2025.2026學(xué)年廣西來賓高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若復(fù)數(shù)z滿足=則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

2.一個樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b,且a、b是方程二-5%十4=0的兩根，則這個樣本的方差是（）

A.3B.4C.5D.6

3.如圖，4D為的邊BC上的中線，且而二乙而^=3，那么荏為（）

C.2a+b

D.d+2b

4.已知在△ABC中，AB=4,AC=3,cosA=則△ABC的面積為（）

A.3B.3/3C.6D.6\<3

5.某同學(xué)統(tǒng)計(jì)了自2000年以來，中國代表隊(duì)在歷屆奧運(yùn)會獲得金牌數(shù)如下（不含中國香港、中國臺灣）：

28,32,48,38,26,38,40,則這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為（）

A.26B.32C.35D.38

6.從1、2、3、4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個，則取出的這兩數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是（）

A.!B.JC.4D.

ooZ□

7.已知非零向量Z3滿足同=2區(qū)且他一及1九則五與3的夾角為（）

A,B.3C.?D.^

b030

8.已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為2,則球的體積為（）

9927

A.97rB.^TTC.^TC

248

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.以下關(guān)于統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù)字特征的說法，正確的是（）

A.若一組數(shù)據(jù)與，上，心，…，事的平均數(shù)為。給這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上一個常數(shù)a,新數(shù)據(jù)的平均

數(shù)為］+a

B.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，若數(shù)據(jù)石，x2,△，???，川的方差為s2,則上石，%，kx3,

…，kf(k為非零常數(shù))的方差為k2s2

C.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).對于數(shù)據(jù)1,2,2,3,3,3,4,眾數(shù)是3

D.數(shù)據(jù)1,3,2,4,3,3,4中位數(shù)是4：對于數(shù)據(jù)1,2,2,3,3,3中位數(shù)是2.5

10.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為Q,b,c,則如下判斷正確的是()

A.若4>B,則sirM>sinB

B.^sin2A=sin2B,則4力BC為等腰三角形或直角三角形

C.若si/A+sin2F>sin2C,則△48C是銳角三角形

D.若Q=10,b=9,B=60°,則符合條件的△4BC有兩個

II.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-力iBiGA中，M,N分別為棱

G5,GC的中點(diǎn)，則()

A.直線8N與是異面直線

B.直線MN與4C所成的角是:

C.直線MN工平面AON

D.3M1DN

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某單位有男職工450人，女職工300人，若根據(jù)性別采取分層抽樣的方法，從中抽取一個容量為50的樣

本，則女職工應(yīng)抽取的人數(shù)為.

13.甲、乙兩人獨(dú)立的解同一道題，甲、乙解對題的概率分別是短那么兩人都解錯的概率是—

14.銳角的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,則￡的取值范圍為

4b

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知平面向量G=(2,4),b=(3,5),c=(—2,6).

(1)求2G-&與日十的夾角的正弦值；

(2)若蒼+府在&-族上的投影向量是(5,5),求實(shí)數(shù)匕

16.(本小題15分)

記A4BC的內(nèi)角4、B、C的對邊分別為Q、b、c,已知bsinB+(匕+c)sinC=asi/M.

⑴求4

(2)若a=7,b+c=8,求△4BC的面積.

17.(木小題15分)

如圖，在四棱錐P-A8CD中，PD1底面NBCD,底面NBCD是邊長為2的正方形，PD=CD,F,G分別是

PB,AD的中點(diǎn).

(1)求證：FG〃平面PC。；

(2)求證：FG_L平面尸8C：

(3)求GA與平面PGB所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

為了解某校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，年級組織了一次階段測試.已知此次考試共有450名學(xué)生

參加，考試成績的頻率分布直方圖如圖所示(同一組中的數(shù)據(jù)以該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

(1)求a的值；

(2)估計(jì)這次數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；

(3)估計(jì)該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù)).

頻率

19.(本小題17分)

某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合

格”則該課程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為09、0.8、0.7：在實(shí)驗(yàn)考核中

合格的概率分別為0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之間沒有影響.

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閦i=i-1,

所以z=??=1+i,

所以虛部為1.

故選:A.

根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義化簡求解即可.

本題考查了更數(shù)的實(shí)部與虛部，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查平均數(shù)與方差，屬于基礎(chǔ)題.

先解方程求出a、b的值，然后根據(jù)方差的計(jì)算公式去求方差.

