第03講勾股定理的應(yīng)用

知識點(diǎn)1：勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角

形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方

進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的

結(jié)論.本專題分類進(jìn)行鞏固解決以下生活實(shí)際問題

【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度問題】

【典例1】如圖1,一架云梯斜靠在一豎直的墻上，云梯的頂端距地面15米，梯

子的長度比梯子底端離墻的距離大5米.

(1)這個云梯的底端離墻多遠(yuǎn)？

(2)如圖2,如果梯子的頂端下滑了8團(tuán)，那么梯子的底部在水平方向滑動了

【解答】解：(1)根據(jù)題意可得04=15米，A3-O8=5米，

由勾股定理OA2+O32=AB2,可得：152+。4=(5+0B)2

解得:08=20,

答：這個云梯的底端離墻20米遠(yuǎn)；

(2)由(1)可得：43=20+5=25米，

根據(jù)題意可得：8=7米,CO=A8=25米，

由勾股定理002+0/)2=CD1,可得：0D=VCD2-0C2=4252-72=24,

，8。=24-20=4米，

答：梯子的底部在水平方向滑動了4米.

【變式11］如圖，一典長25〃的梯子A3斜靠在墻AC上，ZC=90°,此時,

梯子的底端B離墻底C的距離BC為0.7/??.

(i)求此時梯子的頂端A距地面的高度AC；

(2)如果梯子的頂端A下滑了09〃，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑

動了多遠(yuǎn)？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)VZC=90°,13=2.5,BC=0.7,

AAC=VAB2-BC2=V2.52-0.72=24(米)，

答：此時梯頂A距地面的高度AC是2.4米；

(2)??,梯子的頂端A下滑了0.9米至點(diǎn)A',

?"'C=AC-Af4=24-0.9=1.5(機(jī)),

在RtZXA'CB1中，由勾股定理得：A'C2+BC2=AfB'2,

B[J1.52+B/(72=2.52,

：.BfC=2(〃?)，

；,BB'=CB'-BC=2-0.7=1.3(w),

答：梯子的底端8在水平方向滑動了1.3〃?.

【變式12】一架方梯AB長25米，如圖所示，斜靠在一面上：

(1)若梯子底端離墻7米，這個梯子的頂端距地面有多高？

(2)在(1)的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水

平方向滑動了幾米？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）在RlZ\A03中，A8=25米，0B=7米,

0A=VAB2-0B2=V252-72=24（米）.

答：梯子的頂端距地面24米；

（2）在中，A'0=24-4=20米，

OB，=7A/2-0Ay2=V252-202=15（米），

BB'=15-7=8米.

答：梯子的底端在水平方向滑動了8米.

【題型2、應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度】

【典例2】如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸地面，然

后將繩子末端拉到距離旗桿8相處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2/〃，請你求

出旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)旗桿高度為x米，則AC=AQ=x米，AB=（x-2）米，BC

=8米，在RlZXABC中，AB2+BC2=AC2,即（x-2）W=x2,

解得：x=\l（米），

即旗桿的高度為17米.

A

【變式21】小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1/H,

當(dāng)他把繩子的下端拉開5,〃后，發(fā)現(xiàn)下端剛好援觸地面，求旗桿的高.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)旗桿的高A8為mn則繩子AC的長為G+1)m

在Rt"BC中，AB2+BC2=AC2

???/+52=(x+1)2

解得x=12

:.AB=\2

，旗桿的高12m.

【變式22］數(shù)學(xué)綜合實(shí)驗(yàn)課上，同學(xué)們在測量學(xué)校旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)：將旗桿

頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開8米后，下端剛

好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準(zhǔn)確求出了旗桿的高度，你知道

他們是如何計算出來的嗎？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解:設(shè)旗桿高加,則繩子長為(x+2)加,

???旗桿垂直于地面，

???旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，

由題意列式為『+82=（X+2）2,解得X=15〃7,

?,?旗桿的高度為15米.

【變式23］學(xué)完勾股定理之后，同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺，測算出學(xué)校

旗桿的高度.愛動腦筋的小明這樣設(shè)計了一個方案：如圖，小亮將升旗的繩

子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端1米，然后將繩

子末端拉直到距離旗桿5"7處，測得此時繩子末端距窗地面高度為1機(jī)，如果

設(shè)旗桿的高度為x米（滑輪上方的部分忽略不計），求x的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)旗桿高度為x,可得AC=AD=x,AB=（x-1）m,BC=5in

根據(jù)勾股定理得，繩長的平方=f+12,ImD

右圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方=（x-1）2+52,

.'.x2+l2=(x-1)2+52,解得x=12.5.

