13.3.1等腰三角形的性質(zhì)

夯實基礎(chǔ)篇

一、單選題：

I.如圖，8在4c上，。在CE上，AD=BD=BC，ZACE=25°，ZADE的

度數(shù)為（）

2.若等腰三角形的一個外角是70。，則它的底角的度數(shù)是（）

A.110°B.70°C.35°D.55°

3.若（4-2）2+1〃-31=0,則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為（）

A.6B.7C,8D.7或8

4.如圖，CO是等腰三角形ZiABC底邊上的中線，8E平分NA8C,交CD于點、E,AC

=8,DE=2,則△BCE的面積是（）

5.一個等腰三角形的底力長為5,一腰上中線把其周長分成的兩部分的差為3,則這

個等腰三角形的腰長為（）

A.2B.8C.2或8D.10

6.在即A48C中，/4C8=90。，D,E是邊48上兩點，且CE所在直線垂直平分線段

AO,CD平分NBCE,AC=5cm,則8。的長為（）

A

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

二、填空題：

7.如圖，在^ABC中，DE垂直平分AC，若&BCD的周長是12,BC=4,

8.如圖，“8C中，AB=AC,A8的垂直平分線交邊.鉆于。點，交邊AC于E點，若

△A8C與△E8C的周長分別是40cm,24cm,則AB=cm.

9.如圖，在▲A8C中，AB=AC,NA=36。，點。在4C上，且8Q=8C,則N8OC

10.在AA8C中，AD_LBC于點D,BD=CD,若BC=6,4。=4,則圖中陰影部分

的面積為.

11.如圖，CE平分NAC8,且CE±DB,NZMB二NDBA,又知AC=18,ACDB的周

長為28,則BD的長為.

12.如圖，在aABC中，AB=AC,NBAD=28。，AD=AE,則NEDC二

13.已知：如圖，ZkABC中，BO,CO分別是NA8C和NAC8的平分線，過。點的直線

分別交A4、AC于點。、E,KDE//BC.若A8=6cni,AC=8cm,則AAOE的周長

為?

14.如圖所示，在△A8C中，ZABC=ZC,BOJ_4C交AC于D.

求證：ZDBC=—ZA.

2

15.如圖，點E為△ABC邊A8上一點，AC=BC=BE,AE二EC,8￡)J_AC于。，求NCBD

的度數(shù).

16.如圖，在中，AB=BC,BELAC于點、E,ADJ_8C于點O,ZBAD=45°fAD

與BE交于點、F,連接CK求證：BF=2AE.

A

C.3D.4

二、填空題：

5.在中，AB=AC,過點A作ADIAC交射線CB于點。，若

4的是等腰三角形，則NC的大小為度.

6.等腰三角形的一腰上的高與另一腰所在直線的夾角為40。，則這個三角形的底角

為.

7.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,以AC為邊，作MCD,滿足

AD=AC，E為BC上一點，連接AE，NBAEJ/CAD,連接DE.下列

2

結(jié)論中正確的是(填序號)

①4C_LOE；②ZADE=ZACB；③若CD//AB,則AEA.AD；④

DE=CE+2BE.

三、解答題：

8.在"BC中，/BAC=120。，AB=AC,/ACB的平分線交A8于D,AE平分/胡。交

BC于■E,連接OE,_L8C于R求NEOC的度數(shù).

9.探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①,在即AA8C中，N8AO90，，A8=4C,點。在底邊8c上,

AE=AD,連結(jié)。E.

(1)當/84。=60。時，求/以花的度數(shù)；

（2）當點D在8c（點兒。除外）上運動時，試猜想并探究N8A。與NCOE的數(shù)

量關(guān)系；

（3）深入探究：若N8ACM90。,試就圖②探究N84。與NCDE的數(shù)量關(guān)系.

13.3.1等腰三角形的性質(zhì)

夯實基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.如圖，8在AC上，。在CE上，AD=BD=BC，ZACE=25°，ZADE的

度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.75°D.80°

【答案】C

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：-;BD=BC,NACE=25。，

ZBDC=ZC=25°,

/.ZABZ）=50°，

vAD=BD，

:.ZA=ZABD=50°，

ZADE=ZA+ZC=15°.

故答案為：C.

