動(dòng)點(diǎn)與角度計(jì)算重難點(diǎn)專題(9大題型60道)

0題型目錄

題型一與線段動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題

題型二線段動(dòng)點(diǎn)中求定值問題

題型三幾何圖形中運(yùn)動(dòng)的問題

題型四動(dòng)角有關(guān)計(jì)算問題

題型五三角板中角度計(jì)算問題

題型六幾何圖形中角度計(jì)算問題

題型七實(shí)際問題中角度計(jì)算問題

題型八角平分線的有關(guān)計(jì)算

題型九角n等分線的有關(guān)計(jì)算

幽經(jīng)典例題

4【經(jīng)典例題一與線段動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題】

【例1】如圖，線段44=20cm,C為48的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段48向右運(yùn)動(dòng),

到點(diǎn)8停止：點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段力4向左運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)力停止.若產(chǎn),。西點(diǎn)同時(shí)出發(fā),

當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(x>0)s.

------?<------

11?II

APCQB

(l)4C=_cm.

(2)是否存在某一時(shí)刻，使得CP,。這三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出所有滿

足條件的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)10

(2)存在，當(dāng)x=6s或7.5s時(shí)，CR0三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)

【分析】此題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，線段的計(jì)算，理解線段中點(diǎn)的定義，根據(jù)線段

中點(diǎn)的定義進(jìn)行分類討論，并列出方程是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段48=20cm,。為45的中點(diǎn)即可得4c的長：

(2)依題意得:AP=2xcm,50=xcm/lC=BC=10cm,然后分三種情況討論如下:①當(dāng)點(diǎn)C為尸。的中點(diǎn)

時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)。為C。的中點(diǎn)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)。為尸。的中點(diǎn)時(shí)，再根據(jù)每?種情況畫出圖形，利用線段中點(diǎn)的

定義列出方程求出x即可.

【詳解】(1)...線段月8=20cm,。為48的中點(diǎn)，

/.JC=5C=-J5=-x20=10(cm).

221，

(2)存在.

依翅意得：AP=2xcm,B(2=xcm,

由⑴可知：AC=BC=\Qcm,

分三種情況討論如下：

①當(dāng)點(diǎn)C為尸。的中點(diǎn)時(shí)：則尸。二。。，如圖1所示:

APCQB,：PC=JC-JP=|10-2.r)cm,QC=8C—80=(lO-x)cm,

圖1

二.IO-2x=10—x,

解得：x=O(不合題意，舍去)；

②當(dāng)點(diǎn)。為C。的中點(diǎn)時(shí)，則PC=P。，如圖1所示:

ACPQ%PC=AP-AC=(2x-10)cmf

圖2

:.BP=AB-AP=(20-2x)cm,

PQ==20-2x-x=(20-3x)cm,

.?.2.r-10=20-3x,

解得：x=6；

③當(dāng)。為尸。的中點(diǎn)時(shí)，則PC=2C0,如圖2所示：

11111

AK。尸8.「pc=/p_/c=(2x—10)cm,C0=8C-80=(IO—x)cm,

.-.2x-10=2(10-x),

解得：x=7.5.

綜上所述：當(dāng)x=6s或7.5s時(shí)，CP,。三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn).

z變式訓(xùn)練

1.【問題背景】如圖，P是線段48上一點(diǎn)，AB=\Scm,C,。兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P,8同時(shí)出發(fā)沿射線8P

向左運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)力處即兩動(dòng)點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng).

【問題探究】（1）點(diǎn)C,D的速度分別是IciWs,2cm/s

①若/尸=8cm,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C,力運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求CQ的長度；

②若經(jīng)過，秒，點(diǎn)C到達(dá)XP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也剛好到達(dá)8。的中點(diǎn)，求，的值：

【問題解決】（2）動(dòng)點(diǎn)C,。的速度分別是IcnVs,3cm/s,點(diǎn)C,。在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有。。=3”,求小尸的

長度.

ACPDB

【答案】（1）①8cm；②f=3；（2）1cm

【分析】本題考查了線段上動(dòng)點(diǎn)問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用.

（1）①先根據(jù)線段的和差計(jì)算8尸，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間得出。、BD,然后根據(jù)線段的和差即可得出答案;

②先根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間得出CP=t、BD=2t,再根據(jù)線段的中點(diǎn)得出AP=2CP,BP=2BD,然后根據(jù)AB=18列

方程求解即可得出答案；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為乙則尸。=八8。=3/,得出80=3%,再根據(jù)線段的和差及等量代換得出PB=34產(chǎn),

從而得出答案.

【詳解】（1）①???48=18,/尸=8

:.BP=AB-AP=10

C,D運(yùn)動(dòng)了2s

.■0=2,80=2x2=4

,\CD=CP+BP-BD=2+\0-4=Scm；

②艱據(jù)題意得，CP=t,BD=2t

???點(diǎn)C為力尸的中點(diǎn)，點(diǎn)。為8P的中點(diǎn)

:.AP=2CP,BP=2BD

.?2+2x21=18

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為乙則PC=/,8O=3/

;.BD=3PC

?;PD=3AC

:.PB=PD+BD=3PC+3AC=3(PC+A*=3AP

19

/.AP=-AB=-cm.