答x值為12.5

【題型3應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離】

【典例3】如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是

多少米（先畫出示意圖，然后再求解）.

13m

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖所示，過。點(diǎn)作。￡_LA8,垂足為E

???AB=13,CO=8

又?：BE=CD,DE=BC

：.AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5

???在RtZXADE中，DE=BC=T2

：.AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169

???AZ）=13（負(fù)值舍去）

答：小鳥飛行的最短路程為13機(jī).

【變式31］如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，

只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行10米.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為A8=12〃?，

小樹IWJ'為CD—6/ii,

過。點(diǎn)作干旦則四功形E3OC是矩形,

連接AC,

:?EB=6m,EC=8/〃，AE=AB-EB=\2-6=6（〃？）,

在RtZXAEC中，

AC=?62+82=1()im).

故小鳥至少飛行10m.

故答案為：1().

【變式32］如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹相距12米，一棵樹高14米，另一棵樹高9

米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛13米.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖所示，AB,CO為樹，且AB=14米，CO=9米，BD為兩

樹距離12米，

過C作CE1AB于E,

則CE=3O=12,AE=AB-CD=5,

在直角三角形AEC中，

/'C=7AE2CE2=V52+122=13-

答：小鳥至少要飛13米.

故答案為：13.

A

【題型4、應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度】

【典例4]一根垂直于地面的電線桿4C=16〃z,因特殊情況，在點(diǎn)B處折斷，

頂端C落在地面上的C'處，測得AC的長是8/〃，求底端A到折斷點(diǎn)8的

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解?：設(shè)電線桿底端A到折斷點(diǎn)B的長為x米，則斜邊為（16-工）米，

根據(jù)勾股定理得：/+82=（16r）2

解得：x=6.

故底端A到折斷點(diǎn)8的長為6〃?.

【變式41]如圖，一?根直立的旗桿高8米，一陣大風(fēng)吹過，旗桿從點(diǎn)C處折斷，

頂部（3）著地，離旗桿底部（A）4米，工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷

點(diǎn)C的下方1.25米。處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從力處吹斷，

則距離桿腳周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由題意可知：AC+8C=8米,

VZz4=90°,

???A"+AC2=BC2,

又??,AB=4米，

???AC=3米，8C=5米，

???。點(diǎn)距地面40=3-1.25=1.75米，

AB'D=8-1.75=6.25米，

.二44=五，D"AD2=6米，

???距離桿腳周圍6米大范圍內(nèi)有被砸傷的危險.

【變式42］《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，

去根六尺.問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，

一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處

離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為()

A.爐-6=(10-x)2B.^-62=(10-x)2

C.f+6=(10-x)2D.小2=(10-x)2

【答案】D

【解答】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則A8=10-x,BC=6,

1122

在RtAABC中,AC+BC=ABf即f+6?=(10-x).

故選：D.

【變式43】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中的“折竹抵地”問題：

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問折者高幾何？意思是：一根竹子，

原高一丈(一丈=10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離

竹子底部3尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后離地面的高度為x

尺，則可列方程為()

A.f-3=(10-x)2B.x2-32=(10-x)2

C.f+3=(10-x)2D.X2+32=(10-X)2

【答案】D

【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜山為(10-x)尺,

根據(jù)勾股定理得：F+32=（IO-X）2

故選：D.

【變式44］如圖，2020年5月14日1號臺風(fēng)“黃蜂”過后，某市體育中心附近

一?棵大樹在高于地面3米處折斷，大樹頂部落在距離大樹底部4米處的地面

上.求這棵樹折斷之前的高度.

【答案】這棵樹折斷之前的高度是8米.

【解答】解：,?,一棵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在

離樹桿底部4米處，

，折斷的部分長為：疹幣二5（米），

，折斷前高度為5+3=8（米）.

答：這棵樹折斷之前的高度是8米.