【分析】由等邊對等角得/MC=NC=25。，利用三角形外角的性質(zhì)求出NA3O=50。，

山等邊對等角得乙4=/麗=50。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出

ZADE=Z4+ZC=75°.

2.若等腰三角形的一個外角是70。，則它的底角的度數(shù)是（）

A.110°B.70°C.35°D.55°

【答案】C

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：V等腰三角形的一個外角是70。，

???與這個外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為180°-70°=ll（r,

廠.這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為110°,底角的度數(shù)為-x（180°-110o）=35°,

2

故答案為：C.

【分析】利用等腰三角形的一個外角是7（）。，可求出與這個外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)，由

于這個角是鈍角，只能做頂角，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出

它的底角的度數(shù)即可.

2

3.若（a-2）+|/?-3|=0,則以〃、〃為邊長的等腰三角形的周長為（）

A.6B.7C.8D.7或8

【答案】D

【知識點】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)；偶次泉的非負性；絕對值的非負性

【解析】【解答】解：析（〃?2）2+|…|=0,

..a-2=0,b-3=0,

解得〃=2,6=3,

①當腰是2,底邊是3時，三邊長是2,2,3,此時符合三角形的三邊關(guān)系定理，

即等腰三角形的周長是2+2+3=7；

②當腰是3,底邊是2時，三邊長是3,3,2,此時符合三角形的三邊關(guān)系定理，

即等腰三角形的周長是3+3+2=8.

故答案為：D.

【分析】首先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可以得到。力的長度，再分類討論:腰為2,底為3；和

腰為3,底為2,分別求出即可

4.如圖，CO是等腰三角形AABC底邊上的中線，8E平分NA8C,交CO于點EAC

=8,DE=2,則ABCE的面積是（）

【答案】C

【知識點】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點E作E凡L8C于立

°F、

???AC=8C=8,CO是等腰三角形△A8C底邊上的中線，

：.CD±AB,

\'BE^^ZABCfED±AB,EF工BC,

:.EF=DE=2,

：.ABCE的面積=-xBOEF=-x8x2=8.

22

故答案為：C.

【分析】過點E作E/JL8C于凡利用等腰三角形的性質(zhì)可證得CO_LA8,利用角平分

線上的點到角兩邊的距離相等，可求出E尸的長；再利用三角形的面積公式可求出A8CE

的面積.

5.一個等腰三角形的底邊長為5,一腰上中線把其周長分成的兩部分的差為3,則這

個等腰三角形的腰長為（）

A.2B.8C,2或8D.10

【答案】B

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】???8。為中線，AB=AC,BC=5,

:?AD;CD,

'：C^BD=AB+BD+AD,C^CBD=BC+CD+BD,

（D'"lCAABD-CACB產(chǎn)3時，

：,AB+BD+AD-（BC+CD+BD）=3,

即AB-BC=3,

???AB=3+5=8,

???△ABC三邊長分別為：8,8,5,符合三角形三邊之間的關(guān)系，

②當CACBD-CAABL3時，

：.BC+CD+BD-（48+8D+A。）=3,

即BC-AB=3t

：.AB=5-3=2f

???△A8c三邊長分別為：2,2,5,2+2<5,不符合三角形三邊之間的關(guān)系，

故答案為：B.

A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和中線的定義分兩種情況討論：①當?！?h品圍產(chǎn)3,

②當CAC皿-CA八80=3,分別求出48的長，再結(jié)合三角形三邊之間的關(guān)系來分析即可得出

答案.

6.在配A48C中，NAC8=9()。，D,E是邊A8上兩點，且CE所在直線垂直平分線段

AO,C。平分N8CE,AC=5cm,則8。的長為()

【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???CE所在直線垂直平分線段47),

???AC=O>5cm,/ACE=NDCE,ZAEC=90°,

??。平分N8CE,

:?NECD=/BCD,

???ZACE=ZDCE=ZBCD,

*/ZACE+ZDCE+ZBCD=ZAC6=90°

???/ACE=NDCE=NBCD=3。。,

在"EC中，ZA￡C=90c,ZACE=30°,AZA=60°,

在A/WC中，Z/\=60°,/AC5=90°,.*.Zfi=30o,

，/B=/BCD=3伊,

BD=CD=5cm.

