人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)14.3角的平分線教案

1431角平分線的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

課型新授課4復(fù)習(xí)課口試卷講評(píng)課口其他課口

教學(xué)內(nèi)容分析角平分線的性質(zhì)是在學(xué)習(xí)了“全等三角形的性質(zhì)和判定”后，通過(guò)一些實(shí)

際問(wèn)題討論角的平分線的性質(zhì).教材中通過(guò)實(shí)際問(wèn)題來(lái)引入本節(jié)內(nèi)容，這

樣設(shè)計(jì)是能更好的體現(xiàn)用的平分線的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)與實(shí)際的關(guān)系，

即數(shù)學(xué)理論來(lái)源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)可以為后繼研究幾

何圖形打下良好的鋪墊.同時(shí)，可以鍛煉學(xué)生的觀察、分析、歸納能力，

培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新意識(shí)

學(xué)習(xí)者分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：在本節(jié)之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法，

能運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決??些線段相等、角相等的問(wèn)題，為接下來(lái)

的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)和技能基礎(chǔ)。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)

過(guò)程中，學(xué)生己經(jīng)經(jīng)歷了探索驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的活動(dòng)，解決了一些簡(jiǎn)單的

現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，獲得了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)；同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中

學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，

具備了一定的合作與交流的能力。

教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角的平分線.

2.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相

等.

3.會(huì)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)重點(diǎn)角的平分線的性質(zhì)的證明及應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)角的平分線的性質(zhì)的探究.

學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)

環(huán)節(jié)一：引入新課

教師活動(dòng)1：學(xué)生活動(dòng)1：

1.角平分線的概念學(xué)生思考，回答問(wèn)題

2.通過(guò)折紙的方法做一個(gè)角的平

分線

活動(dòng)意圖說(shuō)明：復(fù)習(xí)舊知識(shí)，為學(xué)習(xí)新課做準(zhǔn)備

環(huán)節(jié)二：新知探究

教師活動(dòng)2：學(xué)生活動(dòng)2：

如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=學(xué)生思考，得出答案

AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，

AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC

畫(huà)一條射線AE,AE就是角平分線.你

能說(shuō)明它的道理嗎？

證明：在△ABC與△AOC中，

AB=AD

BC=DC

AC=AC

:.(SSS)

:.NBAC:NDAC

的角平分線

認(rèn)真觀察，主動(dòng)參與，動(dòng)手操作

通過(guò)上述問(wèn)題，能否總結(jié)出尺規(guī)作已

知角的平分線的一般方法.自己動(dòng)手

做做看.然后與同伴交流操作心得.

作已知角的平分線的方法：

已知：ZAOB.

求作：ZAOB的平分線.

作法：

⑴以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

分別交OA,OB于點(diǎn)M,N.

(2)分別以M,N為圓心，大于JMN的

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NAOB內(nèi)部交

千點(diǎn)C.

⑶畫(huà)射線OC,射線OC即為所求(如

下圖).

探究：在/力加的平分線W上任取一

點(diǎn)只過(guò)點(diǎn)尸畫(huà)出。4步的垂線，分別

記垂足為〃￡測(cè)量加%并作比較,學(xué)生動(dòng)手操作，分組討論，嘗試得出結(jié)論.教師

你得到什么結(jié)論？在神上再取幾個(gè)點(diǎn)適時(shí)引導(dǎo)，肯定學(xué)生.

試一試.通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的

平分線的什么性質(zhì)？

點(diǎn)U在N力切的平分線必上.

用平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相讓學(xué)生動(dòng)手操作，觀察，猜想證明

等.

你能利用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)

嗎？

如圖，/AOC=/BOC,點(diǎn)P在0C上,

PDVOA,PE20B,垂足分別是〃，￡求

證PD=PE.

