專題61古典概型、概率的基本性質(zhì)

知

考綱要求

識

考點(diǎn)預(yù)測

梳

理常用結(jié)論

方法技巧

題型一：古典概型的特征

題型二：計算古典概型問題的概率

題

題型三：有放回與無放回問題的概率

型

題型四：根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)

歸

類題型五：概率的加法公式

題型六：整數(shù)值隨機(jī)數(shù)

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解古典概型及其概率計算公式.

2.會計算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概型.

3.當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時，可轉(zhuǎn)化為求幾個互斥事件的概率之和或其對立事件的

概率.

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.古典概型

具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個;

(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相笑.

2.古典概型的概率公式

一股地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間。包含〃個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的攵個樣本點(diǎn)，

則定義事件A的概率P(A)=W=5}.

其中，〃(A)和〃(。)分另ij表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點(diǎn)個數(shù).

3.概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件A,都有OWP(A)W1；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(O)=1,P(0)=O；

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么3(AUB)=P(4)+P(B)；

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(4),P⑷=1—P(B)；

性質(zhì)5：如果AUB,那么PG4)WP(8),由該性質(zhì)可得，對于任意事件A,因為。EAU。，所以

OWP(A)W1.

性質(zhì)6：設(shè)48是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，有P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AnB).

【常用結(jié)論】

概率的一般加法公式P(AU8)=P(A)+P(8)一尸(AAB)中，易忽視只有當(dāng)AG8=。，即A,B互

斥時，P(AU8)=P(A)+P(8),此時P(An8)=0.

【方法技巧】

1.求樣本空間中樣本點(diǎn)個數(shù)的方法

(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.

(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點(diǎn)時(羽y)可看成是有序的，如(1,2)

與(2,1)不同，有時也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同.

(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個數(shù)時，可利用排列或組合的知識.

2.復(fù)雜事件概率的求解方法

(1)對于一個較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時，原事

件的概,率就是這些簡單事件的概率的和.

(2造求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時，常?？紤]其對立事件，通過求

其對立事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問題.

3.有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型.概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論

是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題

的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}.

二、【題型歸類】

【題型一】古典概型的特征

3-7449

A.-B.—C.-D.—

510510

【典例2】(2023?河南?模擬預(yù)測)“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，

每月兩節(jié)不變史，最多相差一兩天.〃中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國傳統(tǒng)文化

的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大著，現(xiàn)從五月、六月、七月這六個節(jié)

氣中任選兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣恰在同一個月的概率為（）

A.!B.-C.-D.—

23510

【典例3】（2023?全國?模擬預(yù)測）在素數(shù)研究中，華裔數(shù)學(xué)家張益唐證明了攣生素數(shù)猜想的一個弱化形式，

攣生素數(shù)是指相差為2的素數(shù)對，例如3和5,5和7等.從不超過13的正奇數(shù)中隨機(jī)抽取2個，則這2

個奇數(shù)是李生素數(shù)的概率為（）

I111

A.-B.-C.-D.—

36714

【題型二】計算古典概型問題的概率

【典例1】（2023?全國?模擬預(yù)測）為了給學(xué)生樹立正確的勞動觀，使學(xué)生懂得勞動的偉大意義，某班從包

含甲、乙的6名學(xué)生中選出3名參加學(xué)校組織的勞動實踐活動，在甲被選中的情況下，乙也被選中的概率

為（）

1233

A.-B.-C.-D.—

2554

【典例2】（2024?四川自貢?統(tǒng)考一模）體育強(qiáng)國的建設(shè)是2035年我國發(fā)展的總體指標(biāo)之一.某學(xué)校安排周

一至周五每天一小時課外活動時間，現(xiàn)統(tǒng)計得小明同學(xué)最近10周的課外體育運(yùn)動時間（單位：小時/周）：

6.5,6.3,7.8,9.2,5.7,7.9,8.1,7.2,5.8,8.3,則下列說法不正確的是（）

A.小明同學(xué)近10周的課外體育運(yùn)動時間平均每天不少于1小時

B.以這10周數(shù)據(jù)估計小明同學(xué)一周課外體育運(yùn)動時間大于8小時的概率為0.3

C.小明同學(xué)10周的課外體育運(yùn)動時間的中位數(shù)為6.8

D.若這組數(shù)據(jù)同時增加0.5,則增加后的10個數(shù)據(jù)的極差、標(biāo)準(zhǔn)差與原數(shù)據(jù)的極差、標(biāo)準(zhǔn)差相比均無

