專題3?3立體幾何中的平行，垂直通關(guān)訓(xùn)練

目錄

題型一平行，垂直的相關(guān)證明..............................................................2

題型二由平行關(guān)系確定點(diǎn)的位置...........................................................12

題型三由平行關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡再求最值................................................17

題型四由垂直關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡或位置..................................................24

題型五由垂直關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡再求最值................................................28

重點(diǎn)題型?歸類精講

O平行，垂直的相關(guān)證明

【例題】線面平行證明方法講解(中位線法，平行四邊彩法，構(gòu)造平行平面法)

母題：如圖，P是四邊形ABCQ所在平面外的一點(diǎn)，AB〃CD,CD=2ABf七是PC的中點(diǎn).

方法一：作相交平面找線

(1)證明BE〃平面PAD

AB

解析：模型鋪墊：ABc〃平面B，AB〃DE

//1B

47。

【簡析】若BE//平面PAD,則必有BE//PG,所以所以要證明BE〃平面PAD,只需證明BE//PG

即可.(中位線)

(2)若F是DC的中點(diǎn)，證明PA〃平面BEF

p

【簡析】若PA//平面BEF,貝］必有PA//EM,所以要證明PA//平面BEF,只需證明PA//EM即

可.（中位線）

P

B

方法二：BE〃平面PAD（正向平移法：構(gòu)造平行四邊形）

P

【簡析】將8E向平面以。中平移，易知將線段BE沿BA平移，可得E點(diǎn)軌跡，取PD中點(diǎn)

M,由平行四邊形可得BE〃AM,故BE〃平面PAD.

四邊形法證平行

I.如圖，在正方體ABC/）-A4GQ中，E,尸分別是AA，CD的中點(diǎn),求證：E產(chǎn)〃平面AQA.

【分析】取CQ中點(diǎn)G,連接〃G,GA，證四邊形尸GAE是平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定即可推理作

答.

【解答】在正方體人3。-A4GR中，取CR中點(diǎn)G,連接FG,GA，如圖（T點(diǎn)是第二問的不用管），

而F是C。的中點(diǎn)，則/G//OR,FG=gDD、,又E是人4的中點(diǎn)，則4七=（?！?，

因此，\EHFGyAE=FG,四邊形"G4￡是平行四邊形，有EF//GA、,而MQ平面A。。，G4,u平面

入他,Ef7/平面ACQ.

+位線法證平行

2.如圖，在四棱錐P-A8CD中，PA_L平面A8CQ,AD//BC,/BAD弋,AD=2AB=2BC=2PA=4,

M為上靠近8的三等分點(diǎn)，求證：PQ〃平面4cM

證明：如圖，連接80,交AC于點(diǎn)N,連接MM

因?yàn)锳D//BC,AD=2BC,所以瞿=粵=!，又M為PB靠近B的三等分點(diǎn)、，所以粵，所以笑=萼;

NDAD2MP2NDMP

所以MNHPD,又肋Vu平面AMC,POQ平面AMC,所以尸。〃平面AMC

做平行平面法證平行

3.如圖所示的四棱錐?一人4C7）的底面/1BC。是一個(gè)等腰梯形，AD//BC,且人。=2八4=24。=4,夕。是

△R4O的中線，點(diǎn)E是棱尸。的中點(diǎn)，證明：CE〃平面

【分析】連接OC、OE,平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得OE//平面BAB、CO//平面QA8,再

根據(jù)面面平行的判定可得平面OCK//平面PAB,利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論

構(gòu)造2個(gè)平面的交線：線戰(zhàn)平行?線面平行

4.如圖，三棱柱A8C-A8G中，E,P分別是8c和CG的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在棱4片上，且

B】F=2%F,證明：4尸〃平面EPC.

MFB"

3c

【答案】證明：連結(jié)PBi,交CE于點(diǎn)D,連結(jié)DF,EP,CBi,

A/F1E?

