2025-2026學(xué)年湖南省永州一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.直線y=-/3x+3的傾斜角為（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.復(fù)數(shù)z的虛部為（）

?3"i*

A21

A-ioD--io1i

3.已知cos2a=e(0,勺，則cosa=()

oZ

B.?c-4

4.已知命題甲：“實數(shù)，y滿足?=$乙”實數(shù)x,y滿足/=y2”，則甲是乙的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

04

5.已知Q=4°，3,b=(O.l),c=log40.1,則()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

n一am、

6.將函數(shù)f(x)=cos(2(ox+乂G>0）的圖象所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

4

g。）的圖象，若g（x）在區(qū)間G，TT）上單調(diào)遞減，則3的最大值為（）

A」D.1

7.由于豬肉的價格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次

買50元豬肉.下列說法正確的是（）

A.采用第一種方案劃算B.采用第二種方案劃算

C.兩種方案樣D.采用哪種方案元法確定

8.%表示不超過實數(shù)%的最大整數(shù),已知奇函數(shù)/⑺的定義域為R,f（%+2）為偶函數(shù),/（-2）=-8,對

于區(qū)間［0,2］上的任意.，孫都有“必+—2+4）>0,若關(guān)于％的不等式/（%）>6a2-19a對任意的％GR恒

x2-xl

成立，則［a］的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.設(shè)向量W=（3,k）,b=（2,-1）,則下列說法錯誤的是（）

A.若五與3的夾角為鈍角，則A>6

B.圓的最小值為9

C.與石共線的單位向量只有一個，為（年,-苧）

D.若|磯=3|方|,則k=±6

10.隨機(jī)抽取8位問學(xué)對2024年數(shù)學(xué)新高考1卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：97,98,

99,100,101,103,104,106,則下列關(guān)于該樣本的說法正確的有（）

A.均值為101B.極差為9

C.方差為8D.第60百分位數(shù)為101

11.陽馬和鱉膈g泡成。］是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體按下圖斜割一分為二，得兩個一模

一樣的三棱柱（圖2,圖3）,稱為壁堵.再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開（圖4）,得四棱錐和三棱錐各一個.

以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬（圖5）.余卜的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面

體，稱為鱉嚅（圖6）.若圖1中的長方體是棱長為1的正方體，則下列結(jié)論正確的是（）

B.塹堵的表面積等于陽馬與鱉膈的表面積之和

C.鱉脯的體積等于陽馬體積的一半

D.鱉癌的內(nèi)切球表面積為（3-26n

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若力，B,。三點共線,對仟意一點。，有2瓦（一區(qū)=2cosa?赤（a為銳角）成立,則a二

13.直線mx+(m+2)y-1=0與直線(m-l)x+my=0互相垂直，則m=

14.如圖已知點4B在圓錐S。的底面圓周上，S為圓錐頂點，。為圓錐的底面中心，

且圓錐SO的底面積為4笈，LASB=30°,若AB與截面SAO所成角為60。，則圓錐S。的

側(cè)面積為______.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟。

15.(本小題13分)

已知直線心kx-y+1+2k=0(/ce/?).

(1)若直線，不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

(2)己知P(l,5),若點P到直線1的距離為d,求d最大時直線1的一般式;方程.

16.(本小題15分)

△/.BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為mb,心知成“13”(；-%)=(；871(苧匕-3匕0

(1)求4

(2)若爐+c2—=4,求△力BC的面積.

17.(本小題15分)

隨著時代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來越好，越來越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個很

重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是20%至25%,男性的正常范隹是15%至

18%這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個體是否存在肥胖的風(fēng)險某市有關(guān)部門對全市100萬名

成年女性的體脂率進(jìn)行?次抽樣調(diào)查統(tǒng)計，抽取了1000名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖

如圖.

(1)求Q;

(2)如果女性體脂率為25%至30%屬“偏胖”，體脂率超過30%屬“過胖”，那么全市女性“偏胖”，“過

胖”各約有多少人？

(3)小王說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)小張說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)

那么誰的體脂率更低？

18.(本小題17分)

如圖，四棱錐48。。的底面為正方形，尸0_L底面力8。。.設(shè)平酉P40與平面PBC的交線為心

(1)證明：/，平面PQC；

(2)已知PO=AD=1,Q為/上的點，求P8與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

19.(本小題17分)

在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時，猜是正面的概率為以0＜。V1).猜是反面的概率為1-。；

當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時，猜是反面的概率為/?(0＜夕＜1),猜是正面的概率為1-/?.假設(shè)每次扔硬幣相互獨

立.