【題型5、應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問題】

【典例5】有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一

根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端

恰好到達(dá)岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)水泡的深度為x尺，則蘆葦?shù)拈L度為G+1）尺,

根據(jù)題意得：（也）2+/=（I+i）2,

2

解得：x=12,

所以蘆葦?shù)拈L度為：12+1=13（尺）

答：水池的深度為12尺，蘆葦?shù)拈L度為13尺.

【變式51】《九章算術(shù)》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，

出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問葭長幾何.其大意為：有一個水池，水

面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1

尺,如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，

求蘆葦?shù)拈L度.(1丈=10尺)

解決下列問題：

(1)示意圖中，線段AF的長為5尺,線段E尸的長為1尺;

(2)求蘆葦?shù)拈L度.

(2)蘆葦長13尺.

【解答】解：(1)由題意可得：AF=1AB=5R,EF=\R,

2

故答案為：5,1；

(2)設(shè)蘆葦長EG=AG=x尺，

則水深廠G=(x?1)尺，

在RtAAFG中，

52+(x-1)2=f，

解得：x=13,

則EG=\3(尺),

答：蘆葦長13尺.

【變式52］如圖，一個直徑為10?！ǖ谋樱谒恼虚g豎直放一根筷子，筷

子露出杯子外\cm.當(dāng)筷子倒向杯壁時(筷子底端不動)，筷子頂端剛好觸

到杯口，求筷子長度和杯子的高度.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)杯子的高度是戈cm,那么筷子的高度是（x+1）cm,

f+5?=（x+1）2,

f+25=『+2x+1

x—12,

12+1=13?！?

答：杯高12an,筷子長\3cm.

【題型6、應(yīng)用勾股定理解決航海問題】

【典例6】如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發(fā)，客船每小時比貨船

多走5海里，客船與貨船速度的比為4：3,貨船沿東偏南10°方向航行，2

小時后貨船到達(dá)3處，客船到達(dá)。處，若此時兩船相距50海里.

（1）求兩船的速度分別是多少？

（2）求客船航行的方向.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)兩船的速度分別是4x海里/小時和3K海里/小時，依題意

得

4x-3x=5.

解得x=5,

??4x—20,3x—15,

，兩船的速度分別是20海里/小時和15海里/小時；

(2)由題可得，A8=15X2=30,AC=20X2=40,3C=50,

:.AB2+AC2=BC2,

???△ABC是直角三角形，且NZMC=9()°,

又??,貨船沿東偏南100方向航行，

???客船航行的方向?yàn)楸逼珫|100方向.

【變式61】甲、乙兩船同時從港口A出發(fā)，甲船以30海里/時的速度沿北偏東

35°方向航行，乙船沿南偏東55°向航行，2小時后，甲船到達(dá)。島，乙船

到達(dá)8島，若C,3兩島相距100海里，問乙船的速度是每小是多少海里？

【答案】見試題解答內(nèi)容

???4。=60海里.

VZEAC=35°,ZFAB=55°,

：.ZCAB=90°.

???80=100海里，

,A8=V1002-602=80海里?

??,乙船也用2小時，

，乙船的速度是40海里/時.

【變式62］如圖，甲船以16海里/時的速度離開港口，向東南航行，乙船在同時

同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個半小時后分別到達(dá)8、A兩點(diǎn),

且知A8=30海里，問乙船每小時航行多少海里？

【解答】解：???甲輪船向東南方向航行，乙輪船向西南方向航行，

：.AO±BO,

???甲輪船以16海里/小時的速度航行了一個半小時，

???O8=16X1.5=24海里，A3=30海里,

，在RtZSAOB中，^O=VAB2-0B2=V302-242=18,

，乙輪船每小時航行18+1.5=12海里.

【變式63］如圖所示，甲、乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以30海里/時的速

度向北偏東35°的方向航行，乙船以4()海里時的速度向另一方向航行，2小

時后，甲船到達(dá)。島，乙船到達(dá)占島，若C,占兩島相距10()海里，則乙船

航行的角度是南偏東多少度？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由題意得：甲2小時的路程：AC=30X2=60海里，乙2小時

的路程：AC=40X2=80海里，

V602+802=1002,

???NB4C=90°,

tC島在A北偏東35°方向,

???8島在A南偏東55°方向.

，乙船航行的角度是南偏東550方向.

【題型7、應(yīng)用勾股定理解決河的寬度】

【典例7】如圖，某人劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離

欲到達(dá)點(diǎn)325〃?，結(jié)果他在水中實(shí)際劃了65〃?，求該河流的寬度.