因?yàn)镋,P分別為B1C1,CCI的中點(diǎn)，故EP〃，CBI且EP=1CB1,

22

PD1A.F1

故八口二）,又B1F-2,A1B1-3,故'=0,

DD{ZrojZ

所以FD〃A1P,又FDu平面EFC,AlPb平面EFC,

故A1P〃平面EFC.

5.如圖，四棱錐尸一/WC。的底面為正方形，且「。_1_面4改,口設(shè)平面外。與平面尸8c的

交線為/.證明：l〃CB

;

4B

【證明】證明：因?yàn)锳BCD為正方形，:.BC//AD,

又74CK平面PAD,AQ?平面PAD.

：.6c〃平面PAD

又YBC?平而PCB,平面%0n平面PCB=l,

/.1//CD.

線面垂直

6.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，PA=PD,AB//CD,CDA.AD,8=2AB,點(diǎn)￡為PC的中點(diǎn)，且8E_L

平面PCD.求證：CD_L平面Q4D；

【解答】解：證明：取PZ)的中點(diǎn)/，連接A廠,EF,

則即//CD,EF=gcD.丈AB/ICD,AB=^-CD,所以EF//AB,EF=AB.則四邊形為平行

乙乙

四邊形，所以AFI/BE.

又比:_L平面PC。.CDu平面PCD,所以BELCD,所以AFLCD.

又CO_LA。，AF(^AD=At,AOu平面小。，所以。。_1_平面以。

異面直線垂直

7.己知直三棱柱人BC-AMG中，側(cè)面AAB因?yàn)檎叫?，AB=BC=2,E,b分別為AC和CG的中點(diǎn),

。為棱A4上的點(diǎn)，BFLA.B..證明：BF1DE；

【解答】證明：連接人廠，

???￡,/分別為直三棱柱人的棱AC和CG的中點(diǎn)，且A5=8C=2,

：.CF=\,BF=y/5,

?/BF,ABiI%B\,

：.BFVAB

4尸=JA*+BF?=舊+（石）=3,ACHAF2-C產(chǎn)==2近，

AC2=AB2+BC2,即84J_BC,aABC為等腰直角三角形.

取BC中點(diǎn)G,因?yàn)镋G〃AB,所以BF_LEG,

又?「△BFCgZ\BiGB,故BiGLBF

???BFJ■平面EGBiD

二'DEc平面EGBiD

ABF1DE

8.（杭州二模）在三棱錐S-ABC中，底面△ABC為等腰直角三角形,NSAB=/SCB=ZABC=90。.求

證：ACLSB

【詳解】

S

證明：取4c的中點(diǎn)為E,邇結(jié)SE、BE,

VAI3=I3C,ABELAC,

在LSCB和4SAB中，NSAB=NSC8=90°,AB=BC,SB=SB

???LSCB二△S43,SA=SC,

2AC的中點(diǎn)為E,：.SE±ACt

?：SECBE=E,??.AC1而SBE,

?:SBu而SBE,：.AC1SB

法二：構(gòu)造等腰直角三角形，取SB中點(diǎn)M,易知AM=CM,故EM_LAC

面面垂直

9.如圖，在四棱錐P-/WCQ中，底面ABCO為正方形，尸6，底面48。。，PA=AI3=2,七為線段的中

點(diǎn)，尸為線段8C上的動(dòng)點(diǎn)，證明：平面4"_1_平面/^。

【詳解】（1）方法一：

因?yàn)镼4_L底面ABCD,8Cu平面ABCD,

所以Q418C.

因?yàn)锳BCD為正方形，所以A8J3C,

又因?yàn)?4nA8=A,BAu平面PAB,ABu平面PAB,

所以BC_Z平面PAB.

因?yàn)锳Eu平面PAB,所以AE_L6c.

因?yàn)?4二A8,E為線段PB的中點(diǎn)，

所以

又因?yàn)镻BcBC=B,PBu平面PBC,BCu平面PBC,

所以AE_L平面PBC.

又因?yàn)?Eu平面AEF,

所以平面AE尸_L平面PBC.

