專題3?4立體幾何體中的截面問題（?？碱}型梳理）

|知識(shí)點(diǎn)?梳理］

一、如何做截面？

作出過EFG三點(diǎn)的截面

法一：作平行線并標(biāo)出棱上的交點(diǎn)

法二：作延長(zhǎng)線并標(biāo)出棱上的交點(diǎn)

Di「Di「

//I/,

G：.....一￥11/

汽、/

t1t//

/i\//

￡1ZFr

AFBAFr'B

二、如何確定截面是否已經(jīng)“搞定”?

①題目所要求的點(diǎn)是否都用上？

②你所畫的線是否圍成了一個(gè)封閉圖形？

③這個(gè)封閉圖形的邊是否都在幾何體的表面（不能在幾何體內(nèi)部）？

重點(diǎn)題型?歸類精講

題里o作截面

類型1:三個(gè)點(diǎn)在棱上

1.作出過EFG三點(diǎn)的截面

【答案】（1）作平行線即可

(2)第一步：延長(zhǎng)GF和BC,交于點(diǎn)H,可知H點(diǎn)為底面和右側(cè)面的點(diǎn);

第三步：連接FK,交CG與點(diǎn)K,此時(shí)截面為GFKE,GE這條線沒有在正方體表面上，所以

還需要繼續(xù)補(bǔ)全截面，在左側(cè)面過點(diǎn)G作EK的平行線GM,故截面為GFKEM

B

B

B

3.如圖①，正方體48。。一入8￡2的棱長(zhǎng)為2,〃為線段BC的中點(diǎn)，Q為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A、P、

Q的平面截該正方體所得的截面記為S,若1<CQ<2,請(qǐng)?jiān)趫D中作出截面S（保留尺規(guī)作圖痕跡）;

G

【解析】延長(zhǎng)。。交A產(chǎn)延長(zhǎng)線尸點(diǎn)MDC=CE,延長(zhǎng)石。文2GF點(diǎn)產(chǎn)

延長(zhǎng)用G交P。延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接G/,并延長(zhǎng)交A"于點(diǎn)，，連接A”

此時(shí)五邊形APQFH就是截面S

4.如圖，已知正方體A8CO—A4GR,點(diǎn)E為棱CC,的中點(diǎn)，在圖中作出平面BED.截正方體所得的截面

圖形（如需用到其它點(diǎn)，需用字母標(biāo)記并說明位置），并說明理由.

【解答】如圖取片兒的中點(diǎn)連接8M、M。，則M8皿為平面極正方體所得的橫面,

證明：取力〃的中點(diǎn)N,連接N￡.AN,因?yàn)槭癁槔獾闹悬c(diǎn)

所以AB//CD且AB=CD,NEHCD旦NE=CD,

所以AS//NE且AB=NE,

所以四邊形48EN為平行四邊形，

所以ANHBE,

又AMIIND.且AM=ND、,

所以四邊形4NRM為平行四邊形，

所以4V//RM,

所以MR〃BE,即8、E、D、、M四點(diǎn)共面，即M用犯為平面8ER極正方體所得的截面：

類型二：兩個(gè)點(diǎn)在棱上，一個(gè)點(diǎn)在面上

5.已知G是底面ABCD上一點(diǎn)，E,F為棱上的點(diǎn)，作出過EFG三點(diǎn)的截面

【答案】

A

B

Dj

S補(bǔ)全截面再判斷位置關(guān)系

武漢調(diào)研&浙江杭州二模

6.（多選）如圖，點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，滿

足直線MN〃平面ABC的是（）

ABcD

【答案】ABC

【解答】解：選項(xiàng)A,如圖所示，點(diǎn)￡,“為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，則何N〃七尸〃AC,

???MNC平面ABC,AC?平面ABC,

???MN〃平面A8C,即選項(xiàng)A正確；

N

選項(xiàng)8,如圖所示，。為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則AC〃M。，BC//ND,

?：ACQBC=C,MDCND=D,AC.BCu平面ABC,MD、NDu平面DMN,

???平面ABC〃平面DMN,

又MNu平面DMN,

???WN〃平面ABC,即選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,如圖所示，G為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則平面ABC〃平面GMN,

