專題強化機械能守恒定律的應用功能關(guān)系的理解和應用

［學習目標］

1.能靈活應用機械能守恒定律的三種表達形式2會分析多個物體組成系統(tǒng)的機械能守恒問

題.3.知道常見的幾種功能關(guān)系，知道功是能量轉(zhuǎn)化的量度.

一、多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒問題

1.多個物體組成的系統(tǒng)，就單個物體而言，機械能一般不守恒，但就系統(tǒng)而言機械能往往是

守恒的.

2.關(guān)聯(lián)物體注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系.

3.機械能守恒定律表達式的選取技巧

⑴當研究對象為單個物體時，可優(yōu)先考慮應用表達式4+與尸氏十%或AEk=-AEp來求解.

(2)當研究對象為兩個物體阻成的系統(tǒng)時：

①若兩個物體的重力勢能都在減小(或增加),動能都在增加(或減小),可優(yōu)先考慮應用表達式

△反=一△再來求解.

②若A物體的機械能增加，8物體的機械能減少，可優(yōu)先考慮用表達式△&=—△坳來求解.

例?如圖1所示，斜面的傾角0=30。，另一邊與地面垂直，高為“，斜面頂點上有一定

滑輪，物塊A和區(qū)的質(zhì)量分別為初和機2,物塊A和4均可視為質(zhì)點，通過輕而柔軟的細繩

連接并跨過定滑輪.開始時兩物塊都位于與地面距離為夕/的位置上，拜放兩物塊后，A沿斜

面無摩擦地上滑，B沿斜面的豎直邊下落.若物塊A恰好能達到斜面的頂點，試求利和〃72的

比值.滑輪的質(zhì)量、半徑和摩擦以及空氣阻力均可忽略不計.

圖I

答案1：2

解析設(shè)8剛下落到地面時速度為由系統(tǒng)機械能守恒得：

HH\

30°=2(^I+/?2>2?

A以速度。上滑到頂點過程中機械能守恒，則：

?H

5〃?1。2=加*巧」11300,②

由①②得年=1：2.

機械能守恒定律的研究對象是幾個相互作用的物體組成的系統(tǒng)，經(jīng)常出現(xiàn)下面三種情況：

(1)系統(tǒng)內(nèi)兩個物體直接接觸或通過彈簧連接.這類連接體問題應注意各物體間不同能量形式

的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

(2)系統(tǒng)內(nèi)兩個物體通過輕繩連接.如果和外界不存在摩擦力做功等問題時，只有機械能在兩物

體之間相互轉(zhuǎn)移，兩物體組成的系統(tǒng)機械能守恒.解決此類問題的關(guān)鍵是在繩的方向上兩物體

速度大小相等.

(3)系統(tǒng)內(nèi)兩個物體通過輕桿連接.輕桿連接的兩物體繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，兩物體轉(zhuǎn)動的角速度

相等.

二、鏈條類物體的機械能守恒問題

鏈條類物體機械能守恒問題的解題關(guān)鍵是分析重心位置，進而確定物體重力勢能的變化，解

題要注意兩個問題：一是零勢能面的選??；二是鏈條的每一段重心的位置變化和重力勢能變化.

例?如圖2所示，總長為A的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過一個光滑的輕質(zhì)小滑輪，開始時下端A、

8相平齊，當略有擾動時其一端下落，則當鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為多大？

圖2

答案\號

解析方法一(取整個鐵鏈為研究對象)：

設(shè)整個鐵鏤的質(zhì)量為相，初始位置的重心在A點上方%處，末位置的重心與A點最初位置在

同一水平面上，則重力勢隹的減少量為：

由機械能守恒得：3，加2=〃火也，則

方法二(將鐵捱看做兩段)：

鐵鏈由初始狀態(tài)到剛離開滑輪時，等效于左側(cè)鐵鏈3"部分移到A4'位餐.

重力勢能減少量為

?廠1

△G=產(chǎn).2L

由機械能守恒得:

1i1L

于w-=E，W

則

三、利用機械能守恒定律分析多過程問題

例.(2019?啟東中學高一下學期期中)如圖3,光滑管狀軌道A8C由直軌道AB和圓弧形軌

道3c組成，二者在6處相切并平滑連接，。為圓心，0、A在同一條水平線上，OC豎直，

一直徑略小于圓管直徑的質(zhì)量為,〃的小球，用細線穿過管道與質(zhì)量為M的物塊連接，物塊

距離地面足夠高，將小球由A點靜止釋放，當小球運動到B處時細線斷裂，小球繼續(xù)運動.