變化

【典例3】（2023?全國?模擬預(yù)測）某中學(xué)團(tuán)委為慶?！拔逅摹ㄇ嗄旯?jié)，舉行了以“弘，五四’精神，揚(yáng)青春風(fēng)采〃

為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機(jī)選2

位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（）

I238

A.-B.-C.-D.—

33415

【題型三】有放回與無放回問題的概率

【典例1】（2023?陜西安康?陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知某口袋中放有大小、質(zhì)地完全相同的紅球

和白球各若干個，若有放回地從口袋中每次摸取1個球，連續(xù)摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率

為Pi，兩次摸到的小球顏色相同的概率為生，則（）

【典例2】（2023下?四川眉山?高二仁壽一中?？茧A段練習(xí)）從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)

【典例3】（2021上?江蘇南通,高三海安市曲塘中學(xué)?？计谀┢咔砂?，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代

勞動人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前?世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流

傳.某同學(xué)用邊長為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個等腰直角三角形，1個正

方形和1個平行四邊形.若該同學(xué)從這七塊小木板中隨機(jī)抽取2塊，這兩塊的面積相等的概率是（）

【題型六】整數(shù)值隨機(jī)數(shù)

【典例1】（2021?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考三模）一袋中裝有除顏色外完全相同的4個白球和5個黑球，從中有放回

的摸球3次，每次摸一個球.用模擬實驗的方法，讓計算機(jī)產(chǎn)生1-9的隨機(jī)數(shù)，若1-4代表白球，5-9

代表黑球，每三個為一組，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：

917966191925271932735458569683

431257393627556488812184537989

則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（）

7311

A.——B.—C.-D.-

201045

【典例2】（2021?安徽淮南?統(tǒng)考一模）有4個大小、形狀相同的小球，裝在一個不透明的袋子中，小球上

分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3.4.現(xiàn)每次有放回地從中隨機(jī)取出一個小球，直到標(biāo)有偶數(shù)的球都取到過就停止.小

明用隨機(jī)模擬的方法估計恰好在第4次停止摸球的概率，利用計算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，每1組中有4個數(shù)

字，分別表示每次摸球的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下21組隨機(jī)數(shù)：

1314123423331224332214133124432123412413

12242143431224121413433122344422324143314234,

由此可以估計恰好在第4次停止摸球的概率為（）

21廣2八5

AA.-BD?-C.-D.—

33721

7

【典例3］（2020?河北石家莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）經(jīng)統(tǒng)計某射擊運(yùn)動員隨機(jī)射擊一次命中目標(biāo)的概率為行，為

估計該運(yùn)動員射擊4次恰好命中3次的概率，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法，先由計算機(jī)產(chǎn)生。到9之間取整數(shù)

值的隨機(jī)數(shù)，用0,1,2表示沒有擊中，用3,4,5,6,7,8,9表示擊中，以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表

射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):

95G7,7424,7610,4281,7520,0293,7140,9857,0347,4373,

0371,6233,2616,8045,6011,3661,8638,7815,1457,5550.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則可估計該運(yùn)動員射擊4次恰有3次命中的概率為（）.

2371

A.-B.—C.—D.-

510204

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考二模）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每

人寫了一個祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（）

A.小王和小張恰好互換了賀卡的概率為。

6

B.已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為g

c.恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為:

D.每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為:

O

⑴本次調(diào)查對產(chǎn)品功能非常滿意和對產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）

⑵若這250人中對兩項都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對產(chǎn)品功能車常滿意和對產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)

抽取3人，設(shè)3人中兩項都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【訓(xùn)練三】（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）某中學(xué)在運(yùn)動會期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計時的

趣味性比賽，并對學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：

速度

性別合計

快慢

男生65

女生55

合計110200

⑴根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)?

0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

【訓(xùn)練四】（2023?湖北?統(tǒng)考二模）五一小長假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點(diǎn)都推出了種種新

奇活動以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個足夠長的

直線軌道的中心處有一個會走路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一步會隨機(jī)選

擇向前行走或向后行走，且每一步的距離均相等，若機(jī)器人走完這些步數(shù)后，恰好歸I到初始位置，則視為

勝利.

