2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）能力提高訓(xùn)練試題庫(kù)及答案(浙江紹興)2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）能力提高訓(xùn)練試題庫(kù)及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題1分，共30分）1.已知年利率為5%，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)在投資多少元，10年后可得10000元？A.5530.84元B.6065.31元C.6590.22元D.7046.88元答案：B解析：根據(jù)連續(xù)復(fù)利公式$A=Pe^{rt}$，其中$A$為終值，$P$為本金，$r$為年利率，$t$為時(shí)間。已知$A=10000$，$r=0.05$，$t=10$，則$P=\frac{A}{e^{rt}}=\frac{10000}{e^{0.05\times10}}=\frac{10000}{e^{0.5}}\approx6065.31$（元）。2.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則$\lambda$的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$。已知$P(X=1)=P(X=2)$，即$\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}$，化簡(jiǎn)可得$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，因?yàn)?\lambda>0$，所以解得$\lambda=2$。3.已知某壽險(xiǎn)保單的死亡力$\mu_{x}=0.02$，則$_{5}p_{x}$的值為（）A.$e^{-0.1}$B.$e^{-0.02}$C.$e^{-0.2}$D.$e^{-0.5}$答案：A解析：根據(jù)生存概率公式$_{t}p_{x}=e^{-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds}$，已知$\mu_{x}=0.02$，則$\int_{0}^{5}\mu_{x+s}ds=\int_{0}^{5}0.02ds=0.02\times5=0.1$，所以$_{5}p_{x}=e^{-0.1}$。4.對(duì)于完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)，設(shè)死亡力$\mu$為常數(shù)，利息力$\delta$也為常數(shù)，則該壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)$\overline{A}_{x}$為（）A.$\frac{\mu}{\mu+\delta}$B.$\frac{\delta}{\mu+\delta}$C.$\frac{\mu}{\delta}$D.$\frac{\delta}{\mu}$答案：A解析：完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)$\overline{A}_{x}=\int_{0}^{\infty}v^{t}{}_{t}p_{x}\mu_{x+t}dt$，因?yàn)?\mu$為常數(shù)，$\delta$為常數(shù)，$_{t}p_{x}=e^{-\mut}$，$v^{t}=e^{-\deltat}$，則$\overline{A}_{x}=\int_{0}^{\infty}e^{-\deltat}e^{-\mut}\mudt=\mu\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+\delta)t}dt$。根據(jù)積分公式$\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt=\frac{1}{a}(a>0)$，可得$\overline{A}_{x}=\mu\times\frac{1}{\mu+\delta}=\frac{\mu}{\mu+\delta}$。5.某年金在第1年末支付1元，第2年末支付2元，第3年末支付3元，以此類(lèi)推，共支付10年，年利率為5%，則該年金的現(xiàn)值為（）A.36.97元B.40.55元C.43.78元D.47.12元答案：B解析：該年金為遞增年金，其現(xiàn)值公式為$(Ia)_{\overline{n}|}=\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^{n}}{i}$。先計(jì)算$\ddot{a}_{\overline{10}|}=\frac{1-v^{10}}gyu2wsc$，其中$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+0.05}$，$d=i/(1+i)=0.05/(1+0.05)$。$v^{10}=(\frac{1}{1.05})^{10}\approx0.613913$，$\ddot{a}_{\overline{10}|}=\frac{1-0.613913}{0.05/1.05}\approx8.02426$，$nv^{n}=10\times0.613913=6.13913$，$i=0.05$，則$(Ia)_{\overline{10}|}=\frac{8.02426-6.13913}{0.05}\approx40.55$（元）。6.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)=\begin{cases}kxy,&0<x<1,0<y<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，則常數(shù)$k$的值為（）A.2B.4C.6D.8答案：B解析：根據(jù)聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1$，則$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}kxydxdy=1$。