AC=3,則△ABC的外接圓半徑為了.

【考點(diǎn)】正弦定理與三角形的外接圓.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；邏輯思維：運(yùn)算求解.

【答案】號(hào)x/21.

【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出結(jié)果.

【解答】解：在中，NA/,AB=2,AC=3,

利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2A6?AC?cosA,整理得BC=夕,

所以一；=2R,解得R=嬰.

sinAJ

故答案為：三V2一1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于

基礎(chǔ)題.

三,解答題(共6小題)

15.(2023?新高考I)已知在△48C中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)設(shè)人B=5,求人B邊上的高.

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】⑴由三角形內(nèi)角和可得由2sin(A-C)=sinB,可得2sin(A-C)=sin(A+C),

再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得sinA=3cos4,再結(jié)合平方關(guān)系即可求出sinA；

(2)由sinB=sin(A+C)求出sinB,再利用正弦定理求出AC,BC,由等面積法即可求出A3邊上的高.

【解答】解：(1)VA+^=3C,A+8+C=TT,

2sin(A-C)=sin&

2sin(A-C)=sin[n-(A+C)]=sin(4+C),

2sirb4cosC-2cos4sinC=sirL4cosC+cosy4sinC?

siiL4cosC=3cosAsinC,

—sinA=3x—cosA,

sin/\=3cos/l,

又,.*sin2A+cos2>A=1,:.sin2A+gsin2A=1,

解得sin2A=,

(0,IT),.\sinA>0,

/三、/.、一?*左.3V10.1..\'10

(2)由(1)可知rlsinAA=a，cosA=.sinA二萬(wàn)萬(wàn),

?LUJJLU

Asin?=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x乎+^x辛=隼,

!?U4JLU4KJ

ABACBC5一片

??—JI-5v2,

sinCsinBsinAsin-

4

AAC=5V2sinB=5V2x羋=2>/10,BC=5^2xsinA=5近x斗票=3通,

KXJLU

設(shè)/W邊上的高為

則三AB-h=-xACxBCxsinC,

22

九二一x2^10x3Vsx—,

222

解得h=6,

即AB邊上的高為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

。2+。2―Q2

16.（2023?甲卷）記△A8C的內(nèi)角A,4,C的對(duì)邊分別為小b,c,己知---------=2.

cosA

（1）求be；

,、^acosB-bcosAb____

（2）若------------——=1?求△ABC面積.

acosB+bcosAc

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；解三角形.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解be；

（2）先利用正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosA,進(jìn)而可求A,然后結(jié)合三角形面積公式可求.

b2+c2-a22bccosA

【解答】解:（1）因?yàn)?--------=--------=2bc=2,

COSAcosA

所以hc=1；

accsR-hcccAhninAcn^R—^inRcn^Arir)R

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

sin(A-B)sinBsi^A-B)-sinB

所以

sin(A+B)sinCsinC

所以sin(A-8)-sinB=sinC=sin(A+8),

所以sinAcosB-sinBeosA-sinB=sinAcosfi+sinficosA,

即cosA=—

由4為三角形內(nèi)角得人二冬

△A4C面積S=i/?csin/l=Ax1x§=搭.

乙乙乙r*

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.（2023?天津）在△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,8,c.已知a=回，b=2,NA=120°.

（I）求sinB的值：

（ID求c的值；

（III）求sin（13-C）的值.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解.

叵

【答案】（I）

13

(II)c=5；

（川）.察

【分析】（I）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解;

（II）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解;

（III）根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式，以及正弦的兩角差公式，即可求解.

【解答】解：(I)a=V39,b=2,NA=120°,

mil-D加山42x字VT3

則smB=丁=備=方；

(II)a=的,b=2,ZA=120°,

則/=必+。2-20C?COSA=4+J+2C=39,化簡(jiǎn)整理可得，（c+7）（c-5）=0,解得c=5（負(fù)值舍去）;

(III)cosB=V1-sin2B=

c=5,a=V39,ZA=120°,

川Tn「一CSi，lA-'x、2_5同

貝IJSinC----r-h

故cosC=V1-sin2C=3；：9,

所以sin(B-C)=sinBcosC-sinCcos^=xx"V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.（2023?新高考H）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知△ABC面積為V5,D為BC

的中點(diǎn)，且A0=1.