,，WNu平面GMN,

???MN〃平面4BC,即選項(xiàng)。正確；

選項(xiàng)。，連接CM則AB〃GV,

???A,B,C,N四點(diǎn)共面,

???MNn平面A8C=N,與MN〃平面人8c相矛盾，即選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

2023?溫州模擬

7.下列正方體中，A,8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,。分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿足A5〃平面MNP

R

【答案】C

【分析】由4B與平面MNP相交，判斷A;由結(jié)合E不在平面NGFMPH判斷B；由線面平行

的判定判斷C：由中位線定理判斷D.

【詳解】對(duì)于A：連接M氏NC,由圖可知,A8與平而MNP相交，故不滿足人8//平面MVP,故A錯(cuò)誤:

P

B

G,H,F,E分別是所在棱的中點(diǎn)，連接NH,NG,GF,FM,EM

則平面MNP和平面NGFMPH為同一平面，因?yàn)?5〃,

因?yàn)镋M與平面NGFMP/7相交，所以不滿足A8//平面MNP,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C:連接AO.丈MN與點(diǎn)、0,連接P0,因?yàn)?,。分別為中點(diǎn),

所以PO//AB,由線面平行的判定定理可知，ABU平面MNP,故C正確；

對(duì)干D：DEE分別是所在棱的中點(diǎn)，邇接DN,NF,FM,ME,PE,DP,AC,

平面DNFMEP與平面MNP為同一平面，

取AC的中點(diǎn)為。，連接MO,由中位線定理可知，AR//MO,

因?yàn)镸O與平面MNP相交，所以不滿足AB"平面MNP,故D錯(cuò)誤；

題I型S確定截面形狀

8.在正方體A8C。-AMGR中，和￡2的中點(diǎn)分別為M，N.如圖，若以A,M,N所確定的平

面將正方體械為兩個(gè)部分，則所得截面的形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【解答】解：在一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體人BC。-4線G。中，8片和G2的中點(diǎn)分別為例，N,

如圖，截面與4G交于點(diǎn)石，且點(diǎn)￡不會(huì)為打或6點(diǎn)，

截面與￡>q交于尸點(diǎn)，且點(diǎn)尸不會(huì)為?；騫點(diǎn)，

.??截面有AM，ME，EV，NF,E共計(jì)5條邊，

???過A,M，N三點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為五邊形AMENF.

故選：13.

9.如圖，在正方體A5CO-中，AB=2,E為棱AC的中點(diǎn)，尸為棱4馬上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,E,

F作該正方體的截面，則該截面不可能是（）

等腰梯形C.五邊形D.六邊形

【解答】解：當(dāng)4/=0,即尸與A重合時(shí)，如圖1,取用c的中點(diǎn)，截面為矩形AEGA：

當(dāng)O〈AA,1時(shí)，如圖2,截面為平行四邊形AEGF；

當(dāng)1＜人尸＜2時(shí)，如圖3,截面為五邊形

當(dāng)A尸二2,即尸與2重合時(shí)，如圖4,截面為等腰梯形AEG「

2023?重慶巴蜀中學(xué)高三?？?/p>

10.（多選）已知截面定義：用-一個(gè)平面去截一?個(gè)幾何體，得到的平面圖形（包含圖形內(nèi)部）稱為這個(gè)幾

何體的一個(gè)截面.則下列關(guān)于正方體截面的說法，正確的是（）

A.截面圖形可以是七邊形

B.若正方體的截面為三角形，則只能為銳角三角形

C.當(dāng)截面是五邊形時(shí)，截面可以是正五邊形

D.當(dāng)截面是梯形時(shí)，截面不可能為直角梯形

【答案】BD

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷A、C,畫出圖形設(shè)=BD=y,CD=z,利用余弦定理求出cosA、

cos8、cosC,即可判斷B,利用反證法說明D.

