專題05均值不等式培優(yōu)歸類

》稱壓軸?林高度4.

題型1公式基礎(chǔ)

?■*■?■?■???????????■???■?????■?????????????■???■■?■?■???■?????????■???■?■?■■?■?■?■■???■?■?■??

g艮

重要基礎(chǔ)不等式

(1)a2+b2>_2ab(?,/?eR)；

(2)啖而(a/€R+)；

(3)-+->2(a,洞號)；

ba

(4)ab<(^\_或abW土止(a/eR)：

I2)2

（5）之而之

Vab

\---------------------------------------------------------------------------------

1.（2025?遼寧鞍山二模）已知（d，匕）、（巧，/）是函數(shù)y=e'的圖象上兩個不同的點，則（）

A,.I1n—X—+必<-X1——+X,JBc.I1n—乂—+—M>-%1——+X.

2222

C.In>:匕V玉+%2D.In>:”?>%+占

2.（24-25高三?安徽合肥模擬）S?=ln\/6,/2=Vln2ln3,c=ln>/3e,則4權(quán)c的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<a<c

3.（24-25高三湖南長沙開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=ln尸,q=log23,〃=log34,c=l,貝IJ（）

J?人

A.</（c）B./（〃）</?）</（〃）

4.（24-25高二上?湖南長沙期末）已知數(shù)列也｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，織="=6,則(）

A.b4b6>44a6B./4+4？4+&

C.帥。<44D.仇+優(yōu)K4+4

31—I

5.（24-25高三上?吉林長春階段練習(xí)）設(shè)。=愴三/=施5詬,c=Rgl5,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD,b<c<a

題型2取等條件

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等”“一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須

把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就

不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

I

I

1'""(24-25高三下近赤階段用為丁禾列說法正確的是V'j

A.函數(shù)y=x+，的最小值是2

X

B.函數(shù)/(x)=cosx+-^—,X€(O,力的最小值為4

cosxI2)

C."x>0且）>0"是“二+工之2”的充分不必要條件

yx

D.不等式"+〃N2（活與等之，萬有相同的成立條件

2.（24-25高一上?北京?期末）若。力eR,且他>0,則下列不等式中，恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.2""+2人“22

「11、2

2D?丁鏟刷

3.（24-25高三?全國?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

4廣1

A.若xeR,且工工0,則一+xN4B.當(dāng)x>0時，>Jx+-=>2

X\x

C.當(dāng)xN2時，x的最小值為2D.當(dāng)0<xW2時，x-->-2

XX

4.（24-25高三?上海?模擬）已知兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于它們的幾何平均值，類比此定理，有以

下結(jié)論：三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，即當(dāng)。為，。均為正實數(shù)時，"產(chǎn)3痂，

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=c、時等號成立，利用上述結(jié)論，判斷下列命題真假，則真命題為（）,

A.若0<x<1,則

9

1?7

B.若x>0,貝lj2.vH--2—

x~8

C.若0<xvl,則_?（1一”之；

2

D.若x>0,貝IJ丁+—之3

X

5.（2023?河北?三模）已知x>（）,那么以下關(guān)于式子父+1的分析判斷正確的選項是（）

X

（1）X2H--->2>/x

X

（2）上式當(dāng)且僅當(dāng)f=?!即X=1時，等號成立；

x

（3）所以當(dāng)x=l時，f+」取得最小值2

A.以上全正確B.（1）錯C.（2）錯D.（3）錯

題型3基本型：湊配對勾型

對勾型結(jié)構(gòu)：

1b

t+—at+一

tt

2.（24-25高三云南昭通,階段練習(xí)）函數(shù)y=二心出（x>l）的最小值為（）

x-\

A.2B.灰）C.4D.2>/2

已知人?],則紀(jì)包里的最小值為（）

3.（23-24高按安徽蕪湖?模擬）

2x-1

A.7+66B.6+673

C.7+473D.6+46

函數(shù)/（力=去^（）的最小值為（）

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）0<]<2

?5

A.—B.12C.9D.3+2上

2

5.（24-25高三云南昆明?階段練習(xí)）已知％<0,則函數(shù)）,=口也有（）

A-I

A.最大值-6B.最大值TC.最小值6D.最小值8

題型5"1”的代換：基礎(chǔ)模型

“1”的代換

.利用常數(shù)Lxm=l代換法。多稱之為“V的代換。

tn

結(jié)構(gòu)特征：以下字母一般都是正實數(shù)。

1、若ax+by=m,則E+幺最小值:2+里=~5~?m?（E+%）=~!~?（ax+by）?（R+旦）展開即可。

xyxymxymxy

2、若E+幺=m,則ax+by最小值」?m?（ax+by）=L.（E+gMax+by）展開即可。

xymmxy

L......................................................................................................................................................

