奧數(shù)拓展第七講：數(shù)與形數(shù)學(xué)六年級上冊人教版

一、選擇題

1.如圖是用同樣長的小棒擺成的（每邊用1根小棒）。照這種規(guī)律繼續(xù)擺卜.去，擺成圖5要用（）根小

2.填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，m的值是（）。

A.38B.52C.66D.74

3.把同樣的小棒按下面的方式擺放，第9個圖形需要（）根小棒。

<□

①

A.24B.27C.30D.38

4.甲、乙、丙三人行走的速度分別是每分鐘60米、80米和100米，甲、乙二人在A地，丙在B地與甲、

乙二人同時相向而行，丙和乙相遇后，又經(jīng)過2分鐘和甲相遇。A、B兩地之間的距離是（）米。

A.1880B.2108C.2880

5.過2個點可以畫出1條線段，過3個點可以畫3條線段，過10個點可以畫（）條線段。

A.10B.54C.45D.無數(shù)條

6.古希臘著名的畢達哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)〃，而把1、4、9、二6…這樣的數(shù)

稱為“正方形數(shù)〃。

4=1+39=3比16=6+10

從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：

任何一個大于1的“正方形數(shù)”都匕以看作兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如4=1+3。把“正方形數(shù)〃36寫成

兩個相鄰的“二角形數(shù)”之和，正確的是（）o

A.36=10+26B.36=12+24C.36=15+21D.36=16+20

二、填空題

b

H

b

ba

①

9.用同樣大小的黑色五角星按如圖的方式擺圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，擺第6個圖案需要（）個

黑色五角星，擺第10個圖案需要（）個黑色五角星。

10.用小棒按照如下圖方式擺圖形，擺第五個圖形需要（）根小棒，第n個圖形需要（

根小棒。

13.瑞士中學(xué)教師巴爾木成功地從光譜數(shù)掂三，—,—三，...中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧妙

的大門。請你按這種規(guī)律寫出第9個數(shù)據(jù)是（）o

14.找規(guī)律填空并回答.

H、（）、、擊…這列數(shù)的和越來越接近（）?

三、解答題

15.下面每個圖中各有多少個綠色小正方形和多少個藍色小正方形？

照這樣接著畫下去，第6個圖形有多少個綠色小正方形和多少個藍色小正方形？第10個圖形呢？你能解釋

這其中的道理嗎？

16.如果數(shù)字1、2、3、4、5、6分別用下圖表示:

|I。用1II11用blI11。月1。1I11B再lI11。1再2|I11用I1。1I

123456

那么左下圖表示的數(shù)字是（），在右下圖中畫出表示62的圖。

JJ

17.探索規(guī)律。

圖釘?shù)臄?shù)量3456（）...

（2）照這樣做，用36個圖釘時做成的圖案中有（）個三角形，用了（）根吸管。

（3）三角形個數(shù)、吸管根數(shù)、圖釘數(shù)量之間有什么關(guān)系？選擇其中兩個，試著寫出它們的數(shù)量關(guān)系。

20.閱讀與思考。

A.等于1B.小于1C.大于1

（2）閱讀材料選擇：正三角形、正四邊形、正五邊形......當相鄰兩個頂點的距離越來越小時，這個正多邊形就

越近似于圓（a表示圖形中心點到頂點的距離）。古代《九章算術(shù)》記載，“割之彌細，所失彌少。割之又割，

以至于不可割,則與圓合體無所失矣?！睓M線上的字是指（）時。

A.a=lB.1=0C.a=0

⑶類似于以上材料的思想，我們稱之為“極限思想”。請你結(jié)合極限思想思考：俗稱萬能公式的$=（a+b）

xh+2能計算圓的面積嗎？

答：我認為（

理由是:

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)圖形先畫出第5個圖形，再數(shù)一下小棒即可求解。

故答案為：Do

【點睛】本題考查了數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和總結(jié)能力。

2.D

【分析】分析前三個正方形可知，規(guī)律為右上和左下兩個數(shù)的積減去左上等于右下的數(shù)，每個正方形中左

下角的數(shù)比左上角的數(shù)大2,右上角的數(shù)比左上角的數(shù)大4,因此可知第四個圖空白分別是左下8,右上是

10O

【詳解】由題意知：空白部分左下是8,右上是10。

=74

故答案為：D

【點睛】本題主要考查找規(guī)律，要求學(xué)生通過觀察分析歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并且應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，