方法二：

因?yàn)镻4_L底面ABCD,RAu平面PAB,

所以平面PAB工底面ABCD

又平面PA8C底面A8C￡）=A8,BCLAB,BCu平面ABCD,

所以BC工平面PAB.

因?yàn)锳Eu平面PAB,所以AE_LHC.

因?yàn)锽4=AB.E為線段PB的中點(diǎn)，所以AEJ.P8.

因?yàn)镻BcBC=B.PBu平面PBC,8Cu平面PBC,

所以AE_L平面PBC,

又因?yàn)锳Eu平面AEF,

所以平面A￡F_L平面PBC

解法三：建系（費(fèi)時(shí)間，但是可以為第二間鋪路）

因?yàn)镻4_L底面ABCD,AB1AD,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ARA/A0的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),3(2,0,0),。(2,2,0),￡>(0,20),0(0,0,2),E(l,0,1),

設(shè)B廣=?fw[0,2]),則產(chǎn)(2,1,0),

所以屏二(1,0,1),"=(2/0),ra=(2,0,-2),寬=(0.2,0),

設(shè)萬=（%,y,zj為平面AEF的法向量.

n-AE=0,x+z.=0,

則＜一所以?2-7=2,則再f2

HAF=0,

則豆=（一八2,￡）,

設(shè)歷=（0%，z?）為平面PBC的法向量,

>7iPB=0,2x,-2z,=0,

則?_所以，--取占=1,則%=0,z2=l,

防6c=(),12y2=0,

則而=(1,0,1)

因?yàn)椤?訪=T+O+/=0,所以

所以平面平面PBC

題理S由平行關(guān)系確定點(diǎn)的位置

PF

10.四棱錐P-A8CO中，底面是平行四邊形，E,F分別為線段PO,PC上的點(diǎn)，3=3］，若8F〃平面

PF

AEC,則=二______.

FC

【答案】\

2

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，平行線分線段成比例等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】設(shè)4?？?。=0,連接。尸交CE于G,連接OG,BF,

由于8A7/平而AEC,BFu平面BDF,平面8。尸平面從七。=。。，

則B尸〃OG,由于。是5。的中點(diǎn)，所以一=—=1,

ODGD

過F作FH//CE,交PO于”，

則新，一PE3v,PH1

由于=—,所以=—

ED2HE2

11.如圖1所示，在矩形ABCO中，AB=4,BC=6應(yīng)，點(diǎn)、E為線段ABk一點(diǎn)、,AE=\,現(xiàn)將沿CE

折起，將點(diǎn)8折到點(diǎn)位置，使得點(diǎn)8,在平面AECO上的射影在線段人。I-.,得到如圖2所示的四棱

錐9-AECO,在圖2中，線段B'C上是否存在點(diǎn)尸，使得痔〃平面況4。？若存在，求空的值，

若不存在，請(qǐng)說明理由.

R'FI

【分析】（1）在邊B'C上取點(diǎn)/，使得y=過尸作CO的平行線交8'。于M點(diǎn)，連接E尸，AM,證

明四邊形但M為平行四邊形，得出EF//4M,再利用線而平行的判定定理證出即可.

【詳解】解：（1）在邊8'C上取點(diǎn)/，使得空=：,

DC4

過廣作。。的平行線交87）于M點(diǎn),連接E/.AM.

M///CO且耍=黑=；

CDB'C4

Api

又AE//CD且忐=；,

/.AE//MF且AE=MF,

故四邊形AEFM為平行四邊形,

??.EF//AM,

又E尸2平面區(qū)40,/Wu平面用4￡）,

??.EFU平面BAD

12.如圖，在四棱錐中，已知底面A4CD是菱形，且對(duì)角線AC與網(wǎng)＞相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為3C的

中點(diǎn)，在楂PC上是否存在點(diǎn)尸，使得心//平面4所？請(qǐng)說明理由.

p

【解答】解：棱PC上存在點(diǎn)尸，使得「4〃平面AE產(chǎn),

證明如下：

取PC的中點(diǎn)/，連接AF,EF.