1.（24-25高三,貴州貴陽?階段練習(xí)）若隨機變量J?N（1Q2）,且?傳4〃）二尸（空〃Z）,其中機，〃>0,

則工+±的最小值為（）

2.（24-25高三黑龍江哈爾濱模擬）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛&｝中，若心=5,則'的最小值

a2%

為（）

42

A.—B.—C.4D.4\/2

14

3.（24-25高三重慶九龍坡階段練習(xí)）已知〃+匕=2,a>0,b>0,則±+；的最小值為（）

ab

9

A.9B.-C.4D.6

2

34

4.（24-25高一下?貴州遵義期中）已知。>0/>0,且a+W=2,則士+；的最小值是（）

ab

27

A.6B.12C.—D.27

2

5.（2025?河南信陽?模擬預(yù)測）已知4+b=l（">0）,貝讓+?的最小值為（）

ab

9

A.1B.2C.4D.-

4

題型6"「'的代換:單變量隱“和”構(gòu)造型

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i單變量隱“和”構(gòu)造型：

\形如

—--+—-—型，可以構(gòu)造（mqx+nq）+（nip-mqx）=nq+mp（定值），除x外其他字母皆是常數(shù)。

mx+np-qx

\再借助“1”的代換構(gòu)造均值求最值。

I112

1.（23-24高三?陜西咸陽?階段練習(xí)）已知實數(shù)工滿足（）＜x＜，則已+丁土的最小值為（I

3x\-3x

A.9B.18C.27D.36

2.（24-25高三上湖北階段練習(xí)）已知隨機變量J-N0,，），RP^<-\）=P^>a）,則

14

_L+」_（O<x<a）的最小值為（）

xa-x

97

A.9B.3C.-D.—

23

3.（24-25高一_L?河北承德期末）已知入造（0,5）,則！十普的最小值為（）

x5-x

A.25B.6C.10D.5

4.（24-25高一上?浙江麗水?期中）設(shè)*2,則白+總的最小值為（）

A.81B.27C.9D.3

則乙1一Q一的最小值為（）

5.（24-25高三上?重慶階段練習(xí)）已知實數(shù)“滿足

xl-4x

A.20R.25C.30D.35

題型7的代換：“積、和”混合同除型

100^0

:“積、和”混合同除型原理：

|1.關(guān)系：如*，與a+2b=ab,可以通過同除（乘）ab互化。

：2.化歸：如"22化為則復(fù)合T的代換模型結(jié)構(gòu)。

匚…（2匚25高三禾說工期中廠匚知「且二玄二環(huán)「廁a+26的最不值為一「廠

A.12B.9C.8D.6

2.（24-25高三?廣東廣州模擬）已知（>0,y>0,且x+3yf=0,求％+3y的最小值為（）

A.9B.12C.15D.18

3.（22-23高三,新疆?階段練習(xí)）已知x>0,y>（）,且4x+），=冷，，若x+），>1+8加恒成立，則實數(shù)利

的取值范圍為（）

A.-mm>—?B.{〃*%<-3}C.{m\m>1}D.{川一9</〃vl}

4.（24-25高三上?四川成都模擬）已知a+2b-2cib=0,則8“+。的最小值是（）

B25

A.義6D.17

B,T

5.（24-25高三上?陜西西安期末）已知正數(shù)滿足力+〃=2而，貝IJa+"的最小值為（）

A-iB4C.5D.9

題型8“1”的代換：“積、和”混合解不等式型

“積、和”混合解不等式型原理：

1.原理：如x+y-xy+S=Q有“和”有“積”，則結(jié)合所求的是和（或

積），則對積（或和）用均值，達到“消去”積（或和）的目的，

然后再解關(guān)于積（或和）的一元二次不等式。

於.易錯：對于求和型，需要滿足條件等式中的和的系數(shù)比與所求的

；系數(shù)比相等。如：滿足沖+x+y=3,求工+八若沖+3x+y=3,求x+y型，則

|失敗。需要用反解代入等其它方法

17'"（24-25高三湖南長*模擬廠已知；；。：，；匯；：；:6「廁》，）；的最小值是（

A.2B.3C.4D.5

2.（2025?云南昆明模擬預(yù)測）已知x>0,y>0,且x+y-個+8=0,則個的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