B25加g

■?

??■

■?■?

■./65m

■.

■?,4

-----U-----------------

A

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由勾股定理可得：

-7AC2-BC2=^652-252-60(米).

，該河流的寬度為6()米.

【變式71］如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水

點(diǎn)A,B,其中AB=AC,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村

為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點(diǎn)”(A、H、B在同一條直線上)，

并新修一條路C”，測得CB=1.5千米，C”=1.2千米，”8=0.9千米.

(1)問C”是否為從村莊。到河邊的最近路？請通過計算加以說明；

(2)求新路CH比原路CA少多少千米？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)是，

理由是：在△C778中，

*：CFfi+BH2=(1.2)2+(0.9)2=2.25,

8。2=2.25,

:.CH2+BH2=BC2,

：.CH±AB,

所以是從村莊。到河邊的最近路；

(2)設(shè)AC=x千米，

在RtZXAC”中，由己知得4C=x,A〃=R-().9,CH=1.2,

由勾股定理得：AC2=AH2+C“2

.'.x2=(x-0.9)2+(1.2)一

解這個方程，得x=1.25,

1.25-1.2=0.05(千米)

答：新路C”比原路C4少0.05千米.

【變式72］如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩

子另一端向右走，繩端從C移動到凡同時小船從A移動到且繩長始終

保持不變.回答下列問題：

(1)根據(jù)題意可知：AC=BC+CE(填“>”、"V"、“=").

(2)若。尸=5米，A/=12米，AB=9米，求小男孩需向右移動的距離.(結(jié)

果保留根號)

【答案】(1)=;

(2)(13-V34)米.

【解答】解：(1)VAC的長度是男孩未拽之前的繩子長，(BC+CE)的長

度是男孩拽之后的絹?zhàn)娱L，繩長始終保持不變，

：.AC=BC+CE,

故答案為：—;

(2)連接A8,如圖所示：

則點(diǎn)A、B、尸三點(diǎn)共線，

在中，由勾股定理得：AC=7AF2CF2=V122+52=13(米)，

*：BF=AF-AB=\2-9=3（米），

在中，由勾股定理得：（米），

Rl^CFBZ?C=^/CF2+EF2=^52+32^734

由（1）得：AC=BC+CE,

：.CE=AC-BC=（13-V34）（米），

，小男孩需向右移動的距離為（13?4瓦）米.

【變式73】老師準(zhǔn)備測量一段河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊1.5〃?遠(yuǎn)的

水底，竹竿露出水面的部分剛好05%,把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊

的水面剛好相齊，請你幫老師計算河水的深度是多少米？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)河水的深度為萬米.

由勾股定理得：42+lW=（〃+0.5）2

-2+2.25==2+%+0.25

/?=2

答：河水的深度為2米.

【變式74］如圖，在筆直的公路旁有一條河流，為方便運(yùn)輸貨物，現(xiàn)要從公

路AB上的。處建座橋梁到達(dá)C處，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的直線距

離為3卜〃，與公路上另一停

站8的直線距離為軟”且AC_LBC,CDLAB.

（1）求修建的橋梁CQ的長；

（2）橋梁建成百，求一輛貨車由C處途經(jīng)。處到達(dá)5處的總路程.

c

【答案】(1)修建的橋梁8的長為馬

5

(2)貨車由。處途經(jīng)。處到達(dá)8處的總路程為幽5?.

5

【解答】解：(1)TAC-3A7〃，BC=4km,AC_L6C,

-VAC2+BC2=VS2+42=5(切。，

丁SMBC=^AC*BC=lAB*CDf

22

??.3^￡=必=W(km)，

AB55

答：修建的橋梁。。的長為烏〃”

5

(2)CD=Alkm,BC=4ktn,CDLAB,

5

?"。=阮心不=也2-(昌2=普(km),

VD0

???貨車由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程為：CD+8D=9+西=回(奶?)，

555

答：貨車由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程為型如?.

5

【題型8、應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問題】

【典例8】“中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛

速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街道上直道行駛，某

一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀正前方30米C處，過了2秒后，小汽車行

駛到B處，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50米，

(1)求3c的長；

(2)這輛小汽車超速了嗎？

小汽車小汽車

BQ：:..............oc

----------------——

觀測點(diǎn)

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)在直角△A8C中，已知4C=3()米，AB=5()米,

且AB為斜邊，則"c=JAB2-AC2=4()米.

