第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?孝感模擬）已知〃>人則下列不等式中一定成立的是（）

A.B.a2>b2C.lna>lnbD.T-b>1

ab

2.（2025春?浙江期中）設(shè)a,bwR,若則下列不等式中不正確的

是（）

A.a2<b2B.-<-C.ab<b2D.a+b>-\

ab

3.（2024秋?安徽期末）已知-3~Q+ZH42,19;一吐4,則3〃+方的取值范圍是（

）

A.[-3,0]B.[-5,3]C.[-5,0]D.[-2,5]

4.（2025?海淀區(qū)模擬）設(shè)a,beR,若L1<o,貝lj（）

ah

A.a<bB.\a\<\b\C.a+b>abD.2"<2h

5.（2025?河北模擬）已知a>0,力〉0,2a+b=\則』+巴的最小值為（

f）

ab

A.2B.-C.4D.9

2

6.（2025?湖南模擬）下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,c>d,則B.若a>b,c>0,則ac>Z?c

C.若a>b,則L<1D.若a>b>c,則H>be

ab

-/,/3

7.（2025?廣西模擬）a=e,Z）=/og2-|,c=\/2-1?則a,b,。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

8.（2025春?渭濱區(qū)月考）設(shè)a,bwR,且則（）

9.（2025春?皇姑區(qū)期中）己知a,b,cwR,則下列不等式中一定成立的是（）

A.若a>b,貝lj|〃|>|"B.若a>b>c>。,則---->----

a+cb+c

C.若4<b<0,貝He」D.若則。2（"%）>0

ab

10.（2024秋?龍崗區(qū)期末）下列命題是假命題的為（）

A.若a〉b,貝B.若口>力，c>d,貝lja+c>〃+d

C.若〃>八0且rv。，則二）fD.若1>八-1,則」一<—!—

a'b-a+\b+\

二.多選題（共4小題）

（多選）11.（2025?臨沂二模）已知a>/）>c,則下列不等式正確的是（）

A.—!—<—5-B.ah2>cb2C.a+b>cD.a2+c2>b2

a-ca-b

（多選）12.（2025?聊城二模）己知實(shí)數(shù)a,人滿足M>（）,則（）

A.a+b<ab

B.-+->2

ab

C.若a>b,則

ab

D.若avb,m>0則（b+）0）

fbh+m

（多選）13.（2025?涼州區(qū)模擬）已知LLo,則下列不等式正確的是（）

ab

A.—!—<—B.|?|+/>>0C.Ina2>bib2D.a-—>

a+babab

（多選）14.（2024秋?雨山區(qū)期末）下列命題為真命題的是（）

A.若a>〃>（）,則陽(yáng)2>人c?B.若"〃>0,則

C.若則一!—<—!—D.若a>b>c>0,則

a-cb-caa+c

三.填空題（共4小題）

15.（2024秋?邵陽(yáng)期末）己知后<]<為<夕<^，則a+24的取值范圍

為一.

16.（2025?深圳開學(xué)）已知-l<a+方<3,2<a-b<4fP=a+3b,則尸的取值范

圍是?

17.（2024秋?信陽(yáng)期末）若實(shí)數(shù)a,b?c滿足。+c=3a，-4a+6,b-c=a2-4a+4,

試確定“，b,c的大小關(guān)系是.

18.（2024春?嶗山區(qū)期中）已知4<〃<6,3<b<4,則*的取值范圍是____.

h

四.解答題（共6小題）

19.（2024秋?通遼期中）（1）若xeR,試比較3/+6x與4/一2t+16的大??；

（2）已知-5cx<4,2<y<3.求的取值范圍.

20.（2024秋?拱塞區(qū)期末）已知-2vx-yv0,l<2x+”3.

（1）分別求x與y的取值范圍；

（2）求8x+y的取值范圍.

21.（2024秋?單縣期中）己知1<"4,2<6<8.試求：

（1）2a+36的取值范圍.

（2）4-6的取值范圍.