(1)若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測全部正確與猜測全部借誤的概率分別為匕，七，試匕較P1，22的

大??；

(2)若不管扔硬幣是正面還是反面猜對的概率都大于猜錯的概率，

⑴從下面①②③④中選出一定錯誤的結(jié)論：

①a+/?=,；@a+p=1；@ap=?a/?=i

4*T

(ii)從(i)中選出?個可能正確的結(jié)論作為條件.用X表示猜測的正反文字串，將X中正面的個數(shù)記為n(X),如

X二"正反正反”，則？i(X)=2,若扔四次硬幣分別為“正正反反”，求P(〃(X)=2)的取值范圍.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：直線y=—Cx+3的斜率為一，I,

則傾斜角為120。，

故選：C.

直接利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，基本知識的考查.

2.【答案】A

,和+二丫初7i2U-7i2

【解析】解：Z=—==—211+7,

故虛部為系

故詵：A.

利用愛數(shù)除法法則計算出z=若，得到虛部.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：因為cos2a=2cos2a-1=：,

o

所以cosa=，或cosa=—又aE（0居），所以cosa=

故選:A.

根據(jù)余弦二倍角公式可得結(jié)果.

本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查了充分必耍條件的判斷，屬丁基礎(chǔ)題.

1=X=/=y2,充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.

“y

【解答】

解：2=±=M=y2,充分性成立，

xy

但/=丫2不能得到［二三，比如當(dāng)％=y=0時，滿足/=y2,

“y

但不滿足l=z必要性不成立，

xy

故甲是乙的充分不必要條件.

故選:B.

5.【答案】C

【解析】解：va=403>4°=1,

Q<b=(O.l)04<0.4°=1,

c=log40.1<0,

：?a>b>c.

故選：C.

利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小比較即可.

本題考查對數(shù)值的大小比較，考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】0

【解析】解：g(x)=cos(a)x+與竺)(3>0),

__MII、,n—a)n_,nn+3a)n.

%W("兀)，3%W(丁，3乃)，+—^―e(-,---),

要想g(x)在區(qū)間弓,兀)上單調(diào)遞減，則止泮W叫

解得3工1，故3的最大值為1.

故選：D.

先根據(jù)伸縮變換得到g(%)=cos(3x+m”)(G>0),求出3X+手工誓)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到

不等式，求出得到答案.

本題主要考查了三角函數(shù)圖象的變換及單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：不妨設(shè)兩次購買豬肉的價格分別為a,b,a>0,b>0,

第一種方案，均價為主蕓=竽，

第二種方案，均價為四=黑，

a十bQ+匕

其中竽工/前,當(dāng)且僅當(dāng)。=加寸，等號成立，

推工瑞=，而，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立,

故筆■W審,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時，等號成立,

a+bL

所以采用第二種方案劃算.

故選:B.

設(shè)兩次購買豬肉的價格分別為a,b,a>0,b>0,表達(dá)出兩種方案購買的均價，結(jié)合基本不等式比較出

大小，得到答案.

本題主要考查了不等式及基本不等式在實際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解:/(%+2)為偶函數(shù)，故/(%)關(guān)于1=2對稱,/(-X+2)=/(%+2),

乂/(%)為奇函數(shù)，故/(-%)=-fix),即f(r+2)=-/(%-2),

所以/Q+2)=-f(x-2),

所以/'(%-2)=-f(x-6),故fQ+2)=f(x-6),

的一個周期為8,

區(qū)間［0,2］上的任意力，不都有“k4)二“攵+4)：n二八必+4)_/(也+4)I0,

(X1+4)-(Z2+4)、

令g(x)=f［x+4),則g(x)=f(x+4)在［0,2］上單調(diào)遞減,

故/(均在［4,6］上單調(diào)遞減，

因為/(%)為奇函數(shù)，所以/(%)在［-6,-4］上單調(diào)遞減,

又/(均的一個周期為8,故/(外在［2,4］上單調(diào)遞減,

又/。)關(guān)于％=2對稱，故/(4)=/(0)=0,

故/(%)在［2,6］上單調(diào)遞減,

由對稱性可知〃乃在［-2,2］上單調(diào)遞增，/(-2)=f(6),

且/(x)的一個周期為8,

故/(x)在R上的最小值為f(-2)=-8,

不等式/1(外>6a2-19a對任意的xGR恒成立，

故6a2—19a<—8,解得54Q4耳，

當(dāng)^WaVl時，口］=0，當(dāng)1WaV2時，［a］=1,

當(dāng)24a工?時，［a］=2,

故⑷的最大值為2.