【詳解】對(duì)于A：平面最多和正方沐的六個(gè)面都相交，所以最多6條交線，所以形成的多邊形最多為六邊形，

所以橫,面圖形一定不是七邊形，故A錮誤；

AB2=x2+y2

對(duì)于B：設(shè)AO=x,BD=y,CD=z,由勾股定理得（8C?=z?+9，

AC2=x2+z2

2x2

所以cos/84。=>0,

2ACAB2ACAB

2BCAB28cA4

2ACBC2BCAC

所以角㈤4c/48C,24C8均為銳角，所以為銳角三角形，故B正確；

對(duì)于C:正方體3組對(duì)面相互平行，由面面平行的性質(zhì)定理可知，五邊形中有兩組對(duì)邊平行，

所以假面五邊形不可能為正五邊形，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：極面EHGF分另4交楂、4。于點(diǎn)G、，，假設(shè)四邊形EHGF為直角梯形，（EF//GH）,則EHLHG,

又因?yàn)锳A_!_46且八4、EH共面,所以或MC=P,

當(dāng)AA,HEH時(shí)，因?yàn)锳4u面AA.FG,切g(shù)面AA.FG,則EHI/面AA.FG,

又面MFGc面EFGH=FG,所以EH//FG.又因?yàn)镋F//GH,

所以四邊形為平行四邊形，與假設(shè)矛盾，

當(dāng)AAnE〃=P,因?yàn)锳A_L〃G、E”_L”G且4ApEH=P,A4,,E“u面人尸”，

所以HG工平面APH,即”G_L平面明。。，又因?yàn)槠矫鍹。。，

所以A8//G”，與A3cG〃=G矛盾，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤：

2024屆雅禮中學(xué)月考（二）

11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-4用GQ中，點(diǎn)”，N分別為棱耳G，8上的動(dòng)點(diǎn)（包含端

點(diǎn)），

當(dāng)M,N分別為棱耳G，CD的中點(diǎn)時(shí)?，則過A,M,N三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為邊形

【答案】五

如圖2,取8。中點(diǎn)M',連接有MM11BBJ/AA、,且用M'=B片=人4，

則四邊形AAMAT是平行四邊形，有AM"幽M,過N作AW的平行線交AO于點(diǎn)E,

此時(shí)?！陝tEN/M.M,即EN為過A,M,N三點(diǎn)的平面與平面AAC。的交線,

連接AE,在BC上取點(diǎn)尸，4更得CF=-CB,同證AM"4M的方法得AE//4尸，

4

在棱CG上取點(diǎn)G,使CG=；CC|,連接A/G并延長(zhǎng)交直線8C于〃，?'JCH=1c,M=CF,

即FH=C1M=B1M,而FH//BM,于是四邊形"知用是平行四邊形，

有MG"B\F"AE,則MG為過A,M、N三點(diǎn)的平面與平面BCC；耳的交線，

連接NG,則可得五邊形AMGNE即為正方體中過A,M,N三點(diǎn)的極面，D正確.

12.如圖正方體4BCO-A4GA，棱長(zhǎng)為1，P為BC中點(diǎn)，Q為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過A、P、Q的平面截該

正方體所得的截面記為C.若=，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)％G（O,￡j時(shí)，C為四邊形B.當(dāng)4=3時(shí)，C為等腰梯形

C.當(dāng)時(shí)，C為六邊形D.當(dāng)2=1時(shí)，。的面積為直

【答案】C

【解析】當(dāng)0<4vg時(shí)，如下圖1,Q是四邊形，故A正確：

當(dāng)2=（時(shí)，如下圖2,C為等腰悌形，B正確：

3

當(dāng)二</1<1時(shí)，如下圖3,。是五邊形，C錯(cuò)誤：

4

當(dāng)2=1時(shí)，。與G重合，取4a的中點(diǎn)尸，連接4尸，如下圖4,由正方體的性質(zhì)易得尸CJ/BW//A/，且

PC}=AF,截面。為APC/為菱形，其面積為:AG//二半，D正確.

故選：C

AB

圖3

圓截面周長(zhǎng)，面積相關(guān)計(jì)算

13.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A4GA中，點(diǎn)E/分別是棱用8,"G的中點(diǎn)，點(diǎn)G

是棱G。中點(diǎn)，則過線段AG且平行于平面AE尸的截面的面積為.