答：小汽車在2秒內(nèi)行駛的距離8C為40米;

(2)小汽車在2秒內(nèi)行駛了40米，所以平均速度為20米/秒，

2()米/秒=72千米/時，

因?yàn)?2>70,

所以這輛小汽車超速了.

答：這輛小汽車的平均速度大于70千米/時，故這輛小汽車超速了.

【變式81】“中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行

駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛,

某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀4的正前方60米處的。點(diǎn)，過了5

秒后，測得小汽車所在的B點(diǎn)與車速檢測儀A之間的距離為1()()米.

(1)求。C間的距離：

(2)這輛小汽車超速了嗎？請說明理由.

3小汽車C小汽車

-5?測點(diǎn)

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)在中，

9：AC=60m,AB=]00m,且AB為斜邊,

根據(jù)勾股定理得：8。=80(〃?)；

(2)這輛小汽車沒有超速.

理由：V80-^5=16(亦),平均速度為：16向s,

16〃心=57.6攵/"/〃，

57.6<70,

???這輛小汽車沒有超速.

【變式82]某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過7OW/7,

如圖，一輛小汽車在該筆直路段/上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速

檢測儀A的正前方3O//7的點(diǎn)C處，2s后小汽車行駛到點(diǎn)B處，測得此時小汽

車與車速檢測儀A間的距離為50m.

(1)求8C的長.

(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由.

—鏟；-------書—I

、、、：A

車速檢測儀

【答案】(1)40m；

(2)這輛小汽車超速了，理由見解析.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：ZACB=90a,AC=30m,AB=50〃z,

ABC=7AB2-AC2=7502-302=40(W，

答：BC的長為40〃z；

(2)這輛小汽車超速了，理由如下：

;該小汽車的速度為40+2=20(〃心)=72(km/h)>70kmM,

???這輛小汽車超速了.

【題型9、應(yīng)用勾股定理解決是否受臺風(fēng)影響問題】

【典例9】臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)

形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由A

行駛向B,已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線上的兩點(diǎn)4,B的距離分別

為AC=3006，8C=400k%,又AB=500h〃，以臺風(fēng)中心為圓心周圍2506

以內(nèi)為受影響區(qū)域.

(1)求NACB的度數(shù)；

(2)海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？

(3)若臺風(fēng)的速度為2()千米/小時，當(dāng)臺風(fēng)運(yùn)動到點(diǎn)石處時，海港C剛好受

到影響，當(dāng)臺風(fēng)運(yùn)動到點(diǎn)尸時,海港。剛好不受影響，即CE=C/=250加I,

則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？

B

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1),：AC=300km,BC=400km,AB=500hn,

：.AC2+BC1=AB\

???△ABC是直角三角形，NAC8=90°；

(2)海港C受臺風(fēng)影響，

理由：過點(diǎn)C作CZ)_L45,

1?△ABC是直角三角形，

???ACXBC=COXAB,

A300X400=500XCD,

：.CD=240(km),

??,以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，

???海港。受臺風(fēng)影響；

(3)當(dāng)EC=250km,EC=250A機(jī)時，正好影響。港口,

V￡：D=^EC2_CD2=70(km),

：.EF=\40km,

???臺風(fēng)的速度為20千米/小時，

A1404-20=7(小時).

答：臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為7小時.

【變式91］如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，

以10小千米/時的速度向北偏西60°的8戶方向移動，距臺風(fēng)中心200千米

范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.

(1)4市是否會受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明：

(2)如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間有多長?

【解答】解：(1)過4作ACJ_8/于C,則4C=LB=150V200,

???A市會受到臺風(fēng)影響;

(2)過A作4。=4七=200公〃，交B尸于點(diǎn)。，E,

?*-DC=VAD2-AC2=72002-1502=5()V7h〃，

?：DC=CE,A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以

10小千米/時的速度向北偏西60°的B尸方向移動，

???該市受臺風(fēng)影響的時間為：.5Q歹那2=]o小時.

10V7

【變式92]如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向600h〃的B處，以

每小時200加的速度向北偏東60°的方向移動，距臺風(fēng)中心500km的范圍內(nèi)

是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.