O

已知弧形軌道的半徑為氏巧m,所對應的圓心角為53。，§桁53。=0.8,cos530=0.6,^=1(]m/s2.

(1)若M=5m,求小球運動到B處時的速度大?。?/p>

⑵若M=5m,求小球從C點拋出后下落高度h=lm時到C點的水平位移;

(3)M、滿足什么關(guān)系時，小球能夠運動到。點？

4當

-m>

答案(1)2市m/s2)3(3)M\

解析(1)小球從A到B:M、機系統(tǒng)機械能守恒

+m)v2=MGXAB~mgXAssin53°

在RlZ\O人B中，得加8=；7隹逅，解得0=2巾m/s;

uinDD

(2)小球從B到C,根據(jù)機械能守恒，有5加2=57饗c2+〃?gRI-cos53。)

小球離開C后做平拋運動，x=〃d

h=缶P

4

解得x=gm:

(3)小球從4到B：M、機組成的系統(tǒng)機械能守恒

y(M+HI)VB2=A/gXis—“Gussin53°

線斷后，小球從B到C,oc2O

由動能定理可得〃耳寵+卬尸展如總聯(lián)立以上兩式解得：1%=一亍咫凡即克服摩擦力做功￡

mgR,機械能減少；mgR,故B錯誤，D正確；根據(jù)動能定理知：W合=^mvn2=,故C

錯誤.

例?（多選）如圖5所示，木塊靜止在光滑水平桌面上，一子彈（可視為質(zhì)點）水平射入木塊

的深度為d時，子彈與木塊相對靜止，在子彈入射的過程中，木塊沿桌面移動的距離為X,

木塊對子彈的平均阻力為Ff,那么在這一過程中，下列說法正確的是（）

t>|t>

圖5

A.木塊的機械能增量為尸優(yōu)

B.子彈的機械能減少量為用.r+d）

C.系統(tǒng)的機械能減少量為Ffd

D.系統(tǒng)的機械能減少量為FG+d）

答案ABC

解析木塊機械能的增量等于子彈對木塊的作用力后做的功凡*A對；子彈機械能的減少

量等于動能的減少量，即子彈克服阻力做的功aa+d）,B對；系統(tǒng)減少的機械能等于產(chǎn)生

的內(nèi)能，也等于摩擦力乘以相對位移，AE=Ffd,C對，D錯.

I.（功能關(guān)系）（多選）（2018?白水中學高一下學期期末）如圖6所示，質(zhì)量為〃？的物體（可視為質(zhì)

點）以某一速度從4點沖上傾角為30。的固定斜面，其運動的加速度大小為米，此物體在斜面

上上升的最大而度為力，則在這個過程中物體（）

3

A.重力勢能增加了彳〃皿

B.克服摩擦力做功上〃皿

C.動能損失

D.機械能損失了

答案CD

3

解析這個過程中物體上升的高度為九則重力勢能增加了〃1"，故A錯誤；加速度。=全

=""sm；：+K,則摩擦力打="/咫，物體在斜面上能夠上升的最大高度為兒發(fā)生的便移為

2A,則克服摩擦力做功Wf=尸「2/1=%里皿=嚶,故B錯誤；由動能定理可知，動能損失量

33I1

為△&=產(chǎn)合?2/?=〃嚀卜2/?=彳"儂，故C正確；機械能的損失量為&E=FfX=3?ng?2h=1mgh,

故D正確.

2.（鏈條類機械能守恒問題）（2018?樹德中學期末）如圖7所示，一條長為￡的柔軟勻質(zhì)鏈條，開

始時靜止在光滑梯形平臺上，斜面上的鏈條長為為，己知重力加速度為g,L〈BC,ZBCE=

a，斜面上鏈條長為］。＞孫）時，鏈條的速度大小為.（用xo、x、L、g、a表示）

解析鏈條各部分和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，設(shè)捱條的總質(zhì)量為“，以AB面為零勢能

面，則

-m-1VzxC1n，v=-11mVlO.-.vcmzr

3.（系統(tǒng)機械能守恒的計算）（2018?正定中學期末考試）如圖8所示，質(zhì)最不計的硬直桿的兩端分

別固定質(zhì)量均為m的小球A和B,它們可以繞光滑軸O在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動.已知04=208

=21,將桿從水平位置由靜止釋放.（重力加速度為8）

（1）在桿轉(zhuǎn)動到豎直位置時,小球A、8的速度大小分別為多少？

（2）在桿轉(zhuǎn)動到豎直位置的過程中，桿對4球做了多少功？

（3）在桿剛轉(zhuǎn)到豎直位置的瞬間，桿對8球的作用力為多大？是推力還是拉力？

答案（1袒零（2）一|〃儂⑶|/咫推力

解析(1)小球A和8及桿組成的系統(tǒng)機械能守恒.設(shè)轉(zhuǎn)到豎直位置的瞬間A、8的速率分別為

VAYVB,桿旋轉(zhuǎn)的角速度為刃，有+』加『

VA=2lct)fVB=kt)