9

【答案】8,

【解答】解：取8c的中點(diǎn)凡作如圖連接,

易證平面AHGDi〃平面A]EF,

等腰梯形AHGD|的上下底分別為冷，啦，

小3yf29

腰長(zhǎng)為2,求得梯形的高為4，進(jìn)而求得梯形面枳為以

14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—AiBiQDi中，E是棱CQ的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)AQ,七的

截面面積等于（）

l3訴9

A.3^2B.2C.2D.3

【答案】C

【分析】畫出截,而圖形，利用已知條件，樣化求解假面面積即可.

【解答】解：取BC的中點(diǎn)F,連接EF,AF,則EF〃人。1,所以平面4回石尸為所求截面，

EF=pADi=2//尸=#22+12=4,所以梯形的高為:

2啦+啦3^29

過三點(diǎn)石的截面面積：2x2=2?

15.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體/WC。-48cB中，M,N分別為棱AB,BC的中點(diǎn)，過C,M,N三

點(diǎn)作正方體的截面，則以8點(diǎn)為頂點(diǎn)，以該截面為底面的棱錐的體積為（）

【解答】解：取人區(qū)的中點(diǎn)Q,連接MQ.GQ,可得四邊形CGQM為平行四邊形，

則GQ//CM,取用Q的中點(diǎn)尸，連接NP,可得NP//GQ,

則NP//CM,即四邊形MCNQ為過C,M,N三點(diǎn)的截而截止方體所得圖形，

???三方體棱長(zhǎng)為4,

???所求體積展匕…+匕^^=衿,力汽4+-S^c-B,B=|x|x2x4x2+-x-x4x2x4=8.

16.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體A8CO—W&C7y中，點(diǎn)E、F、G分別是棱A宣、BC、CQ的中點(diǎn),

則由點(diǎn)E、F、G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于.

DGC

【答案】孚

【解析】因?yàn)镋、/分別為A9、XC的中點(diǎn)，則瓦7〃VC且x2=1,

因?yàn)锳47/CC且AA'=CC',所以，四邊形AA'CC為平行四邊形，所以，AfC//AC,

所以，EF//AC,設(shè)平面EFG交枝40于點(diǎn)，，

因?yàn)槠矫鍭BCD//平面，平面EFGc平面AB'C'D'=EF,

平面EFGc平面ABCD=GH,所以，EF/IGH,則GHHAC,

因?yàn)镚為。。的中點(diǎn)，所以，〃為40的中點(diǎn)，

設(shè)直線防分別交。4、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P、Q,連接交棱AA于點(diǎn)

連接如交棱CC于點(diǎn)N,連接E/W、FN,則散面為六邊形EFNGHM,

A'PA'E,

因?yàn)锳7V/CB,則...-...=1,

B'FB'E

所以，A:P=B'F=-B'C=-A!D'=-AD=AH,

222

AMAH

因?yàn)锳"http://AP,則「一二丁=1,所以，AM=AM則M為AA的中點(diǎn)，

AMAPf

同理可知，N為CC'的中點(diǎn)，易知六邊形EFNGHM是邊長(zhǎng)為EF=1的正六邊形,

所以，板面面積為6xJxfxsin6。=6x=8='叵.

242

17.如圖，在正方人區(qū)。。一4869中，/13=2,￡￡夕,知,"分別是人仇。0,?！?4),。。的中

點(diǎn)，存在過點(diǎn)E,F的平面〃與平面尸MN平行，平面a截該正方體得到的截面面積為

D,G

【答案】3x/3

分別取C]0工10A41的中點(diǎn)”，K,1,連接HF,HK,KI、3,

可證平面EGF/7K/〃平面PMN,則存在過點(diǎn)E,尸的平面a與平面PMN平行,

六邊形EGFHKT是平面a截該正方體得到的截面，

龍廠「

極面的面積是6x4x（也）2=3小，故C正確；

球的截面計(jì)算

計(jì)算球截面基本規(guī)律

1.確定球心和半徑

2.尋找做出并計(jì)算截而與球心的距離

3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中點(diǎn)”這個(gè)性質(zhì)