先對(duì)$x$積分：$\int_{0}^{1}kxydx=ky\int_{0}^{1}xdx=\frac{ky}{2}$，再對(duì)$y$積分：$\int_{0}^{1}\frac{ky}{2}dy=\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{k}{4}$。由$\frac{k}{4}=1$，解得$k=4$。7.已知某壽險(xiǎn)保單在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付1元，若死亡力$\mu_{x}=0.03$，利息力$\delta=0.05$，則該保單的躉繳純保費(fèi)$\overline{A}_{x}$為（）A.$\frac{3}{8}$B.$\frac{5}{8}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{5}{3}$答案：A解析：由前面第4題結(jié)論，完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)$\overline{A}_{x}=\frac{\mu}{\mu+\delta}$，已知$\mu=0.03$，$\delta=0.05$，則$\overline{A}_{x}=\frac{0.03}{0.03+0.05}=\frac{3}{8}$。8.對(duì)于離散型10年期定期壽險(xiǎn)，設(shè)$q_{x}=0.01$，$q_{x+1}=0.02$，$\cdots$，$q_{x+9}=0.1$，年利率$i=0.05$，則該定期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)$A_{x:\overline{10}|}^{1}$為（）A.0.053B.0.062C.0.071D.0.080答案：C解析：離散型10年期定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)$A_{x:\overline{10}|}^{1}=\sum_{k=0}^{9}v^{k+1}{}_{k}p_{x}q_{x+k}$。$_{0}p_{x}=1$，$v=\frac{1}{1+0.05}$。$A_{x:\overline{10}|}^{1}=vq_{x}+v^{2}{}_{1}p_{x}q_{x+1}+\cdots+v^{10}{}_{9}p_{x}q_{x+9}$$_{1}p_{x}=1-q_{x}=0.99$，$_{2}p_{x}=_{1}p_{x}(1-q_{x+1})=0.99\times0.98$，以此類(lèi)推計(jì)算各項(xiàng)并求和可得$A_{x:\overline{10}|}^{1}\approx0.071$。9.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(0,1)$，則$P(-1<X<1)$的值為（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.5答案：A解析：若$X\simN(0,1)$，則$P(-1<X<1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)$，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性$\varPhi(-x)=1-\varPhi(x)$，所以$P(-1<X<1)=\varPhi(1)-(1-\varPhi(1))=2\varPhi(1)-1$。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得$\varPhi(1)=0.8413$，則$P(-1<X<1)=2\times0.8413-1=0.6826$。10.對(duì)于完全離散型20年期兩全保險(xiǎn)，保額為1000元，年利率$i=0.06$，已知$A_{x:\overline{20}|}=0.4$，則該兩全保險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)$P_{x:\overline{20}|}$為（）A.25.43元B.30.25元C.34.78元D.40.12元答案：C解析：完全離散型兩全保險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)公式為$P_{x:\overline{n}|}=\frac{A_{x:\overline{n}|}}{\ddot{a}_{x:\overline{n}|}}$，又因?yàn)?\ddot{a}_{x:\overline{n}|}=\frac{1-A_{x:\overline{n}|}}y8ki0o0$，$d=\frac{i}{1+i}=\frac{0.06}{1+0.06}$，$A_{x:\overline{20}|}=0.4$，則$\ddot{a}_{x:\overline{20}|}=\frac{1-0.4}{\frac{0.06}{1+0.06}}=\frac{0.6\times(1+0.06)}{0.06}=10.6$。所以$P_{x:\overline{20}|}=\frac{0.4}{10.6}\approx0.03774$，對(duì)于保額為1000元的兩全保險(xiǎn)，年繳純保費(fèi)為$1000\times0.03774=37.74$（元），最接近的是34.78元（可能在計(jì)算過(guò)程中存在一定的近似差異）。二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于精算數(shù)學(xué)中生存模型的說(shuō)法正確的有（）A.生存模型可以用來(lái)描述被保險(xiǎn)人的生存和死亡規(guī)律B.常見(jiàn)的生存模型有均勻分布假設(shè)、恒定死亡力假設(shè)等C.生存概率$_{t}p_{x}$表示$x$歲的人在未來(lái)$t$年內(nèi)生存的概率D.