因?yàn)槭?c的中點(diǎn)，

所以EF//PB,

因?yàn)?WU平面AE尸，

所以尸B//平面AEF.

13.如圖所示，在四棱錐P-AAC力中，4C//平面皿＞，BC=\AD,E是尸力的中點(diǎn).

2

(I)求證：BCHADx

(1【)求訐：〃平面Q46：

(III)若M是線段CK上一動(dòng)點(diǎn)，則線段4)上是否存在點(diǎn)N,使MN〃平面孔犯？說明理日.

【解答】證明：（I）在四棱錐。-中，4C//平面%Q,3Cu平面/W8,

平面A48C平面A4T>=4）,

:.BC//AD,

（H）取融的中點(diǎn)尸，連接EF,BF,

?.?￡是尸。的中點(diǎn)，

：.EF//AD,EF=-AD,

2

又由（I）可得3C//AO,BC=-AD,

2

S.BC//EF,BC=EF,

二四邊形4CEF是平行四邊形，

..CE//BF,

?.?。￡仁平面248，BEu平面P48,

.?.CE〃平面皿.

（IH）取4）中點(diǎn)N,連接CN,EN,

???￡，N分別為77）,4）的中點(diǎn)，

:.EN//PA,

'：EN仁平面PAB，PA<=平面PAB，

???￡7V//平面

又由（II）可得CE〃平面抄3，CE0|EN=E,

.??平面。以V//平面Q4B，

?.?M是CE上的動(dòng)點(diǎn)，MNu平面CEN,

..MV//平面RW,

二線段AD存在點(diǎn)N,使得的平面%8.

14.如圖，在正方體A3C3-ASG。中，點(diǎn)尸為線段上的動(dòng)點(diǎn)，M,N分別為棱8C,45的中點(diǎn),

D、P

若DP"平面以MN,則六=

U}rS

【解答】解：如圖所示，取Ail，，DC的中點(diǎn)E,卜，則自平面DEF〃平面4MN,則平面D"與DiB的

交線即為點(diǎn)P，取EF中點(diǎn)M,則DM交。8于P,易知△DIMPS^BDP,故型=烏"=,，故感=：

BPDB4IB5

由平行關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡再求最值

山東省棗莊市2023屆高三二模

15.如圖，在棱長為1的正方體ABCO-A8GA中，M是A4的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是側(cè)面8RG上的動(dòng)點(diǎn),

且.MP//平面ABC，則線段MP長度的取值范圍為（）

B.

D.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件及三角形的中位線，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理，結(jié)合直角三

角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.

【詳解】取CG的中點(diǎn)為上取。。的中點(diǎn)為N.取4G的中點(diǎn)為“，如圖所示

所以B&//HR,

因?yàn)镠R<Z平面ABC,81cu平面ABtC,

所以"R//平面AAC,

同理可得，〃平面八片。，

又HRCMH=H、HR,MHu平面MNRH,

所以平面MNRH〃平而/網(wǎng)C.

又歷Pu平面MNRH.線段MP掃過的圖形是AMNR、

由AB=1,得MN=+12=5/2?NR=+-J

g崎+『考"R卡）+國考,

所以MN'=NR?+MR\即/MRN為豆角,

所以線段用P長度的取值范圍是：四，血.

16.如圖，在正方體八867）-446。中，E，尸分別是棱8C,CC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方形人內(nèi)，若A3=2,

A。//平而人方/，則。"的最小值是（）

【答案】B

【分析】先根據(jù)題中的關(guān)系確定點(diǎn)P在平面A84A中的位直，在求OP的最小值.

【詳解】如圖，分別取棱4G,的中點(diǎn)例，N,連接AM,AN,MN.

所以平面AMN內(nèi)兩相交直線AM,MN與平面4Er平行

所以AMN//平面AEF,則點(diǎn)尸在線段AN上.