4.強(qiáng)調(diào)弦的中點(diǎn)，不一定是幾何體線段的中點(diǎn)。

18.（2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在樓長(zhǎng)為1的正方體4BCD-48￡僅中，M,N

分別為棱A。，DR的中點(diǎn)，過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（）

A.iB-7D-I

【答案】C

【解析】如圖,

正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)0處，球的半徑R=1>/12+12+12=立,

22

要使過MN的平面極該球得到的極面面積最小，則截面圓的圓心為線段MN的中點(diǎn)Q,

連接OM.ON,則OM=ON=MN=g

2

Y_V6

所以O(shè)Q=JOM2—（；MN

；-4,

此時(shí)截面圓的半徑r=y1R'-OQ2=>/6

3

此時(shí)，截面面積的最小值S=兀產(chǎn)=-71.

8

19.已知某球的體積為丁，該球的某截面圓的面積為3%則球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為（）

A.1B.3C.2+x/3D.|

【答案】B

【解析】設(shè)橫面圓的半徑為廣，球0的半徑為R球心到截面的距離為d,

則r+d2=R2,

因?yàn)榍虻捏w積為亞=如/?\

33

所以R=2,

因?yàn)榻孛鎴A的面積為3n，

所以3兀=兀/,鼠r=6,

所以d=l,

所以球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為d+R=3,

故最大距離為3.

20.已知正方體ABC。-44GR的棱長(zhǎng)為2,E為棱CG上的一點(diǎn)，且滿足平面平面A8O,則平面

A/Q截四面體A8CE的外接球所得截面的面積為（）

132589

A.—江B.C.一乃D.—7T

61233

【答案】A

【解析】在正方體ABC?！?80也中，設(shè)平面8OEC平面ACG=OE,且AC；_L平面43。，

由平面3￡）E_L平面AB。，可得ACJ/OE,所以E是CG的中點(diǎn)，

._________3

又四面體ABCE的外接球的直徑為AE=A/AC2+CE2=3,可得半徑R=j,

設(shè)M是4E的中點(diǎn)即球心，球心M到平面A的距離為d,

文設(shè)AC與5￡）的交點(diǎn)為O,0']OA=,則sinNAOA/=cosNA。！=,

則（1=OMsinZAOM=—x—=—,則截而圓的半徑/=R?-d2=7-77=T^=~7?

、236412126

、13

所以截面圓的面積為nr:=—7t.

故選：A

21.如圖，正方體ABC。-Age.,中，反尸分別是棱/W、BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。|、瓦產(chǎn)的截面將正方體分割

成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為憶匕，記V＜匕，則匕：匕=.

【答案】石

【解析】延長(zhǎng)E產(chǎn)交QC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)連接。/交CG于點(diǎn)G,連接死：

延長(zhǎng)在交D4的延長(zhǎng)線與點(diǎn)O,連接。。交AA于點(diǎn)〃，連接HE：

所以過。,改廠的截面為。〃瓦'G,如下圖示：

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為為，

則過外反尸的板面下方幾何體的體積為

V=-SOD-2-SOA=--3a2a3a-2--a-a=—a\

13…fxDP3mAEH323239

所以另一部分體積為匕=8/=?/,則乂：匕吟.

22.正方體A8C。-中，E,尸分別是棱4G，G。的中點(diǎn)，則正方體被截面3EED分成兩部分的體

積之比為.

【答案】17：7或7：17

【分析】

如國(guó)，正方體被截面8EED所截的一部分為棱臺(tái)，求出棱臺(tái)的體積，然后用正方體的體積減去棱臺(tái)的體積可

得另一部分的體積，從而可求得結(jié)果

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則正方體的體積為8,因?yàn)镋,尸分別是棱瓦G,CQ的中點(diǎn),

所以棱臺(tái)EFC「BDC的體積為■Lx2x(』x2x2+，xlxl+J—x2x2x—xlxl)=—,

322Y223

717

所以另一部分的體積為8-§二丁，所以正方體被截面4￡7刀分成兩部分的體積之比為17:7或7:17,故

答案為：17:7或7:17

23.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABC。-A夕CQ'中，用截面截下一個(gè)棱錐則棱錐的體積與

剩余部分的體積之比為()

A.1：5B.1：4C.1：3D.1：2

【答案】A

【分析】

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、長(zhǎng)方體的體積公式求及軻余部分的體積，進(jìn)而求其比

例印可.