22.（2023秋?長(zhǎng)安區(qū)月考）已知2</;<8,分別求：

（1）2Q+3〃的取值范圍；

（2）〃的取值范圍；

（3）?的取值范圍.

b

23.（2024秋?府谷縣月考）已知實(shí)數(shù)“，滿足+3-^7.

（1）求實(shí)數(shù)”，b的取值范圍；

（2）求2〃-5人的取值范圍.

24.（2024秋?禪城區(qū)月考）（1）已知12<〃<60,15<分<36.求“-8和巴的取值

b

范圍.

（2）已知0<a+b<2,—\<b—a<\,求的取值范圍.

答案

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案DDCBCBBDBA

二.多選題（共4小題）

題號(hào)11121314

答案ADBCADBC

一.選擇題（共10小題）

1.【答案】D

【分析】舉例說(shuō)明錯(cuò)誤；直接證明。正確.

【解答】解：對(duì)于力，當(dāng)a=l,力=-1時(shí)，1>1,故/錯(cuò)誤;

ab

對(duì)于8,當(dāng)4=1,人=-1時(shí)，a2=b2,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)”=1,〃=-］時(shí)，〃〃不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由得°-6>0,則故。正確.

故選：D.

2.【答案】D

【分析】結(jié)合特殊值法，以及作差法，即可求解.

【解答】解：-1<b<a<0,

則Q2-〃=（Q-b）（Q+%）<0,即/</,故人正確；

即故8正確；

ahahab

ab-b2=b（a-b）<0,故C正確；

令8=一0.6,a=-0.5,滿足一1<)<。<0,但a+b<-l,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

3.【答案】C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解.

【解答】解：因?yàn)?a+b=2(a+b)+(a-b),

又-3~#r+b-^-2,19-b^A,

所以-4?

即-5*(。+b)+a-ly~^,

所以3a+6的取值范圍是［-5,0］.

故選：C.

4.【答案】B

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：若L1<0,則力<"0,力錯(cuò)誤；

ah

所以|o|<W，5正確;

由/)<4<0可得〃+b<0,ab>01

故a+b<ab,C錯(cuò)誤；

h

由力<4<0可得，2<Tf。錯(cuò)誤.

故選：B.

5.【答案】C

【分析】應(yīng)用常值代換結(jié)合基本不等式計(jì)算求出最小值.

【解答】解：由2“+〃=1,?>(),/>>(),得、瞑2+，2+&&4,

ababab

當(dāng)且［又當(dāng)4=6且2a+b=1,即a=力=1時(shí)取等號(hào).

3

故選：C.

6.【答案】B

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：當(dāng)4=2,b=1,c=l,d=0時(shí)，/顯然錯(cuò)誤；

因?yàn)閏>0,由不等式性質(zhì)可得ac>be,E正確；

當(dāng)a=l,匕=-1時(shí)，。顯然錯(cuò)誤；

當(dāng)c=0時(shí)，。顯然錯(cuò)誤.

故選：B.

7.【答案】B

【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)〃，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定力的范圍，即可比較a,

b,c的大小.

【解答】解：a=,b=log—>log>/2=-,c=V2-,

3222232

故〃>c>a.

故選：B.

8.【答案】D

【分析】選項(xiàng)，可舉出反例；。選項(xiàng)，利用基本不等式進(jìn)行求解.

【解答】解：4選項(xiàng)，當(dāng)a=-2,/)=-1時(shí)，—，Y=~1?故上>!，4錯(cuò)誤；

a2hab

8選項(xiàng)，當(dāng)〃=-2,/)=—1時(shí)，=1,ab=2,b‘<cib,8錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，當(dāng)。=-2,6=-1時(shí)，9a=-之,而=拒，"女<疝，C錯(cuò)誤；

222

。選項(xiàng)，當(dāng)〃<b<0時(shí)，->0,->0,由基本不等式可得2+@=2、口7=2,

當(dāng)且僅當(dāng)2=q,即a”時(shí)，等號(hào)成立，但〃工人故等號(hào)取不到，

ah

故且+且>2,。正確.

ab

故選：

9.【答案】B

【分析】利用特殊值法可判斷錯(cuò)誤，利用作差法計(jì)算可得8正確，再由不等

式性質(zhì)可得C錯(cuò)誤.

