概率（三）

一.解答題（共17小題）

1.（2025?揚州）為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現(xiàn)有4種體育類活動供學生選

擇：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花樣跳繩，D.踢犍子，每名學生只能選擇其中一種體育活動.

（1）若小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是；

（2）請用前樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機選擇選到同種體育活動的概率.

2.（2025?江西）校園數(shù)學文化節(jié)期間，某班開展多輪開盲盒做游戲活動.每輪均有四個完全相同的盲盒，

分別裝著寫有“幻方”、“數(shù)獨”、“華容道”、“魯班鎖”游戲名稱的卡片，每位參與者只能抽取一個盲盒，

盲盒打開即作廢.

（1）若隨機抽取一個盲盒并打開，恰好裝有“數(shù)獨”卡片的事件是：

A.必然事件

B.隨機事件

C.不可能事件

（2）若某輪只有小賢與小藝兩位同學參加開盲盒游戲，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人恰好抽中裝

著寫有“華容道”和“魯班鎖”卡片盲盒的概率.

3.（2025?德陽）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨靈蛇獻瑞”為主題的第十六屆德陽燈會在

玄珠湖公園盛大舉行，設置“三星夢境”“德陽光華”等五大主題板塊.燈會結束后，主辦方隨機抽取

多名游客進行滿意度調(diào)查（每人只能選擇一項），用A、從C、。、E分別代表一大主題板塊，整理得

到以下不完整統(tǒng)計表：

主題板塊頻數(shù)（滿意人數(shù)）頻率（所占比例）

A1800.36

Ba0.20

C75

DbC

E

（1）直接寫出。、b、c的值；

（2）根據(jù)以上抽樣調(diào)查結果，游客最滿意的主題板塊是什么？若本屆燈會實際接待游客達200000人,

請估計最滿意此板塊的人數(shù)；

（3）若燈會工作人員中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，現(xiàn)隨機抽取2名青年志愿者

進行視頻采訪.，請利用畫樹狀圖或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

4.（2025?蘇州）為了弘揚社會主義核心價值觀，學校決定組織”立鴻鵠之志，做有為少年”主題觀影活

動，建議同學們利用周末時間自主觀看.現(xiàn)有A,A,C共3部電影，甲、乙2位同學分別從中任意選

擇1部電影觀看.

（1）甲同學選擇A電影的概率為；

（2）求甲、乙2位同學選擇不同電影的概率（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）.

5.（2025?眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻擋之勢，深刻改變著我們的世界.某校社團開展

以“智能之光，照見未來”為主題的探究活動，推薦了當前熱門的4類人工智能軟件A、3、C、D,每

個學生可選擇其中1類學習使用.為了解學生對軟件的使用情況，隨機抽取部分學生進行調(diào)查統(tǒng)計，并

根據(jù)統(tǒng)計結果繪制成如圖所示的兩幅不完整統(tǒng)計圖:

人數(shù)（人）

請根據(jù)圖中信息，完成下列問題:

（1）這次抽取的學生總人數(shù)為人;扇形統(tǒng)計圖中A類軟件所占圓心角為度;

（2）補全條形統(tǒng)計圖:

（3）社團活動中表現(xiàn)最突出的有4人，其中有3人使用A類軟件，有1人使用8類軟件，現(xiàn)準備從這

4名學生中隨機選擇2人進行學習成果展示，請用畫樹狀圖或列表法求出恰好抽到使用A、B兩類軟件

各1人的概率.

6.（2025?甘肅）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成3個扇形，分別涂有“紅、白、藍”三

種顏色，轉(zhuǎn)盤指針固定.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，等轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，觀冢指針所落區(qū)域的顏色.若指針落在區(qū)域分

界線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.

（1）任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，指針落在紅色區(qū)域的概率為;

（2）任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次（第一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，等轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，再第二次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），用畫樹狀圖或列

表的方法求指針所落區(qū)域顏色不同的概率.

7.（2025?煙臺）2025年4月19日，煙臺市民文化藝術季啟幕.某校帶領甲、乙兩個社團參觀甲骨學發(fā)展

史館，領略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活動結束后，兩個社團進行了一次滿分為10分的

甲骨學發(fā)展史測試，并對所有學生的成績進行了收集、整理、分析，信息如下：

①甲社團的成績（單位：分）情況如下：

6,6?6,6,7,7,7?7,6,7,7?6.7,8,8,8,8,9,8,8,9,9,9,8,8,9,9,9,7,9,

6,9,9,10,8,8,9,9,10,10.