解決本題的難點是在于找出空白格的數(shù)。

3.C

【分析】通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律：擺1個三角形需要3根，每增加1個正方形增加3根。第1個圖形需要3

+3=3x2=6（根）第2個圖形需要3+3+3=3x3=9（根），第3個圖形需要3+3+3+3=3x4=12（根）,......

第n個圖形需要3（n+l）根。

【詳解】3x（9+1）

=3x10

=30（根）

所以第9個圖形需要30根。

故答案為；C

【點睛】在運用數(shù)形結(jié)合的方法探究數(shù)學(xué)規(guī)律時，一定要把圖形和數(shù)一一對應(yīng)。

4.C

【分析】由題意可知，丙和乙相遇后，丙和甲2分鐘行駛的路程就是丙和乙相遇時乙比甲多行駛的路程，

再求出乙和甲的速度差，根據(jù)"追及時間=路程差+速度差”求出乙從A地到丙和乙相遇地點的時間，最后根

據(jù)“總路程=相遇時間x速度和〃求出兩地之間的距高，據(jù)此解答。

【詳解】

乙丙相遇時，乙比甲多行，史的路程

乙------?I---*---1?------丙

AI_______I____1_______________IB

乙丙強遇點.

甲--------?;甲丙相遇點:’_________由

AI_______L1I___________TB

甲和丙2分鐘行唳的路程

丙和乙的相遇時間：[(100+60)x2]4-(80-60)

二[160x2]+(80-60)

=[160x2]+20

=320+20

=16(分鐘)

總路程：(80+100)xl6

=180x16

=2880(米)

所以，A、B兩地之間的距離是2880米。

故答案為：C

【點睛】本題主要考查了行程問題中的相遇問題和追及問題，求出甲乙兩人的路程差是解答題目的關(guān)鍵。

5.C

【分析】如圖：

1條3條6條10條

2個點，1條線段；

3個點,3條線段，3=3x24-2；

4個點,6條線段，6=4x34-2；

5個點，10條線段,10=5x4+2；

據(jù)此規(guī)律，得出過10個點可以畫的線段的條數(shù)。

n=10時

過10個點可以畫45條線段。

故答案為：C

【點睛】本題是找規(guī)律的題型，道過畫圖發(fā)現(xiàn)點數(shù)與線段的規(guī)律，利用規(guī)律解答。

6.C

【分析】觀察圖形和等式，發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)是1、4、9、1G、25、36、49...；都是平方數(shù)；

三角形數(shù)是1、3、6、10、15、21、28...；相鄰兩個數(shù)的差依次舉加1:

從“三角形數(shù)〃中找出哪兩個相鄰的數(shù)相加，和是“正方形數(shù)”36即可。

【詳解】圖1：正方形數(shù)是4,4=1+3

圖2：正方形數(shù)是9,9=3+6

圖3：正方形數(shù)是16,16=6+10

圖4：正方形數(shù)是25,25=10+15

圖5：正方形數(shù)是36,36=15+21

故答案為：C

【點睛】通過數(shù)與形的結(jié)合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。

7.②60

【分析】（1）圖①是由4個長是a、寬是b的長方形和一個邊長為（a-b）的小正方形組成的邊長為（a+

b）大正方形，即大正方形的面積=長方形的面積x4+小正方形的面積；

圖②是由2個長是a、寬是b的長方形、一個邊長為a的小正方形和一個邊長為b的小正方形組成的邊長

是（a+b）大正方形，即大正方形的面枳=長方形的面枳x2+邊長為a的小正方形的面積+邊長為b的小

正方形的面積：

圖③是由邊長為b的小正方形和2個上底是b,下底是a,高是（a—b）的梯形組成的邊長為a的大正方形。

（2）通過觀察發(fā)現(xiàn)：圖③陰影部分周長=（梯形的上底+下底+高）x2o

=60(cm)

【點睛】數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。運用數(shù)形結(jié)合的方法，可以幫助理解計算方法，進

行計算。

8.—

64

=±

64

9.1016

【分析】把圖案標上序號,如下:

12345..