活動(dòng)意圖說(shuō)明：在動(dòng)手操作-猜想-驗(yàn)證-歸納出角平分線的性質(zhì)后，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)證明

以文字形式給出的命題的證明思路。從而突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)。得到角的平分線的性質(zhì)

定理。強(qiáng)調(diào)：在應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是，角平分線和垂直兩個(gè)條件缺一不可。讓學(xué)生概

括證明幾何命題的一般步驟，發(fā)展他們的歸納概括能力，進(jìn)一步反思性質(zhì)，讓學(xué)生進(jìn)一

步體會(huì)到證明兩條線段相等時(shí)利用角的平分線的性質(zhì)比證兩個(gè)三角形全等更簡(jiǎn)捷。

環(huán)節(jié)四：典例精析

教師活動(dòng)4：學(xué)生活動(dòng)4：

例1已知：如圖，在/\ABC中，力。是有思路的同學(xué)獨(dú)立解答，沒(méi)有思路的同學(xué)小

它的角平分線，且創(chuàng)二CD,DELAB,組討論。并請(qǐng)一位同學(xué)匯報(bào)結(jié)果。

加工4G垂足分別為E,F.求證：

EB=FC.

A

A

BDC

證明:〈A。平分NBAC,DEtAB,DF

LAC

：.DE=DF

V。是3C的中點(diǎn)

：.BD=CD

在RsBDE和RsCDF中,

BD=CD

“DE=DF

:.RtA/?DE^RtACDF(HL)

:?BE=CF

活動(dòng)意圖說(shuō)明：通過(guò)訓(xùn)練，加深對(duì)角的平分線的性質(zhì)的運(yùn)用和理解.

板書(shū)設(shè)計(jì)角平分線的性質(zhì)

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.

課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】

必做題1

1.如圖，0P平分NMON,PA_LON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線0M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

若PA=2,則PQ的最小值為（）

/M

0AN

A.1B.2C.3D.4

2.如圖，在Z\ABC中,ZACB=90°,BE平分NABC,ED_LAB于點(diǎn)D.如果

ZA=30°,AE=6cm,那么CE等于（）

ADB.

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

3.如圖，DE±AB,DF±BG,垂足分別是E,F,DE=DF,ZEDB=60°,

則ZEBF=________度，BE=_____________.

w

4.ZXABC中,NC=90°,AD平分NCAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距

是__________.

教學(xué)反思絕大部分學(xué)生能在課前按老師的要求進(jìn)行課前預(yù)習(xí)，參與學(xué)習(xí)的積極性

高；在教學(xué)中，我注重讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)習(xí)。在講角平分線的作法時(shí)，

讓學(xué)生觀察平分角的儀器的原理，理解作圖依據(jù)，并留給學(xué)生足夠的時(shí)間

進(jìn)行說(shuō)理證明。收到了較好的教學(xué)效果。在講角平分線的性質(zhì)時(shí)，我充分

讓學(xué)生參與，自己畫(huà)圖，通過(guò)度量猜想、證明結(jié)論、歸納總結(jié)等環(huán)節(jié)，讓

學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得愉快，課堂效果好。教學(xué)中注重將學(xué)生的思維與動(dòng)手

操作結(jié)合起來(lái)，由易到難，循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的思維習(xí)慣，符合學(xué)生認(rèn)

知規(guī)律，學(xué)生學(xué)得有興趣，產(chǎn)生了較好效果。要合理分配講練時(shí)間，把更

多地時(shí)間留給學(xué)生思考和練習(xí)，讓他們?cè)谡n堂上鞏固知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)，提

高能力。要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生的課堂主體地位，要因?qū)W定教，

因疑定教，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

分課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

14.3.2角平分線的判定教學(xué)設(shè)計(jì)

課型新授課4復(fù)習(xí)課口試卷講評(píng)課口其他課口

教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要是探索并證明先平分線的判定定理，會(huì)用角平分線

的判定定理解決問(wèn)題.本節(jié)課是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了證明直角三角形全等和角平

分線的性質(zhì)基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的.角平分線的性質(zhì)和判定為證明線段及角相

等開(kāi)辟了新的途徑，簡(jiǎn)化了證明過(guò)程，同時(shí)也是全等三角形知識(shí)的延續(xù)，

又為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).因此，本節(jié)內(nèi)容在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中起到了承上

啟下的作用.同時(shí)教材的安排由淺入深、由易到難、知識(shí)結(jié)構(gòu)合理，符合

學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律.