_......................6x8+7x12+8x6+9x10+10x4

8+12+6+10+4

③將兩個社團的成績繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖:

（1）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（2）成績?yōu)?分的學生在社團的排名更靠前（填“甲”或"乙”）：

（3）已知甲社團的滿分學生中有兩名女生，現(xiàn)從甲社團滿分學生中隨機抽取兩人，參加甲骨學發(fā)展史

宣講活動.請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率.

8.（2025?廣安）某校開展“共享閱讀?向上人生”的讀書活動，為了解學生對四類書籍（A體育類，8科

技類，C文學類，。藝術類）的喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取若干名學生進行了問卷調(diào)查（每個被

調(diào)查的學生必須選擇而且只能在這四類書籍中選擇一類），并將數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計和整理，繪制了兩幅不完

整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，請回答下列問題：

（1）本次抽取調(diào)查的學生共有人，估計該校2000名學生喜愛“6科技類”書籍的人數(shù)約

為人.

（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整.

（3）在活動中，甲、乙、丙三名學生表現(xiàn)優(yōu)秀，決定從這三名學生中隨機選取兩名學生參加演講比賽，

請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中甲和乙的概率.

9.（2025?云南）九年級某班學生計劃到甲，乙兩個敬老院開展獻愛心活動，老師把該班學生分成A,8兩

個小組，通過游戲方式確定去哪個敬老院.

游戲規(guī)則如下：在一個不透明的箱了?中放了分別標有數(shù)字1,2的兩張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長

先從這個箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為x.在另一個不透明的箱子中放了分別標有數(shù)字

1,2,3的三張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長再從該箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為》若

x=y,則A組學生到甲敬老院，B組學生到乙敬老院；若xWy,則A組學生到乙敬老院，月組學生到甲

敬老院.

（1）用列表法或畫樹狀圖法口的一種方法，求（x,），）所有可能出現(xiàn)的結果總數(shù)；

（2）求A組學生到甲敬老院，8組學生到乙敬老院開展獻愛心活動的概率P.

10.（2025?連云港）一只不透明的袋子中裝有1個紅球和3個白球，這些球除顏色外都相同.

（1）攪勻后從中任意摸出1人球，則摸到紅球的概率是;

（2）攪勻后從中任意摸出I個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球.用面樹狀圖或列

表的方法，求2次都摸到白球的概率.

II.（2025?遂寧）Oe即Se或橫空出世，猶如一聲驚雷劈開壟斷，躋身世界最強大模型行列，開啟中國人工

智能嶄新的春天.為激發(fā)青少年崇尚科學，探索未知的熱情，某校開展了“逐夢科技強國”為主題的活

動.下面是該校某調(diào)杳小組對活動中模具設計水平的調(diào)查報告，請完成報告中相應問題.

模型設計水平調(diào)查報告

調(diào)查主“逐夢科技強國”活動中模具設計水平

題

調(diào)查目通過數(shù)據(jù)分析，獲取信息，能在認識及應用統(tǒng)計圖表和百分數(shù)的過程中，形成數(shù)據(jù)觀念，發(fā)展

的應用意識.

調(diào)查對某校學生模具設計成績調(diào)查方式抽樣調(diào)查

象

數(shù)據(jù)收隨機抽取全校部分學生的模具設計成績（成績?yōu)榘俜种?，用X表示），并整理，將其分成如下四

集與表組：A：60W人＜70,B:70^A＜80,C:80W人＜90,D：904xWl00.

示下面給出了部分信息：

其中C組的成績?yōu)椋?0,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86,86,87,87,88,

88,89,89,89.

模型設計成績的頻數(shù)分布直方圖模型設計成績的扇形統(tǒng)計圖

數(shù)據(jù)分根據(jù)以上信息解決下列問題：

析與應（1）本次共抽取了名學生的模具設計成績，成績的中位數(shù)是分，在

用扇形統(tǒng)計圖中，C組對應圓心角的度數(shù)為.

（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；

（3）請估計全校1200名學生的模具設計成績不低于80分的人數(shù)；

（4）學校決定從模具設計優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四位同學中隨機選擇兩名同學作經(jīng)驗交流，請

用畫樹狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學恰為甲和丙的概率.

