第十三章三角形三角形的內(nèi)角有關(guān)計(jì)算典型題型專項(xiàng)

練2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級上冊

基礎(chǔ)練

知識點(diǎn)一三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

1.若等腰三角形頂角為70。，則這個(gè)三角形的底角的度數(shù)為（）

A.55°B.80°C.50°D.65°

2.已知VA8C的三邊分別為a、b、c,卜?列條件中，不能判定VA3C為直角三角形的是（)

A.ZA=ZB+ZCB.a:b:c=3：4：5

C.ZA:N8:NC=3:4:5D.b2=a2+c2

3.如圖，口△48。中,ZB=50°,ZC=90°,線段人。是/CAB的平分線，/4O8的度數(shù)為（）

A.80°B.1000C.110°D.150°

4.在VABC中，2A、NB、NC的對邊分別是〃、b、c,下列條件能判斷VABC為直角三角形

的是（）

A.c2-cr-h2B.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.a:〃：c=7:40:41D.ZA=40°,ZB=70°

知識點(diǎn)二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

5.如圖，直線/〃8C,若NA=70。，Zl=65°,則N8的度數(shù)為（）

A.45°B.65°C.70°D.110°

6.如圖，在V4?C中，ZB=85°,NACO=40。，AB//CD,則/ACB的度數(shù)為（）

A.90°B.85°C.60°D.55°

7.如圖，在VABC中，ZA=57°,N8=40。，DE//BC,則NAM的度數(shù)為

8.已知：如圖所示，AB//CD,AE交CD于點(diǎn)C,垂足為￡ZA+Z1=84°,求ND

知識點(diǎn)三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

9.如圖，在VAKC中，AE平分NBAC,若N8=70。，ZC=30°,則N84E的度數(shù)是（）

C.30°D.40°

CO平分NAC8,若NA=60。，則/。的度數(shù)為（）

C.130°D.150°

II.如圖，點(diǎn)。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，。4、OC分別平分/84C、ZBCA,NB=64。，則NO=

B

12.如圖，在VA8C中，CO平分/AC8,ZA=68°,4a)=31。.求NADC的度數(shù).

13.如圖，VABC的兩條內(nèi)角平分線BE,CF交于點(diǎn)P,。。是45邊上的高，ZBAC=60°.

⑴求N8PC的度數(shù)；

⑵若ZA8C=50°,求-Ob的度數(shù).

知識點(diǎn)四直角三角形的兩個(gè)銳角互余

14.如圖，VABC中，AB=AC,CDLAB于點(diǎn)、D,若NAC￡>=40。，則/8C￡>=()

A

15.已知/A,為直角VABC兩銳角，NB=54。,則NA=

16.如圖AO/8C,Z1=Z2,NC=65。，求/D4C,NBA。的度數(shù).

17.如圖，在VA8C中，A。是高，4E是角平分線，ZB=40,ZC=80,求NEAZ)的度數(shù).

1.A

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)等腰三角形的特征以及三角形內(nèi)角和為

180。進(jìn)行作答即可.

解：???等腰三角形的兩個(gè)底角相等，

???底角為（180。-70。）+2=55。，

故選：A.

2.C

本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角

形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分析出A、C的正

誤；根據(jù)勾股定理逆定理可分析出B、D的正誤.

解：A、?.Z=NB+NC,ZA+/6+NC=180。，

.-.Z4=90°,

.?…48c為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、Q52=32+42,

???能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、設(shè)ZA=3x。，N8=4.r°,/C=5月，

3x+4x+5x=180,

解得：x=15,

則5f=75。,

??...48C不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意：

D、b2=a2+c2

???能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

3.

C

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的計(jì)算，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.

先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得N84C=40。，再根據(jù)角平分線的定義可得N84O=20。，然后根據(jù)三

角形的內(nèi)角和定理即可得.

解：?.?在VA4c中，ZB=50°,ZC=90°,

/.ZBAC=180°-50°-90°=40°,

???4。平分/班。，

NB/W=20。，

ZADB=180°-ZB-/BAD=110)，

故選：C.

4.

A

本題考查了勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算,

逐項(xiàng)判斷即可.

A、Vc2=cr-lr,

??b-+c~=a~?