3.（24-25高三?云南昭通模擬）若正實數(shù)X，），滿足沖+x+y=3,則工+），的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25高三上?山東泰安期末）若x,y>（My=4x+y+5,則4x+y的最小值為（）

A.12B.16C.20D.25

5.（24-25高三,山東濱州?模擬）若〃>0,/?>0,且必=船+6+5,則帥的最小值為（）

A.25+2及B.25C.5D.1

題型9構(gòu)造分母型：單分母基礎(chǔ)型

形如pa+b=t,求—!—+1?型，則可以湊配（pa+m）+（b?=t+m,再利用“1”的代換來求解。

pa+tnb

，其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。

311

1.（24-25高二下河北保定階段練習(xí)）已知x>0,y>~\,z>0,2y+3z=2—x,則二十—^+一的最

??xy+1z

小值為（）

A.Z+nB.Zl"C.—DT+6

2222

41I

2.（24-25高三上山東臨沂階段練習(xí)）已知x>0,y>0,且x+y=l,若一;+二2彳，〃+4恒成立，則實

??-Viiyz

數(shù)陽的取值范圍是（）

A.3B.（~°°U]C.（―co,5]D.（-co,10]

14

3.(19-20高二上天津?期中)已知x>0,y>0,Ig4x+lg2v=]g8,則丁[+一的最小值是()

?Zx+1y

946

A.3B.-C.—D.9

415

o1

4.（2024?安徽模擬預(yù)測）已知f（x）=e"eT,若正實數(shù)〃7，〃滿足/（2〃。+“〃-3）=/（0）,則\+冷的

最小值是（）

94

A.-B.-C.2D.4

43

5.（24-25高三上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知非負(fù)實數(shù)尤y滿足x+y=l,則~的最小值為（）

-2x1+y

A史/B.2C.4D.l

243

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題型10構(gòu)造分母型：雙分母基礎(chǔ)型

形如a+b=t,求」_+」一型，則可以湊配(a+m)+(b+n)=t+m+n,再利用“1”的代換來求解。

a+mb+n

其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。

I9

1..（24-25高一上?重慶?期中）已知實數(shù)/>0,滿足。+%=4,則一一+產(chǎn);的最小值是（）

a+\h+2

A.-B.；C.1D.2

42

i4

2.（24-25高三浙江金華?階段練習(xí)）已知力20且立一1=-2力，若一-+--2r/+10機恒成立,

a+b2a+b7

則陽的取值范圍是（）

A.1</zz<9B.〃？W1或〃后9C.D.

12

3.（24-25高三河南漂河?階段練習(xí)）已知實數(shù)。>0,b>0,滿足，+助=4,則一；+丁二的最小值是

a+\h+2

（）

A.7B.；C.1D.2

42

4.（2025?福建泉州?二模）若x之0,y>0,且」y+丁二一印，貝Ij3x+4y的最小值為（）

x+12x+4y

A.2B.3C.4D.8

5.（24-25高三?福建三明?階段練習(xí)）設(shè)正數(shù)滿足2a+〃=l,則廣1+自的最小值為（）

2-2a2-b

A-2x/2-2BC.2V2+2

4n4J

題型11構(gòu)造分母型：三角函數(shù)型

三角函數(shù)型構(gòu)造：

1.利用sin2a+cos2a=1定值結(jié)構(gòu)構(gòu)造求解。

2利用二角函數(shù)兩角和與差等恒等公式求解

(■?■?■(?■■(?(?(?(?,?(?(?(?(?(?,?(?(?(?(?(?(?(?I?(???(?(?I?(?(?(■???■?■?■■■?■???■???■(?(??■???■(?(????■(?■■(?(?(?(?(■????I?(???(■???■?■?■,?(?????????(■?■

1Q

1.(20-21高一上?山西臨汾期末)若ae0,-,則_二+^^的最小值是()

I2/sin'acosa

A.16B.17C.18D.19

2.(20?21高三陜西安康?階段練習(xí))已知統(tǒng)角公夕滿足。+夕=9則」--+—、的最小值為

bsinacospcosasinp

()

A.2B.4C.8D.18

3.（2023河南開封模擬預(yù)測）已知銳角a］滿足a+6=R則.】々十—三的最小值為（）

3sintzcospcosasinp

A.2B.任C.且D.Sy/3

33

I2

4.（20-21高一上?黑龍江哈爾濱期末）函數(shù)一二十二^的最小值為（）

sinxcos'x

Q

A.-B.3

3

C-3+2夜D.2&

7r9i

5.（23?24高一上?浙江杭州期末）設(shè)x,），w（05），貝lJ-^+,.,——l的最小值為______.