【解答】

解：方程%2-5%+4=0,解得%1=1,x2=4；

???a、b是方程％2-5x+4=0的兩個根，

又:樣本中其他數(shù)據(jù)都大于1,

??a=1,b=4.

則s2=i[(l-4)24-(3-4)2+(5—4)24-(7-4)2]=5.

故選：C.

3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，可得麗=而，即而一前二而一而，整理得標(biāo)=2而一下=2五

故選:A.

根據(jù)。為8C中點(diǎn)，可得說=面，運(yùn)用平面向用的線性運(yùn)算法則算出用也日表示質(zhì)的式子，可得答案.

本題主要考查三角形中線的性質(zhì)、平面向量的線性運(yùn)算法則等知識，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：在△48。中，AB=4,AC=3,cosA=

由于：0＜力＜7T,

所以力=孑

所以SMBC=1X4X3X^=3y/3.

故選:B.

直接利用三角函數(shù)的值cosA=J求出4的值，進(jìn)一步利用三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：三角形的面積公式，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬

于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：已知中國代表隊(duì)在歷屆奧運(yùn)會獲得金牌數(shù)如下：28,32,48,38,26,38,40,

則從小到大的排列為26,28,32,38,38,40,48.

因?yàn)?0%X7=4.9,所以這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為38.

故選：0.

根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：從1、2、3、4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個，共有廢=6種結(jié)果，

滿足取出的這兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有2和4,以及1和3,共2種，

則根據(jù)占典概型的概率公式可知取出的這兩數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P=^=1,

o3

故選：B.

根據(jù)古典概型的概率公式分別進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.

本題主要考查古典概型的概率計(jì)算，根據(jù)條件分別求出基本事件的個數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是向量垂宜的條件.屬于基礎(chǔ)題.

可先由向量垂直得到數(shù)量積等丁零，再結(jié)合夾角"算公式求解即可.

【解答】

解：設(shè)向量a與片的夾角為仇則由G_

得(Q—b)-h=a-b—b2=\a\\b\cos0—\b\2=2\b\2cos0—\h\2=0,

所以cos。=g,

因?yàn)閁<U<TC,

所以0=卷

故選B.

8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)檎睦忮F的所有頂點(diǎn)都在同一個球面上，

又該棱錐的高為1,底面邊長為2,

所以底面正方形中心到正方形頂點(diǎn)的距離為VI,

設(shè)該正四棱錐的外接球的球心到底面正方形的距離為d,

外接球的半徑為R，

22

則(V~^)2+d=Rf且1+d=R,

解得R=L

所以球的體積為:兀&=^7TX^=^7r.

?53oZ

故選:B.

根據(jù)正四棱錐與球的對稱性，建立方程，即可求解.

本題考查正四棱錐的外接球問題，屬基礎(chǔ)題.

9【答案】ABC

【解析】解：對于A，由題意可知，新數(shù)據(jù)為%i+a,x2+a,x34-a,-?■,xn4-a,

所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7+a，故人正確；

對于8,若數(shù)據(jù)X1，x2yx3,…，0的方差為S?,根據(jù)方差公式$2=，[(X1一%)2+(0一%)2+?.?+(出-

i)2].

對于數(shù)據(jù)心1，kx2,依3,…，匕n(A為非零常數(shù))，其平均數(shù)為「，則方差為:

1__1__

22222222

-[(3-kx)+(kx2-kx)2+…+(kxn-kx)]=-\k(xx-x)+k(x2-x)+…+k(xn-x)]

22222222

-kx)+(kxz-kx)+…+(丘〃-層)2]=l[Ar(x1-x)+k(xz-x)+…+k(x,t-i)]=

22222

/cxl[(與-x)+(X2-1)2+…+(xn-X)]=kS,故氏正確?

對于C,在數(shù)據(jù)1,2,2,3,3,3,4中，數(shù)字3出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是3,故C正確.

對干0,對于數(shù)據(jù)1,3,2,4,3,3,4,從小到大排序?yàn)?,2,3,3,3,4,4,數(shù)據(jù)個數(shù)為7,是奇

數(shù)，中間的數(shù)是3,所以中位數(shù)是3,而不是4,

對于數(shù)據(jù)1,2,2,3,3,3,從小到大排序后，數(shù)據(jù)個數(shù)為6,是偶數(shù)，中間兩個數(shù)是2和3,則中位數(shù)為

等=2.5,故。錯誤.

故答案為:ABC.

根據(jù)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)的定義和性質(zhì)，分別對每個選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷.