底二的俎2Vw

聯(lián)工斛得VB=5，Va=5

(2)對A球，由動能定理得mg-2l+卬=品，/

聯(lián)立解得卬=一昴/

(3)在桿剛轉(zhuǎn)到豎直位置的瞬間，設(shè)桿對8球有向下的拉力￡根據(jù)向心力公式有

Df1-3

mg+F=nr-j-,解得F=一

負號表示桿對8球的作用力方向與假設(shè)方向相反，即向上，所以對B球的作用力為推力.

4.(系統(tǒng)機械能守恒的計算)(2018?許昌市高一下學期期末)如圖9所示，一輕質(zhì)豎直彈簧，下端

與地面相連，上端與質(zhì)量為〃，的物體A相連.彈簧的勁度系數(shù)為七A處于靜止狀態(tài)，此時彈

簧的彈性勢能為一條不可伸長的輕繩繞過定滑輪，一端連接物體A,另一端連一輕質(zhì)掛鉤.

開始時各段繩子都處于伸直狀態(tài),4上方的一段繩子沿豎直方向.現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為M的

物體B并從靜止狀態(tài)釋放則當彈簧向上變?yōu)樵L時，物體人和8的速度大小分別為多少？(己

知重力加速度為g)

圖9

答案均為寸鵬麒一孫

解析沒有掛物體8時，設(shè)彈簧的壓縮量為x,

對A,有：mg=kx

掛上物體8后，彈簧向上變?yōu)樵L時，物體人和B的速度大小一樣，設(shè)為。，從開始運動到

彈簧變?yōu)樵L的過程中，把A、B和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，有：

Ep=^(m+\f)v2+mgx—M^x

杷戶c/2伙Ep+m鏟(M-〃?)]

解付…=、/一童而一

一、選擇題

1.（多選）（2018?南京外國語學校期末）如圖1所示，將一個內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的

水平面上，槽的左側(cè)有?固定的豎直墻壁（不與槽粘連）.現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點的正上方

由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內(nèi)，則下列說法正確的是（）

圖1

A.小球在半圓形槽內(nèi)運動的全過程中，只有重力對它做功

B.小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒

C.小球從八點經(jīng)最低點向右側(cè)最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統(tǒng)機械能守恒

D.小球從下落到從右側(cè)離開半圓形槽的過程中，機械能守恒

答案BC

2.（多選）如圖2所示，光滑細桿A&AC在4點連接，/W豎直放置，4c水平放置，兩相同

的中心有孔的小球M、N,分別套在和AC上，并用一不可伸長的細繩相連，細繩怡好被

拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、M在N球碰到4點前的運動過程中，下列說法中正確的是（）

圖2

A.M球的機械能守恒

B.M球的機械能減小

C.M和N組成的系統(tǒng)的機械能守恒

D.繩的拉力對N做負功

答案BC

解析因"下落的過程中細繩的拉力對用球做負功，對N球做正功，故M球的機械能喊小，

N球的機械能增加，但M和N組成的系統(tǒng)的機械能守恒，B、C正確，A、D錯誤.

3.（多選）（2019?濟南市高一下期中）如圖3所示,3和5兩個小球固定在一根輕桿的兩端，〃s

>mA,此桿可繞穿過其中心的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動.現(xiàn)使輕桿從水平位置無初速度移放，

發(fā)現(xiàn)桿繞O沿順時針方向轉(zhuǎn)動，則桿從釋放至轉(zhuǎn)動90。的過程中（）

圖3

A.B球的動能增加，機械能增加

B.A球的重力勢能和動能媽加

C.A球的重力勢能和動能的增加量等于B球的里力勢能的減少量

D.A球和B球的總機械能守恒

答案BD

解析A球運動的速度增大，高度增大，所以動能和重力勢能都增大，故A球的機械能增加；

8球運動的速度增大，所以動能增大，高度減小，所以重力勢能減?。簩τ趦汕蚪M成的系統(tǒng)，

只有重力做功，系統(tǒng)的機楨,能守恒，因為4球的機械能增加，故3球的機械能減少，故A球

的重力勢能和動能的增加量與8球的動能的增加量之和等于8球的重力勢能的減少量，故A、

C錯誤，B、D正確.