【詳解】由圖知：^AHCD-A'ti'CD'=C少?,而SA，D，DA=,

??刎余部分的體積為^ABCD-ARCD,-^C-ADD,=5C。,?

...棱錐C-A”的體積與軻余部分的體積之比為1：5.

24.在正四棱錐S-ABCD中，M為SC的中點(diǎn)，過AM作截面將該四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部

分的體積分別為匕匕，則也的最大值是.

【答案】2

V

【解析】記正四棱維S-A38的體積為V,1的最大值，由匕+匕=『為定值知，只需求匕的最小值，

設(shè)過4M的截面分別交SB和SO于E產(chǎn)，平面&4C與平面S3。的交線為SO,SO與A"相交于G,如圖,

+SB)=±SE+±SFt即有導(dǎo)力］,

SFSE

匕=Vs-AFM+^S-AEM=匕YAM+^E-SAM=“/-$AM+,^B-SAM

11V、乙、/11、V刃yX、V

=）?產(chǎn)1Z3c+1Zx=小/+））=小+），）（豆+豆）=五（2+;+7因，

此時(shí)AW1=""

2-1=2

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=§時(shí)取等號(hào),

所以，■的最大值是2.

in截面最值與范圍

2024屆?長(zhǎng)沙雅禮?？?/p>

25.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面。所成的角都相等，則平面。截此正方體所得截面面積

的最大值為.

【答案】逮

4

【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，判斷平面a所在的位置，然后求得截面面積的最大值即可.

【詳解】根據(jù)相互平行的直線與立面所成的角是相等的，可知在正方體A3co-A4GA中，平面4片。與

直線人A,A用，AA所成的角是相等的，

所以平面八與R與平面a平行，

C

由正方體的對(duì)稱性：要求極面面枳最大，則盛面的位優(yōu)為過棱的中點(diǎn)的正六邊形(過正方體的中心)，邊長(zhǎng)

為旦,所以其面積為S=6x且x3G

24

26.如圖所示,在長(zhǎng)方ABCD-A^C^中，A8=3,A。=4,例=5,點(diǎn)E是棱9上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面BED.

交棱4A于點(diǎn)兒則四棱錐4-區(qū)。尸的體枳為,截面四邊形尸的周長(zhǎng)的最小值為

【分析】

根據(jù)錐體的體積計(jì)算，利用切割法可得四棱錐用-8EQL的體積；將幾何體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短,

即可求出最短周長(zhǎng)的截面，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得D、FHBE,利用切割法可得力-3以*,=VB「BED,+V%_BFD.=%-3陽(yáng)+%-"4

=-?BB}?BC-AB+—BB}-D^-AB=gxg(5x4x3+5x4x3)=20：

將長(zhǎng)方體展開，如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)E為8R與CG的交點(diǎn)、點(diǎn)戶為與A4的交點(diǎn)時(shí)，截,面周長(zhǎng)最小，此時(shí)截面的周長(zhǎng)為28口，

而在中，/犯=即+(3+4『=6,所以截面周長(zhǎng)的最小值為2取.

27.正三棱錐P-ABC中，&E4="=40，點(diǎn)E在棱E4上，且PE=3E4,已知點(diǎn)P、A、B、C都在球

。的表面上，過點(diǎn)E作球O的截面。，則。截球。所得截面面枳的最小值為.

【答案】3冗

【分析】通過補(bǔ)體把正三棱錐補(bǔ)成正方體，則正方體的體對(duì)角線為外接球直徑：求出。石=3,當(dāng)OE_L平面

。時(shí)，平面。盛球O的截面面積最小，此時(shí)微面為圓而，從而可計(jì)算截面的半徑，從而推導(dǎo)出裁面的面積.