12.（2025?內(nèi)江）內(nèi)江，東漢建縣，古稱漢安，是一座依江而生、因水得名的城市.”成渝之心、大千故

里、甜蜜之城”是新時代內(nèi)汀的二張靚麗名片，也是“心里用”的由.來.為弘揚內(nèi)汀傳統(tǒng)文化，我市將

舉辦中小學生“知內(nèi)江、愛內(nèi)江、興內(nèi)江”知識競賽活動.某校舉辦選拔賽后，隨機抽取了部分學生的

成績，成績按百分制分為A、B、C、。四個等級，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.

等級成績（X）人數(shù)

A95<x<100m

B85VxW9524

C75<A<8514

DxW7510

根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息解答下列問題：

（1）表中〃?=：扇形統(tǒng)計圖中，表示成績等級為。的扇形圓心角為度.

（2）若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為4的學生大約有多少人？

（3）現(xiàn)從成績等級為人的甲、乙、丙、丁4人中隨機選出2人參加市級比賽，諳通過列表或畫樹狀圖

的方法求出甲、乙兩人同時被選中的概率.

13.（2025?涼山州）某校訂劃在各班設立圖書角，為合理搭配各類書籍，學校團委以“我最喜愛的書籍”

為主題，抽取部分學生對最喜愛的書籍（A類為文學，8類為科普，C類為體育，。類為其他）進行調(diào)

查（每人只能選擇一項）.根據(jù)調(diào)杳結果繪制成以卜.兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

20

18

16

14

12

180

6

4

2

0

（1）本次調(diào)查的總人數(shù)是人；

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求類所對應的扇形的圓心角為度；

（3）現(xiàn)從喜歡文學的2名男生和2名女生中，隨機抽取2名參加“中華魂”演講比賽.請用列表法或

畫樹狀圖法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.

14.（2025?南充）為了弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校擬增設四類興趣班：4川劇班、8皮影班、C剪紙班、D

木偶班.學校的調(diào)研小組在全校隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，調(diào)杳問題是“你最希望增設的興趣

班”（四類中必選并只選一類），調(diào)研小組根據(jù)調(diào)查結果繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖：

（I）求問卷調(diào)查的總人數(shù)，并補金條形圖.

（2）若該校共有800名學生，估計最希望增設“木偶班”的學生人數(shù).

（3）本次調(diào)研小組共有5人，其中男生3人，女生2人，現(xiàn)從5人中隨機抽取2人向?qū)W校匯報調(diào)查結

果，求恰好抽中一男一女的概率.

15.（2025?瀘州）某市教育綜合實踐基地開設有A：巧手木藝；B：創(chuàng)意縫紉；C快樂種植：。：美味烹

任；E：愛心醫(yī)護等五門課程.某校組織八年級學生到該基地開展活動，一段時間后，基地采用隨機抽

樣的方式，在該校八年級抽取部分學生開展了“我最喜歡的綜合實踐課程”的問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查所

收集的數(shù)據(jù)進行整理，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.

課程名稱巧手木藝創(chuàng)意縫紉快樂種植美味烹飪愛心醫(yī)護

人數(shù)a612h18

根據(jù)圖表信息，回答下列問題：

（1）力=，扇形統(tǒng)計圖中表示“巧手木藝”部分對應扇形的圓心角度數(shù)是；

（2）若該校八年級共有480名學生，請你估計該校八年級最喜歡4B兩門課程的學生人數(shù)；

（3）小明同學從氏C,E四門課程中隨機選擇兩門，求恰好選中E兩門課程的概率.

16.（2025?自貢）某校七年級擬組建球類課外活動興趣班，為了解同學們的參與意向，學生會進行了隨機

問卷調(diào)查，要求被調(diào)查的同學在足球、籃球、乒乓球、羽毛球中任選一項，以下是依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，正在

繪制中的統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表，請根據(jù)相關信息解答下列問題.

選擇球類興趣班人數(shù)占比統(tǒng)計表

組別球類活動興趣班占調(diào)查總人數(shù)百分比

A足球10%

B籃球

C乒乓球

D羽毛球

(1)請補全上述條形統(tǒng)計圖和占比統(tǒng)計表，若用扇形統(tǒng)計圖反映選擇球類活動興趣班的人數(shù)占比，則

籃球興趣班的扇形圓心角為度;

(2)估計該校七年級4(X)名學生中，選擇乒乓球興趣班的人數(shù)；

(3)若用電腦隨機選擇A、B、C、。四類興趣班，請用列表或畫樹狀圖的方法，求該校七年級甲、乙

兩名同學都選擇乒乓球興趣班的概率.