★★★★★★★★★

圖案★★★★★★★★★★★..

★★★★★★★★★

第1行

11223

★個數(shù)

第2行

12233..

★個數(shù)

第3行

11223

★個數(shù)

觀察圖形發(fā)現(xiàn):

【點睛】此題考查了數(shù)與形的知識，關(guān)鍵能夠觀察圖案每行的數(shù)量變化找出規(guī)律再解答。

3

10.45-n(1+n)

2

【分析】圖形是多個三角形組合而成，需要找出新圖形小棒的根數(shù)，從上向下一層層觀察，我們發(fā)現(xiàn)第2

圖比第1圖多了2個完全不共用小棒的三角形，第3圖比第2圖多了3個完全不共用小棒的三角形，1個三

角形有三根小棒，先求出每圖有幾個小棒不共用的三角形，再求棒數(shù)即可。

自然數(shù)1到n依次相加求和時利用卜面規(guī)律計算。

1+2+3+4+……+n

=1+24-34-4+......+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n

(第一步：加數(shù)個數(shù)是n個)

=[l+n]+[2+(n-1)]+13+(n-2)1+[4+(n-3)1+......

(第二步：首尾兩項依次相加，加數(shù)的個數(shù)變成原來的一半)

=(1+n)+(1+n)+(1+n)+(1+n)+......

(第三步：每一項都是(1+n),個數(shù)是原來加數(shù)個數(shù)的一半)

=yn(1+n)

【詳解】第1圖有1個小棒不共用的三角形，有1x3=3根小棒：

第2圖有1+2=3個小棒不共用的三角形，共有(1+2)x3=9根小棒；

第3圖有1+2+3=6個小棒不共用的三角形，共有(1+2+3)x3=18根小棒；

第5圖有1+2+3+4+5=15個小棒不共用的三角形，共有(1+24-3+4+5)x3=45根小棒；

第n圖有1+2+3+..+n=gn(1+n)個小棒不共用的三角形，共有(1+2+3+..+n)x3=5n(1

4-n)根小棒。

【點睛】考查應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法探索規(guī)律。

11.246.2

=6.2

【點睛】根據(jù)題中給出的算式找出新運算的規(guī)律是解答題目的關(guān)鍵。

【分析】把正方形看作單位“1〃，圖1中，上面涂色部分是;，下面涂色部分是，，涂色部分一共是J+。。

2424

沒有涂色部分為9，所以涂色部分也可以寫成1一。，即:+!=1—1=[。

442444

圖2中，上面涂色部分是;,左邊下面涂色部分是：，右邊下面涂色部分是:,涂色部分一共是!+J+J。

248248

沒有涂色部分為?，所以涂色部分也可以寫成1一)，即2+1+：=1一)=：。

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：用1減去沒有涂色部分表示的分數(shù)，即可得出這個算式的計算結(jié)果。

【點睛】通過數(shù)與形的結(jié)合，發(fā)現(xiàn)這組算式的規(guī)律，利用規(guī)律解答。

【分析】先觀察分子:9、16、25、36,分別是32、4\5\62,據(jù)此得出第n個數(shù)據(jù)的分子是(n+2)2；

再觀察分母：5、12、21、32,可分別改寫成1x5、2x6、3x7、4x8,據(jù)此得出第n個數(shù)據(jù)的分母是n(n+4),

接下來將n=9代入即可求出笫9個數(shù)據(jù)。

【詳解】觀察前面四個數(shù)據(jù)，可得規(guī)律是：

分子是:32,42,52>62,...?(n—2)2,...?

分母是:1x5,2x6,3x7,4x8,...?n(n+4),...