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)。=-1>力=-3時(shí)，口J知|a|>|力|不成立，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)閍>b>c>0,可得

aba(b+c)b(a+c)c(a-b).

-----------=---------------------------=------------>0；

a+eb+c(a+c)(b+c)(a+c)(b+c)(a+c)(b+c)

所以，>上，故8正確；

a+cb+c

對(duì)于C,由avb<0,可得!vL,故c錯(cuò)誤；

ba

對(duì)于Z),a>bf當(dāng)c=0時(shí)，1("6)=0,故。錯(cuò)誤.

故選：B.

10.【答案】A

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：當(dāng)。=0時(shí)，月顯然為假命題；

若a>b,c>di貝ijo+c〉力+d,8為真命題；

若a>/>>()且c<0,則L<與，二〉二，C為真命題；

ab-a-b-

若a〉b>-1,則a+1>方+1>0,

所以_L<_L,。為真命題.

a+1b+1

故選：A.

二.多選題(共4小題)

11.【答案】AD

【分析】對(duì)于A,可以用作差法判斷，對(duì)于BC,舉反例判斷即可，對(duì)于。，分方>0,

6=0,8<0三種情況討論即可判斷.

【解答】對(duì)于力，-——l_=(a-b)-(a-c)=^-b,因?yàn)樾男?

a-ca-b(a-c}(a-b)(a-c)(a-b)

所以c一力<0,a-c>0,a-b>0fB|J----------<0,所以一!—<——，故/正確；

(a-c)(a-b)a-ca-b

22

對(duì)于夕，當(dāng)力=0時(shí)，ab=cb=0f故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,iUfl=-l>6=-2>c=-3,則a+/)=c=-3,故。錯(cuò)誤，

對(duì)于。，若a>0>b>c,貝lj/+d>T>b，成立,

若4>/)=0>c,則/+d=0顯然成立，

若則/+c?〉/>/成立，

綜上所述，只要4>力外，就一定有/+廿>〃2,故。正確.

故選：AD.

12.【答案】BC

【分析】由已知結(jié)合不等式性質(zhì)及基本不等式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)a,b滿足帥>0,

當(dāng)“<0,6<0時(shí)，4顯然錯(cuò)誤；

2巴也=2,當(dāng)且僅當(dāng)〃時(shí)取等號(hào)，5正確；

ab\ba

當(dāng)a>b,必>0時(shí)，l-l=^Z￡<o,即工<,，C正確；

ababab

若〃=-2,8=-1,〃?=2時(shí)，滿足a<6,/〃>0,但N=2,"+"'=0,。顯然錯(cuò)誤.

bb+m

故選：BC.

13.【答案】AD

【分析】由f<0,可得0>〃>b.再利用不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可.

ab

【解答】解：由可得0>口>方.

ab

所以_!_<,，故/正確；

a+bab

因?yàn)?<—a<—b,

所以B|J|a|+6<0,故"錯(cuò)誤；

由0<-"-6,可得所以歷/</加,故。錯(cuò)誤；

由"!?<[<（）,可得一又a>b,

abab

所以故。正確.

ab

故選：AD.

14.【答案】BC

【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差比較大小的方法，逐項(xiàng)判斷即得.

【解答】解：對(duì)于力，取c=0，力顯然錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若a>b>0,貝lj/一尸=（a+b）（q-6）>0,即/>〃，8正確;

對(duì)于C,若a>b>c>0,貝!Ja-A>0,a-c>0,b-c>0?

所以」——L=_T_>0,則，<」_,。正確；

b-ca-c（a-c^b-c）a-cb-c

對(duì)于。，若a>b>c>0,則2.處￡ja+c）—"S+c）=Ul<o,則?！慈珼

aa+ca（a+c）a（a+c）aa+c

錯(cuò)誤.

故選：BC.

三.填空題（共4小題）

15.【答案】（工，紅）.

23

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因?yàn)間<a檸悔“今，即"2夕告,

所以工<《+2/<包.

23

故答案為：白，^).