故答案為：Ao

【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出AC=CD=5cm,ZACE=ZDCE,N4EO90。，根據(jù)角平

分線的定義得出/ECD=N8C。，根據(jù)等量代換及角的和差即可得出N4CE=/OCE=/

BCD=30。,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出N4=60。，NB=30。，根據(jù)等量代換得出NB=N

BCD=30°,根據(jù)等角對等邊得出l3D=CD=5cm.

二、填空題：

7.如圖，在MBC中，DE垂直平分AC，若ABCD的周長是12,BC=4,

則AB的長.

【答案】8

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】:/必垂直平分AC,

.\AD=cr>.

???△BCD的周長是12,BC=4,

：.AB=BD+CD=\2-4=S,

故答案為：8.

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AO二CD,進而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

出結(jié)論.

8.如圖，“8C中，AB=AC,A8的垂直平分線交邊48于。點，交邊AC于E點,若

△A8C與△EBC的周長分別是40cm,24cm,則AB=cm.

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】???。石是A8的垂直平分線，

:?AE=BE,

???AABC的周長=A8+AC+8C,AEBC^=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,

???的周長-AEBC的周長二A8,

；?A8=40-24=16cm.

故答案為：16.

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).首先根據(jù)OE是A3的垂直平分線，得出

AE=BE；然后觀察/ABC的周長和▲班?（?的周長兩者的表達式，可得的周長-▲

E8C的周長=48,進而求解即可.

9.如圖，在4A8C中，AB=AC,NA=36。，點。在AC上，且8。=8c則N8OC

【答案】72°

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???A6=AC,ZA=36°,

???/ABC=ZAC8=；（180。-ZA）=72°,

?：BD=BC,

AZBDC=ZACB=12°,

故答案為：72°.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求出

ZABC=ZACB=-（180°-ZA）=72°,由等邊對等第可得N8DC=N4C8=72。.

2

10.在448c中，AO_L8c于點Q,BD=CD,若BC=6,AO=4,則圖中陰影部分

的面積為.

【答案】6

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（S4S）

【解析】【解答】解：如圖，先標注字母，

??,在"BC中,AD1BC,BD=CD,

?*?AB=ACfN4O8=NADC=90°,S^ABD=S^ACD.

：.ZBAD=ZCAD,

在aABE和"CE中，

AB=AC,ZBAE=ZCAE,AE=AE,

：.^ABE^/\ACE(SAS),

S△八8￡=SAAC￡.

在△“/)”和△C。尸中，

BD=CD,/BDF=/CDF,DF=DF,

：.、BDF@/\CDF(SAS),

??S^BDF=St,CDF.

??S&BEF=S&CEF.

???SN8C=-BC?AD=-x4x6=!2,

22

???S陰影=LSZ\A8C=6.

2

故答案為：6.

【分析】由AO_LBC于。點，BD=CD,得△ABC是等腰三角形，易證△ABEg/XACE,

△4。尸絲△COR繼而可得S陰影=LS^AAC則可求得答案.

2

11.如圖，CE平分N4CB,且CE上DB,/DAB=/DBA,又知4c=18,△CQ8的周

長為28,則BD的長為.

【答案】8

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】???CE平分NAC8,且CE上DB,

:?CD=BC,

又,：/DAB=/DBA,

:?DA=DB,

乂〈AC=AO+OC=18,

CAC/)?=CD+D?+CT=28,

??.18十8028,

BC=CgO,

??-8D=28-10-10=8,

故答案為：8.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CO=BC,DA=DB,從而得出AC=AO+OC=18,再

由C^CDB=28得出BC=CD=\0,從而求出8。的長.

12.如圖，在aABC中，AB=AC,ZBAD=2S°,AD=AE,則NEDO.

【答案】140

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】?.?A8=4C,N8AO=28°,

：.ZB=ZC,

又TA。=AE,

???ZADE=ZAED,

設(shè)NEOC=x,ZZ?=ZC=v,

???ZADE=ZAED=.r+y,

???ZADC=ZADE+ZEDC=x+y+x=2x+yf

又?:ZADC=ZAI3D+ZBAD=y+2S°,

.??2叱產(chǎn))葉28°,

A.v=14°,

即NEOC=140,

故答案為：14。.