過點(diǎn)A作4"，AN,垂足為“，連接

則DPNDH,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)與〃重合時(shí)，DP=DH=4DA?+毋=或

5

17.如圖所示，在正方體A8CO—A4GA中，點(diǎn)M是平面44G2內(nèi)一點(diǎn)，且胡/〃平面AC〃，則

tan/QM。的最大值為（）

C.2D.V2

【解答】解：如圖所示,

正方體488-486。中，連接AG，BR,交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M滿足條件;

證明如下，連接應(yīng)），交AC于點(diǎn)O,連接8W,。鼻,

則A4//CC,且AA=GC,

???四邊形ACCA是平行四邊形，

4C〃4G，

又ACU平面ACDt，月.AG仁平面ACDX,

.?.4G//平面4cA；

同理8W//平面ACR,

???當(dāng)M在直線AG上時(shí)，都滿足BM/MCD1；

tanZ.DMD.==—J=-=0口1，，+

'MRg是最大值.

T

18.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A4Gq中，點(diǎn)石、尸分別是棱8C,CG的中點(diǎn)，P是側(cè)面3CG4

內(nèi)一點(diǎn)，若A。//平面田，則線段40長度的取值范圍是（）

【解答】解:如下圖所示，分別取棱8q,8c的中點(diǎn)M、N：連MN,BC\,

?.?M,N,E，尸分別為所在棱的中點(diǎn)，則MN//BG，EF//BQ,

.'.MN//EF,又MNU平面AE尸，EFu平面AEF,

:.MN//^AEF.

?:人ZZE、AA=N石，

???四邊形人0VAi為平行四邊形,

:.A,N//AE,

又ANU平面/，A￡u平面AE尸，

.?.AN〃平面八

乂ANCMN=N,

???平面〃平面4M.

?.?P是側(cè)面8CCM內(nèi)一點(diǎn)，且平面AEr，

???點(diǎn)尸必在線段MN上.

在放△AM/中，AM='W+4M2=@+］=石.

同理，在心△A181N中，nJ'得AN=VJ,

/XAMN為等腰三角形.

當(dāng)點(diǎn)尸為MN中點(diǎn)O時(shí)，"1MN,此時(shí)4P最短；點(diǎn)?位于M、N處時(shí)，A/最長.

?.?AQ=JAM、。/=?/5尸一凈2=羋,AM=AN=B

二線段AP長度的取值范圍是［延，逐］.

故選：C.

19.已知正方體ABCO-ABCA的棱長為2,點(diǎn)M，N分別是棱BC,的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面AMN的

距離是—；若動(dòng)點(diǎn)尸在正方形8CG居（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且尸A〃平面AMN,則線段出的長度

范圍是

【解答】解：取8c的中點(diǎn)E,B片的中點(diǎn)尸，連接入七，4尸，EF,FM,

則AE//AM,EF//MN,

二平面AEF"平面AMN,

■t.A到平面AMN的距離等于F到平面AMN的距離,

?..正方體棱長為2,，4知=逐，/斷=/，AN=3,

5+9-201

:.cosZMAN=^—=—=-=,s^ZMAN=-=,

2xV5x3V5y/5

?.?S?m=；x6x3x4=：設(shè)/到平面AMN的距離為〃，則匕…=底葭/?=t，

22322

112

乂匕-八*W=^A-MNF=TXTX2X1X2=-?

h2?,4

??———，LnJh——.

233

4

.1.A到平面AMN的距離為§.

,??4尸〃平面AMN,二小的軌跡為線段M.

\E=AiF=^5>EF=>/2?

.?.當(dāng)AP_LEF時(shí)，A9取得最小值,5-（爭=呼,

當(dāng)P與石（或產(chǎn)）重合時(shí)，AP取得最大值逐.

