13.1三角形的概念導學案

一、學習目標

1.理解三角形的定義、基本元素及符號表示，能準確對三角形按角和邊進行分類.

2.掌握等腰三角形、等邊三隹形的概念，區(qū)分其各部分名稱，理解二者的包含關系.

3.通過觀察、對比、歸納，經(jīng)歷從一般到特殊的認知過程，發(fā)展幾何直觀與邏輯推理能力，體會分類思

想在數(shù)學研究中的作用.

重點：掌握三角形及其相關概念.

難點：能準確對三角形按角和邊進行分類.

二、學習過程

（一）情境引入

三角形是一種基本的幾何圖形，從古埃及的金字塔到現(xiàn)代的建筑物，從巨大的高壓輸電塔到微小的分子

結構，到處都有三角形的形象.

（二）合作探究

三角形的定義

由的三條線段所組成的圖形叫作三角形.

組成三角形的線段叫作三角形的,相鄰兩邊的公共端點叫作三角形的,

相鄰兩邊所組成的角叫作三角形的________,簡稱三角形的_____.

如右圖：

線段________,________,________是三角形的邊；

點________,________，________是三角形的頂點；

H。

____,________,________是三角形的角.

探究我們知道，按照三個內角的大小，可以將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.如何

按照邊的關系對三角形進行分類呢?說一說你的想法，并與同學交流.

/△A\

①②③④⑤

三邊都不相等：__________:兩邊相等：___________;三邊相等：___________.

等腰三角形的定義

的三角形叫作等腰三角形,,其中相等的兩邊叫作，另一邊叫作，兩腰

的夾角叫作,腰和底邊的夾角叫作

等邊三角形的定義

的三角形叫作等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

三角形的分類,

「三邊都不相等的三角形(

三角形.一一…［底邊和腰不相券的七腰二角形

I等腰.角形V小”，?.皿\(

(三)典例分析

例1如圖，在aABC中，點。在邊BC上，BD=AD=DC=AC.

(1)寫出以點。為頂點的三角形；

(2)寫出以A3為邊的三角形；

⑶找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.

例2如圖，在AAbC中，AB-BOCA,點O在AAbC內，04=06=0。,

找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.

0

B

（四）鞏固練習

1.下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中符合三角形概念的是（）

2.有下列兩種圖示均表示三角形的分類，下列判斷正確的是（）

A.圖（1）對，圖（2）不對B.圖（2）對，圖（1）不對

C.圖（1）、圖（2）都不對D.圖（1）、圖（2）都對

3.如圖，在AABC中，NBAC是直角，AD±BC,垂足為。，點￡在線段8。上，找出圖中的銳角三角形、

直角三角形和鈍角三角形.

4.如圖，寫出以N4為角的三角形，寫出以8C為邊的三角形.

5.圖中有幾個三角形?用符號表示這些三角形.

（七）小結梳理

三角股

三角彩的邊、頂點、（內）角

三角后的有關

概念及分類銳角三角形

直角三角形

鈍角三角形

三邊都不相等的三角冊

等腰三角影等邊三角彩

（A）布置作業(yè)

1.必做題：習題13.1第3題，第4題.

2.探究性作業(yè)：習題13.1第5題.

13.2.1三角形的邊導學案

一、學習目標

?.探索并掌握三角形的三邊關系，能運用該關系判斷三條線段能否組成三角形，或已知兩邊求第三邊的

取值范圍.

2.通過實驗操作，理解三角形穩(wěn)定性的原理，能解釋其在生活中的應用.

3.在探究過程中，經(jīng)歷觀察、猜想、驗證的數(shù)學活動，發(fā)展準理能力與幾何直觀，體會數(shù)學與生活的聯(lián)

系.

重點：探索并掌握三角形的三邊關系.

難點：能運用三角形的三邊關系判斷三條線段能否組成三角形，或已知兩邊求第三邊的取值范圍.

二、學習過程

（一）復習引入

1.填空如右圖:

線段是三角形的邊:

占

八、、.是三角形的頂點;

是三角形的角.