222

【詳解】?;PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4x/2.:.PA+PC=AC,:.ZCPA=^t

同理=?A=],故可把正三棱錐補(bǔ)成正方體（如圖所示）,

其外接球即為球O,直徑為正方體的體對(duì)角線，故2R=46,

設(shè)物的中點(diǎn)為產(chǎn)，連接則。尸=2應(yīng)且。尸.所以。石=廊斤=3,

當(dāng)。E_L平面。時(shí)，平面。盛球0的極面面積最小，此時(shí)板而為圓面

28.己知正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）A8C-4耳G的體枳為66,AB=26,。是4G的中點(diǎn)，點(diǎn)2

是線段A力上的動(dòng)點(diǎn)，過4c且與心垂直的截面a與”交于?點(diǎn)E,則三棱錐P-8CE的體積的最小值

為

A.B.-C.2D.--

222

【答案】A

【分析】

由正三棱柱A8C—A4G的體積為66,八8=26,可求得明=2,由于匕,_八抬==%_皿+匕_雌，所

以要使三棱錐P-8CE的體積最小，則三棱錐E-AAC的體積最大，設(shè)的中點(diǎn)為尸，作出曲面如圖所示，

可得點(diǎn)￡在以A/?、為直徑的圓上，從而可求出點(diǎn)E到底面A8C距離的最大值，進(jìn)而可求得三棱維P-8CE的

體積的最小值

【詳解】

如圖所示，

A,_________________G

因?yàn)檎庵鵄BC-AB。]的體不只為,AB=26,所以~^x（2G）xA4,=6\/5,即AAj=2,

因?yàn)樨埃?gx2x曰X僅6丫=26=Vp_8CE+匕-88，所以要使三棱維P-8CE的體積最小，則三棱錐

E-A4C的體積最大，設(shè)8C的中點(diǎn)為產(chǎn)，作出截面如圖所示，

因?yàn)樗訟E工EF,所以點(diǎn)E在以4/；為直徑的圓上，

所以點(diǎn)E到底面A8C距離的最大值為立x2jjx」=2,

222

所以三棱維P—8CE的體積的最小值為2J5-gx■|x￥x（2J5）2=*.

29.已知球。是正三棱錐A-8C/）（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=6,

AB=C，點(diǎn)七是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

A3兀1127tn元

A.—B.—C.-D.一

4324

【答案】A

【解析】如圖：

A

e4|^D

c

。1是A在底面的射影，由正弦定理得，△2C。的外接圓半徑r=i_x4=l

sin602

由勾股定理得棱錐的高Ha1=J%工=i設(shè)球。的半徑為R,

則R2=（JR>+l.解得R=l,

所以|oq|二o,即。1與o重合，

所以當(dāng)過點(diǎn)E作球0的截面垂直于。石時(shí)，截面面積最小，

此時(shí)曲面半徑為忸同=孝，極面面積為手.

30.已知球。和正四面體A-8CZ），點(diǎn)氏C、。在球面上，底面6CQ過球心0,棱AB、AC、4。分別交球面于

瓦、c、A，若球的半徑在=石，則所得多面體SGA-BC。的體積為（）

A90R9x/2r23&n13a

84126

【答案】D

【解析】設(shè)正四面體A-8C7）,校長(zhǎng)為。，

如圖所示：

設(shè)外接球的球心為O,半徑為R=G，所以6。=氏=]Xa=G,解得a=3,

由千AO_L8O,所以AO=檸二兩=#，

在Rt^ABO中，過0作AB垂線0H,由面積可得10HA3,則絲土=啦,

22AB

利用勾股定理：BH2+OH-=OB\

..也一任」.匕場(chǎng)c倒一1

?~AB~3''Aii~3""27

多面體B￡D「BCD的體積為％c"310nl=杯匕一8cLl|x：x*x9x6=1立

31.已知半徑為4的球O,被兩個(gè)平面截得圓。|、。2,記兩圓的公共弦為A8,且。02=2,若二面角

a-/w-o?的大小為[兀，則四面體/woo?的體積的最大值為（）

?