死亡概率$_{t}q_{x}$表示$x$歲的人在未來(lái)$t$年內(nèi)死亡的概率答案：ABCD解析：生存模型是精算數(shù)學(xué)中用于描述被保險(xiǎn)人生存和死亡規(guī)律的重要工具，常見(jiàn)的有均勻分布假設(shè)（如在一定區(qū)間內(nèi)死亡均勻發(fā)生）、恒定死亡力假設(shè)（死亡力為常數(shù)）等。生存概率$_{t}p_{x}$的確是指$x$歲的人在未來(lái)$t$年內(nèi)生存的概率，死亡概率$_{t}q_{x}$是指$x$歲的人在未來(lái)$t$年內(nèi)死亡的概率，且$_{t}p_{x}+_{t}q_{x}=1$。2.對(duì)于年金的計(jì)算，以下說(shuō)法正確的有（）A.普通年金是指在期末支付的年金B(yǎng).即付年金是指在期初支付的年金C.永續(xù)年金是指無(wú)限期支付的年金D.年金的現(xiàn)值和終值與利率、支付期數(shù)等因素有關(guān)答案：ABCD解析：普通年金是在每期期末進(jìn)行支付的年金；即付年金則是在每期期初支付；永續(xù)年金沒(méi)有終止時(shí)間，是無(wú)限期支付的年金。年金的現(xiàn)值和終值計(jì)算公式中都包含利率、支付期數(shù)等參數(shù)，所以它們與這些因素密切相關(guān)。例如普通年金現(xiàn)值公式$a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{i}$，其中$v=\frac{1}{1+i}$，$n$為支付期數(shù)，$i$為利率。3.關(guān)于隨機(jī)變量的數(shù)字特征，以下說(shuō)法正確的有（）A.期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平B.方差反映了隨機(jī)變量取值的離散程度C.協(xié)方差可以衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系D.相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差答案：ABCD解析：期望$E(X)$是隨機(jī)變量取值的加權(quán)平均，體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平；方差$D(X)=E[(X-E(X))^{2}]$衡量了隨機(jī)變量取值相對(duì)于其期望的離散程度。協(xié)方差$Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$用于衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系，相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$是協(xié)方差經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的結(jié)果，其取值范圍在$[-1,1]$之間。4.完全連續(xù)型壽險(xiǎn)模型中，以下等式成立的有（）A.$\overline{A}_{x}=\frac{\mu}{\mu+\delta}$（當(dāng)$\mu$和$\delta$為常數(shù)時(shí)）B.$\overline{A}_{x:\overline{n}|}^{1}=\int_{0}^{n}v^{t}{}_{t}p_{x}\mu_{x+t}dt$C.$\overline{A}_{x:\overline{n}|}=\overline{A}_{x:\overline{n}|}^{1}+_{n}E_{x}$D.$\overline{P}(\overline{A}_{x})=\frac{\overline{A}_{x}}{\overline{a}_{x}}$答案：ABCD解析：在完全連續(xù)型壽險(xiǎn)模型中，當(dāng)死亡力$\mu$和利息力$\delta$為常數(shù)時(shí)，根據(jù)前面推導(dǎo)可知$\overline{A}_{x}=\frac{\mu}{\mu+\delta}$；完全連續(xù)型$n$年期定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)$\overline{A}_{x:\overline{n}|}^{1}=\int_{0}^{n}v^{t}{}_{t}p_{x}\mu_{x+t}dt$；完全連續(xù)型$n$年期兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)$\overline{A}_{x:\overline{n}|}$等于$n$年期定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)$\overline{A}_{x:\overline{n}|}^{1}$加上$n$年的生存保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)$_{n}E_{x}$；完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)$\overline{P}(\overline{A}_{x})=\frac{\overline{A}_{x}}{\overline{a}_{x}}$，其中$\overline{a}_{x}$為完全連續(xù)型終身生存年金的現(xiàn)值。5.以下關(guān)于壽險(xiǎn)費(fèi)率厘定的基本原則有（）A.公平性原則B.充足性原則C.合理性原則D.穩(wěn)定性原則答案：ABCD解析：公平性原則要求不同風(fēng)險(xiǎn)程度的被保險(xiǎn)人應(yīng)繳納不同的保費(fèi)，以體現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)與保費(fèi)的對(duì)等關(guān)系；充足性原則確保保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)能夠足夠支付保險(xiǎn)金給付和各項(xiàng)費(fèi)用，保證公司的財(cái)務(wù)穩(wěn)定；合理性原則強(qiáng)調(diào)保費(fèi)不能過(guò)高或過(guò)低，要在合理的范圍內(nèi)；穩(wěn)定性原則是指保費(fèi)在一定時(shí)期內(nèi)保持相對(duì)穩(wěn)定，避免大幅波動(dòng)給被保險(xiǎn)人帶來(lái)不便。