2.三角形的分類如圖:

按角分按邊分

（二）合作探究

探究任意畫一個△4BC,從點B出發(fā)，沿三角形的邊到點C,有幾條線路可以選擇?各條線路的長有什

么美系?這說明三角形的邊之間有什么關系?能證明你的結論嗎？

這樣，我們就證明了，.

進一步，由不等式②③，移項可得.

這就是說，.

思考上面的結論表明了三角形三邊之間的關系.反過來，對于三條線段，當它們滿足什么條件時，這三

條線段能組成三角形？

信息技術驗證幾何畫板.

探究如圖，將三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎?

可以發(fā)現(xiàn)，____________________________，這就是說，_____________________________.

追問在日常生活中，三角形的形狀隨處可見，并且工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結構，如屋頂鋼架結

構，起重機的起重再，鋼架橋結構等，你能再舉一些例子嗎?

(三)典例分析

例用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.

⑴如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？

⑵能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

(四)鞏固練習

1.下列長度的三條線段能否組成三角形?為什么？

(1)3,4,8；(2)5,6,11；(3)5,6,10.

2.一根4dm長的木條和兩根Idm長的木條，能否組成一個等腰三角形？兩根4dm長的木條和一根Idm長

的木條呢？

3.三角形的三邊長分別為2,7,a,則。的取值范圍是.

4.如圖，為了估計池塘兩岸4,8的距離，琪琪在池塘的一側選取一點。測得。4=9米，08=6米，則

A,B間的距離不可能是()

A.3米B.14米C.5米D.9米

5.如圖是折疊凳及其側面示意圖.若4C=8C=19C7〃，則折疊凳的寬AB可能（)

第4題圖第5題圖第7題圖

6.若實數(shù)。，b,c分別表示△ABC的三條邊，且“，〃滿足VH』+|b-8|=0,則AABC的第三條邊c

的取值范圍是（)

A.c>4B.c<\2C.4<c<l2D.4W22

7.在日常生活中，我們通常采用如圖的方法（斜釘上一塊木條）來修理一張搖晃的椅子，請用數(shù)學知識說

明這樣做的依據(jù)是:

（七）歸納總結

三角形的邊

三角彩兩邊的和第三邊.

三角形的邊

三角彩兩邊的差第三邊.

如果三條統(tǒng)段中,那么這三

三角形的存在性條線段能組成三角彩；如果三條線段中

,那么這三條線段不能組成三角歷.

三角形的穩(wěn)定性三角彩是具有的圖肪.

（A）感受中考

1.,由一根小木棒與兩根長度分別為3cm、5cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是（)

A.9cmB.7cmC.2cmD.1cm

2.下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（)

A.Icm,2cm,3cmB.3cm,8cm.5cm

C.4cm,5cm,10cmD.4cm,5cm,6cm

3.如圖，數(shù)軸上A,8兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊長可能是（)

A.-5B.4C.7D.8

4.下列圖形中有穩(wěn)定性的是（

A.三角形B.平行四邊形

C.長方形D.正方形

5.如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側矩形的寬相等，若要將其圍成如

圖2所示的三棱柱形物體，則圖中。的值可以是（）

（七）小結梳理

與三角形

有關的線段

"小、,""7^1^

（A）布置作業(yè)

1.必做題：習題13.2第5題，第6題.

2.探究性作業(yè)：

①用不同長度的小棒（或吸管）嘗試拼三角形，記錄哪些能拼成，哪些不能，驗證”三角形兩邊之和大

于第三邊

②找一找生活中體現(xiàn)“三角形具有穩(wěn)定性”的例子，拍照或畫下來，下節(jié)課分享！

13.2.2三角形的中線、角平分線、高導學案

一、學習目標

1.理解三角形中線、角平分線和高的定義，掌握其畫法.

2.認識三角形重心的概念，理解不同類型三角形高的位置特點.

3.通過觀察、操作和推理，體會三種線段在三角形中的作用，發(fā)展空間觀念與數(shù)學思維.

重點：理解三角形中線、角平分線和高的定義，掌握其畫法.

難點：理解不同類型三角形高的位置特點.

二、學習過程

(一)復習引入

1.三角形的兩邊之和第三邊;兩邊之差___第三邊.

2.三角形具有性

(-)合作探究

I.連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D,所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的.