42

2.如圖，P是線段44上一點(diǎn)，43=18cm,C,。兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)尸，〃同時(shí)出發(fā)沿射線￡4向左運(yùn)動(dòng),

到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng).

<------<------

I[11]

ACPDB

(1)若點(diǎn)C,。的速度分別是IcnVs,2cm/s.

①若2cmv/Pvl4cm,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C,力運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求力C+8的值；

②若點(diǎn)C到達(dá)〃中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也剛好到達(dá)8P的中點(diǎn)，求力P:PB；

(2)若動(dòng)點(diǎn)。，。的速度分別是IcnVs,3cm/s,點(diǎn)C,。在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PQ=34C,求4>的長度.

【答案】(1)①12cm；②1:2；

9

⑵5cm.

【分析】(1)①先計(jì)算8。，PC,再計(jì)算IC+ED即可;②利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解即可;

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為用，則PC=tcm,BD=3tcm,得到30=3尸C,又由PO=34C,得至I]尸8=342，進(jìn)

而得到力尸即可求解；

4

本題考查了線段上動(dòng)點(diǎn)問題、求線段的長度，充分利用中點(diǎn)和線段的倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：①由題意得：5D=2x2=4(cm),PC=1x2=2(cm),

.?.HC+PO=/8-PC-4O=18-2-4=12(cm)：

②；點(diǎn)C到達(dá)4P中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也剛好到達(dá)8尸的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為乙

則：AP=2PC=2t,BP=2BD=4i,

AP:PB=2t:4t=\-.2；

(2)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/s,則PC=/cm,8O=3fcm,

:.BD=3PC,

?:PD=34C

PB=PD+BD=3PC+3AC=3(PC+AC)=3AP,

i9

/.AP=—AB=—(cm).

42、)

3.已知：如圖1,M是定長線段上一定點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)分別從同、3出發(fā)以lcm/s、女m/s的速度沿直

線8%向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段4W上，。在線段8W上）

<-------<---

1111]

ACMDB

圖1

AMB

圖2

（1）若44=10cm,當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)了2s,求力C+MD的值.

（2）若點(diǎn)。、。運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD=3/C,直接填空：AM=AB.

MN

（3）在（2）的條件下，N是直線4B上一點(diǎn)，&AN—BN=MN,求——的值.

AB

【答案】⑴2cm

⑶;或1

【分析】（1）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問題，根據(jù)題意算出CW,BD,再由

AC+MD=AB-CM-BD,即可解題.

（2）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問題，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/,則CW=/,BD=3t,根據(jù)4c=4W-￡,

=結(jié)合MQ=3/C,4V即可解題.

（3）本題考查線段的和與差，以及，力點(diǎn)問題，根據(jù)N是直線45上一點(diǎn)，且4N—EM=MM,可分為以下

兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在線段48上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)N在線段為8的延長線上時(shí)，結(jié)合線段之間的和差關(guān)系，得出

與力8的數(shù)量關(guān)系，即可解題.

【詳解】（1）解：（1）當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM=2cm,8D=6cm,

vAB=1Ocm,CM=2cm,BD=6cm,

.\AC+MD=AB-CM-BD=\0-2-6=2cm.

（2）解:設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,

則CM=f,BD=*,

'：AC=AM-t,MD=BM—3l,

X.MD=3AC,

:.BM-3l=3AM-3l,

即8M=3NM,

???BM=AB-AM,

=3AM,

/.AM=-AB,

4

故答案為：.

4

(3)解：當(dāng)點(diǎn)N在線段43上時(shí)，如圖

AMNH；AN-BN=MN,

又?：AN-AM=MN,

/.BN=AM=-AB,

4

:.MN=-AB,gp—=1

2AB2

當(dāng)點(diǎn)N在線段48的延長線上時(shí)，如圖:

AMBN-BN=MN,

又，：AN—BN=AB,

/.MN=AB,即M號(hào)N=1.綜上所述竺MN的值為:I或1.

ABAB2

1經(jīng)典例題二線段動(dòng)點(diǎn)中求定值問題】

【例2】如圖，已知直線/上有兩條可以左右移動(dòng)的線段：AB=m.CD=n,且機(jī)，〃滿足

|加-4|+(〃-8)2=0,點(diǎn)M,N分別為力&CO中點(diǎn).

tilill/

AMBCND

(1)求線段月氏CQ的長：

(2)線段44以每秒4個(gè)單位長度向右運(yùn)動(dòng)，線段C、。以每秒1個(gè)單位長度也向右運(yùn)動(dòng).若運(yùn)動(dòng)6秒后，

MN=4,求此時(shí)線段月C的長；

(3)若8c=24,將線段CD固定不動(dòng)，線段45以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，在線段力5向右運(yùn)動(dòng)的某一

個(gè)時(shí)間段/內(nèi)，始終有MV+//。為定值.求出這個(gè)定值，并直接寫出，在哪一個(gè)時(shí)間段內(nèi).