【分析】由等腰三角形怛質(zhì)得出N8=NC,ZADE=ZAED；設(shè)NEOC=x,NB=NC=y,

由三角形外角的性質(zhì)得出NAO族NAQr+0

ZADC=ZABD+ZBAD=y+28°,StStEZADC=ZADE+ZEDC=x+y+x=2x+y,得出等式

2什.尸尸■28°,解出x值即可.

13.已知：如圖，A/WC中，BO,C。分別是//WC和NACA的平分線，過0點的直線

分別交A3、AC于點。、E,且DE〃BC.若AB=6cm,AC=8cm,則AAOE的周長

為.

【知識點】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???0E〃8C

：?/DOB=NOBC,

又,:80是/A8C的角平分線，

；?NDBO=NOBC,

：.ZDBO=ZD()B,

:,BD=0D,

同理：OE=EC,

「?△AOEMl^=ADWD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm.

故答案為：14cm.

A

D

B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NOO2NO8C,又由角平分線的定義可得NO8O=N

OBC,整理可得/。80=/。08,根據(jù)等角對等邊可得以＞0。，同理可得?！甓﨓C,最

后山線段間的等量代換可得的周長。

三、解答題：

14.如圖所示，在中，NABC=NC,8D_LAC交AC于D.

求證：ZDBC=-ZA.

2

VZAI3C=ZC,

：.AB=AC,

又〈AELBC,

：,ZCAE=-ZBAC,ZCAE+ZBCD=90°,

2

*：BD±AC,

：.ZDRC+ZBCD=90°,

1

???/DBC=/CAE=-NBAC.

2

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】作4E18C于點E,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)：等角對等邊得A8=4C再

由三角形三線合?有的性質(zhì)得NCAE=!N84C,NC4E+N8CO=9()。，由垂直定義和同

角的余角相等即可得證.

15.如圖，點E為△ABC邊AS上一點，AC=BC=BE,AE=EC,AO_L4C于。，求NCBD

的度數(shù).

【答案】解：設(shè)/A=x°，???AO/JC,AE=EC,：.^ABC=ZA=x°ZACE=^A=x°,：.^BEC=

ZA+ZACE=2x°t?：BC=BE,；.NBEC=NBCE=2x。,在NEC中，NBEC+NBCE+N

EBC=180°,A2X+2X+A=180,解得：x=36,AZA=ZABC=36°,AZCBD=90°-Z^-Z

ABC=18°

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】設(shè)/A三r。，根據(jù)等邊對等角得出/ABC=/A=xo/ACE=/A=x。，根據(jù)

三角形的外角定理得出/8EC=NA+NACE=2x。，再根據(jù)等邊對等角得出/B￡C=N

BCE=Zx0,根據(jù)三角形的內(nèi)角和列出方程，求解得出.1的值，根據(jù)直角三角形兩銳角互

余及角的和差即可算出答案。

16.如圖，在中，AB=BC,BELAC于點E,AD_L8C于點。，N8AO=45。，AD

與BE交于點、F,連接CE求證：BF=2AE.

【答案】證明：VAD1BC,N84O=45。，.二△A8O是等腰直角三角形，：.AD=BD.

*：BE.LAC,AD工BC

???NC4Q+N-0。，ZCBE+ZACD=90°,:./CAD=/CBE.

（Z.CAD=乙CBE

在△A。。和A8。/中，AD=BD,：.^ADC^Z^BDFCASA）,：.BF=AC.

{^ADC=乙BDF=90°

，：AB=BCBE±AC,：.AC=2AE,：.BF=2AE.

【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】首先判斷出AAB。是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得

出4。二8。，根據(jù)同角的余角相等得出ZCAD=ZCBE,然后利用ASA判斷出

△BDF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出BF=AC,根據(jù)等腰三角形的三線合一，由

AB=BC,BE1AC,得出4C=2AE,根據(jù)等量代換得出8F=24E.

能力提升篇

一、單選題：

1."BC中，AB=AC,CD為A8上的高，且MOC為等腰三角形，則N8CO等于()

A.67.5°B,22.5°

C.45°D.67.5。或22.5。

【答案】D

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：①如圖1,

當△AAC是銳角三角形時，

VCD1AB,且△AOC為等腰三角形，

為等腰直角三角形，

AZ4=ZACD=45°,

又???A8=AC,

??.4。8=；(18()。一/4)=67.5。，

???ZBCD=ZACB-ZACD=67.5°-45°=22.5°

②如圖2,當AABC是鈍角三角形時，

???CO_L/W,且AAOC為等腰三角形,

???△AOC為等腰直角三角形，

AZZMC=ZACZ)=45°,

又TAB=AC,

??.NBCA=-ZDAC=22.5°,

2

???/BCD=/BCA+ZACD=22.5°+45°=67.5°.