一個三角形有三條中線，坡三條中線相交干一點.三角形三條中線的交點叫作

2.畫△ABC的乙4的平分線人。，交N人所對的邊BC于點/),所得線段人。叫作△/WC的.

B

三角形的三條角平分線相交于一點.三角形三條角平分線的交點叫作三角形的內心.

3.從△A8C的頂點4向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D,所得線段AO叫作△4BC的邊BC

上的.三角形的高線簡稱___________________.

三角形的三條高線相交丁一點.三角層條高線的交點向作當％修的垂心.

探究分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，你有什么發(fā)現(xiàn)?

(三)典例分析

例1如圖，過△ABC的頂點C分別畫出它的中線、角平分線和高.

A

B二c

例2填空題.

1

(1)如圖，AD,BE,C/是△A8c的三條中線，則____，AE=-______,AB=2_____.

2

AA

BDCBDC

(1)圖(2)圖

1

(2)如圖，A。，BE,CT?、是△ABC的三條角平分線，則Nl=_____，Z3=_________，Z.ACB=2______.

2

(四)鞏固練習

1.如圖,在周長為20cm的△A6c中，AQ是邊8任上的中線,已知CO=4cm,AC=7cm,則A3的長為

()

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

2.如圖，△ABC中，AD.AE分別為角平分線和高，ZB=46°,NC=64°,則ND4E=

A

A

BDEC

第2題圖

3.如圖，在△ABC中，線段8E表示△ABC的邊AC上的高的圖是（)

C

A.

4.如圖，CD、CE、CF分別是△A8C的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（)

A.BA=2BFB.ZACE=三/ACB

C.AE=BED.CDLAB

5.如圖,在△ABC中,是中線.AO是角平分線,A廠是高.填空:

11

(1)BE=(2)ZBAD=

22

(3)NAFB二=90°.(4)若AC=8,AF=5,貝iJSoBU.

A

第5題圖

6.已知：如圖所示，在△ABC中，點D,E,”分別為BCAD,CE的中點，且Scc=4cm2,則陰影部分

的面積為cm2.

（九）歸納總結

三角形的中線、角平分線、高

三角形的連接AABC的頂,員4和它所對的HLBC的中，點J),

44*所得線段叫作&4BC的邊5c上的_____.

三角形的囪ZV15C的乙4的平分線4Z),交N/所對的邊5c

角平分線于點D,所得墳段AD叫作的__________.

從AESC的頂點/向它所對的邊5c所在直線畫垂

三角形的

線，垂足為Z),所得線,段工。叫作A45C的邊方。

高線上的_____.三角形的高線簡稱三角腦的高.

(+)感受中考

1.如圖，△ABC中，NBCO=3(T,NACB=80°,C。是邊A4上的高，4E是/C4B的平分線，則NAXB

的度數(shù)是

2.如圖，CO_LAB于點。，已知/A8C是鈍角,則()

A.線段CO是AABC的AC邊上的高線B.線段C。是△A8C的A8邊上的高線

C.線段AQ是△A8C的BC邊上的高線D.線段A。是△A3。的AC邊上的高線

3.如圖，A3是△A8C的中線，48=4,AC=3.若△AC。的周長為8,則△A8。的周長為

4.如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C、。、E、F、G在小正方形的頂點上，則

的重心是()

A.點。B.點EC.

第3題圖

(七)小結梳理

三角形的邊

與三角形

有關的線段

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習題13.2第3題，第7題.

2.探究性作業(yè)：習題13.2第8題.

13.3.1三角形的內角（第一課時）導學案

一、學習目標

1.探索并訐明三角形內角和定理.

2.能運用三角形內角和定理解決簡單問題.

學習重點：探索并證明三角形內角和定理，體會證明的必要性.

學習難點：如何添加輔助線證明三角形內角和定理.

二、學習過程

（一）復習引入

問題在小學我們已經(jīng)知道任意一個三角形的三個內角的和等于180。，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結論的

嗎？請大家借助手中的三角形紙片，回憶小學時的學習經(jīng)歷.

追問運用以上方法獲得的結論可靠嗎？

追問要證明“三角形的內角和等于180?！埃隳軐懗鲆阎?、求證嗎？

已知：是△A8C的三個內角，

求證：.