(1)若NA￡)C=,,求tan&

(2)若必陷=8,求b,c.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】⑴根據(jù)已知條件，推得SMCD=苧，過(guò)A作小L8C,垂足為E,依次求出AE,BE,即可

求解；

(2)法一：根據(jù)己知條件，求得6二2(6+n)，兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合三角形的面積公式，即可

求解.

法二：根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解.

【解答】解：(1))。為4c中點(diǎn)，SAABC=?

則SMCD=孚，

過(guò)A作AE_LBC,垂足為E,如圖所示:

/Q

CD=號(hào),解得CO=2,

:.BD=2,BE=

故￡加"普二手=高

2

(2)法一：AD=；(4%+前)，

2

AD="(c?+爐+2bccosA)t

AD=\,Z?2+C2=8,

則1=*(8+IbccosA),

bccosA=-20,

SAABC=ibcsinA=V3,即bcsEA=2痘②,

由①@解得tanA=-V3,

工人二條

，加=4,又必+d=8,

.\b=c=2.

法二，設(shè)NAOC=a,

1+娶廬

‘"a=Vp，

(疔+1—2

cos(IT-a)=&rTa----，

212

2

兩式化簡(jiǎn)整理可得，2++n—b2—c2=0,

Z?2+C2=8,

則a=26,

△ABC面積為舊，。為4c的中點(diǎn),

1點(diǎn)

則SMCD=2x1x遮xsina=彳,解得sina=l,即a=*

故b=c=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.（2023?上海）在△48C中，角A、B、。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,其中〃=2.

（1）若A+C=120°,a=2c,求邊長(zhǎng)c；

（2）若A?C=15°,a=V2csinA,求△ABC的面積.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由已知結(jié)合和差角公式及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求A,B,C,然后結(jié)合銳角三角函數(shù)即可

求解；

（2）由已知結(jié)合正弦定理先求出sinC,進(jìn)而可求C,再由正弦定理求出小結(jié)合三角形面積公式可求.

【解答】解：（1）VA+C=120°,且a=2c,

/.sinA=2sinC=2sin（120''-A）=V3cosA+sinA,

/.cos4=0,

???A=90°,C=30°,B=6(T,

,:b=2,

?2百

??c=—;

(2)a=V2csinA,

則sin4=V2sinCsirii4,

sinA>0?

V2

/.sinC=亍

VA-C=15°,

???C為銳角,

.\C=45°，A=60°，8=75’，

a28

sin60°~sin750-a+通'

??”=康=3加-青

/.S/.ABC=^abs\nC=5xx2x空=3-75.

NNV2+v□N

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔

20.(2023?乙卷)在△4BC中，已知N84c=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sin/ABC；

(2)若。為8c上一點(diǎn).且/8AZ)=90°,求△AOC的面積.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由余弦定理可求3C,進(jìn)而可求sin/ABC；

(2)由己知可求tan/ABC,進(jìn)而可得人。，可求面積.

【解答】解：(1)在△A4C中，由余弦定理可知6c2=22+『-2X1X2XCOS120°=7,

BC=夕，J由余弦定理可得cosN/WC=云懸=誓，

B

A

(2)由(1)知：cosZA?C=^,sin/A8C=胃，

，tan/ABC=*.\-AD=?,AD=

???△40。的面積為三xADXACXsinZDAC=|x^xlx1=^.

225z1U

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.平面向量的相等與共線

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

相等向量的定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量.

共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量.

規(guī)定：零向量與任響星平行.

注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等.表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，

向量可以平移.

【解題方法點(diǎn)撥】

平行向量與相等向量的關(guān)系：

（I）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；

（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為北零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行.相等向量則沒(méi)有這個(gè)限制，

零向量與零向量相等.

（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上.因此，平行向量也叫做共線向量.

（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量.

【命題方向】

了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量

的幾何表示.命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識(shí)結(jié)

合考察.

2.平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

三角形法則：設(shè)之與,不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1）,依次作幾=a,BC=b,則向

量叫做a與b的和，記作a4-b,即a+6-AB4-BC-AC

特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn).

3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：

設(shè)。都是非零向量，"是與7方向相同的單位向量，［與力和夾角為。，則：

—>T—>—>—?