選擇球類興趣班人數(shù)條形統(tǒng)計圖

項目主題陽光學校學生研學需求情況調(diào)查

調(diào)查人員數(shù)學興趣小組

調(diào)查方法抽樣調(diào)查

調(diào)研內(nèi)容陽光學校計劃組織學生前往以下5個研學基地中的一個基地進行研學.5個

研學基地分別為：A.張愛萍故居；B.王維舟紀念館：C.萬源保衛(wèi)戰(zhàn)紀念

館；廣子村農(nóng)業(yè)示范園；E.開江白寶塔.

數(shù)學興趣小組對本校學生的意向目的地展開抽樣調(diào)查，并為學校出具了調(diào)查

報告(每位學生只能選1個研學基地)

統(tǒng)計數(shù)據(jù)

請閱讀上述材料，解決下列問題:

（1）請將條形統(tǒng)計圖補充完整，查向參加8研學基地人數(shù)對應的扇形圓心角度數(shù)是

（2）若該校共有2000名學生，請你估計全校參加A研學基地的學生人數(shù):

（3）甲同學從8,C,。三個基地中隨機選擇一個參加研學，乙同學從C,。兩個基地中隨機選擇一個

參加研學，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩位同學選擇相同研學基地的概率.

概率（三）

參考答案與試題解析

一.解答題（共17小題）

I.（2025?揚州）為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現(xiàn)有4種體育類活動供學生選

擇：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花樣跳繩，。.踢健子，每名學生只能選擇其中一種體育活動.

（1）若小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是::

（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念.

11

【答案】⑴-：（2）

44

【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到小明在這4種體育活動中隨機選擇，選中“乒乓球”

的概率；

（2）根據(jù)題意可以畫出相應的樹狀圖，然后求出相應的概率即同;

【解答】解：（1）由題意可得，

小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是士

4

故答案為："

4

（2）樹狀圖如下所示:

開始

/VA

小聰ABeDABCDABCDABCD

由上可得，一共有16種等可能性，其中小明和小聰隨機選攔選到同一種體育活動的可能性有4種，

???小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率為&=i

164

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖.

2.（2025?江西）校園數(shù)學文化節(jié)期間，某班開展多輪開盲盒做游戲活動.每輪均有四個完全相同的盲盒,

分別裝著寫有“幻方”、"數(shù)獨”、"華容道”、“魯班鎖”游戲名稱的卡片，每位參與者只能抽取一個盲盒,

盲盒打開即作廢.

（1）若隨機抽取一個盲盒并打開，恰好裝有“數(shù)獨”卡片的事件是」

A.必然事件

B.隨機事件

C.不可能事件

（2）若某輪只有小賢與小藝兩位同學參加開盲盒游戲，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人恰好抽中裝

著寫有“華容道”和“魯班鎖”卡片盲盒的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法：隨機事件.

【專題】概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念.

1

【答案】（1）故（2）--

6

【分析】（1）根據(jù)題意，可知隨機抽取一個盲盒并打開，恰好裝有“數(shù)獨”卡片的事件是隨機事件；

（2）根據(jù)題意畫出相應的樹狀圖，然后即可求得兩人恰好抽中裝著寫有“華容道”和“魯班鎖”卡片

盲盒的概率.

【解答】解：（I）由題意可得，

若隨機抽取一個盲盒并打開，恰好裝有“數(shù)獨”卡片的事件是隨機事件，

故答案為：B：

（2）設有“幻方”、“數(shù)獨”、“華容道”、“魯班鎖”分別用A、B、C、。表示，

樹狀圖如下所示：

開始

小賢ABCD

AAAA

小藝BCDACDABDABC

由上可得，一共有12種等可能性，其中兩人恰好抽中裝著寫有“華容道”和“魯班鎖”卡片盲盒的可

能性有2種，

???兩人恰好抽中裝著寫有“華容道”和“魯班鎖”卡片盲盒的概率為三=7.

126

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、隨機事件，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖.

3.（2025?德陽）2025年I月24日至2月16日，以“三星璀璨靈蛇獻瑞”為主題的第十六屆德陽燈會在

玄珠湖公園盛大舉行，設置“三星夢境”“德陽光華”等五大主題板塊.燈會結束后，主辦方隨機抽取

多名游客進行滿意度調(diào)查（每人只能選擇一項），用A、8、C、。、E分別代表一大主題板塊，整理得

到以下不完整統(tǒng)計表:

主題板塊頻數(shù)（滿意人數(shù)）頻率（所占比例）

A1800.36

Ba0.20

C75

DhC

E

（1）直接寫出。、氏c的值；

（2）根據(jù)以上抽樣調(diào)查結果，游客最滿意的主題板塊是什么？若本屆燈會實際接待游客達200000人,

請估計最滿意此板塊的人數(shù)：

（3）若燈會工作人員中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，現(xiàn)隨機抽取2名青年志愿者

進行視頻采訪.，請利用畫樹狀圖或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表；概率公式.