⑴蘇小明設(shè)定機(jī)器人一共行走4步,記機(jī)器人的最終位置與初始位置的距離為X步，求X的分布列和期望；

【訓(xùn)練五】（2023?浙江?模擬預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32隊參加，其中歐洲球隊有13支，

分別是德國、丹麥、法國、西班牙、英格蘭、克羅地亞、比利時、荷蘭、塞爾維亞、瑞士、葡萄牙、波蘭、

威爾士.世界杯決賽圈賽程分為小組賽和淘汰賽，當(dāng)進(jìn)入淘汰賽階段時，比賽必須要分出勝負(fù).淘汰賽規(guī)

則如下：在比賽常規(guī)時間90分鐘內(nèi)分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若比分相同，則進(jìn)入30分鐘的加時賽.在加時

賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時賽比分依然相同，就要通過點(diǎn)球大戰(zhàn)來分出最后的勝負(fù).點(diǎn)球大戰(zhàn)分為2

個階段.第一階段：前5輪雙方各派5名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)（非必要無需踢

滿5輪），前5輪合計踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊獲得比賽的勝利.第二階段：如果前5輪還是平局，進(jìn)入“突

然死亡”階段，雙方依次輪流踢點(diǎn)球，如果在該階段一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，

直到某一輪里，一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰逆點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利.

卜.表是2022年卡塔爾世界杯淘汰賽階段的比賽結(jié)果:

淘汰賽比賽結(jié)果淘汰賽比賽結(jié)果

荷蘭3:1美國

阿根廷2:1澳大利亞

1/4決賽

1/8決賽法國3:1波蘭摩洛哥1:0葡萄牙

英格蘭3:0塞內(nèi)加爾英格蘭1:2法國

半決賽阿根廷3:（）克羅地亞

巴西4:1韓國法國2:0摩洛哥

季軍賽克羅地亞21摩洛哥

葡萄牙6：1瑞士決賽

⑴請根據(jù)上表估計在世界杯淘汰賽階段通過點(diǎn)球大戰(zhàn)分出勝負(fù)的概率.

⑵根據(jù)題意填寫下面的2x2列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“32支

決賽圈球隊闖入8強(qiáng)"與是否為歐洲球隊有關(guān).

歐洲球隊其他球隊合計

闖入8強(qiáng)

未闖入8強(qiáng)

合計

⑶若甲、乙兩隊在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn).已知甲隊球員每輪踢

進(jìn)點(diǎn)球的概率為P，乙隊球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為:，求在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，兩隊前2輪比分為2:2的條件下，

四、【強(qiáng)化測試】

【單選題】

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，設(shè)“第1次正面朝上”為事件A,“第2次反

面朝上〃為事件A,“2次朝上結(jié)果相同〃為事件C,有下列三個命題：

①事件A與事件8相互獨(dú)立；②事件A與事件C相互獨(dú)立；③事件A與事件C相互獨(dú)立.

以上命題中，正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2021?江西撫州??？寄M預(yù)測）下列說法中錯誤的個數(shù)是

①某校共有女生2021人，用簡單隨機(jī)抽樣的方法先剔除21人，再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取為200人，則每

個女生被抽到的概率為歷；

③如果落在回歸直線上的樣本點(diǎn)越多，則回歸直線方程的擬合效果就越好；

A.1B.2C.3D.4

3.（2023上?陜西西安?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一個大箱子內(nèi)放有5本科學(xué)雜志和7本文學(xué)雜志，小張先從

箱內(nèi)隨機(jī)抽取1本（不放回），小李再從箱內(nèi)隨機(jī)抽取1本，已知小張抽取的是文學(xué)雜志，則小李抽取的是

科學(xué)雜志的概率為（）

A51.56

A.—B.—C.——D.——

1221111

4.（2020?江西九江?統(tǒng)考三模）在一個不透明的盒子中裝有4個大小、形狀、手感完全相同的小球，分別標(biāo)

有數(shù)字1,2,3,4.現(xiàn)每次有放回地從中任意取出一個小球，直到標(biāo)有偶數(shù)的球都取到過就停止.小明用隨機(jī)