故選：C.

根據(jù)函數(shù)的對稱性，奇偶性得到/(%)的一個周期為8,由￡2也乎也2>0變形得到g(x)=f(x+4)在

［0,2］上單調(diào)遞減，故”乃在［4,6］上單調(diào)遞減，由函數(shù)周期，奇偶性，對稱性得到/(%)在R上的最小值為

/(-2)=-8,故6a2一19。工一8,解得JWQW1求出［a］的最大值為2.

本題主要考查函數(shù)恒成立問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：人選項，a與B的夾角為鈍角，故vo且日是不反向共線，

則w-5=(3,^)-(2,-1)=6-k<01.-3-2k工0,解得k>6且k工一?，

綜上，k>6,A正確；

8選項，|Q|=MTPZ3,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，等號成立，故園的最小值為3,8錯誤：

C選項，|方|=WFT=店，與%共線的單位向量有2個，

為土燒,意=±(半，一苧),c錯誤；

0選項，若|五|二3|旬，則/=3r，解得々=±6,。正確.

故選：BC.

A選項，五不<0且日是不反向共線，得到不等式，求出k>6；B選項，利用模長公式得到㈤的最小值為

3：C選項，求出|山=后，從而得到利用11T求出答案；D選項，利用模長公式得到方程，求出k=±6.

本題考杳向量夾角、向量數(shù)量積公式、模長公式、單位向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

10.【答案】ABD

97+98+99+100+101+103+104+106

【解析】解：選項，均值為101,A正確;

A8

B選項，極差為106-97=9,B正確;

(97-101)2+(98-101；2+-+(106-101)216+9+4+1+0+4+9+2517

。選項，方差為C錯誤;

88=~2

。選項，因為60%x8=4.8,故從小到大，選擇第5個數(shù)作為第60百分位數(shù)，即101,。正確.

故選:ABD.

A選項，利用均值定義進(jìn)行求解.：8選項，利用極差定義進(jìn)行求解：C選項，在4選項基礎(chǔ)上，利用方差公

式進(jìn)行求解；。選項，根據(jù)百分位數(shù)的計算公式，并從小到大排列，得到答案.

本題考查平均數(shù)，方差，極差和百分位數(shù)的應(yīng)用，屬「基礎(chǔ)題.

11.【答案】CD

【解析】解：由已知8C=CCi=入6=1,乙BCG=乙CJD1=乙BCR=乙BCD[=90°,

所以BCi=CDi=\[2,D$=<3,

所以aBCG和△BG2不全等，A錯誤；

塹堵的表面積Si=(1+1+/2)1+2xixlxl=3+/2,

由已知。2=DA=DC=1,乙CDD]=乙ADD1=Z.CDA=4B4D1=乙BCD[=90°,

所以COi=皿=<2,

陽馬的表面積S2=lxl+2xixlxl+2xixlXAA2=2+/2,

鱉腌的表面積S3=2xixlxl+2xixlx/2=l+x<2,+yT2=S2+S3,

所以塹堵的表面積不等于陽馬與鱉脯的表面積之和，8錯誤；

鱉膈的體積匕=,2G=2x：x1=',

陽馬的體積匕=我BCD?DD1=11X1=1,

所以鱉膈的體積等于陽馬體積的一半，C正確；

設(shè)鱉膈的內(nèi)切球的半徑為r,

因為鱉膈的表面積S3=1+72,鱉嚅的體積匕=又匕=k3r,

所由卜以j丁=12、，'標(biāo)1=丁’

所以鱉嚅的內(nèi)切球表面積為S=MW=47r(空>=(3-。正確.

故選：CD.