【專題】統(tǒng)計的應用；概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念；運算能力.

【答案】（1）。=100,。=145,c=0.29；

（2）游客最滿意的主題板塊是4板塊，若本屆燈會實際接待游客達200000人時，估計最滿意此板塊

的人數(shù)是72000人；

2

（3）一.

3

【分析】（1）由A的人數(shù)除以頻率得出抽取的游客總人數(shù)，即可解決問題；

（2）根據(jù)以上抽樣調(diào)查結果可知，游客最滿意的主題板塊是A板塊，再由本屆燈會實際接待游客人數(shù)

乘以A板塊的頻率即可k

（3）畫樹狀圖，共有12種等可能出現(xiàn)的結果，其中恰好抽到一男一女的結果有8種，再由概率公式求

解即可.

【解答】解：（1）抽取的游客總人數(shù)為：180+0.36=500（人），

???4=500X0.20=100,

AZ?=500-180-100-75=145,

Ac=1454-500=0.29；

（2）根據(jù)以上抽樣調(diào)查結果，游客最滿意的主題板塊是A板塊，

200000X0.36=72000（人），

答：游客最滿意的主題板塊是A板塊，若本屆燈會實際接待游客達20（X）00人時，估計最滿意此板塊的

人數(shù)是72000人；

（3）畫樹狀圖如下：

開始

/Tx/TxXTx/Tx

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能出現(xiàn)的結果，其中恰好抽到一男一女的結果有8種，

82

???恰好抽到一男一女的概率為石=

JL4O

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表等知識.列表法或樹狀圖法可以不重

復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用

到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

4.（2025?蘇州）為了弘揚社會主義核心價值觀，學校決定組織”立鴻鵠之志，做有為少年”主題觀影活

動，建議同學們利用周末時間自主觀看.現(xiàn)有A,B,C共3部電影，甲、乙2位同學分別從中任意選

擇1部電影觀看.

（1）甲同學選擇A電影的概率為:

（2）求甲、乙2位同學選擇K同電影的概率（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】⑴

2

（2）一.

3

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，共有9種等可能的結果，其中甲、乙2位同學選擇不同電影

的結果有6種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）???現(xiàn)有A，B，C共3部電影，

???甲同學選擇4電影的概率為點

故答案為：

（2）畫樹狀圖如下:

開始

AB

/T\

A/NBCA/NBCABC

共有9種等可能的結果，其中甲、乙2位同學選擇不同電影的結果有6利。

???甲、乙2位同學選擇不同電影的概率為爭=；.

【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩

步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5.（2025?眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻擋之勢，深刻改變著我們的世界.某校社團開展

以“智能之光，照見未來”為主題的探究活動，推薦了當前熱門的4類人工智能軟件A、B、C、。，每

個學生可選擇其中1類學習使用.為了解學生對軟件的使用情況，隨機抽取部分學生進行調(diào)查統(tǒng)計，并

根據(jù)統(tǒng)計結果繪制成如圖所示的兩幅不完整統(tǒng)計圖：

人數(shù)（人）

°ABCD軟件類別------

請根據(jù)圖中信息，完成下列問題：

（1）這次抽取的學生總人數(shù)為200人；扇形統(tǒng)計圖中A類軟件所占圓心角為144度；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）社團活動中表現(xiàn)最突出的有4人，其中有3人使用A類軟件，有I人使用B類軟件，現(xiàn)準備從這

4名學生中隨機選擇2人進行學習成果展示，請用畫樹狀圖或列表法求出恰好抽到使用A、6兩類軟件

各1人的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法：扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；概率公式.

【專題】統(tǒng)計的應用；概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念：運算能力.