故N8CQ=22.5?；?7.5。

【分析】A48C是等腰三角形，由A8邊上的高為C。,則△A8C的頂角4是銳角或鈍角，

分兩種情況畫出圖形求解即可.

2.如圖，在中，A8=20cm,AC=12cm,點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度

向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，其中一個動

點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，當△APQ是以PQ為底的等腰三角形時，

運動的時間是（

A.2.5秒B.3秒C.3.5秒D.4秒

【答案】D

【知識點】解一元一次方程；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)運動時間為/秒，

???點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm

的速度向點。運動，

:,PB=3i,QA=2t,

X*.*Afi=20cm,4012cm,

：,PA=20-3t,QC=12-2r,

又???△APQ是以PQ為底的等腰三角形，

：.AP=AQ,

即20-3/=26

?"4,

故答案為：D.

【分析】設(shè)運動時間為/秒，根據(jù)題意得出尸8=31,0A=2八%=20-3/,QO122,再由

△AP。是以PQ為底的等腰三角形，得出AP=AQ,即20-3片2/,求出，值即可.

3.如圖,已知48|=4也,4&=4認3,A^B^A^AA...,若NA=70。,則以

-i（〃>2）的度數(shù)為（）

B

B.

70°70°70°70°

A.2”2〃+i,2，iD.

【答案】C

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???在△A84中，

ZA=70°,AB=AiI3f

???NB4A=70。，

VAIA2=AIBI,ZBAIA是AAIAZBI的外角,

自二M二35。

，ZB\AiAi=

同理可得,

/8243A2=---=17.5°?Z.4A3=----=----.…

1484

70°

..ZAn.\AtlBlt.\=—

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等邊對等角和二角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，求出/

4”-[A/”-1的度數(shù).

4.如圖，在08c中，ZC=90°,Z/?=30°,以4為圓心，任意長為半徑畫弧分別交

A8、AC于點M和M再分別以M、N為圓心，大于WN的長為半徑畫弧，兩弧交于點

P,連結(jié)AP并延長交B于點D,則下列說法:①A。是/8AC的平分線；②NAOC=60。；

③點。在A3的中垂線上；④S“AC：S△.8c=1:3.其中正確的個數(shù)是（）

C.3D.4

【答案】D

【知識點】三角形的面積：三角形全等及其性質(zhì)：等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】①證映如圖，連接NP、MP,

AN=AM

,:、NP=MP,

AP=AP

:?〉A(chǔ)NPQXAMPCSSS),

：.ZCAD=ZBAD,

???A。是/8AC的/平分線，正確；

②在aABC中，

TNC=90。，N8=30。，

.??ZCAD=60°,

???AO是N8AC的平分線，

???NC4Q=30°,

AZADC=90°-ZC^D=60°,正確；

③???NQ4B=NB=30°,

:?DA=DB,

???。在A8的中垂線上，正確；

④在"CD中,

VZCAD=30°,

：?AD=2CD=BD,

：.BC=3CD,

111

?S^DAC=-AOxCDSA\BC=—ACxBC=-ACx3c。=3s△/)AC，

2f22

*'S^DAC'S^ABC=1：3,正確.

綜上，正確的選項有4個.

故答案為：D.

【分析】①利用邊邊邊定理即可證明"NP0ZUMP,從而推出AD是//MC的平分線；

②根據(jù)余角的性質(zhì)，結(jié)合是/RAC的平分線可求/ADC的度數(shù)；③根據(jù)等角對等邊的

性質(zhì)即可求出DA=O8,貝J。在48的中垂線上；④先推出BC=3C￡>,然后利用三角形的

面積公式可得SADAC：SZ\BC的值.

二、填空題：

5.在MBC中，AB=AC,過點A作AD1AC交射線CB于點D,若

AABD是等腰三角形，則ZC的大小為度.