(1)A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？

(2)若4城受到這次臺風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間？

北

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)A城受到這次臺風(fēng)的影響，

理由：由A點(diǎn)向BC作垂線，垂足為M,

在RtZWBM中，NABM=30°,A8=600k〃，則AM=300&〃z,

因?yàn)?00V500,所以4城要受臺風(fēng)影響；

(2)設(shè)8c上點(diǎn)。，D4=500千米，則還有一點(diǎn)G,有

AG=50()千米.

因?yàn)镈4=AG,所以△AOG是等腰三角形，

因?yàn)樗訟M是。G的垂直平分線，MD=GA/,

在中，DA=500千米，AM=300千米，

由勾股定理得，MD=VAD2-AM2=400(千米)，

則OG=2OM=800千米，

遭受臺風(fēng)影響的時間是：f=800-200=4(小時)，

答：A城遭受這次臺風(fēng)影響時間為4小時.

【變式93］我市夏季經(jīng)常受臺風(fēng)天氣影響，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中

心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力.如圖，有

一臺風(fēng)中心沿東西方向A8由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)以已知點(diǎn)。為一海港，且點(diǎn)C

與直線A8上兩點(diǎn)48的距離分別為300%z和400公〃，且A8=500切?，以臺

風(fēng)中心為圓心周圍250h〃以內(nèi)為受影響區(qū)域.

(1)求證：ZACB=90°；

(2)海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？

(3)若臺風(fēng)的速度為4(北加〃，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長?

(2)海港C受到臺風(fēng)影響；

(3)臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為3.5小

【解答】解：(1)???AC=300切2,8c=4006”，AB=500km,

:.AC2+BC2=AB2.

.二△A3c是直角三角形，

AZACB=90°；

(2)海港C受臺風(fēng)影響.

理由如下：如圖，過點(diǎn)C作COL48于O.

S^ABC=1AC^C=lAB*CDf

22

，CD=AC?BC=300X400=240(km),

AB500

V250>240,

，海港。受到臺風(fēng)影響；

(3)當(dāng)EC=250=,EC=25(如〃時，正好影響。港口.

在RtZXCEO中，由勾股定理得

ED=22

7EC-CD=V2502-2402=70(加)，

/.EF=140hn,

,/臺風(fēng)的速度為40km/h,

，140+40=3.5(/?).

???臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為3.5/?.

【題型10、應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題】

【典例10］如圖，在一棵樹。。的10，〃高處的8點(diǎn)有兩只猴子，它們都要到A

處池塘邊喝水，其中一只猴子沿樹爬下走到離樹20m處的池塘A處，另一只

猴子爬到樹頂D后直線躍入池塘的A處.如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等,

試問這棵樹多高？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)8。高為x,則從8點(diǎn)爬到。點(diǎn)再直線沿D4到A點(diǎn)，走的總

路程為x+A。，KJI'AD=yj(io+x)2+202

而從B點(diǎn)到A點(diǎn)經(jīng)過路程(20+10)〃?=30"，

根據(jù)路程相同列111方程x+yj(io+x)2+202=3。，

可得4(10+x)2+2。2=3。-x,

兩邊平方得：(10+x)2+400=(30-x)2,

整理得：80v=400,

解得：x=5,

所以這棵樹的高度為10+5=15/K.

故答案為：15〃z.

【變式101］如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25公〃，C、。為兩村莊，DA

=10h〃，CB=15km,D4_LAB于A,于8,現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)

站￡,使得C、。兩村到E站的距離相等.求七應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處?

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)則昨=25-x,

由勾股定理得：

在Rt/XADE中，

DEr=AD2+AE2=\O2+x1,

在□△BCE中，

CF2=RC2+RE2=]52+(25-X)2,

由題意可知：DE=CE,

所以：lO^+f=15。(25-x)2,

解得：x=\5km.(6分)

所以，E應(yīng)建在距A點(diǎn)15k〃處.

【變式102]為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示所在的直

線建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)。處，C4_LA9于

A,DB上AB于B,已知AB=25%，CA=\5knhDB=lOkm,試問：圖書室E

應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少公〃處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)則8￡=(25-x)km；

在RtZ\ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=F+152；

同理可得：DE2=(25-x)2+102；

若CE=DE,則f+152=(25-%)2+102；

解得：x=10km；

答：圖書室E應(yīng)該建在距A點(diǎn)10匕〃處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等.