（二）合作探究

討論你能從以上的操作過程中受到啟發(fā)，想出證明“三角形的內角和等于180?！钡姆椒▎?？請寫出并

分享你的證明過程.

追問通過前面的操作和證明過程，你能想出其他方法證明比定理嗎？

（三）典例分析

例1如圖，在△ABC中，ZSAC=40°,ZB=75°,4D是AA8C的角平分線.求NAOB的度數(shù).

例2如圖是ABC三島的平面圖，C島在A島的北偏東50。方向，8島在A島的北偏東80。方向，C島在

8島的北偏西40。方向.從8島看A,C兩島的視角/ABC是多少度？從。島看A,8兩島的視角/AC8呢？

（四）鞏固練習

I.如圖，從人處觀測C處時的仰角NC4O=30。，從8處觀測。處時的仰角NC8O=45。.則從C處觀

測4,8兩處時的視角/ACB=°,

第（1）題圖第（2）題圖

2.如圖，在△A8C中，N4=40。，則N8+NC+NAOE+NAEO=0

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如圖是某模具廠的一種模具.按規(guī)定，BA,CO的延長線的夾角應為61。，王師傅測得NB=42。，ZC

=79%則可以判斷該模具（填“符合”或“不符合”）要求，理由是：,

6.如圖，線段DG,EM,尸N兩兩相交于B,C,A三點，則ND+NE+N/+NG+NM+NN的度數(shù)是,

第4題圖第5題圖第6題圖

（五）歸納總結

（I）本節(jié)課學習了哪些主要內容？

（2）為什么要用推理的方法證明“三角形的內角和等于180?！?？

（3）你是怎么找到三角形內角和定理的證明思路的？

（六）感受中考

1.如圖，在△A8C中，N8AC=60°,N8=50°,AD//BC,則N1的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.如圖，分別過△ABC的頂點A,8作4O〃B￡若NC4D=25°,NEBC=80°,則NACB的度數(shù)為（）

A.65°B.75°C.85°D.95°

3.如圖，在△48C中，若DE//BC,FG//AC,ZBDE=\2Q0,ZDFG=\\50,則NC=°.

AD'I

/Ik

Bz-----------BDCBGC

第1題圖第2題圖第3題圖

4.《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuan）,，一宣有半謂之概（zhu）…”.意思是：”…直

11

角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做搬…”即：1宣:二或矩，1摘=［宣（其中，1矩=90°）.

問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若NA=1矩，ZB

=1懶，則zc=度.

圖⑴

（七）小結梳理

三角形的內角?三角形的內角和等于180?7

與三角形

有關的南

（八）布置作業(yè)

（1）基礎性作業(yè)：習題13.3第1,3,7題.

（2）探究式作業(yè)：搜索資料，尋找更多三角形內角和定理的證明方法.

13.3.1三角形的內角（第二課時）導學案

一、學習目標

1.理解并掌握直角三角形的兩個銳角互余的性質，能運用該性質進行簡單的角度計算和推理.

2.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形的判定方法.

3.在探究性質與判定的過程中，體會數(shù)學知識的互逆性，增強邏輯推理能力和數(shù)學思維能力.

學習重點：理解并掌握直角三角形的兩個銳角互余的性質，能運用該性質進行簡單的角度計算和推

理.

學習難點：運用直角三角形的性質和判定解決較更雜的幾何問題.

二、學習過程

（一）復習引入

1.三角形內角和定理的內容是什么？

2.你是怎么證明三角形內角和定理的？

(-)合作探究

利用三角形的內角和定理，可以得到一些特殊三角形的內角的關系.

探究如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,那么NA和N8之間有什么關系呢？

結論.

直角三角形可以用符號表示，直角三角形A4C可以寫成.

思考我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余.反過來，有兩個角

互余的三角形是直角三角形嗎？試說明理由.

(三)典例分析

例3如圖，ZC=ZD=90°,AD,BC相交于點E比較NCAE與/O8E的大小.