模擬的方法估計恰好在第3次停止摸球的概率，利用計算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，每1組中有3個數(shù)字，分別

表示每次摸球的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：

131432123233234122332141312241122214431241141433223442

由此可以估計恰好在第3次停止摸球的概率為（）

II52

A.-B.-C.—D.-

63189

5.（2023?遼寧?遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）北京2022年冬奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融非?？蓯?，某教

師用吉祥物的小掛件作為獎品鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)，設(shè)計獎勵方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形狀完全

相同的6張卡片，上面分別標(biāo)有編號1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，

只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎，已知第一次抽到卡片中獎，則第二次抽到卡片中獎的概率為（）

1112

A.—B.-C.-D.一

15535

6.（2021上?河南?高三校聯(lián)考期末）在一個不透明的袋子中，裝有若干個大小相同顏色不同的小球，若袋

取到紅球的概率為:，則袋中球的總個數(shù)為（）

中有2個紅球，且從袋中任取一球，

A.5B.8C.10D.12

A2c111

A.§B.￡C.-D.-

36

8.（2023?四川樂山?統(tǒng)考一模）3個0和2個1隨機(jī)排成一行，則2個1不相鄰的概率為（）

1c2-34

A.—B.一C.-D.一

5555

【多選題】

9.（2023?云南紅河?統(tǒng)考二模）在不透明的甲、乙兩個盒了?中分別裝有除標(biāo)號外完全相同的小球，甲盒中有

4個小球，標(biāo)號分別為1,2,3,4,乙盒中有3個小球，標(biāo)號分別為5,6.7.現(xiàn)從甲、乙兩個盒里分別隨

機(jī)抽取一個小球，記事件4="取到標(biāo)號為2的小球“，事件8="取到標(biāo)號為6的小球”，事件C="兩個小球

標(biāo)號都是奇數(shù)〃，事件。=”兩個小球標(biāo)號之和大于9〃，則（）

A.事件A與事件8相互獨(dú)立B.事件C與事件D互斥

10.（2023?全國?模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.某校高一年級學(xué)生有800人，高二年級學(xué)生有900人，高三年級學(xué)生有1000人，為了了解高中生

對亞運(yùn)會的關(guān)注程度，現(xiàn)采用分層唯機(jī)抽樣方法抽取樣本容量為270的樣本進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一學(xué)

生抽取的樣本容量為80

B.某人有10把鑰匙，其中有3把能打開門，若不放回地依次隨機(jī)抽取3把鑰匙試著開門，則第三次才

7

能夠打開門的概率為左

40

11.（2023?安徽蕪湖?統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個不透明的袋子里，裝有大小相同的3個紅球和4個藍(lán)球，每次從

中不放回地取出一球，則下列說法正確的是（）

A.取出1個球，取到紅球的概率為,

B.取出2個球，在第?次取到藍(lán)球的條件下，第二次取到紅球的概率為g

C.取出2個球，第二次取到紅球的概率為g

9

D.取出3個球，取到紅球個數(shù)的均值為'

A.事件A與事件B是對立事件B.事件A與事件8是相互獨(dú)立事件

【填空題】

13.（2023?重慶?統(tǒng)考二模）餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現(xiàn)鍋中煮有白菜餡餃子4

個，韭菜餡餃子3個，這兩種餃子的外形完全相同.從中任意舀取3個餃子，則每種口味的餃子都至少舀取

到1個的概率為.

14.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考一模）一個口袋里有大小相同的白球4個，黑球小個，現(xiàn)從中隨機(jī)一次性取出2

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個球，若取出的兩個球都是自球的概率為1,則黑球的個數(shù)為.

15.（2023?湖北?校聯(lián)考三模）袋中有形狀和大小相同的兩個紅球和三個白球，甲、乙兩人依次不放回地從

袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的概率是.

16.（2023?全國?模擬預(yù)測）將含甲、乙的5名志愿者隨機(jī)地分配到2個不同社區(qū)參加服務(wù)工作（每個社區(qū)

至少1名，且每名志愿者分配到一個社區(qū)），則甲、乙被分配到同一社區(qū)的概率為.

【解答題】

⑴每局“七人賽〃游戲中，應(yīng)