4.（多選）（2018?廈門市高一下學期期末）如圖4所示，質(zhì)量為M的木塊放在光滑的水平面上，

質(zhì)量為m的子彈（可視為質(zhì)點）以速度。0沿水平方向射入木塊，并最終留在木塊中與木塊一起

以速度。運動.若子彈相對木塊靜止時，木塊前進距離為/，子彈進入木塊的深度為d,木塊

對了彈的阻力R視為恒定，則下列關(guān)系式中正確的是（）

圖4

A.Ffl=^Mv2

B.Ffd=；M。？

C.Ffd-T（M+"I）/

D.Ff（/+d）=%?如2~^inv2

答案ACD

解析畫出運動過程示意圖，從圖中不難看出，當木塊前?進距離為/,子彈進入木塊的深度

為d時，子彈相對于地面發(fā)生的位移為/+d.由牛頓第三定律知，子彈對木塊的作用力大小也

為Ff.

子彈對木塊的作用力對木塊做正功，由動能定理得

斗仁/也?①

木塊對子彈的作用力對子彈做負功，由動能定理得

—Fr（/+d）=%療一%?o（）2②

由①②得斤〃=%”研）2—；（/?+機）方

所以，選項A、C、D正確.

5.如圖5所示為低空跳傘表演，假設(shè)質(zhì)量為〃?的跳傘運動員，由靜止開始下落，在打尸傘之

前受恒定阻力作用，下落的加速度媒g,在運動員下落，的過程中，下列說法正確的是（）

圖5

4

A.運動員的重力勢能減少「與"7gh

4

B.運動員的動能增加了尹與

4

c運動員克服阻力所做的功為力

4

D.運動員的機械能減少了wmgh

答案B

解析在運動員下落〃的過程中，重力勢能減少了"吆力，故A錯誤；根據(jù)牛頓第二定律得，

444

/合=〃心=5"吆，則根據(jù)動能定理得，合力做功為W臺=/合/?=§〃吆力，則動能增加了甲?皿，

故B正確；合力做功等于重力做功與阻■力做功的代數(shù)和，因為重力做功為〃用力，則運動員克

14

服阻力所做的功為5〃吆兒故c錯誤；重力勢能減少了〃田〃，動能增加了亍?田〃，故運動員機

械能減少了某兒故D錯誤.

6.（多選）某運動員采用蹲踞式起跑，在發(fā)令槍響后，左腳迅速蹬離起跑器，在向前加速的同時

提升身體重心.如圖6所示，假設(shè)該運動員的質(zhì)量為機，在起跑時前進的距離$內(nèi)，重心升高

量為力，獲得的速度為以重力加速度為g，則此過程中（）

圖6

A.運動員克服重力做功WG=mgh

B.運動員的機械能增加了全加2

c.運動員的機械能增加了;〃

D.運動員對自身做功W=^nv2-^mgh

答案ACD

解析運動員在此過程中重心升高量為/?,獲得的速度為〃故重力勢能增加〃?0，動能增加

1/w2,則機械能增加%加+，咫兒A、C正確，B錯誤；運動員對自身做的功等于其機械能的

增加量，D正確.

7.如圖7所示，一根很長且不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑輕質(zhì)定滑輪，輕繩兩端各系一小球。

和〃，〃球質(zhì)量為〃?，靜置于地面；力球質(zhì)量為3〃?，用手托住，離地面高度為〃，此時輕繩剛

好拉緊，從靜止開始釋放人后,。能達到的最大高度為S球落地后不反彈,不計空氣阻力）（）

圖7

A.hB.1.5/Z

C.2/?D.2.5/Z

答案B

解析釋放/?后，在力到達地面之前，。向上加速運動，/?向下加速運動，4、/?組成的系統(tǒng)

機械能守恒，設(shè)/?落地瞬間速度為。，取地面所在平面為參考平面，則3〃?g/?=〃?&/?+%/+；

（3〃?）公，可得。=4還；〃落地后，。向上以速度。做豎直上拋運動，能夠繼續(xù)上升的高度力'

2I

=袤=/所以a能達到的最大高度為〃=/?+/?'=1.5/2,B正確.