本題主要考查了平均數(shù)、方差、眾數(shù)和中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：在AABC中，若A>B,則a>匕，結(jié)合正弦定理得sMA>siziB,可知A項(xiàng)正確；

由si〃2/l=si7i28,且4、8為三隹形的內(nèi)角，可得24=28或24+28=產(chǎn)，

所以4=B或4+B=*可得△力BC為等腰三角形或直角三角形，故8項(xiàng)正確；

△45C中，若siMA+sin28>sin?。，結(jié)合正弦定理得Q2十>c?,

所以cosC=a2；b>。2>0,可知C為銳角，但無法確定4、B是否為銳角，

2ab

因此不能判斷出4是銳角三角形，故。項(xiàng)錯誤.

△4BC中，Q=10,8=9,8=60。，根據(jù)正弦定理可得sE4二竺學(xué)=>g,

b9I

所以<§=九一8,且為工土可知滿足條件的△力8c有兩個，故。項(xiàng)正確.

故選:ABD.

根據(jù)正弦定理與三角形中“大角對大邊”，對A項(xiàng)作出判斷；若sin2/l=s)28,結(jié)合誘導(dǎo)公式算出24=

22

28或24+28=a從而對B項(xiàng)作出判斷；根據(jù)正弦定理得到a?+b>c,結(jié)合余弦定理對C預(yù)作出判

斷；若Q=10,8=9,B=60°,根據(jù)正弦定理判斷出A/IBC的解的個數(shù)，即可對0項(xiàng)作出判斷.

本題主要考查三角形形狀的判斷、正弦定理與余弦定理、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等知識，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4由于BNu平面8&GC，MB】n平面881GC=&，&C8N,

故直線BN與MB1是異面直線，故A正確；

對干氏如圖，連接CDi，因?yàn)镸,N分別為棱G5，G。的中點(diǎn)，所以MN〃CDi，

所以直線MN與4所成的角即為直線CD1與AC所成的角，

又因?yàn)椤鰽C。1是等邊三角形，所以直線CD】與？1C所成的角為泉

故直線MN與AC所成的角是泉故8正確；

對于C,如圖，假設(shè)直線MN1平面4DN,又因?yàn)镈Nu平面40M所以MN1ON,

而MN=號,DN=苧,DM=*這二邊不能構(gòu)成直角二角形，

所以O(shè)N與MN不垂直，故假設(shè)錯誤，故C錯誤；

對于。，連接以MC、MB、DN,

因?yàn)椤=CG，乙DCN=LCC'M,NC=MG，

所以ZkOCN會ZkCGM,MzCD/V4-Z.DCM=LC1CM+^DCM=90°,即DN1CM,

又因?yàn)?c_1面。6，DNcffiDCi，所以8C1DN,

因?yàn)锽CnCM=C,所以。NJJSBCM,

乂因?yàn)锽Mu面BCM,所以DN1BM,。正確.

故選:ABD.

根據(jù)異面直線成角，線面垂直的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.

本題主要考查異面直線的判定、異面直線所成角、線面垂直、線線垂直等知識，屬于中檔題.

12.【答案】20

【解析】解：男職工450人，女職工300人，

則男女職工分層比為3：2,而抽取一個容量為50的樣本，

則女職工應(yīng)抽取的人數(shù)為50x義=20.

故答案為：20.

依據(jù)題意求出分層比，再得到抽取的人數(shù)即可.

本題主要考杳分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1

JLO

【解析】解.：甲、乙兩人獨(dú)立的解同一道題，甲、乙解對題的概率分別是:，t

則兩人都解錯的概率為（1-|）（i-|）=n-

故答案為:,

根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可解.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】（年

【解析】解：因?yàn)?=%所以。="一6+8),

所以由正弦定理可得：：=學(xué)=則竽=苧(1+4),

bsinBsinB2'tanB^

又因?yàn)椤?18C為銳角三角形，

(0<B

所以。<。=上”「所以?譯‘

I42

所以tanB€(1,+8),則$6(0」)，

ICLYlu

所以"(年,/!).

故答案為：(等,>/2).

利用正弦定理邊化角得：=苧(1-4)，再結(jié)合Be?A)和三角函數(shù)的值域求法可求范圍.

I)ZCC171DqL

本潁考杳正弦定理和三角恒等變換，三角函數(shù)的值域求解，屬于中檔題.