由條件，求鱉喘的各棱長，判斷4結(jié)合多面體表面積定義及塹堵、鱉喘、陽馬的結(jié)構(gòu)特征求出它們的表

面積，判斷從根據(jù)錐體體積公式求鱉膝和陽馬的體積判斷C；利用鱉麻的體積和表面積可求其內(nèi)切球的半

徑，結(jié)合球的表面積公式求球的表面積判斷D.

本題考查了塹堵、鱉膈、陽馬的結(jié)構(gòu)特征和表面積與體積的計算，屬于中檔題.

12.【答案】I

【解析】解：因為力，B,C三點共線，

所以存在入使得而=4而，

即而一蘇=a而-流,

故雨=+XOC,將其代入2OA-OC=2cosa■麗得,

(2-22)詞+2入配一元=2cosa?加

即Q/l-1)OC=(2A+2cosa-2)?08,

由于上式恒成立，故圖｝番s；-2=0,解得入=呆””最

因為。為銳角，所以a=?

故答案為：三.

根據(jù)三點共線得到存在;I使得血=2瓦，故瓦5=(1-4)麗結(jié)合2e一沆^二2cosa?麗，得到

X=^,cosa=從而求得結(jié)論.

本題主要考查三點共線的應(yīng)用以及向量的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】0或一;

【解析】【分析】

本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直斜率之積等于-1,注意考慮斜率不存在的情況，屬于基礎(chǔ)

題.

通過討論直線的斜率存在和不存在求出m的值即可.

【解答】

解：7九=0時?2y—1=0和％=0垂直；

m=—2時，2x4-1=0和3x+2y=0不垂直；

7n±0且mH-2時，由?叱工=-1,

解得：7H=—

故答案為0或-今

14.【答案】2(/64-72)TT

【解析】解：設(shè)圓錐S。的底面半徑為r,母線長為，，

所以兀產(chǎn)=4兀,

故T=2,

過點8作8。J.40,垂足為D,連蚤80,

由已知S。J?平面力8。，8Du平面A80,

所以8。ISO,AOnSO=。，AO,SOu平面SAO,

所以80_L平面S4。，

所以/IB在平面S40上的射影為4。，

所以48力。為直線力/?與截面S4。所成的角，

由已知N84。=60°,又04=0B=2,

所以△。48為等邊三角形，故人8=2,

因為z_ASB=30°,SA=SB=I,

由余弦定理可得4=~+~一2Z?1?cos30。，

所以/2=4(2+C)，

所以/=/5+訝，

所以圓錐S。的側(cè)面積為71Tz=TTx2x(\/~6+V~2)=2(V-6+)萬.

故答案為：2(x/~6+V2)7r.

設(shè)圓錐S。的底面半徑為r,母線長為，，由底面面積為47r可求r,證明28力。為直線AB與截面S40所成的

角，解三角形求1,由此可求圓錐的側(cè)面積.

本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線弓平面垂直的判定定理，屬于中檔題.

15.【答案】［0,+8)；

3x+4y+2=0.

【解析】(1)直線Z：kx—y+l+2k=0化為k(x+2)—y+l=0,因此直線1恒過定點M(—2,1),

若直線!不經(jīng)過第四象限，則k＞。.即ke［0,+8).

(2)由⑴知直線，恒過定點M(-2,1),

當(dāng)且僅當(dāng)PM_U時，d取得最大值，此時直線PM的斜率kpM=￡^=:

L1一々O

因此直線1的斜率k=一［,直線M方程為一也一y+l+2(-4=0,即3x+4y+2=0,

???直線，的一般式方程為3x+4y+2=0.

(1)根據(jù)方程求出直線2所過定點坐標(biāo)，再由該直線不過的象限列式求解.

(2)確定d取得最大值的條件，進(jìn)而求出直線方程.

本題考查直線方程的求法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】解：(l)si?zA(acosC-gb)=cos4(mb-asinC),

i&asinAcosC-^bsinA=bcosA-asinCcosA,

即asirMcusC+asinCcosA=bcosA+|bsinA,

由于sizMcosC+sinCcosA=sin(^4+C)=sinB,

故asiriB=bcosA+^bsinA,

由正弦定理得sivAsivB=^-sinBcosA+^sinBsinA,

因為86(0,〃)，所以sinBHO,

故sin4=浮cosA+^sinA,

即齊出力=^-cosAntanA=V_3,

因為4G(O,TT),所以A=3

(2)由余弦定理得cos力=二十7。,

XZ?2+c2-a2=4,i4=p故￡=，解得加=4,

則SUBC=\bcsinA=1x4x=>f3.