16.【答案】(P|-6Vp〈4}.

【分析】利用換元法，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案.

_m+n

【解答】解：令J則"2，

a-b=nm-/?

h=----

2

艮|JP=2m-n,

—rznf2<2nt<6

由即!</?<可得《，則-6Vp<4.

2<a-b<42</?<4-4<-n<-2

故答案為：{P|-6Vp<4}.

17.【答案】l仔>a.

【分析】通過(guò)配方得8-c=m-2)2d，所以3.將條件中的兩個(gè)式子相減，整

理得e=a2+2,由6-°>0得c〉”.所以慶

【解答】解：因?yàn)閎—c=/-4〃+4=(。一2)2鐘0，所以公多.

由條件有2c=(3/-4a+6)-(/-4。+4)=2a2+2,即。=。2+2,

所以c-a=〃2-a+2=(Q-；)2+(>0,所以c>〃.

故答案為：/\=^->a.

18.【答案】(2,3).

【分析】首先變形空，再轉(zhuǎn)化為求￡的范圍.

bb

【解答】解：由題意q知，率J+i,

bb

4<〃<6,,則1<色<2,所以2<9+1<3.

483bb

故答案為：（2,3）.

四.解答題（共6小題）

19.【答案】（1）4--2》+16白+6x;（2）-11<x-2v<0.

【分析】（1）作差后再配方即可；

（2）根據(jù)），的范圍可求出-y的范圍，進(jìn)而可得出x-2），的范圍.

【解答】解：（1）:底-2x+16-（3/+6x）=/一8工+16=（工-4）2二），

7.4x2—2x+1+6x;

（2）由題設(shè)，-6<-2><-4,而-5Vx<4,

—11vx—2y<0?

20.【答案】（1）實(shí)數(shù)x的范圍為（-"，1）,歹的范圍為（（/；（2）（-1,9）.

【分析】（1）不等式-2<X-JY0①，l<2x+J，<3②，然后利用①+②，②+①x（-2）

分別求出x,y的范圍；（2）利用）①x2+②x3即可求解.

【解答】解：（1）不等式-2<x-y<0①，l<2x+y<3②，

①+②可得：-l<3x<3,解得-

②+①x（-2）可得：l<3y<7,解得』<y<2,

33

所以實(shí)數(shù)X的范圍為（T，1）,y的范圍為《W）;

（2）①x2+②x3可得：-1<8%+），<9,

即8x+y的范圍為（-1,9）.

21.【答案】⑴（8,32）;

（2）（-7,2）.

【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)計(jì)算即可；

（2）利用不等式性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：（1）由2<6<8可知2<2“<8,6<36<24,

所以8<2a+3bv32,

故2a+3b的范圍為(8,32)；

(2)由2cb<8可知一8<—8<-2,

所以-7<。-6<2,

故a+b的范圍為(-7,2).

22.【答案】(1)(8,32);

(2)(-7,2)；

(3)(1,2).

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可求所給式子的范圍.

【解答】解：(1)由題可知，2<2a<8,6<3/><24,所以8<2a+36<32,

則2a+3b的取值范圍為(8,32);

(2)由題可知，\<a<4,-8<-/?<-2,所以-7<a-b<2,

則a-b的取值范圍為(-7,2)；

(3)由題可知，1<”4,所以

8628b

則？的取值范圍為(：，2).

b8

23.【答案】(1)[2,6],[一翡];

(2)

22J

【分析】(1)用已知式子"人a-b表示a,b,利用不等式的性質(zhì)求解范圍即

可；

(2)用己知式子”+〃，a-b表示2a-5b,利用不等式的性質(zhì)求解范圍即可.

【解答】解：(1)因?yàn)?骨+/三8,3宜-44,

所以4骨”+力)+(。一人92,

所以2c3,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,6].

因?yàn)樨?—[(a+/?)-(?-/))]=—[(a+b)+(b-a)],

由3飛-/r^4,所以-4馬-cr^-3,又1P+b~^,

所以-內(nèi)。+?-(。-3,

315

所以][(〃+〃)_5—8)]