【答案】(1)線段48的長是4,線段。的長是8

(2)16或8

⑶當(dāng)7.5WY9時(shí)，M7V+AD為定值，定值為6

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)艮］可得到結(jié)論；

(2)若6秒后，AT在點(diǎn)V左邊時(shí)，若6秒后，AT在點(diǎn)M右辿時(shí)，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)題意分類討論于是得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：???加-4|+5-8)2=0,

/.|w-4|=0,(M-8)2=0,

.?."1=4,〃=8,

二48=4,CQ=8,

即線段的長是4,線段C。的長是8；

(2)解：???48=4,6=8,

：.MB=-AB=2,CN=-CD=4,

22

設(shè)運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,分兩種情況，

若6秒后，AT在V的左側(cè)時(shí)：MV+MV'二

：.MB+BC+CN+NN'=MM'+MN,即2+8C+4+6xl=6x4+4,

解得8c=16.

若6秒后，AT在M的右側(cè)時(shí)：MM'=M+NN'+MN,

MM=MB+BC+CN+NN'+MN,

R|J6v4=2+5C+4+6xl+4,

解得8c=8.

即線段8c的長為16或8；

(3)解：???4C=24,48=4,C0=8,

.-.;W/V=5C+-JZ?+-CD=24+2+4=30,/￡>=8C+48+6=24+4+8=36,

22

???線段8固定不動(dòng)，線段力4以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，

???運(yùn)動(dòng)/秒后，M/V=|30-4/|,/ID=|36-4/|,

當(dāng)0W/v7.5時(shí)，MV+4)=30-4z+36-4f=66-8z；

當(dāng)7.5W/W9時(shí)，/WV+4O=4/-30+36-4f=6；

當(dāng)f>9時(shí)，A^V+JZ)=4r-30+4/-36=8/-66；

故當(dāng)7.54/49時(shí)，MV+4)為定值，定值為6.

【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，線段的和差關(guān)系，以及數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，解題

的關(guān)鍵是掌握分類討論思想.

z變式訓(xùn)練

I.在數(shù)軸上點(diǎn)兒B,。所表示的數(shù)分別是-2,6,x(x>-2).

(1)求力8的長；

(2)若點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，用含x的代數(shù)式表示CO的長；

(3)若點(diǎn)A以每秒5個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B以每秒20個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C從原點(diǎn)開始

以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，記08的中點(diǎn)為E,4C的中點(diǎn)為產(chǎn)，試通過計(jì)算說明牛工的結(jié)果是

EF

定值.

【答案】(1)8

(2)當(dāng)一2<x42時(shí)，CD=2-x；當(dāng)x>2時(shí)，CD=x-2.

(3)是定值，理由見解析

【分析】本題考查列代數(shù)式及數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算公式即可解決問題.

(2)對(duì)點(diǎn)C與點(diǎn)。的位置進(jìn)行分類討論即可解決問題.

(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，用含有E的代數(shù)式分別表示出。。及叱的長即可解決問題.

【詳解】(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)A,8所表示的數(shù)分別是-2,6,

所以=6-(-2)=8.

(2)解：因?yàn)辄c(diǎn)。是的中點(diǎn)，

則點(diǎn)。表示的數(shù)是2.

當(dāng)-2CK2時(shí)，

CD=2-x.

當(dāng)了>2時(shí)，

CD=x-2.

(3)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為"

則點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)為乙點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)為-2-5八點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的

數(shù)為6+20/,

因?yàn)?8的中點(diǎn)為E,

所以點(diǎn)E所表示的數(shù)為3+10f.

因?yàn)?c中點(diǎn)為下,

所以點(diǎn)尸所表示的數(shù)為-1-Z,

所以/出=6+20-（-2-5。=8+25,，OC=t,EF=4+12i,

mi」AB-0C8+25/—tc

所以一^=登r=2.

2.直線/上依次排列點(diǎn)46,C.D,已知川？一10,8=4,點(diǎn)E是線段XC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段的

中點(diǎn).

~AED-1~A￡BCF

圖1圖2

ft1A■

AEBCFD

缶用圖

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)C重合時(shí)，求線段上尸的長.

(2)如圖2,當(dāng)線段。。從圖1位置沿直線/向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，力￡-8/的值是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出力E-8產(chǎn)

的值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)線段C。從圖1位置沿直線/向右平移。個(gè)單位長度時(shí)，若滿足則求。的值.