2sinxcosxsinjcosy

題型12構(gòu)造分母型：待定系數(shù)（湊配）型

型如一!一+—!—與cx+dy形式：

ax+bymx+ny

1.觀察湊配。

2.如果不容易觀察，則可以借助待定系數(shù)法來構(gòu)造：

cx+dy=2（ax+by）+〃（mx+ny）

解系數(shù)方程即可

1（21-22高三上?河南?階段練習(xí)）已知。/￡（0,+8）,若^^+丁匚=2,貝IJa+。的最小值為

''5a+2b2a+5b

（）

1+五

c-7

2.（22-23高三上?河北保定?階段練習(xí)）不等式丁一曲+心。的解集為何成火〃},其中0<〃?<4,則

+二的最小值為（）

10a+2b4b-4。

B.2C.-D.一

A-T

468

3.（22-23高一上?浙江杭州?期末）若,>。，），"且貴+/川則以+2,的最小值為（）

A.4B.4x/3C.l+2>/3D.4+2x/3

4、（22-23高二下?浙江溫州期中）點A在線段8c上（不含端點），。為直線BC外一點，且滿足

21

OA-aOB-2bOC=0.則:;一-+—十的最小值為（）

3。+4〃a+3b

c9八gc9

B.—C.—D.—

575

12

5.（23-24高三上?四川巴中?開學(xué)考試）已知x>），>0且4x+3y=l,則:——+—丁的最小值為（）

2x-yx+2y

A.10B.9C.8D.7

題型13構(gòu)造分母：分離再構(gòu)造型

1g@0

對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，

轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解

i.-（cx+d）+b--b--i

i分離常數(shù)技巧:竺曾.......—J+T

cx+dcx+dccx+d

lI

ii

1r3

1.（21-22高三上?遼寧?階段練習(xí)）若實數(shù)x+3產(chǎn)3（x>l,y>-）,則［+/的最小值為（）

3x-l3y-\

A.6B.4C.3D.2

2.（2。22?安徽?模擬預(yù)溯若實數(shù)…滿足2…斗則急+a的最小值為（）

A.6B.4C.3D.2

43X-7

3.（23-24高三?廣東佛山?階段練習(xí)）已知正數(shù)”,），滿足，+k2,則77rm的最小值是（）

4.（23-24高三?江蘇南通?階段練習(xí)）已知x>0,y>0,且x+y=2.q,則丁一十一的最小值為

2x4-1y+\

（）

43

A.-B.1C.-D.2

52

5.（24-25高一上?貴州貴陽?階段練習(xí)）若x>0,>'>0,且外=2工+兒則―+―的最小值為（）

x-\y-2

A.0B.3+2血C.26+1D.4

題型14因式分解型

11?■?■?0?■?■???■?■?■■?■?????■???■?????????■?■???■?■?■■?■?????????■???■■?■?????■???????????????■?■???????■???■?■???■?■■?■?■?????■?????■??????,■?■?■■?■?????■?■?■,

ji.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原i

i理

I2.最常見的因式分解：a+b+ab+l=（a+1）（b+1）

ii

ii

1n5124高二工輻建莆田期中［巨如v;5m…石二巨石二石：貝而一+亍的最/卜值息「j

A.1B.4C.7D.3+717

2.（23-24高一上?福建龍巖期末）已知x>l,y>\,且x+y-v=則2x+y的最小值是（）

A.2&B.4C.4A/2D.5

3.（24-25高三上?江蘇階段練習(xí)）已知心…"則沒總的最小值為（

?）

A.4B.5C.6D.3+2近

21

4.（24-25高三?河北石家莊?階段練習(xí)）已知。>0⑦>0,且2a+b=ab,貝IJ上十丁二的最小值

67-1h-2

為.

5.（24-25高一上?河南?期末）設(shè)陽>1,n>3,且3m+〃=+一24,則log3（"Ll）」og3（"3）的最大值

為.