【變式103】鐵路上A,B兩站(視為直線上的兩點(diǎn))相距50加7,C,。為兩村

莊(視為兩個點(diǎn))，OA_1_A8于點(diǎn)A,C8_LAB于點(diǎn)8(如圖).已知D4=

20km,CB=l()km,現(xiàn)在要在鐵路A3上建一個土特產(chǎn)收購站使得C,D

兩村莊到收購站E的直線距離相等，請你設(shè)計出收購站的位置，并計算出收

購站E到A站的距離.

.C

乂4s

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，連接CQ,并作線段。。的垂直平分線，與A6相交于點(diǎn)

E,點(diǎn)、E即為所建土特產(chǎn)收購站的地點(diǎn).

連接OE,CE,設(shè)A￡=R切z,則8七=(50-X)km,

在RtZXAOE中，DEr=DA2+AE2,

.?.DE2=20W,

在RtZ\BCE中，CE?=CB2+B?,

：.CE2=\02+(50-x)2,

又?:DE=CE,

A202+x2=102+(5()-x)2,

解得x=22.

???收購站E到A站的距離為22km.

【題型11應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中折注問題】

【典例11］如圖，點(diǎn)D在△A4C的邊AC上，招ZX/WC沿3。翻折后，點(diǎn)A恰

好與點(diǎn)C重合，若BC=5,CO=3,則3。的長為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解答】解：:將△ABC沿8。翻折后，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)。重合，

???/XABDmACBD,

：?/ADB=NCDB=9U0,

在RtZ\8CD中，

^D=VBC2-CD2=752-32=4-

故選：D.

【變式111］如圖所示，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°,AC=4cm,BC=

3c7〃，將斜邊A8翻折，使點(diǎn)8落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為

AD,則CE的長為（）

A.\ctnB.1.5ctnC.2cmD.3cm

【答案】A

【解答】解：在RI/X4BC中，^^=7AC2+BC2=V42+32=5

根據(jù)折疊的性質(zhì)可矢1：AE=AB=5

???AC=4

：.CE=AE-AC=\

即CE的長為1

故選：A

知識點(diǎn)2：平面展開圖最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下：

圓柱階梯問題

甲乙丙

長方體

基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路

線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解

【題型12平面圖形最短路徑問題】

【典例12］如圖,長方體的長為15,寬為10,高為2(),點(diǎn)。離點(diǎn)C的距離是5,

一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)人爬到點(diǎn)需要爬行的最短距離是

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成

一個長方形，如第1個圖：

??,長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)8離點(diǎn)。的距離是5,

ABD=CD+BC=10+5=15,AO=2(),

在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：

?,^^=7BD2+AD2=V152+202=25;

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，

如第2個圖：

??,長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5,

ABD=CD+BC=20+5=25,AO=10,

在直角三角形A3。中，根據(jù)勾股定理得：

?*-^5=7BD2+AD2=V102+252=5^29：

只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如

第3個圖：

???長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)。的距離是5,

???AC=CO+AD=20+10=30,

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：

/.AB=^AC2+BC2=^3Q2+52=5737；

V25<5729<5^37，

工螞蟻爬行的最短距離是25.

20D10C

圖3

圖2

【變式121］如圖，圓柱形無蓋玻璃容器，高18cm,底面周長為60c〃?，在外側(cè)

距下底\cni的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口

的”處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度.

【解答】解：將曲面沿A8展開，如圖所示，過C作于七，

在Rtz^CK尸中，ZCEF=90°,K"=18-1-1=16(c/〃)，CE=1X60=30

2

(cm),

由勾股定理，得CF=^CE2+EF2=V302+162=34(ctn).

答：蜘蛛所走的最短路線是34a”.

【變式122］如圖，長方體的長為15,寬為10,高為2(),點(diǎn)5離點(diǎn)C的距離為

5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)需要爬行的最短走離

是()

B.25C.10遙+5D.35

【答案】B

【解答】解:將長方體展開，連接A、B,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

(1)如圖,80=10+5=15,AD=20,

由勾股定理得：AB~VAD2+BD2~V152+202=V625=25.

(2)如圖，"C=5,4c=20+10=30,

由勾股定理得，^^=VAC2+BC2=V52+302=:^925=5V37-

BSC

A

（3）只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方

形，如圖：

???長方體的寬為10，高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5,

ABD=CD+BC=20+5=25,AO=10,

在直角三角形A8。中，根據(jù)勾股定理得：

A/^=VBD2+AD2=V102+252=5^29;

由于25V5收＜5百，

故選：B.