【答案】(1)7

(2)是定值,3

(3)3

【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，正確的識(shí)圖，理清線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，求出8民8尸的長，進(jìn)而求出EF的長即可：

(2)設(shè)6c的氏為X,根據(jù)線段的和與差，以及中點(diǎn)的性質(zhì)，表示出“瓦8尸的長，即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)線段之間的和差關(guān)系，列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)。重合時(shí)，則：BD=CD=4,AC=AB=\O,

???點(diǎn)￡是線段4c的中點(diǎn)，點(diǎn)下是線段8力的中點(diǎn)，

：.BE=LAB=5,BF=LBD=2,

22

:.EF=BE+BF=L

（2）AE-BF是定值;

設(shè)8c的長為x,貝ij：AC=AB+BC=\^+xyBD=BC+CD=4^x,

???點(diǎn)￡是線段AC的中點(diǎn)、，點(diǎn)、F是線段的中點(diǎn)，

1x1X

：.4E=-AC=5+-,BF=-BD=2+-,

J2222

.-.J￡：-^F=5+j-2-|=3,為定值.

（3）由題意，得：BC=a,

.-.AD=AB+BC+CD=\4+aiAC=AB+BC=\0+a,BD=BC+CD=4+a,

?.?點(diǎn)￡是線段4c的中點(diǎn)，點(diǎn)下是線段的中點(diǎn)，

.?.AE=-AC=5+-,DF=2+-

222t

：.EF=AD—AE—DF=14+6?—5---2——=7,

22

'：AD^EF=6CD,

二14+a+7=4x6=24,

a=3.

3.【背景知識(shí)】

數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合.已知結(jié)論：數(shù)軸上點(diǎn)48表示的數(shù)分別為

。、b,則48兩點(diǎn)之間的距離力8=|“-b|：線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為一.

【知識(shí)運(yùn)用】

（1）點(diǎn)48表示的數(shù)分別為小b,若〃與-；互為倒數(shù)，力與-7互為相反數(shù).則48兩點(diǎn)之間的距離為

;線段43的中點(diǎn)表示的數(shù)為.

【拓展遷移】

（2）在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)4出發(fā)以

每秒5個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是線段。。的中點(diǎn).

①點(diǎn)M表示的數(shù)是（用含，的代數(shù)式表示）；

②至運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)4P、。中恰有一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)連接所得線段的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間人

③線段"?、4W的長度隨時(shí)間/的變化而變化，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)。左側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)加，使〃戶0+/M為

定值？若存在，求常數(shù)加及該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

74

【答案】（1）12；1：（2）①1-4（；②1.5或不；③存在，吸=-2,此時(shí)定值〃上0+4W=18.

【分析】（1）根據(jù)題意，求出。、6,再根據(jù)結(jié)論解答即可求解；

（2）①根據(jù)題意，表示出，秒后點(diǎn)尸、。表示的數(shù)，再根據(jù)線段中點(diǎn)計(jì)算公式求解即可；

②根據(jù)線段中點(diǎn)計(jì)算公式分三種情況解答即可求解：

③根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出P。、AM,得至IJ〃小0+4W=（2m+4）f-12加-6,當(dāng)26+4=0時(shí)即可求出

常數(shù)加的值，進(jìn)而求出定值.

【詳解】解：（1）???〃與-:互為倒數(shù)，力與-7互為相反數(shù)，

???a=-5,6=7,

JZ?=|-5-7|=12；

線段48的中點(diǎn)表示的數(shù)為二^二1；

故答案為：12；1：

（2）①，秒后，點(diǎn)尸表示的數(shù)為-5-3/,點(diǎn)。表示的數(shù)為7-夕，

???點(diǎn)M是線段尸。的中點(diǎn)，

???點(diǎn)M表示的數(shù)是；=J,，，

故答案為：1-4，；

②當(dāng)點(diǎn)尸為4。中點(diǎn)時(shí)，則2（-5-3。=7-5-5,

解得"72,不合，舍去；

當(dāng)點(diǎn)A為P、。中點(diǎn)時(shí)，則2x（-5）=-5-3，+7-夕，

解得￡=1.5；

當(dāng)點(diǎn)。為P、力中點(diǎn)時(shí)，貝iJ2x（7-5/）=-5-3/-5,

解得1=124;

二運(yùn)動(dòng)時(shí)間Z的值為1.5或2日4；

③當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，P0=-5-3r-（7-5/）=2/-12,JM=-5-（l-4/）=4/-6,

tnPQ+AM=/n（2/-12）+4/-6=（2〃?+4"-12m-6,

當(dāng)2機(jī)+4=0時(shí)，

???m=-2,

此時(shí)，定值〃?尸。+力歷=-12X（—2）—6=18.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離計(jì)算公式，線段中點(diǎn)計(jì)算公式，掌握兩點(diǎn)間的距離計(jì)算公式和線

段中點(diǎn)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

1經(jīng)典例題三幾何圖形中運(yùn)動(dòng)的問題】

【例3】如圖1,已知線段4E=48cm,點(diǎn)8、C、。在線段40上，且力B:BC:CD:DE=1:2:1:2.

