專題20四邊形

一、多邊形內(nèi)角與外角

【高頻考點精講】

1、多邊形內(nèi)角和等于（n-2）-180°,其中〃23且〃為整數(shù)。

（1）推導方法：從〃邊形的一個頂點出發(fā)，引出（〃-3）條對角線，將〃邊形分割為（〃-2）個三角形，

則（〃-2）個三角形的所有內(nèi)角之和就是〃邊形的內(nèi)角和。

（2）思想方法：將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形。

2、多邊形外角和等于360°。

（1）多邊形的外角：每個頂點處取一個外角，則〃邊形取〃個外角。

（2）推導方法：多邊形外角和=180“（/?-2）*180°=360°。

（3）思想方法：鄰補角概念以及多邊形內(nèi)角和定理。

【熱點題型精練】

I.（2022?大連中考）六邊形內(nèi)角和的度數(shù)是（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

解：六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是（6-2）X1800=720°.

答案:。.

2.（2022?煙臺中考）一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰外角的度數(shù)比為3：1,則這個正多邊形是（）

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

解：???一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰外角的度數(shù)比為3：1,

???設這個外角是￡,則內(nèi)角是版°,

根據(jù)題意得：x+3x=180,

解得：x=45,

360c+45°=8（邊），

答案:C

3.（2022?河北中考）加圖，將三角形紙片剪掉一角得四功形，設與四功形BCOE的外角和的度數(shù)分別為a,

,則正確的是（）

A.a-p=0B.a-p<0

C.a-p>0D.無法比較a與。的大小

解：???任意多邊形的外角和為360,，

?二。=0=360°.

.*.a-0=0.

答案:A.

4.（2022?南充中考）如圖，在正五邊形ABCOE中，以為邊向內(nèi)作正△48尸，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AE=AFB.NEAF=/CBFC.NF=NEAFD.ZC=ZE

解：在正五邊形"COE中內(nèi)角和：180°X3=540°,

???NC=NO=NE=NE4B=NABC=540°4-5=108°,

工。不符合題意；

???以AB為邊向內(nèi)作正△48F,

/.ZMB=ZABF=ZF=60°,AF=AB=FB,

*：AE=AB,

：,AE=AF,NEAF=NFBC=48°,

???A、8不符合題意；

???NFWNEAR

???C符合題意；

答案:C

2

5.（2022?眉山中考）一個多邊形外角和是內(nèi)角和的g,則這個多邊形的邊數(shù)為11.

解：設這個多邊形的邊數(shù)為〃，

2

根據(jù)題意可得：-x（n-2）x180°=360°,

解得：n=ll,

答案：11.

6.（2022?株洲中考）如圖所示，已知NMON=60。，正五邊形A/3CQE的頂點A、8在射線OM上，頂點￡在射線

ON上，則NAEO=48度.

N/

/D

E,

OABM

解：???五邊形A8CQE是正五邊形.

:.NEAB=（5-29180。=]08。,

???NE48是aAE。的外角，

AZAEO=ZEAB-ZMON=108°-60°=48°,

答案：48.

7.（2022?遂寧中考）如圖，正六邊形"COE尸的頂點人、尸分別在正方形8MG”的邊8"、G”上.若正方形BMGH

的邊長為6,則正六邊形4ACDEF的邊長為4.

解：設4/=尤則AB=x,AH=6-x,

???六邊形ABCDEF是正六邊形，

/=120°,

：.ZHAF=60°,

VZAHF=90°,

：.^AFH=30°,

???AF=24”，

Ax=2(6-x),

解得x=4,

."B=4,

即正六邊形ABCDEF的邊長為4,

答案：4.

8.（2022?攀枝花中考）同學們在探索“多邊形的內(nèi)角和”時，利用了“三角形的內(nèi)角和”.請你在不直接運用結(jié)論

“〃邊形的內(nèi)角和為（〃-2）?180°”計算的條件下，利用“一個三角形的內(nèi)角和等于180?！?，結(jié)合圖形說明：

五邊形ABCQE的內(nèi)角和為540°.

解：連接AD，AC,

工五邊形ABCDE的內(nèi)角和等于△AED,△AQC,△43C的內(nèi)角司,

.??NGE4=80°,

/.Z￡：GC=80°.

答案:民

解：A、80°+110°W180°,故A選項不符合條件；

B、只有一組對邊平行不能確定是平行四邊形，故8選項不符合題意；

。、不能判斷出任何?組對邊是平行的，故C選項不符合題意；

。、有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故。選項符合題意:

答案:。.