20.在棱長為1的正方體ABCD-AIBIGDI中，M,N分別為BDi，&G的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，

且滿足MP〃平面CND],則下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)尸可以是棱8當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)B.線段MP的最大值為日

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形D.點(diǎn)P軌跡的長度為2+6

【答案】B

【分析】如圖，取棱8C的中點(diǎn)E,連接DE,8iE,ME,進(jìn)而證明平面為EM〃平面CNO「再結(jié)合題意可知直

線81M必過。點(diǎn)，進(jìn)而取45中點(diǎn)孔連接證明尸E平面即可得四邊形當(dāng)￡。尸為點(diǎn)P的軌

跡，再根據(jù)幾何關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】解：如圖，取棱BC的中點(diǎn)E,連接DE,8iE,ME,

因?yàn)镸,N分別為801，81cl的中點(diǎn),

所以，在△BCOi中，ME//CD],由于MEC平面OVOi，C?！縰平面CN0],

所以ME〃平面CND],

因?yàn)锽iN〃CE,B]N=CE,所以，四邊形CN/E為平行四邊形，

所以CN〃/E,因?yàn)镃Nu平面CNOi，平面CNDi，

所以，B]E〃平面CNDI,

因?yàn)?iEClME=f,8】E,MEu平面出EM,

所以，平面8止”〃平而?？?。1，

由于M為體對(duì)角線BDi的中點(diǎn),

所以，連接并延長，直線Bi朋必過。點(diǎn)，

故取為。1中點(diǎn)F,連接B]F,FD,DE,

所以，由正方體的性質(zhì)易知FDi〃CE,FDi=CE,

所以，四邊形CDi/E是平行四邊形，EF//CDltEF=CD』

因?yàn)椋琈E"CDi，ME=：COi，

所以，瓦凡M共線，即尸￡平面/EM,

所以，口逆形BiEDF為點(diǎn)P的軌跡,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由正方體的棱長為1,所以，四邊形々EOF的棱長均為當(dāng)且對(duì)南線為”二企出。二6，，

所以，嗎邊形％EDF為菱形,周長為2百，故CD選項(xiàng)錯(cuò)誤，

由菱形的性質(zhì)知，線段MP的最大值為=/,故B選項(xiàng)正確.

國由垂直關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡或位置

21.如圖，在四棱錐尸-ABCO中，側(cè)面抬。為正三角形，底面鉆8為正方形，側(cè)面EAO_L底面ABCD,

M為底面ABCZ）內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MA=MC,則點(diǎn)”在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（）

【解答】解：根據(jù)題意可知。。=。。，則點(diǎn)。符合“M為底面A6c。內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足A/『=MC"

設(shè)A2的中點(diǎn)為N,根據(jù)題目條件可知AE4N二△C3N

.?./W=GV,點(diǎn)N也符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AmuAQ”

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡肯定過點(diǎn)D和點(diǎn)N

而到點(diǎn)?與到點(diǎn)C的距離相等的點(diǎn)為線段PC的垂直平分

線段PC的垂直平分面與平面AC的交線是一直線

22.棱長為I的正方體456-ABCB中P為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總有則動(dòng)點(diǎn)Q的

軌跡的長度為（）

3LL

A.-7TB.4萬C.3V2D.4V2

【解答】解：尸點(diǎn)的軌跡為過點(diǎn)C與直線8A垂直的截面與正方體的交線，就是圖形中點(diǎn)三角形AC4,它

23.正四棱錐S-ABC。底面邊長為2,高為1,E是邊8C的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在四棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，并且總

保持在則動(dòng)點(diǎn)2的軌跡的周長為（）

A.1+V2B.V2+x/3C.2>/2D.2G

【解答】解：?.?動(dòng)點(diǎn)。在四棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持P￡_LAC,

「?AC垂直于莊所在的平面，點(diǎn)P的軌跡為如圖所示的三角形EPG,其中G、尸為中點(diǎn),

:.EF=-BD=yf2,

2

GE=GF=-SB=—,

22

軌跡的周長為.

24.如圖，在正方體ABCO-ABGA中，點(diǎn)尸在側(cè)面BCG片及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP與8R垂

直，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為

【解答】解：如圖，先找到一個(gè)平面總是保持與8R垂直,

連接AC,4用，BQ,

在正方體ABCD-AB￡A中,

易得8A_LCq,BD1±AC；

則8。1面4。4，

又點(diǎn)。在側(cè)面BCC.B,及其邊界I?.運(yùn)動(dòng)，

根據(jù)平面的基本性質(zhì)得：

點(diǎn)P的軌跡為面4cBi與面BCC隅的交線段CT,.