BCD

圖IW2

⑴BC=cm,CD=cm；

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿-C-O-E向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)：同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，以

lcm/s的速度沿E-O-C-8-4向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)也到達(dá)點(diǎn)E后立即以原速返回，直到點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A,

運(yùn)動(dòng)停止；設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/.

①求/為何值，線段MN的長為12cm；

②如圖2,現(xiàn)將線段力E折成一個(gè)長方形川弘力（點(diǎn)A、￡■重合），請(qǐng)問：是否存在某一時(shí)刻，以點(diǎn)A、8、

〃、N為頂點(diǎn)的四邊形面積與以點(diǎn)C、。、/、N為頂點(diǎn)的四邊形面積相等，若存在，求出，的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）16,8

（2）（Ct=12s或2O.v或36s：②存在，t=Ss

【分析】本題主要考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，線段等分點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算，列一元一次方程解決實(shí)際問題

等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是弄清運(yùn)動(dòng)的過程和畫出圖形.

（1）根據(jù)比值列方程或直接列乘積式求得結(jié)果：

（2）①分為相遇前，相遇后以及M點(diǎn)返回三種情形，通過線段圖列方程求得；②分為相遇前（點(diǎn)時(shí)在4C

上，N在4。I.）,此時(shí)CW=4N即可列出方程求得，當(dāng)M點(diǎn)返回時(shí)，點(diǎn)A/在力。卜.，點(diǎn)N在8CI'.,此時(shí)

AM=CN,列出方程求得,

【詳解】（1）解：8c=48x--=\6cm,CD=48x--=8cw,

1+2+1+21+2+1+2

故答案是：16,8；

48

（2）①當(dāng)"、N第一次相遇時(shí)，￡=幣=165,

48

當(dāng)M到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，/=—=245,

如圖1,

K<2/A12Y-/-A

A￡

ffll

當(dāng)0</<16時(shí)，2r+12+z=48,

???/=12,

如圖2,

當(dāng)12</<24時(shí)，21—12+1=48,

t=20,

如圖3,

當(dāng)24<f<48時(shí)，，=21-48+12,

:.7=36,

綜上所述：/=125或20s或36s；

②如圖4,

1114

當(dāng)0</<16時(shí)，

由4N=CW得，24—2/=1,

???Z=8,

如圖5,

B

ms

當(dāng)24gf<32時(shí),2-48=<-24,

.?"=24,此時(shí)不構(gòu)成四邊形，舍去

綜上所述：1=85.

Z變式訓(xùn)練

1.知識(shí)準(zhǔn)備:

如圖①，點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心的圓上，若點(diǎn)P用時(shí)5分鐘在圓上繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，此時(shí)點(diǎn)尸剛好

360度

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一個(gè)周角，即36（）度，則稱此時(shí)點(diǎn)尸繞點(diǎn)。的旋轉(zhuǎn)速度為:=72度/分鐘.

5分鐘

解決問題:

如圖②，4、8兩點(diǎn)相距60厘米，點(diǎn)O在線段/出上且力。=尸。=12厘米，角POB=90度，點(diǎn)?從點(diǎn)B

沿直線向點(diǎn)力勻速運(yùn)動(dòng).

（1）在:點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的同時(shí)點(diǎn)〃繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)第一次運(yùn)動(dòng)到直

線44上時(shí)恰好與點(diǎn)。相遇，求點(diǎn)Q的速度.

（2）若點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)。也以3座米/分鐘的速度向點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。仍然以45度/分鐘的速度繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動(dòng)到直線18上時(shí)恰好與點(diǎn)。相遇，求此時(shí)點(diǎn)。的速度.

（圖①）（圖②）

【答案】（1）18厘米/分鐘;（2）7厘米/分鐘

【分析】（1）根據(jù)題意可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由點(diǎn)P第一-次運(yùn)動(dòng)到直線⑷？上時(shí)恰好與點(diǎn)0相遇，即得

出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，再求出點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的距離，最后由速度=路程?時(shí)間求解即可；

（2）求出點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即得出點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而可求出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)距離，再

求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)距離，最后根據(jù)速度=路程+時(shí)間求解即可.

【詳解】解：（I）???NPO8=90。，點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，

90度

???點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：「二2分鐘.

45度/分鐘

???點(diǎn)P第一次運(yùn)動(dòng)到直線AB上時(shí)恰好與點(diǎn)Q相遇，

???點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2分鐘，且此時(shí)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的距離?為-力尸=60-24=36厘米，

點(diǎn)。的速度為萬=18厘米/分鐘;

(2)當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動(dòng)到直線力8上時(shí)，點(diǎn)P繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了27()。，

二此時(shí)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：L6分鐘.

45度/分鐘

???點(diǎn)。也以3厘米/分鐘的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，

???點(diǎn)O的路程為3x6=18厘米.

?.?點(diǎn)P第二次運(yùn)動(dòng)到直線AB上時(shí)恰好與點(diǎn)Q相遇，

二點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6分鐘，且此時(shí)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)的距離為48-18=42厘米，

???點(diǎn)。的速度為==7厘米/分鐘.