A

、

、

、、

、、

、

、

、、

、、

A

【變式123］如圖，一只螞蟻從長寬都是3,高是8的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱

爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長是（）

A.372+8B.10C.14D.無法確定

【答案】B

【解答】解：將點(diǎn)A和點(diǎn)8所在的兩個面展開，

則矩形的長和寬分別為6和8,

故矩形對角線長亞=10,

即螞蟻所行的最短路線長是10.

故選：B.

【典例13）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12c、〃z,底面

周長為10C777,在容器內(nèi)壁離容器底部3c7〃的點(diǎn)8處有一飯粒，此時一只螞蟻

正好在容器外壁，且離容器上沿3c7〃的點(diǎn)A史，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最

短路徑是（）

螞蟻/

B

A.13cmB.2y[^icinC.D.

【答案】A

【解答】解:如圖：

???高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一

飯粒，

此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3a〃與飯粒相對的點(diǎn)4處，

???A'D=5cm,BD=\2-3+AE=12c/?,

，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于石廠的對稱點(diǎn)A',

連接A'B,則A'8即為最短距離，

A，D2+BD2

=^52+122

=13（C〃？）.

故選：A.

【變式131]如圖所示，一圓柱高8c/〃，底面半彳仝為2c〃z,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到

點(diǎn)B處吃食，耍爬行的最短路程（IT取3）是（）

<—v

、—」

—/

A.2()cinB.1OcmC.14cinD.無法確定

【答案】B

【解答】解：如圖所示：沿AC將圓柱的側(cè)面展開,

???底面半徑為2c?〃，

???8。=業(yè)=271-652,

2

在RtAABC中，

*?*AC=Scm,BC=6cm,

A^=VAC2+BC2=V62+82=IOCW-

故選：B.

CB

/

/

/

/

/

/

/

/

Z

/

Z

C-----------------------------------------------

【典例14］如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20大小3dm、

2dm,A和3是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)3

處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)。的最短路程為（）曲2.

A20

A.20B.25C.30D.35

【答案】B

【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20小〃，寬為（2+3）X3加7,

則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長.

設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xc加,

由勾股定理得:^=202+[(2+3)X3]2=252,

解得：x=25(dm).

【變式141]如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為2()、3、2,A

和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到8點(diǎn)去吃可口的食

物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)最短路程是25.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖所示,

???三級臺階平面展開圖為長方形，長為2(),寬為(2+3)X3,

???螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長.

設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x,

由勾股定理得:『=2。2+[(2+3)X3]2=252,

解得：x=25.

故答案為25.

【變式142]如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8力〃、3dm、2dm.A

和8是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，相到點(diǎn)B處去吃可

口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為蚊dm.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為寬為（2十3）X3dm,

則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長.

可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為44加,

由勾股定理得:^=82+[（2+3）X3]2=172,

解得x=17.

故答案為：17.

1.如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵樹高4米，兩樹相距8米.一只鳥從

一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）

A.8米B.10米C.12米D.14米

【答案】B

【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為A8=10〃z,

小樹用為CD—4//??

過C點(diǎn)作CE_L48于E,則E8OC是矩形，

連接AC,

；.EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=]0-4=6m,

在RlZ\AEC中，^C=-7AE2+EC2=1°（〃Z），

故小鳥至少飛行10m

2.如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個小圓

孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分。的長度（罐壁的厚度和小圓孔的

大小忽略不計）范圍是（）

A.12Wa〈13B.12W〃<15C.5WQ〈12D.

【答案】A

【解答】解：a的最小長度顯然是圓柱的高12,最大長度根據(jù)勾股定理，得：

752+122=13-

即。的取值范圍是12MW13.

故選：A.

3.如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少

要（）

A.4米B.5米C.6米D.7米

【答案】。

【解答】解：在RI/V18C中，4C=A/AB2-B,2=4米，

故可得地毯長度=4。+8。=7米，

故選：D.

4.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左

I嗇角的距離為（）.7米，頂端距離地面2.4米.若梯子底端位置保持不動，將梯

子斜靠在右墻時，頂端距離地面1.5米，則小巷的寬度為（）

A.2.7米