（I）a'e=e-a=|a|cos0；

（2）alboa?b=0：（判定兩向量垂直的充要條件）

（3）當(dāng)a,b方向相同時(shí)，a?b=|a||b|；當(dāng)a,b方向相反時(shí)，a-6=-|a||b|；

特別地：a-a=|a|2^|a|=y/a-a（用于計(jì)算向量的模）

T1

（4）cos0=（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）

W\b\

（5）?送遍

2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

（1）交換律:a-b=ba；

（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（入a）?b=入（a?b）=a*CAb）；

（3）分配律：（Q?b）?"工,1）

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（；±b）1a2±2a*b4-b2.@Ca-b）（a+b）=a2-b2.③之

?）W（a-b）-c,從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣.

【解題方法點(diǎn)撥】

例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：

①“/〃〃=〃〃?”類比得到1?7

②“（〃?+〃）類比得至lj”（Q+匕）"=U+/??""：

③)W0,mt=lU=>ln=n,,類比得到“之工0,ac=b-"=之=b"；

④“"川=1刑?同”類比得到”|入川=向?聞”；

⑤“(〃??〃)t=m(〃?/)”類比得到i((a'b)??=a-(Z)-c)v；

—>—>T

⑥“登=:”類比得到工=上以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②?

bebbe。

解：;向量的數(shù)量積滿足交換律，

?,?"〃"?=〃〃?”類比得到%)=1?7,

即①正確；

???句量的數(shù)量積滿足分配律，

?.“(〃?+〃)/=〃"+〃/”類比得到“(a+匕),?=a-c+b?c”,

即②正確；

?/句量的數(shù)量積不滿足消元律，

???“/#(),〃”=〃/=/〃=〃"不能類比得到“c。0,a-c=b-c=>a=b”,

即③錯(cuò)誤；

???日工|W鬲?荷，

：?“|〃??川=阿?同”不能類比得到“向?6|=而?依”；

即④錯(cuò)誤；

???向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，

.,?“(〃??〃)t=m(〃?/)”不能類比得到“(Q?匕=Q?(b?c)”,

即⑤錯(cuò)誤；

???向量的數(shù)量積不滿足消元律，

TTT

acaacb

A-=/'不能類比得到===

“bbea

即⑥錯(cuò)誤.

故答案為：①②.

向量的數(shù)量積滿足交換律，由“/加=〃/〃”類比得到“占工二晨7'；向量的數(shù)量積滿足分配律，故"(〃[+〃)

t=nu+ntff類比得到“G+b)?1=2-+b?向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“*0,mt=nt^m=n

不能類比得到“cHO,a-c=b-c=^a=cv；\a-b\^\a\*\b\,故”|加?川=|〃?卜|川”不能類比得到“|a?b|

=而向”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故”（〃??〃"=，〃（〃?/）”不能類比得到“C工）?2=a-（b-cy；

TT7

向量的數(shù)量積不滿足消元律，故竽=不能類比得到字2=上

bebbea

【命題方向】

本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來(lái)說(shuō)也

不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握.

4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

平面向量除了可以用有向線段表示外，還可以用坐標(biāo)表示，?般表示為3=（x,），），意思為以原點(diǎn)為起

點(diǎn)，以（x,了）為終點(diǎn)的向量，它的模為d=J為+y2.若匕=（加，〃），則之+匕=（x+〃?，y+〃），則2-b=

T—T

（x-w?y-H）；a*b=Cxm,ny）,Aa=（Xr,Ay）.

【解題方法點(diǎn)撥】

例：已知平面向量Z,b滿足：a=（-1,2）,bla,且|b|=2而，則向量知勺坐標(biāo)為（4,2）或（-4,

-2）.

解：根據(jù)題意，設(shè)1=（x,

若b1Q,有8?a=0,則-x+2y=0,①，

若％|=2倔7+『=20,②，

聯(lián)立（D?,可得信二駕，

解可嘮：:嘯二，

則9=（4,2）或（-4,-2）；

故答案為（4,2）或（?4,-2）.

這個(gè)題就是考察了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，具體的可以先設(shè).=（x,），），根據(jù)題意，由］可得-x+2y=0,

①，由聞=2遙，可得/+『=20,②，聯(lián)立①②兩式，解可得x、y的值，即可得力的坐標(biāo).這也是常用

的一種方法.