6

【點(diǎn)睛】本題考查線段上的動(dòng)點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和掌握速度=路程+時(shí)間.

2.如圖，N4O8的邊3上有一動(dòng)點(diǎn)P,從距離。點(diǎn)18cm的點(diǎn)M處出發(fā)，沿線段MO,射線08運(yùn)動(dòng)，

速度為3cm/s：動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線04運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,點(diǎn)尸、。同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是/

(s).

A

O

(1)當(dāng)點(diǎn)P在"。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，為何值，能使。。=。。？

(2)若點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到距離。點(diǎn)16cm的點(diǎn)N處停止，在點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng)前，點(diǎn)P能否追上點(diǎn)。？如果能，求出/

的值；如果不能，請(qǐng)說出理由：

(3)若P、。兩點(diǎn)不停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)戶、。均在射線08上，/為何值時(shí)，它們相距1cm.

【答案】(1"=3.6

(2)不能，見解析

(3)1=17或1=19

【分析】(1)根據(jù)題意可得。。=18-北。。=2人然后由。。=。?？傻藐P(guān)于/的方程，解方程即得答案：

(2)先計(jì)算點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng)時(shí)用的時(shí)間，然后求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程，再比較即得結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可得：|0?-。。|=1,由此構(gòu)建關(guān)于/的方程求解即可.

【詳解】(1)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是7(s)時(shí)，。尸=18—3八0。二2八

若0P=。。，M18-3/=2/,

解得：/=3.6；

(2)點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，用的時(shí)間為16+2=8秒，

此時(shí)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為3x8=24,24-18=606,

???點(diǎn)P不能追上點(diǎn)Q；

(3)當(dāng)P、。均在射線。5上，它們相距1cm時(shí)，

根據(jù)題意得：PQ=\0P-0Q\=\t

即伙—18—24=1,

解得：/=17或"19.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、善于動(dòng)中取靜、得到相關(guān)線段關(guān)于/的表達(dá)式是

解題的關(guān)鍵.

3.在直角三角形力8c中，48=8cm,AC=6cm,8C=10cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以2cm/s的速度沿力f87C

的方向移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C開始以Icm/s的速度沿Cf478的方向移動(dòng).如果點(diǎn)尸，。同時(shí)出發(fā)，用《s)表

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,請(qǐng)用含，的代數(shù)式表示(不用帶單位)：

①當(dāng)點(diǎn)。在力C上時(shí)，CQ=；

②當(dāng)點(diǎn)。在43上時(shí)，AQ=；

③當(dāng)點(diǎn)尸在45上時(shí)，BP=；

?當(dāng)點(diǎn)〃在上時(shí)，BP=；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在線段48上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段以上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。4=月?時(shí)，試求出f的值;

(3)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P,。兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)直接寫出當(dāng)力。=8P時(shí)的，值.

【答案】(l)f；-6；8-2z：2/-8

(2)2

,.14

(3"2或f=?

【分析?】(1)根據(jù)三角形的邊長，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度解答即可；

(2)根據(jù)題意列出方程，解方程即可；

(3)分點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段以上運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P在線段8c上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段以上運(yùn)動(dòng);

點(diǎn)P在線段8c上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段上運(yùn)動(dòng)三種情況列出方程，解方程即可.

【詳解】(1)①當(dāng)點(diǎn)。在4c上時(shí)，。。=￡;

②當(dāng)點(diǎn)。在力8上時(shí)，4。=-6；

③當(dāng)點(diǎn)P在48上時(shí)，BP=8-2f；

④當(dāng)點(diǎn)尸在8C上時(shí)，BP=Z-8；

(2)解：由題意得，6-t=2t?

解得f=2

(3)解：?“。=4P

???當(dāng)點(diǎn)尸在線段48上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

6T=8-2/,解得2=2；

當(dāng)點(diǎn)尸在線段4C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

14

6-r=2r-8,解得2=7；

當(dāng)點(diǎn)尸在線段4c上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段44上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

f-5=2-8,解得/=2(不合題意)；

14

綜上：，=2或￡=/時(shí)力。=8P.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的有關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握點(diǎn)在三角形的各邊上的運(yùn)動(dòng)情況.

41經(jīng)典例題四動(dòng)角有關(guān)計(jì)算問題】

【例4】附加題；如圖1,A,O,，二點(diǎn)在一條直線上，且4OC=24。，NBOD=78°,射線。W,CW分

別平分ZJOQ和N8OQ.如圖2,將射線。1以每秒8。的速度繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)將/COQ以每秒

6。的速度繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線06重合時(shí)，NC。。停止運(yùn)動(dòng).設(shè)射線Q4的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

DM

MD

MC

CN

BOABO

圖1圖2

(1)運(yùn)動(dòng)開始前,如圖1,NDON=°,Z.AOM=

(2)旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)t為何值時(shí)，射線0。平分NBOM?