【解析】(1)化簡，結(jié)合正弦和角公式，誘導(dǎo)公式得到asinB=苧bcosA+/s)/1,由正弦定理得到

乙乙

^sinA=浮cos4=tanA=V3,求出4；

(2)利用余弦定理得到兒=4,利用三角形面積公式求出答案.

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】Q=0.01；

全市女性“偏胖”的人數(shù)約為300000,“過胖”的人數(shù)約為100000；

小張的體脂率更低.

【解析】解：(1)由頻率直方圖可得，5x2a+5x0.03+5x0.07+5x6a+5x2a=1,

所以a=0.01.

(2)由頻率分布直方圖可得樣本中女性“偏胖”的頻率為5X0.06=0.3,

樣本中女性“過胖”的頻率為5X0.02=0.1,

所以全市女性“偏胖”的人數(shù)約為1000000x0.3=300000,

全市女性“過胖”的人數(shù)約為1000000x0.1=100000,

(3)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為12.5x0.1+17.5x0.15+22.5x0.35+27.5x0.3+32.5x0.1=23.25,

設(shè)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,

因為0.1+0.15=0.25<0.5,0.1+0.15+0.35=0.6>0.5,

所以20Vx<25,

所以0.25+(%-20)x0.07=0.5.

所以％=竽*23.57,

所以調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為23.57,

所以小王的體脂率約為23.57,小張的體脂率為23.25,

所以小張的體脂率更低.

(1)由所有矩形條的面積和為1,列方程可求a；

(2)求出樣本中女性“偏胖”，“過胖”的頻率，由此估計全市女性“偏胖”，“過胖”的人數(shù)；

(3)求樣本的中位數(shù)，平均數(shù)可得小王和小張的體脂率，由此可得結(jié)論.

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，平均數(shù)與中位數(shù)的求解，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：過P在平面24。內(nèi)作直線1〃力。,

由4D〃BC,可得，〃BC,即，為平面PAD和平面P8C的交線，

???PD1平面力BCD,BCu平面力BCD,PDJ.BC,

又BC1CD,CDCPD=D,???BCJ■平面PG),

v1//BC,二Z_L平面尸CO；

(2)如圖，以0為坐標(biāo)原點，直線D4DC,OP所在的宜線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則D(0,0,0),4(1,0,0),6(0,1,0),P(0,0,l),8(1,1,0)，

設(shè)Q(m,0,l),DQ=(m,04)，PB=(1,1,-1)?DC=(0,1,0)?

設(shè)平面QCD的法向量為五=(a,b,c),

n-DC=0(b=0

取a=-1,可得亢=(-l,0,?n).

n-DQ=O，lam+c=0

n-PB—1—m

COS<不，麗>=

|n||PF|-

：,與平平QG?所成角的正弦值為U+閨=i2.廬蕈

/3-/1W371+7儲

=號.11+4工空.17+1=^當(dāng)且僅當(dāng)m=l取等號,

3l+m￡3Y23

二P8與平面QCD所成角的正弦值的最大值為學(xué)

【解析】⑴過P在平面PAO內(nèi)作直線推得/為平面P4D和平面PBC的交線，由線面垂直的判定和性

質(zhì)，即可得證;

(2)以D為坐標(biāo)原點，直線D4,DC,DP所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,設(shè)

Q(0,7TI,1),運用向量法，求得平面QC。的法向量，結(jié)合向量的天角公式，以及基本不等式可得所求最大

值.

本題考查空間線面垂直的判定，以及線面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和向軟法的運用，考查運算能力和推理

能力，屬于中檔題.

19.【答案】解:(1)猜測全部正確的概率為網(wǎng)=磔,

猜測全部錯誤的概率為P2=(1-漢)(1一￡)，

因為P2-Pi=(1—a)(l—/?)—?/?=1-(a+/?),

所以當(dāng)OVa+夕VI時，Px<P2.

當(dāng)a+0=1.時，Pi=B，

當(dāng)1Va+6V2時,Pl>p2.

(2)(i)若不管扔硬幣是正面還是反面，猜對的概率都大于猜錯的概率,