???VABC是直角三角形，符合題意；

B、VZA:Zfi:ZC=3:4:5,且ZA+NB+NC=180。，

AZA=45°,4=60。，ZC=75°,

???VA8C不是直角三角形，小符合題意；

C、Vt/:Z?:c=7:40:41,設(shè)〃=7%力=40匕c=4心

:.M-6=8]&2,/=4”2,

?7Of)

??cr工cr-b-,

???VABC不是直角三角形，不符合題意；

D、VZA=40°,ZB=70°,

:.ZC=70°,

???VA8C不是直角三角形，不符合題意.

故選：A.

知識點(diǎn)二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

5.

A

利用平行線的性質(zhì)得到^1=ZC=65°,再利用三角形的內(nèi)角和定理解題即可.

解：*：1//BC,

JN1=NC=65。，

A^B=180°-ZC-ZA=180°-65°-70°=45°.

故選A.

本題考查平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

6.D

根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

解：'JAB//CD,NACQ=40。，

，NA=N4CZ>40。，

:.ZACB=180°-ZA-ZB=180o-40°-85o=55°,

故選：D.

本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理等于180。是解題的關(guān)鍵.

6.

83

根據(jù)三角形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)即可求解.

解：NA=57。，ZB=40°,

.\ZC=180o-ZA-ZB=83°,

又：DE〃BC,

\?AED?C83?,

故答案為：83.

本題考查了三角形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.

ZD=48°

本題考杳了平行線的性質(zhì)、對頂角、垂直定義、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得

出NA=N1,求出N1,即可求出NECO,根據(jù)垂直求出NDEC=90。，即可求出答案.

■:AI3//CD,

ZA=Zi,

:Z4+ZI=84°,,

:.N1=N4=42。，

/.ZECD=Z1=42°,

OE_LAE,

ZDEC=90°,

/.ZD=18()0-ZDEC-ZECD=48°.

知識點(diǎn)三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

8.

D

本題主要考食了三角形內(nèi)角和定埋，角平分線的定義，由三角形內(nèi)角和定埋可得N8AC的度數(shù)，再

由角平分線的定義即可得到答案.

解；VZZ?=70°,ZC=30°,Z￡MC+ZZ?+ZC=I8O°,

AZBAC=80°,

???AE平分N8AC,

NR4E=4NR4C=40。，

2

故選：D.

9.

B

本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180。是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理求出NAC4+43C的度數(shù)，再由平分ZA4C,CQ平分N4CB,得出NO4C+NQCB的度數(shù)，

進(jìn)而可得出結(jié)論.

解：VZA=60°,

:.ZACB+ZABC=180°-60°=120°,

二8。平分/A8C,。。平分/AC8,

???Z.DBC+ZDCB=i(Z4CT+Z4BC)=gx120。=60。，

.?.Z￡>=180°-(ZDBC+NDC8)=180。-60。=120°.

故選：B.

10.

122。/122度

本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握一角形的內(nèi)角和定理，并掌握整體法是解

題的關(guān)鍵.利用角平分線定義得出NO4C=1N8AC,NOC4=g/8CA,再利用三角形內(nèi)角和定理得

22

出N84C+NBC4=1I6。，則可得NO4C+NOC4=g(/84C+N8C4)=58。，再利用三角形內(nèi)角和定

理求解即可.

解：???。4、OC分別平分-BAC、

/.ZOAC=-ZBAC,ZOCA=-ZBCA

22t

???ZB=64°,

ZE4C+NBCA=180°-Z^=116°,

???NOAC+NOCA=；N8AC+g/8cA=g(N8AC+NBCA)=；xll60=58。，

???NC=180°-ZOAC-ZOCA=180°-(ZOAC+ZOCA)=180°-58°=122°,

故答案為：122。.

11.

81。

本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線，先根據(jù)角平分線的定義求出/4C。度數(shù)，然后在..AC。中，

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

解：平分NAC8,ZBCD=3l。,

/.ZACD=/BCD=31。,

又ZA=6X0,

:.ZA￡)C=180o-ZA-ZACD=810.

12.

(1)120°

(2)5°

本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NA4C+NAC4=120。，冉根據(jù)角平分線的定義得到

NPBC+NPCB=60°,即可得到答案；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NACB=70。，根據(jù)角平分線的定義得到N4C〃=35。，由CDJ.AB得

至l]ZACD=30。，計(jì)算NAb-ZACO即可得到答案.

