2025年考研數(shù)學(xué)（一）線性代數(shù)與概率論沖刺押題試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，向量β?=2α?+α?，β?=α?-2α?，β?=-α?+3α?，則向量組β?,β?,β?的秩為(A)1(B)2(C)3(D)無法確定2.設(shè)A為n階矩陣，且A的行列式|A|=0，則下列說法正確的是(A)A中必有一行（列）全為零向量(B)A中必有兩行（列）成比例(C)A的所有行（列）向量都線性相關(guān)(D)A不可逆3.設(shè)A為n階矩陣，且A2=A，則稱A為冪等矩陣。若A為冪等矩陣，且rank(A)=r，則rank(A2-A)等于(A)r(B)r2(C)0(D)n-r4.設(shè)A為n階實對稱矩陣，且A可逆。若A的特征值全為正數(shù)，則二次型f(x?,x?,...,xn)=x?Ax的正慣性指數(shù)為(A)0(B)n(C)1(D)無法確定5.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X≥1)=1-e?2，則λ等于(A)2(B)e2(C)1-e2(D)e?2二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。6.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=3。若A的伴隨矩陣A*的一個特征值為6，則A的對應(yīng)特征向量所對應(yīng)的特征值等于________。7.設(shè)A=[a??]是4階矩陣，其中a??=i+j。則|A|=________。8.設(shè)n階矩陣A可逆，且λ?,λ?,...,λ?是A的特征值，則A*的特征值為________。9.設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c(x+1),-1<x<0;0,其他。則c=________。10.設(shè)X?,X?,...,X?是來自總體X的簡單隨機樣本，且E(X)=μ，Var(X)=σ2。令Y=(X?+X?+...+X?)/n，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=________，方差Var(Y)=________。三、解答題：本題共5小題，共50分。11.(10分)已知向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(1,3,t)。問t取何值時，向量組α?,α?,α?線性相關(guān)？當(dāng)向量組線性相關(guān)時，求出一個使其線性表示的非零解。12.(10分)設(shè)矩陣A=[a??]為3階矩陣，其中a??=i+j。求矩陣A的特征值和特征向量，并判斷A是否可對角化。若可對角化，求可逆矩陣P，使得P?1AP為對角矩陣。13.(10分)設(shè)二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+x?2+2x?x?+2x?x?+4x?x?。求二次型f的矩陣表達(dá)式，并判斷f是否正定。14.(10分)設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={c(x+y),0<y<x<1;0,其他。求：(1)常數(shù)c；(2)隨機變量X的邊緣概率密度函數(shù)f_X(x)；(3)隨機變量Y的邊緣概率密度函數(shù)f_Y(y)；(4)隨機變量X和Y是否相互獨立。15.(10分)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。從總體X中抽取容量為n的簡單隨機樣本，樣本均值為X?。記θ=μ-1，假設(shè)檢驗H?:θ=0vsH?:θ≠0。若取顯著性水平α=0.05，且樣本容量n=16，求此檢驗的拒絕域。試卷答案1.B2.C3.A4.B5.A6.1/27.248.1/λ?,1/λ?,...,1/λ?9.1/210.μ,σ2/n11.解析：構(gòu)造矩陣A=[α?,α?,α?]，對A進行行變換：(1,1,1;1,2,3;1,3,t)→(1,1,1;0,1,2;0,2,t-1)→(1,1,1;0,1,2;0,0,t-5)向量組α?,α?,α?線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的秩小于3。當(dāng)t-5=0，即t=5時，矩陣A的秩為2，向量組線性相關(guān)。此時，(1,1,1;0,1,2;0,0,0)→(1,0,-1;0,1,2;0,0,0)令x?=k，則x?=-2k，x?=k。所以α?,α?,α?線性相關(guān)，且存在非零解(1,-2,1)使得α?-2α?+α?=0。12.解析：矩陣A的元素a??=i+j，所以A=[1,1,1;1,2,2;1,2,3]。計算|λI-A|=|λ-1,-1,-1;-1,λ-2,-2;-1,-2,λ-3|=(λ-1)(λ2-5λ+4)=(λ-1)(λ-1)(λ-4)=0。特征值為λ?=λ?=1,λ?=4。對于λ?=λ?=1，解(I-A)x=0，即[0,-1,-1;-1,-1,-2;-1,-2,-2]x=0。化簡為[0,1,1;1,1,2;1,2,2]x=0→[0,1,1;0,0,1;0,0,0]x=0。令x?=k，則x?=-k，x?=k。基礎(chǔ)解系為(1,-1,1)?。由于是二重特征值，需要找兩個線性無關(guān)的特征向量，實際上只需一個線性無關(guān)的特征向量即可，另一個可以與之線性組合。對于λ?=4，解(4I-A)x=0，即[3,-1,-1;-1,2,-2;-1,-2,1]x=0?；啚閇1,-2/3,1/3;0,0,0;0,0,0]x=0。令x?=m，則x?=-m/3。取x?=0?；A(chǔ)解系為(-1/3,0,1)??？扇?1,0,-3)?。特征向量分別為v?=(1,-1,1)?,v?=(1,-1,1)?(與v?線性相關(guān)),v?=(1,0,-3)?。由于v?,v?線性相關(guān)，只需考慮v?,v?。矩陣P=[v?,v?]=[(1,-1,1);(1,-1,1);(1,0,-3)]。矩陣P不可逆，因為第二行是第一行的倍數(shù)。由于特征值1重復(fù)，矩陣A不能對角化。13.解析：二次型f的矩陣A=[a??]=[(1,1,1);(1,2,2);(1,2,1)]。計算|λI-A|=|λ-1,-1,-1;-1,λ-2,-2;-1,-2,λ-1|=(λ-1)(λ2-3λ)-(-1)(-3)-(-1)(-2)=(λ-1)λ(λ-3)-5=λ(λ2-4λ-5)=λ(λ-5)(λ+1)=0。特征值為λ?=-1,λ?=0,λ?=5。由于特征值有負(fù)數(shù)(-1)，所以二次型f不是正定的。14.解析：(1)計算∫∫_Dc(x+y)dA，其中D為區(qū)域0<y<x<1?！襕0,1]∫[y,1]c(x+y)dxdy=c∫[0,1][(x+y)?/2]?<0xE2><0x82><0x99>,1dy=c∫[0,1](1+2y+y2-y2)/2dy=c∫[0,1](1+2y)/2dy=c∫[0,1](1/2+y)dy=c[(1/2)y+y2/2]?<0xE2><0x82><0x99>,1=c(1/2+1/2)=c.由于f(x,y)是概率密度函數(shù)，其積分必須為1。所以c=1。(2)f_X(x)=∫_{-∞}^∞f(x,y)dy=∫[0,x]1dy=x,for0<x<1.其他情況f_X(x)=0.(3)f_Y(y)=∫_{-∞}^∞f(x,y)dx=∫[y,1]1dx=1-y,for0<y<1.其他情況f_Y(y)=0.(4)要判斷X和Y是否獨立，需要驗證是否對任意x,y,有f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)。例如，取x=1/2,y=1/4。f(1/2,1/4)=1.f_X(1/2)=1/2.f_Y(1/4)=3/4.f_X(1/2)f_Y(1/4)=(1/2)(3/4)=3/8≠1。所以X和Y不相互獨立。15.解析：總體X~N(μ,σ2)，σ2已知，n=16。檢驗假設(shè)H?:μ-1=0vsH?:μ-1≠0。即檢驗H?:μ=1vsH?:μ≠1。檢驗統(tǒng)計量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)=(X?-1)/(σ/4)服從N(0,1)分布。顯著性水平α