【答案】（1）200,144；

【分析】（1）由。軟件的人數(shù)除以所占百分比得出這次抽取的學生總人數(shù)，即可解決問題；

（2）求出8軟件的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；

（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中恰好抽到使用A、B兩類軟件各I人的結果有6種，再

由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）這次抽取的學生總人數(shù)為：40?20%=200（人），

...扇形統(tǒng)計圖中人類軟件所占圓心角為360。x雋=144。，

4UU

故答案為：200,144；

（2）B軟件的人數(shù)為：200-30-20-40=60（人），

補全條形統(tǒng)計圖如下：

共有12種等可能的結果，其中恰好抽到使用4、B兩類軟件各1人的結果有6科

???恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率為三=

122

【點評】本題考查的是用列表法與樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識.列表法與樹狀

圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

6.（2025?甘肅）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成3個扇形，分別涂有“紅、白、藍”三

種顏色，轉(zhuǎn)盤指針固定.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，等轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，觀察指針所落區(qū)域的顏色.若指針落在區(qū)域分

界線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.

（1）任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，指針落在紅色區(qū)域的概率為；

-3-

（2）任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次（第一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，等轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，再第二次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），用畫樹狀圖或列

表的方法求指針所落區(qū)域顏色不同的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】（1）%

2

（2）

3

【分析】（1）根據(jù)題意，可以得到任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，指針落在紅色區(qū)域的概率；

（2）根據(jù)題意，可以畫出相應的樹狀圖，然后即可求得指針所落區(qū)域顏色不同的概率.

【解答】解：（1）由題意可得，

任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤?次，指針落在紅色區(qū)域的概率為3

故答案為:I；

（2）樹狀圖如下:

開始

由上可得，一共有9種等可能性，其中指針所落區(qū)域顏色不同的可能性有6種，

，指針所落區(qū)域顏色不同的概率為當=

93

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖.

7.（2025?煙臺）2025年4月19日，煙臺市民文化藝術季啟幕.某校帶領甲、乙兩個社團參觀甲骨學發(fā)展

史館，領略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活動結束后，兩個社團進行了一次滿分為10分的

甲骨學發(fā)展史測試，并對所有學生的成績進行了收集、整理、分析，信息如下：

①甲社團的成績（單位：分）情況如下：

6,6,6,6,7,7,7,7,6,7,7,6,7,8,8,8,8,9,8,8,9,9,9,8,8,9,9,9,7,9,

6,9,9,10,8,8,9,9,10,10.

6X8+7X12+8X6+9X10+10X4

②乙社團的平均成績?yōu)?7.75（分）.

8+12+6+10+4

③將兩個社團的成績繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖:

（1）將條形統(tǒng)計圖補充完整;

（2）成績?yōu)?分的學生在乙社團的排名更靠前（填“甲”或"乙”）；

（3）已知甲社團的滿分學生中有兩名女生，現(xiàn)從甲社團滿分學生中隨機抽取兩人，參加甲骨學發(fā)展史

宣講活動.請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；條形統(tǒng)計圖；中位數(shù).

【專題】概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】（1）補全圖形見解答；

（2）乙；

2

（3）

3

【分析】（1）先根據(jù)題干已知數(shù)據(jù)得出甲社團滿分人數(shù)及乙社團得7分人數(shù)，繼而補全圖形；

（2）先求出甲、乙社團學生成績的中位數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)的意義求解即可；

（3）男生用A表示，兩名女生分別用。和。表示，畫樹狀圖得出所有等可能結果，從中找到符合條件

的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)知，甲社團滿分人數(shù)為3人，乙社團7分的有12人，補全圖形如下：

□乙社團□甲社團

所以成績?yōu)?分的學生在乙社團的排名更靠前:

（3）男生用A表示，兩名女生分別用4和C表示.

由圖可知共有6種可能的結果，且每種結果M現(xiàn)的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生有4

種結果，

所以所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率為:=

【點評】本題考查的是從統(tǒng)計數(shù)據(jù)，平均數(shù)公式中獲取信息，求解中位數(shù)，利用中位數(shù)做決策，利用畫

樹狀圖或列表法求解隨機事件的概率，掌握統(tǒng)計的基礎知識是解本題的關鍵.

8.（2025?廣安）某校開展“共享閱讀?向上人生”的讀書活動，為了解學生對四類書籍（4體育類，B科

技類，C文學類，。藝術類）的喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取若干名學生進行了問卷調(diào)查（每個被

調(diào)查的學生必須選擇而且只能在這四類書籍中選擇一類），并將數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計和整理，繪制了兩幅不完

（1）本次抽取調(diào)查的學生共有200人，估計該校2000名學生喜愛“4科技類”書籍的人數(shù)約為

800人.

（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整.