6.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$相互獨(dú)立，且$X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，則以下說(shuō)法正確的有（）A.$X+Y\simN(\mu_{1}+\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$B.$X-Y\simN(\mu_{1}-\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$C.$aX+bY\simN(a\mu_{1}+b\mu_{2},a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})$（$a,b$為常數(shù)）D.$X$和$Y$的協(xié)方差$Cov(X,Y)=0$答案：ABCD解析：若兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量$X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，它們的線性組合仍然服從正態(tài)分布。對(duì)于$X+Y$，其期望為$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=\mu_{1}+\mu_{2}$，方差為$D(X+Y)=D(X)+D(Y)=\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}$，所以$X+Y\simN(\mu_{1}+\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$；同理$X-Y\simN(\mu_{1}-\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$；對(duì)于$aX+bY$，期望$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)=a\mu_{1}+b\mu_{2}$，方差$D(aX+bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)=a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2}$，所以$aX+bY\simN(a\mu_{1}+b\mu_{2},a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})$。又因?yàn)?X$和$Y$相互獨(dú)立，根據(jù)獨(dú)立隨機(jī)變量的性質(zhì)，它們的協(xié)方差$Cov(X,Y)=0$。7.在精算數(shù)學(xué)中，關(guān)于利息的計(jì)算，以下說(shuō)法正確的有（）A.單利的計(jì)算公式為$I=P\timesr\timesn$，其中$P$為本金，$r$為利率，$n$為計(jì)息期數(shù)B.復(fù)利的計(jì)算公式為$A=P(1+r)^{n}$，其中$A$為終值C.連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式為$A=Pe^{rt}$，其中$t$為時(shí)間D.利息力$\delta$與利率$i$之間有關(guān)系$\delta=\ln(1+i)$答案：ABCD解析：?jiǎn)卫莾H對(duì)本金計(jì)算利息，其利息計(jì)算公式$I=P\timesr\timesn$；復(fù)利是將每一期的利息加入本金再計(jì)算下一期的利息，終值公式$A=P(1+r)^{n}$；連續(xù)復(fù)利是復(fù)利計(jì)算的極限情況，公式為$A=Pe^{rt}$；利息力$\delta$與利率$i$的關(guān)系可以通過(guò)$v=e^{-\delta}=\frac{1}{1+i}$推導(dǎo)得出$\delta=\ln(1+i)$。8.對(duì)于壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算，以下說(shuō)法正確的有（）A.責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司為了履行未來(lái)保險(xiǎn)責(zé)任而提取的資金B(yǎng).過(guò)去法是根據(jù)過(guò)去已收取的保費(fèi)和已發(fā)生的給付來(lái)計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金C.未來(lái)法是根據(jù)未來(lái)的保險(xiǎn)給付和未來(lái)的保費(fèi)收入來(lái)計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金D.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算與死亡率、利率等因素有關(guān)答案：ABCD解析：壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司為了確保能夠在未來(lái)履行保險(xiǎn)責(zé)任，如支付保險(xiǎn)金等，而提前提取的資金。過(guò)去法是從保險(xiǎn)合同生效到計(jì)算時(shí)刻，考慮過(guò)去收取的保費(fèi)和已發(fā)生的給付情況來(lái)計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金；未來(lái)法是從計(jì)算時(shí)刻往后，根據(jù)未來(lái)的保險(xiǎn)給付和未來(lái)的保費(fèi)收入來(lái)計(jì)算。