學(xué)習(xí)者分析本節(jié)課教材在學(xué)生已探索過(guò)的角平分線的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生回顧這一性質(zhì)及

探究過(guò)程，嘗試讓學(xué)生完成性質(zhì)定理的證明，并類比研究線段垂直平分線

性質(zhì)定理的逆定理過(guò)程，通過(guò)讓學(xué)生構(gòu)造角平分線性質(zhì)定理的逆命題引導(dǎo)

學(xué)生驗(yàn)證這個(gè)命題的真假一一即證明，再次印證證明的必要性,同時(shí)角平

分線的性質(zhì)定理和判定定理又分別是證明線段相等和角相等的方法，對(duì)學(xué)

生后續(xù)學(xué)習(xí)幾何有非常大的作用.通過(guò)“做一做”，力圖使學(xué)生掌握尺規(guī)作

角平分線這一基本作圖.并使學(xué)生鞏固作圖的方法和要求，即：寫(xiě)已知、

求作、作法，說(shuō)明理由。

教學(xué)目標(biāo)1.理解角平分線的判定定理.

2.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.

3.學(xué)會(huì)判斷一個(gè)點(diǎn)是否在一個(gè)角的平分線上.

教學(xué)重點(diǎn)角的平分線的判定定理的證明及應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)角的平分線的判定.

學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)

環(huán)節(jié)一：引入新課

教師活動(dòng)1：學(xué)生活動(dòng)1：

角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的學(xué)生思考，問(wèn)答問(wèn)題

點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

幾何符號(hào)語(yǔ)言：

??,點(diǎn)尸在NAOB的平分線上，且P。

LOA,PEJ_OB.

:.PD=PE

%

UEB

活動(dòng)意圖說(shuō)明：復(fù)習(xí)舊知識(shí)，為學(xué)習(xí)新課做準(zhǔn)備

環(huán)節(jié)一：新知探究

教師活動(dòng)2：學(xué)生活動(dòng)2：

問(wèn)題1：如圖所示，要在S區(qū)建一個(gè)集

貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等，

離公路與鐵路交叉處500nb這個(gè)集貿(mào)

市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位學(xué)生根據(jù)自學(xué)要求獨(dú)立操作，然后互相交流各自

置,比例尺為1：20000）?的結(jié)論.教師可以抽一小組進(jìn)行展講，其他各小

r組認(rèn)真傾聽(tīng)，積極補(bǔ)充、質(zhì)疑提問(wèn)，對(duì)展示小組

進(jìn)行評(píng)價(jià).

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相

等。那么，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)

是否在角的平分線上呢？請(qǐng)你試著證

明一下。

教師歸納總結(jié)并板書(shū)：角平分線判定

定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相

等的點(diǎn)在角的平分線上.

己知，如圖，P為NA08內(nèi)部一

點(diǎn)，尸。_1_。4于O,PE_LOB于E,且

PD=PE.求證：點(diǎn)戶在N40B的平分

線上.

證明：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作射線0C

VPD±OA,PE工OB,

：.ZPDO=ZPEO=90°,

在RtAPDO和RtZXPEO中，

(BD=CD

IDE=DF

:.RZDO%Rt/\PEO(HL),

:.ZPOD=ZPOE即點(diǎn)P在NAOB的

平分線上.

幾何語(yǔ)言：

?：PD±OA,PE_LOB,PD=PE,

???點(diǎn)P在NAOB的平分線上.

歸納：

角的平分線的性質(zhì)與判定定理的關(guān)

系：

⑴都與距離有關(guān)，即垂直的條件都應(yīng)師生共同總結(jié)歸納

具備.

性點(diǎn)

⑵點(diǎn)在角的平分線上‘桿？匕”‘點(diǎn)到

這個(gè)角兩邊的距離相等.

⑶性質(zhì)反映只要是角平分線上的點(diǎn),

到角兩邊的距離就一定相等；判定定

理反映只要是到角兩邊距離相等的

點(diǎn)，都應(yīng)在角的平分線上.