（3）在活動中，甲、乙、丙三名學生表現(xiàn)優(yōu)秀，決定從這三名學生中隨機選取兩名學生參加演講比賽，

請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中甲和乙的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.

【專題】統(tǒng)計的應用；概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念；運算能力.

【答案】（1）200,800：

（2）圖形見解析；

1

（3）

3

【分析】（1）由喜愛D藝術類的學生人數(shù)除以所占百分比得出本次抽取調(diào)查的學生共有人數(shù)，即可解

決問題：

（2）求出喜愛。義學類的人數(shù)，將條形統(tǒng)計圖補充完整即可；

（3）列表得出共有6種等可能結果，其中恰好選中甲和乙的結果有2種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）本次抽取調(diào)杳的學生共有：40?20%=200（人），

估計該校2000名學生喜愛科技類”書籍的人數(shù)約為2000X黑=800（人），

故答案為:200,800；

（2）喜愛。文學類的人數(shù)為：200-20-80-40=60（人），

將條形統(tǒng)計圖補充完整如下：

機數(shù)（人）

ABCD書籍種類

（3）列表如下：

甲乙丙

甲（乙，甲）（丙，甲）

乙（甲，乙）（丙，乙）

內(nèi)（甲，丙）（乙，丙）

共有6種等可能結果，其中恰好選中甲和乙的結果有2種,

???恰好選中甲和乙的概率=|=1.

【點評】此題考查的是用列表法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識.列表法可以不重復不遺漏

的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

9.（2025?云南）九年級某班學生計劃到甲，乙兩個敬老院開展獻愛心活動，老師把該班學生分成A,3兩

個小組，通過游戲方式確定去哪個敬老院.

游戲規(guī)則如下：在?個不透明的箱了中放了分別標有數(shù)字I,2的兩張卡片（除數(shù)字外，都相同），班K

先從這個箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為k在另一個不透明的箱子中放了分別標有數(shù)字

1,2,3的三張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長再從該箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為），.若

%=），，則A組學生到甲敬老院，8組學生到乙敬老院；若工。），，則A組學生到乙敬老院，B組學生到甲

敬老院.

（1）用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求（x,），）所有可能出現(xiàn)的結果總數(shù)；

（2）求A組學生到甲敬老院，4組學生到乙敬老院開展獻愛心活動的概率匕

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】（1）見解析；

1

（2）

3

【分析】（1）畫樹狀圖，即可得出結論；

（2）由（1）可知，共有6種等可能的結果，其中A組學生到甲敬老院，B組學生到乙敬老院開展獻愛

心活動的結果有2種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：

開始

12

個個

共有6種等可能的結果總數(shù)，即（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）；

（2）由（1）可知，共有6種等可能的結果，其中A組學生到甲敬老院，8組學生到乙敬老院開展獻愛

心活動的結果有2利I即（1,1）,（2,2）,

組學生到甲敬老院，B組學生到乙敬老院開展獻愛心活動的概率P=|=1.

o3

【點評】本題考查了樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步

或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

1（）.（2025?連云港）一只不透明的袋子中裝有1個紅球和3個白球，這些球除顏色外都相同.

（1）攪勻后從中任意摸出1人球，則摸到紅球的概率是：

（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球.用面樹狀圖或列

表的方法，求2次都摸到白球的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應用；應用意識.

【答案】（1）7-

4

（2）—.

16

【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中摸到紅球的結果有I種，利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及2次都摸到自球的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中摸到紅球的結果有I種，

???摸到紅球的概率為"

4

故答案為："

（2）列表如下：

紅白白白

紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）（紅，白）

白（白，紅）（白，白）（白，白）（白，白）

白（白，紅）（白，白）（白，白）（白，白）

白（白，紅）（白，白）（白，白）（白，白）

共有16種等可能的結果，其中2次都摸到白球的結果有9種，

???2次都摸到白球的概率為三.

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關鍵.

II.（2025?遂寧）/九epSe以橫空出世，猶如一聲驚雷劈開壟斷，躋身世界最強大模型行列，開啟中國人工

智能嶄新的春天.為激發(fā)青少年崇尚科學，探索未知的熱情，某校開展了“逐夢科技強國”為主題的活

動.下面是該校某調(diào)查小組對活動中模具設計水平的調(diào)查報告，請完成報告中相應問題.