【點睛】本題考查的是探究規(guī)律一一數(shù)字字母規(guī)律問題，應(yīng)從仔細觀察題中所給的已知數(shù)據(jù):9，孩16，宗95，

找到它們的共同特點入手。

14.±1

322

【詳解】略

15.綠色6個；藍色18個；綠色10個；藍色26個；見詳解

【分析】第1個圖形，有1個綠色小正方形，8個藍色小正方形，8=2xl+6；

第2個圖形，有2個綠色小正方形,10個藍色小正方形,10=2x2+6；

第3個圖形，有3個綠色小正方形，12個藍色小正方形，12=2x3+6；

第4個圖形，有4個綠色小正方形，14個藍色小正方形，14=2x4+6；

規(guī)律：第n個圖形，有n個綠色小正方形，(2n+6)個藍色小正方形；據(jù)此解答。

【詳解】規(guī)律：第n個圖形，有n個綠色小正方形，(2n+6)個藍色小正方形。

當n=6時，有6個綠色小正方形；

藍色小正方形有：

2n+6

=2x6+6

=12+6

=18(個)

當n=10時，有10個綠色小正方形;

藍色小正方形有：

2n+6

=2x10+6

=20+6

=26(個)

答：照這樣接著畫下去，第6個圖形有6個綠色小正方形和18個藍色小正方形。第10個圖形有10個綠色

小正方形和26個藍色小正方形。

道理：從圖中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個圖形有n個綠色小正方形，(2n+6)個藍色小正方形。

【點睛】通過數(shù)與形的結(jié)合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。

16.20；畫圖見詳解

【分析】觀察圖形可知，第一列的圓表示1,第二列每個圓表示2,則1+2=3,2x2=4,前兩列填滿表示

l+2x2=5,第三列每個圓表示6,同理，前三列填滿表示1+2x2+6x3=23,則第四列每個圓表示24,據(jù)

此解答。

【詳解】通過分析，左下圖表示的數(shù)字是2IGx3=20；

62=24x2+6x2+2,即在第二列面1個圓，第三列畫2個圓，第四列畫2個圓，畫圖如下：?

IOOO

【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合問題。通過分析、計算，明確每列的圓表示的數(shù)字是解題的關(guān)鍵。

17.(1)5；4

(2)72-62=7+6

(3)210

【分析】觀察算式規(guī)律可得：相鄰兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和，由此按規(guī)律解答即可。

【詳解】(1)52—42=5+4

(2)72—62=7+6(答案不唯一)

(3)202-1924-182-172+162-152+...+22-12

=20+19+18+17+...+3+2+1

=(20+1)x20-r2

=21x204-2

=420+2

=210

【點睛】此題考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，進一步培養(yǎng)學(xué)文?的觀察能力和總結(jié)能力。

18.（1）C大圈；C小即

（2）31.4厘米

【分析】（1）觀察圖形可知：

一個小圓圍繞正三角形滾動，C軌迨=C正三角形+C小即；

一個小圓圍繞正方形滾動，C新途=c正方形+c小加；

一個小圓圍繞正五邊形滾動，C=C正五邊形+C小⑼;

一■個小圓圍繞正六邊形滾動，C軌及=C正六邊形+C小圜；

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：小圓圓心軌跡的計算方法是“小圓圍繞滾動的圖形的盾長加上小圓的周長”，即C軌跡=C圖形+C小副，

據(jù)此規(guī)律解答。

（2）從圖中可知，大圓的直徑是6厘米，小圓的半徑是2厘米；根據(jù)圓的周長公式C=nd或C=2w,分別

求出大圓、小圓的周長，再利用上一題的規(guī)律，即可求出小圓圍澆大圓滾動一周后，小圓圓心軌跡的周長。

【詳解】（1）小圓圍繞大圓滾動一周后，小圓圓心軌跡周長的計算方法：C.=C即i+C.。

（2）3.14x6+2x3.14x2

=18.84+12.56

=31.4（厘米）

答：小圓圓心軌跡的周長是31.4厘米。

【點睛】（1）通過數(shù)與形的結(jié)合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題；

（2）掌握圓的周長公式的計算方法是解題的關(guān)鍵。

19.（1）11；7

（2）34；69

（3）見詳解

【分析】（1）觀察表格中的數(shù)據(jù)，三角形個數(shù)分別是1、2、3、4、……，吸管的根數(shù)分別是3、5、7、9