8.（2018?荊州中學期末）如圖8所示，物體A、8通過細繩及輕質(zhì)彈簧連接在光滑輕質(zhì)定滑輪兩

側(cè)，物體A、3的質(zhì)量都為,〃.開始時細繩伸直，用手札著物體A使彈簧處于原K且A與地而

的距離為人物體8靜止在地面上.放手后物體人下落，與地面即將接觸時速度大小為0,此

時物體B對地面恰好無壓力，不計空氣阻力，重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

X/Z/ZZZZZZ

A.彈簧的勁度系數(shù)為貸

B.此時彈簧的彈性勢能等于rngh^mv2

C.此時物體B的速度大小也為P

D.此時物體A的加速度大小為g,方向豎直向上

答案A

解析由題意可知，此時彈簧所受的拉力大小等于物體8的重力，即尸=,咫，彈黃伸長的長

度為x=h,由F=lcx得k=管,故A正確；A與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則有mgh=^mv2

+廊，則彈簧的彈性勢能昂=/咫力一/加，故B錯誤；物體8對地面恰好無壓力時，E的速

度為零，故C錯誤；對A,根據(jù)牛頓第二定律有/一〃悔=〃孫又尸=〃吆，得。=0,故D錯誤.

9.（多選）（2018?平頂山市高一下學期期末）如圖9所示，繃緊的水平傳送帶始終以恒定速率Pi

=2m/s順時針運行，質(zhì)量m=2.0kg的小物塊從與傳送帶等高的光滑水平地面上的小處以

初速度也=4m/s向左滑上傳送帶，若傳送帶足夠長，已知物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為

0.4,^=10m/s2,下列判斷正確的是（）

也上

V7XA

W.....

圖9

A.物塊離開傳送帶時的速度大小為2m/s

B.物塊離開傳送帶時的速度大小為4m/s

C.摩擦力對物塊做的功為一12J

D.系統(tǒng)共增加了12J的內(nèi)能

答案AC

解析小物塊先向左做勻減速直線運動，然后小物塊向右做勻加速運動，當速度增加到與傳

送帶速度相同時，以2m/s向右做勻速運動，故A正確，B錯誤；根據(jù)動能定理，摩擦力對

物塊做的功等于物塊動能的減少量：W=^n（V]2—V22）=^'X2.0X（22—42）J=-12J,故C正

確；小物塊先向左做勻減速直線運動，加速度大小為”=〃g=4m/s2,物塊與傳送帶間的相對

位移為：切=不7Tm+2X—^—m=4m,小物塊向右做勻加速運動時物塊與傳送帶間的相

2X44

2—02~10

對位移為：X2==j-X2:n—ox4m=0.5m,故系統(tǒng)增加的熱量為：Q=〃〃?g（xi+也）=

0.4X2.0X10X（44-0.5）J=36J,故D錯誤.

10.（多選）（2018.高郵中學高一下學期期末）如圖10所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的四分之

一圓弧軌道BC,與豎直軌道4B和水平軌道。。相切，軌道均光滑.現(xiàn)有長也為R的輕桿，兩

端固定質(zhì)量均為〃？的相同小球。、仇可視為質(zhì)點），用某裝置控制住小球。，使輕桿豎直且小

球〃與4點等高，然后由靜止釋放，桿將沿軌道下滑.設(shè)小球始終與軌道接觸，重力加速度為

各則（）

Aa

B2

圖10

A.下滑過程中。球和b球組成的系統(tǒng)機械能守恒

B.下滑過程中a球機械能守恒

C.小球。滑過C點后，。球速度為2病

D.從釋放至。球滑過C點的過程中，輕桿對b球做功為多咫R

答案AD

11.（拓展提升）（多選）（2。1&天津三中期末考試）如圖11所示,將質(zhì)量為2根的重物懸掛在輕繩

的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為小的環(huán)，環(huán)套在鞋直固定的光滑直桿上，光滑的輕質(zhì)定滑

輪與直桿的距離為d,桿上的A點與定滑輪等高，桿上的B點在A點下方距離為d處.現(xiàn)將環(huán)

從A點由靜止釋放，不計一切摩擦阻力，下列說法正確的是（）

圖11

A.環(huán)到達B點時，重物上升的高度為苧

B.環(huán)到達3點時，環(huán)與重物的速度大小相等

C.環(huán)從A到B,環(huán)減少的機械能等于重物增加的機械能

D.環(huán)能下降的最大高度為*/

答案CD

解析環(huán)到達8點時，重物上升的高度力=陋4-4=（小一l）d,A錯誤；環(huán)到達B點時，環(huán)

沿繩方向的分速度與重物速度大小相等，故環(huán)的速度大亍重物的速度，B錯誤；因為環(huán)與重

物組成的系統(tǒng)機械能守恒，所以環(huán)減少的機械能等于重物增加的機械能，C正確：設(shè)環(huán)能下

降的最大高度為H,此時環(huán)與重物的速度均為零，重物二升的高度為11'=卡戶不孑一d,由

機械能守恒定律，得機妙/=2〃?g(聽不了一力，解得”=*/,D正確