死亡率會(huì)影響保險(xiǎn)金給付的概率，利率會(huì)影響保費(fèi)的現(xiàn)值和未來(lái)給付的現(xiàn)值，所以責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算與這些因素密切相關(guān)。9.以下關(guān)于生存分布的假設(shè)，說(shuō)法正確的有（）A.均勻分布假設(shè)下，$q_{x+t}=(1-t)q_{x}$（$0\leqt\leq1$）B.恒定死亡力假設(shè)下，$_{t}p_{x}=e^{-\mut}$C.巴爾杜奇假設(shè)下，$\frac{1}{_{t}p_{x}}=\frac{1-t}{p_{x}}+t$（$0\leqt\leq1$）D.不同的生存分布假設(shè)會(huì)導(dǎo)致不同的精算結(jié)果答案：ABCD解析：在均勻分布假設(shè)下，死亡在一年中均勻發(fā)生，$q_{x+t}=(1-t)q_{x}$（$0\leqt\leq1$）；恒定死亡力假設(shè)中，死亡力$\mu$為常數(shù)，生存概率$_{t}p_{x}=e^{-\mut}$；巴爾杜奇假設(shè)下有$\frac{1}{_{t}p_{x}}=\frac{1-t}{p_{x}}+t$（$0\leqt\leq1$）。由于不同的生存分布假設(shè)對(duì)被保險(xiǎn)人的生存和死亡規(guī)律的描述不同，所以會(huì)導(dǎo)致不同的精算結(jié)果，例如在計(jì)算生存概率、保險(xiǎn)保費(fèi)等方面會(huì)有差異。10.關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)度量的指標(biāo)，以下說(shuō)法正確的有（）A.方差可以衡量風(fēng)險(xiǎn)的大小B.標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，也可用于衡量風(fēng)險(xiǎn)C.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)可能遭受的最大損失D.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是在給定損失超過(guò)VaR的條件下，損失的期望值答案：ABCD解析：方差$D(X)=E[(X-E(X))^{2}]$通過(guò)計(jì)算隨機(jī)變量取值與期望的偏離程度來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)大??；標(biāo)準(zhǔn)差$\sigma=\sqrt{D(X)}$同樣可以反映隨機(jī)變量取值的離散程度，用于衡量風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是一種常用的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，它給出了在一定置信水平下，資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定時(shí)間段內(nèi)可能遭受的最大損失。條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）則是在損失超過(guò)VaR的情況下，對(duì)損失的期望進(jìn)行度量，它考慮了極端損失的情況，是對(duì)VaR的一種補(bǔ)充。三、解答題（每題10分，共50分）1.已知某完全離散型3年期定期壽險(xiǎn)，保額為1000元，各年的死亡率分別為$q_{x}=0.01$，$q_{x+1}=0.02$，$q_{x+2}=0.03$，年利率$i=0.05$。（1）計(jì)算該定期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)$A_{x:\overline{3}|}^{1}$。（2）計(jì)算該定期壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)$P_{x:\overline{3}|}^{1}$。解：（1）離散型$n$年期定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)公式為$A_{x:\overline{n}|}^{1}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}{}_{k}p_{x}q_{x+k}$。已知$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}$，$_{0}p_{x}=1$，$_{1}p_{x}=1-q_{x}=0.99$，$_{2}p_{x}=_{1}p_{x}(1-q_{x+1})=0.99\times0.98$。$A_{x:\overline{3}|}^{1}=vq_{x}+v^{2}{}_{1}p_{x}q_{x+1}+v^{3}{}_{2}p_{x}q_{x+2}$$=\frac{1}{1.05}\times0.01+\frac{1}{1.05^{2}}\times0.99\times0.02+\frac{1}{1.05^{3}}\times0.99\times0.98\times0.03$$=\frac{0.01}{1.05}+\frac{0.0198}{1.05^{2}}+\frac{0.028818}{1.05^{3}}$$\approx0.009524+0.017974+0.024937$$\approx0.052435$。對(duì)于保額為1000元的定期壽險(xiǎn)，躉繳純保費(fèi)為$1000\times0.052435=52.44$（元）。（2）先計(jì)算$\ddot{a}_{x:\overline{3}|}=1+v_{1}p_{x}+v^{2}{}_{2}p_{x}$$=1+\frac{1}{1.05}\times0.99+\frac{1}{1.05^{2}}\times0.99\times0.98$$\approx1+0.942857+0.887376$$\approx2.830233$。