活動(dòng)意圖說(shuō)明：經(jīng)歷角平分線的判定定理的探索過(guò)程，讓學(xué)生感受知識(shí)的產(chǎn)生可以

來(lái)自于數(shù)學(xué)自身.結(jié)合推理證明，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性.

環(huán)節(jié)三：?jiǎn)栴}解決

教師活動(dòng)3：學(xué)生活動(dòng)3：

如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它

到公路，鐵路距離相等，離公路與鐵路學(xué)生分小組討論并完成課前的問(wèn)題

交義處500米.這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建十

何處（在圖上標(biāo)出它的位置.，比例尺為

1:20000）?

解：作夾角的角平分線0C,截取

0D=2.5cm,D即為所求.

根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點(diǎn)

到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直

線形成的角的平分線，再在這條角平分

線上根據(jù)要求取點(diǎn).

活動(dòng)意圖說(shuō)明：用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的用處，進(jìn)一步感受數(shù)

學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性

環(huán)節(jié)四：典例精析

教師活動(dòng)4：學(xué)生活動(dòng)4：

例L如圖，△A8C的角平分線BM,CN有思路的同學(xué)獨(dú)立解答，沒(méi)有思路的同學(xué)小

相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊組討論。并請(qǐng)一位同學(xué)匯報(bào)結(jié)果。

BC,CA的距離相等.

證明：過(guò)點(diǎn)「作。。，PE,尸產(chǎn)分別垂

直丁A&BC,C4,垂足為。，E,F.

V3M是AWC的角平分線，點(diǎn)P在

8M上，

:.PD=PE,

同理，PE=PF,

：.PD=PE=PF,

即〃到三邊A從bC,CA的距離相等.

A

活動(dòng)意圖說(shuō)明：通過(guò)訓(xùn)練，鞏固新知加深對(duì)角平分線的判定的運(yùn)用和理解.

板書(shū)設(shè)計(jì)角平分線的判定

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上

課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】

必做題：

1.如圖，在△/1紀(jì)中，點(diǎn)。是歐內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)。到△力交三邊的距離

相等.若

//=40°,則N80C的度數(shù)為（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

A

2.若內(nèi)一點(diǎn)。到三角形三條邊的距離相等，則。為△/1比'()

的交點(diǎn).

A.角平分線B.高線C.中線D.邊的垂線

3.如圖，&LL處于〃PE10B于E,小6。加，當(dāng)PE二__cm時(shí)：點(diǎn)〃在N

力出的平分線上.

4.如圖，已知PALQV于A,PB1.〃"于B,且PA=PB,乙口心50°,/勿止30°,

則=______.

選做題：

5.如圖，乙?jiàn)y箕60°,點(diǎn)43為射線W,〃V上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)力、8不與點(diǎn)

〃重合)，在乙必V的內(nèi)部，△力面的外部有一點(diǎn)P,且A注BP,片120。.

求證：點(diǎn)〃在乙始V的平分線上.

【綜合拓展類作業(yè)】

6.如圖，有一塊三角形的閑地，其三邊長(zhǎng)分別為30m、40m、50m,現(xiàn)要把

它分成面積比為3:4:5的三部分，分別種植不同的花，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案,

并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

課堂總結(jié)角平分線的?法

.：角平分線上的點(diǎn)；1

角平分線.叵士?jī)蓷l■線皎相等

的慢施

?助線

■過(guò)京平分線上一點(diǎn)向兩邊作■靖段

添加

作業(yè)設(shè)計(jì)【知識(shí)技能類作業(yè)】

必做題：

1.如圖，戶是△力回外部一點(diǎn)，PDL4B,交新的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃PELAC,

交力。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,PF上BC于點(diǎn)F,且P2P打PF.關(guān)于點(diǎn)夕有下列三種

說(shuō)法：

①點(diǎn)夕在/必。的平分線上；

②點(diǎn)U在/位的平分線上；

③點(diǎn)Q在/物C的平分線上.

其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

A.OB.1C.2D.3

ACE

2.如圖，直線Ah,，3表示三條兩兩相互交又的公路，現(xiàn)在擬建一個(gè)貨

物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有—

處.

AA

3.如圖所示，己知△力比'的周長(zhǎng)是10,