II.（2022?益陽中考）如圖，在團A8CO中，AB=8,點E是AB上一點,AE=3,連接DE,過點。作C”〃。區(qū)

交AB的延長線于點F,則BF的長為（）

解：在團A38中，A6=8,

，CD=A5=8,AB//CD,

??FE=3,

：,BE=AB-AE=5,

???CF//DE,

???匹邊形OEFC是平行四邊形,

：,DC=EF=S,

:?BF=EF?BE=8-5=3.

答案:C

12.（2022?無錫中考）如圖，在回A8CD中，AD=BD,NAQC=105°，點E在AQ上，NEBA=60°,則方的值

CxLz

是（）

解：如圖，過點8作于〃,

B

DEHA

設NAO8=x,

???匹邊形ABCD是平行四邊形，

:.BC〃AD,ZADC=ZABC=\05°,

：,ZCBD=ZADB=x,

?；AD=BD,

???NDBA=NDAB=嗎一”,

.*.x=30o,

AZADB-30°,NDA8—75°,

:.BD=2BH,DH=y13BH,

???NEBA=60°,ZDAB=15°,

：.ZAEB=45°,

:?NAEB=/EBH=45°,

:.EH;BH,

：，DE=V3BH-BH=（V3-1）BH,

\'AB=>JBH2+AH2=JBH2+（2BH-y^BH）2=（乃-或）BH=CD,

.竺一涯

?.=,

CD2

答案:。.

13.（2D22?廣州中考）如圖，在團A8co中，4。=10,對角線AC與30相交于點O,AC+BD=22,則△BOC的周

長為21.

解：?.?四邊形"8是平行四邊形，

：.A0=0C=^AC,BO=OD=AD=BC=\0,

???AC+3Q=22,

OC+BO=11,

，△BOC的周長=OC+OB+BC=11+10=21.

答案：2I.

14.（2022?常德中考）如圖，已知尸是△ABC內(nèi)的一點，F(xiàn)D//BC,FE//AB,若日4。年:的面積為2,BD=%A,

BE=則△A8C的面積是12.

解：連接CD,

???匹邊形BEFD為平行四邊形，⑦BDFE的面積為2,

1

:.SABDE=衿BBDFE=1,

:BE="c,

4

；?SLBDC=4SABDE=4,

,:BD=%A,

:.S&ABC=3S^BDC=12,

答案：12.

15.（2022?蘇州中考）如圖，在平行四邊形ABC。中，ABLAC,AB=3,AC=4,分別以A,C為圓心，大于1C

的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,M過M,N兩點作直線，與BC交于點、E,與4。交于點尸，連接4bCF,

則三邊形AEC/的周長為10.

M

AED

B/EC

N7^

解：a：ABLAC,AB=3,AC=4,

:.BC=>JAB2+AC2=5,

由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，

；?EC=EA,AF=CF,

：.^EAC=NACE,

VZ.B+ZACB=ZBAE+ZCAE=90°,

/.4B=/BAE,

AE=BE,

???AE=CE=/C=2.5,

???匹邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC=5,CD=AB=3,N4CO=N/MC=90",

同理證得AF=CF=2.5,

，四邊形AECF的周長=EC+E4+人產(chǎn)+C產(chǎn)=10,

答案：10.

16.（2。22?無錫中考）如圖，在團48C。中，點。為對角線B。的中點，E尸過點O且分別交AB、0c于點E、

連接。氏BF.

求證：（1）叢DOFW叢BOE：

:.OD=OB,

???匹邊形ABCD是平行四邊形,

：.DF//EB,

???4DFE=NBEF,

在△D。/和△BOE中,

ZDFO=乙BEO

乙DOF=乙BOE,

DO=BO

:.hDOF/4BOE(AAS).

⑵?：△DOFQABOE,

：.DF=EB,

'：DF//EB,

???匹邊形DFBE是平行四邊形，

：.DE=BF.

17.(2022?畢節(jié)中考)如圖1,在四邊形A4CQ中，AC和BQ相交于點O,40=。。，ZBCA=ZCAD.

(1)求證：四邊形ABC。是平行四邊形；

(2)如圖2,E,F,G分別是80,CO,AO的中點，連接EF,GE,GF,若BD=2AB,BC=15,AC=16,求

△EFG的周長.