(1)解：QZBAC=60°,

??.ZABC+ZACB=1800-ABAC=120%

的平分/ABC,C/平分NAC3,

NPBC+4PCB=；(/ABC+ZACB)=60°,

ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=120°；

(2)解：QZBAC=60°,Z48c=50。，

/.ZACB=180°-ABAC-ZABC=700,

平分工AC3,

..ZACF=-ZACB=35°,

2

CD工AB,

ZADC=90°,

ZACD=90°-NBAC=30°,

/./DCF=ZACF-ZACD=5°.

知識點(diǎn)四直角三角形的兩個(gè)銳角互余

13.

c

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等.由直角三角形的性質(zhì)求出

ZA=50°,由等腰三角形的性質(zhì)得到4=NACB=；x（180。-50。）=65°,即可求出NBCD的度數(shù).

解：?.?CO_LA4于點(diǎn)。，

/.ZADC=90°,

ZA=90°-ZACD=90°-40°=50°,

vAB=AC,

NB=NACB=1x（180°-50°I=65°,

/BCD=ZACB-ZACD=653-40°=25°.

故選：C.

14.

36?；?6度

根據(jù)直角三角形中，兩個(gè)銳角互余計(jì)算即可.

解：???NA,N8為直角△ABC兩銳角，

???ZA=90°-Zfi=36°,

故答案為：36。

本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵.

15.

ZZMC=25°；^BAC=70°

本題主要考查了垂直的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用.

根據(jù)條件和直角三角形的性質(zhì)得出Nl，N2的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

解：AD上BC,

???ZADB=ZADC=90°,

,/N1=N2,

.-.Z1=Z2=9O°4-2=45°,

ZC=65°,

JZDAC=90°-ZC=25°,

:.ZBAC=^DAC+Z2=25°+45°=70°.

16.

20°

根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線求出根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。求出的度數(shù)，然后

根據(jù)角的關(guān)系求出NE4。即可.

本題考查了三角形的角平分線，主要利用了直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，熟記各性質(zhì)并

準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

解：■:N3=40,ZC=80,

:.ZftAC=180o-40o-8(r:'=60o,

???是角平分線，

???ZBAE=-ABAC=-x60°=30°

22

VAD是高,

/.ZA￡>E=90°

，ZBA￡)=90°-40°=50°

，ZEAD=ABAD-/BAE=50-30°=20°.

17.

C

本題考查鄰補(bǔ)角性質(zhì)，二角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得4/龍+/4￡7)=360。-。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

解：VZAZ>￡=180°-Zl,Z4￡D=180°-Z2,

???ZADE+ZAED=360°-(Zl+Z2)=360°-a,

???ZADE+ZAED+Z4=180°,

???ZA=180°-(ZADE+ZAED)=180°-(360°?a)=a-180°,

故選：C.

18.

(1)115,25

⑵不會發(fā)生變化，理由見解析

(3)ZA=45°或60?；?20°或135°

(1)由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(2)同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)設(shè)/4=x,則NQ=；x,再由NPCQ=90。不變，即可分類討論：①當(dāng)NQ=3NQPC時(shí)，②當(dāng)

NQPC=3NQ時(shí)，③當(dāng)NPCQ=3NQ時(shí)，?當(dāng)時(shí)，分別列出關(guān)于工的等式，解出、

即可.

(I)解：vZA=50°,N9=60。，

二ZAC8=180°-4-々=7(T.

CP平分NAC8,

NBCP=Z.ACP=-ZACB=35。.

2

DE//BC,

??.ZADE=ZB=60°,ZPGD=ZBCP=35°.

DP平分NADE,

/.ZPDG=-ZADE=30°.

2

??.NOPC=180°—NroG—NPGD=115。；

NDPC=115。,

ZCPC=180o-115o=65°.

CP平分CQ^^/ACF.

AZACP=-ZAC13,ZACQ=-ZACF.

22

ZACT4-ZACF=180°,

40+4C。=90。，即NPCQ=90°,

NQ=9()o-NQPC=25。.

故答案為：115,25：

(2)解：不會發(fā)生變化，理由如下：

ZA=50°,

ZAC3+N3=130。.

DE//BC,

：.ZADE=ZB,4PGD=4PCB.

。2平分/ADE,CP平分/AC8,

/.NPDE=-NADE」NB,NPCB=-ZACB=NPGD.

222

NDPC=180。-(NPDE+NPGD)

=180o-^(Z/^+ZACB)

=180°--xl300

2

=115°.

ZQPC=65°,

NAC。卜NAC產(chǎn)=180°,

ZPCQ=-(ZA