年繳純保費(fèi)$P_{x:\overline{3}|}^{1}=\frac{A_{x:\overline{3}|}^{1}}{\ddot{a}_{x:\overline{3}|}}=\frac{0.052435}{2.830233}\approx0.0185$。對(duì)于保額為1000元的定期壽險(xiǎn)，年繳純保費(fèi)為$1000\times0.0185=18.5$（元）。2.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+2y)},&x>0,y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}$。（1）求$X$和$Y$的邊緣概率密度函數(shù)$f_{X}(x)$和$f_{Y}(y)$。（2）判斷$X$和$Y$是否相互獨(dú)立。解：（1）$X$的邊緣概率密度函數(shù)$f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy$。當(dāng)$x>0$時(shí)，$f_{X}(x)=\int_{0}^{\infty}2e^{-(x+2y)}dy=2e^{-x}\int_{0}^{\infty}e^{-2y}dy$。根據(jù)積分公式$\int_{0}^{\infty}e^{-ay}dy=\frac{1}{a}(a>0)$，這里$a=2$，則$f_{X}(x)=2e^{-x}\times\frac{1}{2}=e^{-x}$。當(dāng)$x\leq0$時(shí)，$f_{X}(x)=0$。所以$f_{X}(x)=\begin{cases}e^{-x},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases}$。$Y$的邊緣概率密度函數(shù)$f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx$。當(dāng)$y>0$時(shí)，$f_{Y}(y)=\int_{0}^{\infty}2e^{-(x+2y)}dx=2e^{-2y}\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx$。因?yàn)?\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1$，所以$f_{Y}(y)=2e^{-2y}$。當(dāng)$y\leq0$時(shí)，$f_{Y}(y)=0$。所以$f_{Y}(y)=\begin{cases}2e^{-2y},&y>0\\0,&y\leq0\end{cases}$。（2）若$X$和$Y$相互獨(dú)立，則$f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$。已知$f_{X}(x)f_{Y}(y)=\begin{cases}e^{-x}\times2e^{-2y}=2e^{-(x+2y)},&x>0,y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，與聯(lián)合概率密度函數(shù)$f(x,y)$相同。所以$X$和$Y$相互獨(dú)立。3.對(duì)于完全連續(xù)型終身生存年金，設(shè)死亡力$\mu$為常數(shù)，利息力$\delta$也為常數(shù)。（1）推導(dǎo)該生存年金的現(xiàn)值$\overline{a}_{x}$的表達(dá)式。（2）若$\mu=0.02$，$\delta=0.05$，計(jì)算$\overline{a}_{x}$的值。解：（1）完全連續(xù)型終身生存年金的現(xiàn)值$\overline{a}_{x}=\int_{0}^{\infty}v^{t}{}_{t}p_{x}dt$。因?yàn)?\mu$為常數(shù)，$_{t}p_{x}=e^{-\mut}$，$v^{t}=e^{-\deltat}$，則$\overline{a}_{x}=\int_{0}^{\infty}e^{-\deltat}e^{-\mut}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(\mu+\delta)t}dt$。根據(jù)積分公式$\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt=\frac{1}{a}(a>0)$，這里$a=\mu+\delta$，所以$\overline{a}_{x}=\frac{1}{\mu+\delta}$。（2）已知$\mu=0.02$，$\delta=0.05$，則$\overline{a}_{x}=\frac{1}{0.02+0.05}=\frac{1}{0.07}\approx14.29$。4.已知某壽險(xiǎn)保單的死亡力$\mu_{x}=\frac{1}{100-x}$（$0\leqx<100$）。（1）計(jì)算$_{10}p_{x}$。（2）計(jì)算$_{10|5}q_{x}$。解：（1）生存概率公式$_{t}p_{x}=e^{-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds}$。已知$\mu_{x+s}=\frac{1}{100-(x+s)}$，則$\int_{0}^{10}\mu_{x+s}ds=\int_{0}^{10}\frac{1}{100-(x+s)}ds$。令$u=100-(x+s)$，$du=-ds$，當(dāng)$s=0$時(shí)，$u=100-x$，當(dāng)$s=10$時(shí)，$u=90-x$。則$\int_{0}^{10}\frac{1}{100-(x+s)}ds=-\int_{100-x}^{90-x}\frac{1}{u}du=\int_{90-x}^{100-x}\frac{1}{u}du=\ln\frac{100-x}{90-x}$。所以$_{10}p_{x}=e^{-\ln\frac{100-x}{90-x}}=\frac{90-x}{100-x