【命題方向】

這是一個(gè)很重要的考點(diǎn)，也是一個(gè)比較容易的考點(diǎn)，大家在學(xué)習(xí)的時(shí)候關(guān)鍵是掌握公式的應(yīng)用，常用的

解法?般就是上面例題中的先設(shè)未知數(shù)，再求未知數(shù).

5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、向量的夾角概念：

對(duì)于兩個(gè)非零向量工1如果以。為起點(diǎn)，作&=1OB=b,那么射線0A,08的夾角8叫做向量：與

向量分的夾角，其中OWBWIT.

2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：

（I）定義：如果兩個(gè)非零向量工了的夾角為8,那么我們把向山cos8叫做［與*勺數(shù)量積，記做之工

即：a-b=|a||d|cos0.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即：0*a=0.

注意：

（0a-b表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cosB決定：

②符號(hào)“V在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“X”代替；

③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：OWBWm

（2）投影：.在力:的投影是一個(gè)數(shù)量向cos。，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為。

（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若a=（xi,yi）,b=（必”）,WJa-=xix2+y\y2f

cos8二獨(dú)_L演乜+把2

3、向量的夾角公式：HFI3+53房+才

4、向量的模長(zhǎng)：1|=廳=屈=依+百

5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：Z與了的數(shù)量積Z4等于［的長(zhǎng)度而與了在麻勺方向上的投影向cos。的積.

6.數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量：與b不平行時(shí)，那么

冬廠通過(guò)這公式，我們就可以求出兩向量之間

它們就會(huì)有一個(gè)夾角6,并且還有這樣的公式：cos0=

同向

的夾角了.

【解題方法點(diǎn)撥】

例：復(fù)數(shù)z=W+i與它的共的復(fù)數(shù)5對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向個(gè)的夾角為60°.

…zV3+i(A/3+022+2V3i1V3

解：二二—p-;=-7=~l-T=----------=-+——i=cos60!+zsin600.

zy［3-i(V3-i)(V3+i)422

???亞數(shù)z=V3+i與它的共貌復(fù)數(shù)5對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60c.

故答案為：60°.

點(diǎn)評(píng)：這是個(gè)向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實(shí)可以換成是用向量(e，1)與向量(聲，-I)的夾角.

【命題方向】

這是向量里面非常重要的一個(gè)公式，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，出題方式一般喜歡與其他的考點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，比方說(shuō)

復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認(rèn)真掌握.

7.數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交.當(dāng)兩

條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說(shuō)這兩條向量垂直.假如［=(L0,1),b=(2,0,-2),那么

之與］垂直,有35=1X2+1X(-2)=0,即互相垂直的向量它們的乘積為0.

【辭題方法點(diǎn)撥】

3

-4

例：與向量(5R垂直的向量可能為()

4：（3，-4）B：（-4,3）C：（4,3）D：（4,-3）

34

T3

解：對(duì)于A：???(i-4）=—F--V=-5,，A不成立;

5Jn

“工D34）12,1224.Q才d十

對(duì)于8：?（一耳，—）,（-4?3）=甘+于=亍，??8不成乂;

Q4io1?

對(duì)于C：V（一5，g）?（4,3）=一普+5=0,???（?成立;

“工八??/34°、121224?八/曰十

對(duì)于Z）：?（一百，g）?（4，-3）=-可---引=一可，??。不成立;

故選：c.

34

-A

點(diǎn)評(píng)：分別求出向量（5f。四個(gè)備選向量的乘積，如果乘積等于則這兩個(gè)向量垂直,

5*B,C,0,

否則不垂直.

【命題方向】

向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0,希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用.

8.正弦定理

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

I.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

內(nèi)容aba2=b2+c2-2bccosA,

------=--------=-------=2R

sinAsinBsinC

〃2=。2+。2-2accosB,

（R是△ABC外接圓半徑）

C2=￡/2+/?2-2?/KOSC

變形①〃=2RsirL4,b=2RsinB,c=2RsinC；廬+（：2一口2

cosA=

2bc

形式②sin4=券，sinB=品,sinC=4;

a2+c2-b2

cosB=

2ac'

③a：h：c=siiL4：sinB：sinC；

a2+b2—c2

cosC=

?asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA2ab

解決①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條①已知三邊，求各角;

三角邊;②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩

形的②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和角

問(wèn)題其他兩角

在AABC中，已知小方和角A