故答案為線段.

25.如圖，在棱長為I的正方體中，E1是。。的中點(diǎn).

(1)求證：A?！捌矫鍭RE；

(2)求點(diǎn)。到平面ARE的距離;

（3）在對(duì)角線AC上是否存在點(diǎn)使得OP_L平面A"E?若存在，求出b的長；若不存在，請(qǐng)說明理

解：（1）證明：連結(jié)A。，交人。于點(diǎn)尸，連結(jié)斯.

因?yàn)樗倪呅蜛OAA是正方形，所以尸是A。的中點(diǎn)，又E是CD的中點(diǎn),

所以EE〃AC.

因?yàn)镋Fu平面ARE,4。9平面4。1七，

所以AC//平面八。浜.…（4分）

（2）利用等體積可得/可解出點(diǎn)。到平面AQE的距離為?.?

,?（8分）

6

（3）在對(duì)角線4。上存在點(diǎn)夕，且8=坐，使得OPJ.平面

證明如下：因?yàn)樗倪呅蜛OAA是正方形，所以A〃_LA。.

因?yàn)镃O_L平面AORA，4。＜=平面4。〃4,所以CO，A〃.

因?yàn)樗訟R_L平面AO

因?yàn)锳Ru平面ARE,所以平面AQEJ.平面ACD.

作DQJ_A。于2，因?yàn)镋F//AC,所以DPLEF.

因?yàn)椤u平面ACD，平面ACQC平面=律，所以DPJ.平?面ADjE.

由AC—RtADCP,f#CP=—=^==—

A。J33

所以當(dāng)CP=暫時(shí)，OP，平面人。石.…（12分）

由垂直關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡再求最值

26.如圖，在四棱柱A8c。-中，底面AACD為正方形，側(cè)棱人4_L底面A/CD,AB=3,八4=4,

〃是側(cè)面BCC\R\內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且APA.BD,,記AT與平面BCC.B.所成的角為。，則tanJ的最大值為

【解答】

第一步：先找出過。點(diǎn)且垂直4n的平面，該平面與側(cè)面BCC出的交線即為夕點(diǎn)軌跡.

具體操作：三垂線法

如圖，將8D向A點(diǎn)所在的三個(gè)側(cè)面作投影，然過A點(diǎn)分別在側(cè)面上作各投影的垂線，得到4c與A"

（注：觀察可以發(fā)現(xiàn)第三個(gè)圖不好作垂線，并且只需要2條線即可確定平面，所以這里就不作第三個(gè)圖的垂

線了）.

aG

AC1BD,

顯然〈A人叫‘所以平面A”-犯故P點(diǎn)軌跡為

Lan6^=IanZ.A.PB-^-,所以5PJ_HC時(shí)，lan，取到最大值，不難求出此時(shí)62=2,故uin，=W.

BP53

27.已知點(diǎn)￡在正方體A4C。-AMGD的側(cè)面內(nèi)（含邊界），/是明的中點(diǎn)，若。則

tanNBCE的最小值為（）

C.>/3—1

~5

PR

【解答】解：在RtABEC中，tanZBCE=—,所以當(dāng)￡4取最小值時(shí)，tan/ACE最小.

BC

【法一】點(diǎn)。所在的三個(gè)面上都能作出垂線

延長CD至Q,且CD=2DQ,tan/BCE二殷2交

BC~5

【法二】設(shè)9=2,以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則C(2,2,0),F(0,0,1),D1(0,2,2),設(shè)E(x,0,z).

所以CF=(—2,-2,1),麻=(x,-2,z-2),由條件有C戶?。國=-2x+z+2=0,即2x—z—2=0.

取四中點(diǎn)M,則E點(diǎn)的軌跡為線段同M.

當(dāng)BEJ.用M時(shí)，BE最小,此時(shí)8七二義，所以tan