(3)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻使得=42。？若存在，請(qǐng)求出/的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)39,51.

(2)；=5.4

⑶當(dāng)7=12或33時(shí)，NMON=42。.

【分析】本題主要考查一元一次方程的知識(shí)和角的有關(guān)計(jì)算，熟練根據(jù)角的關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的定義直接計(jì)算即可；

(2)根據(jù)=列方程求解即可：

(3)分情況討論，根據(jù)NMON=42。列方程求解即可.

【詳解】(1)解：

Z/1QD=180。-40。=102。，

,/射線OM,ON分別平分ZAOD和/BOD,

/.N4OM=-ZAOD=5l0,/DON=-/BOD=39°.

22

故答案為：39,51.

(2)解：：??,射線04以每秒8。的速度繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?周，同時(shí)將以每秒6。的速度繞點(diǎn)。逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，

/.N/0。=180°-78°+6r°-8/°=(102-2/)°,

射線OM平分2OD,

NDOM=-Z.AOD=(5\-t)0,

2

4600=(78-60。,

,-.51-/=78-6/,

解得：1=5.4.

故當(dāng)1=5.4時(shí)，射線OO平分N40M.

(3)存在某一時(shí)刻使得NMON=42。，理由如下：

①當(dāng)ON在03上方，此時(shí)有：ZDOM+ZDON=42°,

即：i(102-2/)°+^(78-6/)°=42°,

解得：￡=12；

②當(dāng)ON在OB下方，此時(shí)有：ZDOM_/DON二鏟,

即：-(102-20o--(6z-78)o=42D,

22

解得：/=12(不合題意，舍去)；

③當(dāng)NCO0停止運(yùn)動(dòng)，3繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，3總共旋轉(zhuǎn)264。時(shí)，NMON=42。，

r=264°4-8°=33.

綜上所述：當(dāng)/=12或33時(shí)，NMON=42。.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.已知一副三角板按圖1所示擺放，/4O8=NOCO=90。，ZOAB=45°,ZCOD=60°,將04、0C邊重

合在直線MN上，08、0。邊在直線時(shí)N的兩側(cè).保持△408不動(dòng).

(1)在圖1中，2BOD=；

⑵瘠△COD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則ABOC-ZAOD=；

(3)洛△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到邊OC平分時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)？

(4)洛△CO。繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)〃。(0。<〃<90。)時(shí)，直接寫出/80C與ZAOD的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)150。

(2)30°

(3)30°

(4)當(dāng)0。＜〃。工60。時(shí)，ZBOC-ZAOC=30°：當(dāng)60。＜〃°＜90。時(shí)，ZBOC+ZAOC=300

【分析】本題主要考查角之間的和差關(guān)系、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角的和差關(guān)系求解；

(2)將/80C-/40。變形為/4Q8—/COQ求解；

(3)設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為x。，0C平分時(shí)，ZBOC=ZCOD,據(jù)此列方程，即可求解；

(4)分0。＜〃。460。和60。＜〃。＜90。兩種情況，用含〃的式子表示出N4OC與N/iOO的度數(shù)，即可求解.

【詳解】(1)解：圖1中，ZBOD=ZAOB+ZCOD=900+60Q=\50°,

故答案為：150。；

(2)解：^BOC-AAOD=(ZBOC+ZCOA)-(AAOD+ACOA)=AAOB-ZCOD=90°-60°=30°,

故答案為:30。：

(3)解：OC平分N8OO時(shí)，ZBOC=ZCOD,

設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為x。，Z1BOC=ZAOB-ZLCOA=90°-x°,

；.90°-x°=60°,

解得工。二30。，

即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為30。；

(4)解:當(dāng)0。＜〃°〈60。時(shí)，ZBOC=90°-w°,ZAOD=60°-n°,

NBOC-ZAOC=90°-(60。-〃。)二30。；

當(dāng)60。＜〃。＜90°時(shí)，ZBOC=90°-n°,乙40。=〃。-60。，

4"+4農(nóng)=90。-廢+〃。-60。=30。；

綜上可知，當(dāng)0°＜〃°460°時(shí)，ABOC-ZAOC=30°：當(dāng)60。(，/＜90。時(shí)，N8OC+4OC=30。.

2.如圖，點(diǎn)。是宜線48上的一點(diǎn)，從點(diǎn)O引出一條射線OC,使乙100=60。，射線。4、同時(shí)繞點(diǎn)O

旋轉(zhuǎn).

備用圖

(1)若兩條射線04、04旋轉(zhuǎn)方向相反，在兩射線均旋轉(zhuǎn)一周之內(nèi)，射線。力、04同時(shí)與射線。C重合，則

射線OA與OB旋轉(zhuǎn)的速度之比為；

(2)若兩條射線04、04同時(shí)繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線O力每秒旋轉(zhuǎn)1。，射線05每秒旋轉(zhuǎn)5。，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間

為1秒，0</<180,當(dāng)ZAOC=4OC時(shí),求/的值.