模型設計水平調(diào)查報告

調(diào)查主“逐夢科技強國”活動中模具設計水平

題

調(diào)查目通過數(shù)據(jù)分析，獲取信息，能在認識及應用統(tǒng)計圖表和百分數(shù)的過程中，形成數(shù)據(jù)觀念，發(fā)展

的應用意識.

調(diào)查對某校學生模具設計成績調(diào)查方式抽樣調(diào)查

象

數(shù)據(jù)收隨機抽取全校部分學生的模具設計成績（成績?yōu)榘俜种?，用X表示），并整理，將其分成如下四

集與表組：A：60WxV70,B：70WxV80,C：80WxV90,D：90WxW100.

示下面給出了部分信息:

其中C組的成績?yōu)椋?0,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86,86,87,87,88,

88,89,89,89.

模型設計成績的頻數(shù)分布直方圖模型設計成績的扇形統(tǒng)計圖

數(shù)據(jù)分根據(jù)以上信息解決卜.列問題:

析與應（1）本次共抽取了5（）名學生的模具設計成績，成績的中位數(shù)是83.5分,在扇形統(tǒng)

用計圖中，。組對應圓心角的度數(shù)為144°

（2）請補全頻數(shù)分布直方圖;

（3）請估計全校1200名學生的模具設計成績不低于80分的人數(shù);

（4）學校決定從模具設計優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四位同學中隨機選擇兩名同學作經(jīng)驗交流，請

用畫樹狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學恰為甲和丙的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布直方圖；中位數(shù);

概率公式.

【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理：概率及其應用；數(shù)據(jù)分析觀念；應用意識.

【答案】(1)50；83.5；144°.

（2）見解答.

（3）約720人.

1

（4）

6

【分析】（1）用條形統(tǒng)計圖中。的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中。的百分比可得本次共抽取的學生人數(shù)；根

據(jù)中位數(shù)的定義可得答案；用360。乘以C的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案.

（2）求出否組的人數(shù)，補全頻數(shù)分布直方圖即可.

（3）根據(jù)用樣本估計總體，月1200乘以C,。組人數(shù)所占的百分比之和，即可得出答案.

（4）列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及所選的兩位同學恰為甲和丙的結果數(shù)，再利用概率公式可得

出答案.

【解答】解：（1）本次共抽取了10^-20%=50（名）學生的模具設計成績.

將50名學生的模具設計成績按照從小到大的順序排列，排在第25和26名的成績分別為83,84,

???成績的中位數(shù)是（83+84）+2=83.3（分）.

在扇形統(tǒng)計圖中，C組對應圓心角的度數(shù)為360°x需=144°.

故答案為：50；83.5；144°.

（2）B組的人數(shù)為50X30%=15（人）.

補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示.

模型設計成績的頻數(shù)分布?直方圖

（3）1200x^^=720（人）.

QIJ

???估計全校1200名學生的模具設計成績不低于80分的人數(shù)約720人.

（4）列表如下:

甲乙丙T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，T）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，?。?/p>

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，?。?/p>

T（T.甲）（丁，乙）（丁，丙）

共有12種等可能的結果，其中所選的兩位同學恰為甲和丙的結果有：（甲，丙），（丙，甲），共2種，

，所選的兩位同學恰為甲和內(nèi)的概率為三=7.

126

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、全面調(diào)杳與抽樣調(diào)查、用樣本估計總體、頻數(shù)（率）分布直方圖、

中位數(shù)、概率公式，能夠讀懂統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體、中位數(shù)的定義、概率

公式是解答本題的關鍵.

12.（2025?內(nèi)江）內(nèi)江，東漢建縣，古稱漢安，是一座依江而生、因水得名的城市.“成渝之心、大千故

里、甜蜜之城”是新時代內(nèi)江的三張靚麗名片，也是“心里甜”的由來.為弘揚內(nèi)江傳統(tǒng)文化，我市將

舉辦中小學生“知內(nèi)江、愛內(nèi)江、興內(nèi)江”知識競賽活動.某校舉辦選拔賽后，隨機抽取了部分學生的

成績，成績按百分制分為A、B、C、Q四個等級，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.

等級成績（X）人數(shù)

A95<rW100in

85<xW9524

C75<A<8514

Dx<7510

根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息解答卜列問題:

（1）表中〃?=60；扇形統(tǒng)計圖中，表示成績等級為。的扇形圓心角為60度.

（2）若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為A的學生大約有多少人？

（3）現(xiàn)從成績等級為A的甲、乙、丙、丁4人中隨機選出2人參加市級比賽，請通過列表或畫樹狀圖

的