15.【答案】答；

1

【解析】(1)因?yàn)槲?(2,4),b=(3,5),1=(-2,6),

所以24-3=(1,3),a+c=(0,10),

所以cos〈2五一反a+2=喘翟二六，

所以sin(2/一氏方+辦=J1一(急)；=吟,

即次-3與4+加勺夾角的正弦值為噂；

(2)由題意知五一7=(-1,-1),a+fcc=(2-2^4+6fc),

所以|a-b\=yj~2,

(a^-kc)-(a-b)=一(2—2k)—(4+6k)=-4k-6,

因?yàn)镼+km在五一3上的投影向量是(5,5),

所以=(葉？黑f).號=(zl2zll=(2k+3,2k+3),

\a-b\|a-b|v2v2

則2k+3=5,解得k=1.

(1)根據(jù)平面向量夾角的余弦公式的坐標(biāo)表示求出cos(2日-瓦G+。，再結(jié)合平方關(guān)系求解即可;

(2)根據(jù)投影向量的定義及平面向量的數(shù)量積、模的坐標(biāo)表示建立方程求解即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬中檔題.

16.【答案】~

15/3

4.

【解析】(1)根據(jù)題意可知,bsinB+(b+c)sinC=asinA及正弦定理可得川+(b+c)c=a2,

即/+c2-a2=-be,由余弦定理可得cosA="=一：，

ibc2

因?yàn)?。?V7T,故/

(2)因?yàn)閴?c2-a2=-be,即尻=(b+c)2-a2=82-72=15,

所以△4BC的面積為SMBC=^besinA=1xl5x^=竽.

(1)利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求出cosA的值，結(jié)合角4的取值范圍可得出角4的值；

(2)利用余弦定理結(jié)合已知條件求出兒的值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得△的面積.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

17.【答案】證明見解析：

證明見解析；

/6

T,

【解析】(1)證明：若E為PC的中點(diǎn)，連接DE,EF,又F,G分別是PB,4。的中點(diǎn)，

所以E尸〃BC且EF=：BC,而底面4BCD是正方形，

則。G〃8c且DG=通，

所以E尸〃DG,EF=DG,故EFGQ為平行四邊形，即“〃ED,

由FGU平面PCD,EDu平面PCD,則尸G〃平面PCD：

(2)證明：由(1)及PD=CO,則OE1PC,而尸G〃E。，故FG_LPC,

由廣。_L底面48。。，DGu底面48C0,則PD_LDG,

所以PG=y/PD2+DG2=y/m="，

由底面ABC。是正方形，則3G=AB2+AG2=/4+T=6,

所以PG=8G,尸是PB的中點(diǎn)，貝J/G1PB,

由PCCPB=P且都在面平面P8C內(nèi)，故尸G1平面P8C；

(3)解：由PCI底面48CD,BD,CDu底面48C。，則PD18D,PD1CD,

又BD=PC=2/2?PD=2,FG=DE=：PC=/2,

所以PB=1RD2+PD2=VT+4=2/3，

則S“BG=^FG-PB=yf6,

令棱錐A-PBG的高為從又以_PBG=4-ABG，

所以芋h=^PD-S^ABG>

即苧h=[x2x；xlx2=:，解得力=年,

又4G=1,

故GA與平面PG8所成角的正弦值為上=學(xué).

(1)若E為PC的中點(diǎn)，連接DE,EF,先證EFGD為平行四邊形，即有“〃ED,再應(yīng)用線面平行的判定定理

證明結(jié)論；

(2)根據(jù)已知有FG_LPC、FG1PB,再應(yīng)用線面垂直的判定定理證明結(jié)論：

(3)應(yīng)用等體積法求棱錐4-P8G的高，結(jié)合線面角的定義及已知求線面角的正弦值即可.

本題考查線面平行的判定定理的應(yīng)用及線面所成的角的正弦值的求法，屬于中檔題.

18.【答案】a=0.024；

眾數(shù)為65,中位數(shù)為67.69,平均成績?yōu)?7.60；

第70百分位數(shù)為75.83.

【解析】解：(1)由評論分布直方圖的性質(zhì)可得10x(0.002+0.008+0.02+0.026+a+0.016+0.004)=

1,解得a=0.024.

(2)由頻率分布直方圖知：眾數(shù)為65,

???0.02+0.08+0.2=0.3,0.02+0.08+0.2+0.26=0.56,

故中位數(shù)位于[60,70)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為工,

則有0.3+(%-60)x0.026=0.5.解得％=67.69.

??