【答案】(1)1:2或5:4

(2)45或50或110或135或170

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的計(jì)算，找到等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為x秒，分兩種情況：①射線CM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)；②射線CM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，根據(jù)射線。4與04旋轉(zhuǎn)的角度即可得出答案；

(2)分四種情況討論：①當(dāng)型即0<Y48時(shí)，②當(dāng)48<區(qū)60時(shí)，③當(dāng)60<即60cd72時(shí),

④當(dāng)72〈/<180時(shí)，根據(jù)4OC=/BOC即可得出答案.

【詳解】(1)解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為x秒，①射線04順時(shí)針旋轉(zhuǎn)、04逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，

Vx60

由題意得：箕()e二商,

.殳」

“囁2，

射線。力與。8旋轉(zhuǎn)的速度之比為1：2；

②射線OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、OB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),

匕360-60

由題意得：%180+60'

.殳=2

F4，

???射線。力與08旋轉(zhuǎn)的速度之比為5：4；

綜上，射線CM與04旋轉(zhuǎn)的速度之比為1：2或5：4,

故答案為：1：2或5：4：

740

(2)解：①當(dāng)0<f4亍即0<區(qū)48時(shí),

由題意得：60-/=240-5/,

解得：/=45；

②當(dāng)48VY60時(shí),

由題意得：5/-240=60-/,

解得：/=50：

③當(dāng)60々聾即60cM72時(shí),

由題意得:-60=5-240,

解得：，=45（不合題意，舍去）；

④當(dāng)72<f<180時(shí)，

由題意得：/-60=240-（5/-360）n￡r-60=（5r-360）-240n￡/-60=240-（5/-720）,

解得：￡=110或135或170；

綜上，/的值為45或5（）或110或135或170.

3.【問題驅(qū)動(dòng)】已知O是直線43上的點(diǎn)，NC8=9O。，OE平分Z8OC.

（1）如圖1,若4OC=44。，求的度數(shù)；

（2）如圖1,若乙4OC=a,則NQOE的度數(shù)為（用含有。的式子表示）不必說明理由；

【拓廣探索】

（3）將圖1中的NDOC繞頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究NOOE和/力OC度數(shù)之間的關(guān)系，寫

出你的結(jié)論，并說明理由.

（4）將圖1中的NDOC繞頂點(diǎn)（，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若N4OC=a,則1的

度數(shù)為（用含有。的式子表示），不必說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】（1）22°；（2）[a；（3）NQOE="OC,理由見解析；（4）180°-^a

222

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及角的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)以及角的

和差關(guān)系求角成為解題的關(guān)鍵.

（1）由已知可求出4OC=180。-4叱=180。-44。=136。，再由NCOQ=90。、OE平分N8O。求出

七的度數(shù)即可；

（2）由（1）得NDOE=；ZAOC,從而用含。的代數(shù)式表示出N0OE的度數(shù)即可；

（3）由4OC+400=404=180?？傻肗BOC=180。-44OC,再根據(jù)角平分線的定義以及角的和差關(guān)

系解答即可：

（4）根據(jù)角的和差關(guān)系以及角平分線的定義解答即可.

【詳解】解：（1）???乙4"+乙50c=408=180°,

???"OC=180。-4(9C=180。-44。=136。，

,：OE平令/BOC、

ZCOE=-ZBOC=68°,

2

又??NCO0=9O。，

/DOE=Z.COD-4cOE=90°-68。=22°；

(2)由(1)得，Z.DOE=Z.COD--Z.BOC,

2

ZDOE=90°-1(180°-Z.AOC),

ZDOE=-ZAOC=-a.

22

故答案為：ga;

(3)NDOE=；NAOC.理由如下:

???ZAOC+ZBOC=ZAOB=180°,

ZBOC=180°-Z4OC,

?；OE平分NBOC、

"COE=1Z.BOC=1(180°-ZJPC)=90°-1ZJOC,

又?.NCOQ=90。，

/DOE=/COD-NCOE=90。一；(90。一N/OC)=gZAOC,

：.NDOE=LNAOC；

2

(4),.OE平分N8OC,

￡COE△ZBOC=180°-ZJOC180°-?

=

222-

又?./CO。=90。,

ZDOE=ZCOD+Z.COE=90°+⑶)=180°--a.

22

故答案為：180°-ga.

【經(jīng)典例題五三角板中角度計(jì)算問題】

【例5】(1)將一副直角三角板月3C,力。E按如圖1所示位置擺放，/H4C=45。，N￡4Q=60。.分別作

NBAE,ZCAD的平分線AM,AN.試求NMAN的度數(shù).

(2)將三角板力。E從圖1位置開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，AM、4V仍然是N84E,ZCAD

的平分線.試求NM4N的度數(shù).

(3)將三角板4。石從圖1位置開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°(00<a<360。)，A