題型15齊次同除換元型

一般是齊次型分式，可以考慮同除，構(gòu)造單變量型，或者構(gòu)造對勾型。

\基本規(guī)律

j一般情況下，滿足（1）分式；（2）分子分母齊次。則可以同除構(gòu)造單變量來求最值。

3/+3A

1.（23-24高三?上海浦東新?模擬）已知實數(shù)攵＞0,則#+14*14犬+]的最大值為

2.（22-23高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知A={x|m二+Zu+cW0（a＜））}中有且僅有一個元素，則

..a+3b+4c任日I/七4

M=—;-----的最小值為______.

b-a

3.（2021高三?浙江杭州,階段練習(xí)）若x,ye（0,”）,x+W+?=4,則十丹匚^的取值范圍

2x~y+2xy+17

4.（22-23高三?浙江模擬）已知a,b、c＞0,記7二(4fl+l)(9t7+/?)(4/?+c)(9c+I),貝U丁最大值

5.（22-23高一上?上海寶山?階段練習(xí)）已知。力為正實數(shù)，則邁中五運的取值范圍是

題型16反解代入消元型

條件等式和所求等式之間互化難以實現(xiàn)，可以借助反解代入消元，再重新構(gòu)造。

?當(dāng)題目中有2個字母時，利用題目的方程將所求式子進行消元是常用方法.

匚彳5655全國高三專題練為7巨如"交萬J匚且滿足ZN“；高；1「前2人入的最小值了二

2.（2020?江蘇南京南京市第五高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)乂）、滿足町+2x+y=4,則x+y的最

小值為.

3.（2021?天津薊州?天津市薊州區(qū)第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)。＞0,〃＞0,且5帥+。2=1,則a+b的最小

值為.

4.（2023?全國高三專題練習(xí)）若均為非負(fù)實數(shù)，且"+〃+力-1=0,則2a+b的最小值為.

5?（2。22秋.全國?高一專題練習(xí)）已知正數(shù)。、b滿足%則含+言的最小值為一

題型17換元型

100^0

j換元型：

i1.二次配方型，可以三角換元

；2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元,

；3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，

1.(22-23高三浙江階段練習(xí))已知〃>0S>0,c>0,則：+.J：+:的最小值為

a+b2b+3c2c+a

()

A.8B.9C.10D.11

38

2.（21-22高二下?河南洛陽?階段練習(xí)）已知正數(shù)x,2滿足（_+2y）/（3丫+2），）「2,則冷’的最小值是

（）

3.（22-23高一上?浙江杭州,期末）若y>0,且貴+占4則以+2），的最小值為（）

A.4B.C.1+2A/3D.4+2右

4.（2025?河北衡水?模擬預(yù)測）已知正數(shù)“，b,。滿足2〃+〃+女=8,則學(xué)士+一匚的最小值為

b+ca+c

（）

A.20B.21C.372-1D.21

44

5.（24-25高三?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）已知正實數(shù)db滿足5/+生b=1+〃,則初+〃的最小值為（)

A.-B.-C.-D.2

243

■?■?■?■?■?■?????????■?????■?????■???????■?■?■???????■?■?■?■???■?????■?????■???■?????■?■?■??■?■?■?■

題型18兩次均值型

???■?■?■???????????????■???????????????????????????????■?????????■???????????■?????■???■?■?■?■

混

一般情況下均值用兩次，要保證相同字母“取等”條件和數(shù)值一致。兩次均值，逐次消去，取等條件一

;致才能成立

1.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知心（）力>（）,則疝+1的最小值是（）

2ab

A.2B.242C.472D.6

2.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知4>O,b>0,且。+力+,+?=5,則4+6的取值范圍是（）

ab

A.1<?+/?<4B.a+b>2C.\<a+b<4D.a+b>4

3.（2022秋?河南信陽?高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)4>"">0,則2/+1+工:!一^-10雨+25c2取得

QD4（a一。J

最小值時，”的值為（）

A.V2B.2C.4D.2石

題型19萬能“K”型

100^0

?設(shè)K法的三個步驟：

I團、問誰設(shè)誰：求誰，誰就是K；

\瓦代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；

:團、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），20確定最值

---4

1.（24-25高三上?山東聊城?階段練習(xí)）已知正數(shù)不y滿足x+y=-+-+8,則K+y的最小值

%y

為.

33

2.（24-25高三?河北?階段練習(xí)）已知x>0,y>0,x+y---------=4,則x+y的最小值為_________.

xy

19

3.（22-23高二上?湖南懷化期末）已知正數(shù)%人滿足：a+b+-+^-=\0,貝必+人的最小值

19

4.（22-23高三浙江麗水?階段練習(xí)）若正數(shù)羽），滿足x+V+15=—+—,且x+），Wl,則

A.X為定值，但y的值不定B.X不為定值，但），是定值

C.X,），均為定值D.X,y的值均不確定

題型20無條件：〃裂項〃型

1g艮

（24-25高三?上海階段練習(xí)）設(shè)是正實數(shù),則言等親的最大值為

1.?

叵包亙的最大值為

2（2024.遼寧大連.模擬預(yù)測）已知），，z均為正實數(shù)，則