￡

A

（四）鞏固練習

1.在AABC中，N4CB=90。，CDLAB,垂足為。.NACO與NB有什么關系？為什么？

2.如圖，在AABC中，NG90。，點。，E分別在邊A8,4c上，且N1=N2,4AOE是直角三角形嗎？

3.一副三角板按如圖所示放置，點A在OE上，點F在BC上，AD1AC,則/8FO的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.75°D.80°

4.如圖，ACYBC,CDLAB,DEVAC,則結論：①N1=N2：②N2=NA；?DE//BC；④/8+NOCE

=9（）。中，正確的結論為____________（填序號）.

D

B

“尸*------------E_

第3題圖第4題圖

5.在下列條件中:

①N4+NB=NC：

②NA：NB：ZC=1：2：3；

③NA=90°-N8；

④N4=NB=2/C中，能確定△4BC是直角三角形的條件有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AO_L8C于點。，8E平分/ABC,AD.8E相交于點F.

(1)若NC4Q=36°,求NAE〃的度數(shù);

(2)試說明：ZAEF=ZAFE.

（五）歸納總結

（六）感受中考

1.若三角形三個內角的比為1：2：3,則這個三角形是三角形.

2.如圖，在中，ZC=90°,/B=56°,則NA的度數(shù)為（）

A.34°B.44°C.124°D.134°

3.如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出C。勵角/0的大小，需將/0轉化為與它相等的

角,則圖中與NO相等的角是（）

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECAD.ZADO

第2題圖第3題圖

4.在△人臺。中，若一個內角等于另外兩個內角的差，則（）

A.必有一個內角等于30°B.必有一個內角等于45°

C.必有一個內角等于60°D.必有一個內角等于90°

（七）小結梳理

三角形的內角“三角腦的內角和等于180°.

與三角形面角三角形的兩個銳角互余.J

有關的角有兩個角互余的三角形是直角三角影

?

（八）布置作業(yè)

（I）基礎性作業(yè)：習題13.3第4,10題.

（2）探究性作業(yè)：搜索資料，尋找更多直角三角形的性質和證明方法.

13.3.2三角形的外角導學案

一、學習目標

1.理解并掌握三角形外角的定義，能在不同幾何圖形中準確識別三角形的外角.

2.深入探究并熟練掌握三角形外角的性質，即三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，能運用該

性質進行角度計算、角的大小比較以及簡單的幾何推理.

3.在探究三角形外角性質和外角和的過程中，體會數(shù)學知識的內在聯(lián)系，增強邏輯推理能力和數(shù)學探究

能力.

學習重點：深入探究并熟練掌握三角形外角的性質.

學習難點：深入探究并熟練掌握三角形外角的性質.

二、學習過程

（一）復習引入

1.三角形的內角和定理:____________________________

2.直角三角形的兩個銳角；

3.的三角形是直角三角形.

（-）合作探究

三角形的外角

如圖，把△4BC的一邊延長，得至UNACD

像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作.

思考如圖，在△ABC中，N4=70。，/B=60。，/ACO是△的一個外角.能由NA,NB求出/AC。

嗎？如果能，NACO與NA,NB有什么關系？

追問任意一個三角形的一個外角與和它不相鄰的兩個內角是否都有這種關系？你能證明嗎？

結論.

（三）典例分析

例4N84E,4CBF,NACZ）是△48C的三個外角，它們的和是多少？

追問你還能給出其他解法嗎?

(四)鞏固練習

1.說出卜列各圖形中N1和N2的度數(shù)：

A,

(2)(3)

(1)Zl=____；Z2=____.(2)Zl=____；Z2=____.(3)Zl=____；Z2=_

/A/

BCD

(4)($)(S)

(4)Zl=____；Z2=____.(5)Zl=_____：Z2=____.(6)Zl=____；Z2=_

2.(1)一個三角形最多有幾個直角？為什么？

(2)一個三角形最多有幾個鈍角？為什么？

(3)直角三角形的外角可以是銳角嗎？為什么？

3.如圖，下列判斷正確的是（)

A.Z2<Z1B.Z2>Z1C.N22N1D.Z2=Z1

4.如圖，CE是△ABC的外角的平分線，CE交84的延長線于點E,ZB=35°,ZE=25°,則/

B4C的度數(shù)為（)

A.85°B.95°C.100°D.110°

5.將一副三角板按如圖所示的方式疊放,則N1等于（