【答案】30或60

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】如圖所示，若頂角。為銳角，貝h

AB=BD,ZD=ZDAB

*：AB=AC：.ZAI3C=ZC,

：.ZC=ZABC=ZD+ZDAI3=2ZD,

VADA.AC,

AZDAC=90°,

/.ZC+ZD=3ZD=90°,

AZD=30°,

AZC=2ZD=60°；

如圖所示，若頂角N8AC為鈍角，則:

AD=BD,/B=/DAB,

/ADC=NB+NDAB=2NB,

?：AB=AC：.ZI3=ZC,

VADIAC,

???ND4c=90°,

AZADC+ZC=3ZC=90°,

AZC=30°.

故答案為30或60.

【分析】分兩種情況考慮，N8AC為銳角時，由48=8。得NO=ND48,由A8=AC得

ZA13C=ZC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)可推出ZC=2/D,根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可

得/C=60。；同理，/8AC為鈍角時，可推出/AOG2NC,根據(jù)直角三角形的兩銳

角互余可得/C=30°.

6.等腰三角形的一腰上的高與另一腰所在直線的夾角為40。，則這個三角形的底角

為.

【答案】65?；?5。

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】當這個三角形是銳角三角形時：高與另一腰的夾角為40,則頂角是50。，

因而底角是65。；當這人三角形是鈍角三角形時：高與另一腰的夾角為40。，則頂角的

外角是50°,則底角是25°.因此這個等腰三角形的一個底角的度數(shù)為25?；?5°.

故答案為：65?；?5。

【分析】此題由于沒有告訴等腰三角形的鈍角三角形，還是銳角三角形，故需要分類討

輪：①當這個三角形是銳角三角形時，三角形的高都在形內(nèi)，②當這個三角形是鈍角三

角形時，腰上的高都在形外，從而分別畫出示意圖，根據(jù)三角形的內(nèi)角和及等腰三角形

的性質(zhì)即可算出答案。

7.如圖，在RtMBC中，ZABC=90°,以AC為邊，作MCD,滿足

AD=AC，石為BC上一點，連接AE，ZBAE=-ZCAD,連接DE.下列

2

結(jié)論中正確的是（填序號）

①AC_LOE；②ZADE=ZACB；③若CD//AB，貝UAELAD；④

DE=CE+2BE.

［答案］②?④

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形全等的

判定QSAS)

【解析】【解答】解：如圖，延長E8至E,使BE=BE,連接A￡;

???ZABC=90°f

垂直平分石七'，

??.A￡=AE,

AZ1=Z2,Z3=Z5,

VZ1=-ZCAD,

2

：.ZE：AE=2Z\=ZCADf

：?NEAC=NEAD,

又???AD=AC,

AAZME^AC4F(S4S),

AZ5=Z4,(即②正確)，

???Z3=Z4；

當/6=N1時，Z4+Z6=Z3+Z1=9O°,

此時，N4ME=180°—(Z4+Z6)=90°,

當N6,N1時，Z4+Z6#Z3+Z1,N4+N6M0。,

此時，N4ME#90。，

，①不正確；

若CD//AB,

貝|J/7=N8AC,

*：AD=AC,

：.Z7=ZADC,

NCAD+N7+NADC=180。，

./NCW+N7=90',

2

.,.Zl+Z7=90o,

???Z2+Z7=90°,

???Z2+ZBAC=90°,

即/斤人。=90。.

由AZME/△C4￡（5AS）,

???NE4O=NCAE=90。，EC=DE,

：.AE±AD（即③正確），DE=E,B+BE+CE=2BE+CE（即④正確）.

故答案為：②③④.

【分析】延長￡8至￡,使BE=BE',連接由垂直平分線的性質(zhì)可得AE=A￡,由

等腰三角形的性質(zhì)可得/1=N2,Z3=Z5,結(jié)合已知條件得NE4E=2NI=NCA。，推

出NEAC=NEAD,證aDAE出△%￡據(jù)此判斷②;當N6=N1時，Z4+Z6=Z3+Z1=90°,

利用內(nèi)角和求出NAME的度數(shù)；當N6,/l時，Z4+Z6/Z3+Z1,Z4+Z6^90°,此

時NAME#90。，據(jù)此判斷①；若COZM8,由平行線的性質(zhì)可得N7=N