(1)證明：ZBCA=ZCAD,

J.AD//BC,

在△AOD與△CO8中，

乙BC4=LCAD

AO=CO,

Z.AOD=乙COB

.??△AOOdCOB(ASA),

.\AD=BC,

???匹邊形48CO是平行四邊形；

(2)解：連接。兄

???匹邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC=\5,AB=CDfAD//BC,80=200,O4=OC=%C=8,

?:BD=2AB,

：?AB=OD,

：.DO=DC,

???點/是CC的中點,

.??0F=40C=4,DFLOC,

/.AF=OA+OF=\2,

在中，1）卜=>JAD2-AF2=V152-12Z=9,

???點G是A。的中點，NA尸0=90°,

：.DG=FG=^AD=7.5,

???點￡,點尸分別是08,0C的中點，

???EF是△08C的中位線，

：?EF=%C=7.5,EF//BC,

：.EF=DG,EF//AD,

???K邊形GEFD是平行四邊形，

:?GE=DF=9,

???AEFG的周長=GE+GF+EF=9-7.5+1.5=24,

???△EFG的周長為24.

三、菱形的性質(zhì)與判定

【高頻考點精講】

I、菱形的性質(zhì)

（1）菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

（2）菱形的四條邊都相等。

（3）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

（4）菱形的面枳計算

①利用平行四邊形的面枳公式。

②菱形面積=」必（。、b是兩條對角線的長度）

2

2、菱形的判定

（1）四條邊都相等的四邊形是菱形。

（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

（4）對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形。

【熱點題型精練】

18.（2022?自貢中考）如圖，菱形A6CD對角線交點與坐標原點。重合，點A（-2,5）,則點C的坐標是（)

-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

解：???四邊形A8CZ）是菱形,

???Q4=0C,即點A與點C關(guān)于原點對稱,

???點4(-2,5),

???點C的坐標是（2,-5）.

答案:艮

19.（2022?襄陽中考）如圖，團A8C。的對角線4C和8。相交于點。，下列說法正確的是（）

A.若OB=OD,則團48CZ）是菱形

B.若則由A/3CO是菱形

C.若0/1=0。,則團人BC。是菱形

D.若ACJLA7),則如1BC7）是菱形

解：A、???四邊形48C。是平行四邊形,

：.OB=OD,故選項A不符合題意;

8、’??四邊形A8C。是平行四邊形，AC=BD,

???日A8CO是矩形，故選項3不符合題意:

C、：四功形A4C。是平行四功形.

：,OA=OC=^AC,OB=OD=

*：0A=0D,

；?AC=BD,

???團A8C。是矩形，故選項C不符合題意;

。、：四邊形A8CD是平行四邊形，ACYBD,

???團A8CQ是菱形，故選項。符合題意;

答案:。.

20.（2022?淄博中考）如圖，在邊長為4的菱形A3C。中，E為AO邊的中點，連接CE交對角線B。于點足若/

DEF=NDFE,則這個菱形的面積為（）

A.16B.6夕C.12V7D.30

：.AD//BC,CB=CD=AD=4,ACLBD,BO=OD,OC=AO,

???E為4。邊的中點，

：.DE=2,

???4DEF=/DFE,

：.DF=DE=2,

?:DE〃BC,

：.NDEF=NBCF,

???NDFE=ZBFC,

:,4BCF=4BFC,

；?BF=BC=4,

，BD=BF+DF=4+2=6,

：.OB=OD=3,

在RtABOC中，OC=V42-32=近，

???AC=2OC=2夕，

:.菱形ABCD的面積=今4C?3O=1x2V7x6=6\/7.

答案:￡

21.（2022?湘西州中考）如圖，菱形ABCD的對角線AC、8D相交于點O,過點。作于點H,連接

OH=4,若菱形AI3CD的面積為32V3,則CD的長為（）

A.4B.4V3C.8D.8百

解：-：DHLAB,

：.ZBHD=90a,

???匹邊形"CO是菱形，

：.OB=OD,OC=OA=^AC,ACLBD,

乙

：.OH=OB=OD=^BD（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），

???OD=4,8￡>=8,

Eh-4C-BD=32次得，

1L

-x8-AC=3275,

2

?"C=8存

：,OC=\AC=45/3,

：.CD=>JOC2+OD2=8,

答案：C.

22.（2022?德州中考）如圖,線段A3,CO端點的坐標分別為A（-1,2）,B（3,-1）,C（3,2）,D（-1,5）,

且A3〃CO,將CO平移至第一象限內(nèi)，得到UD'（?！?均在格點上）.若四邊形A3C'D'是菱形,

則所有滿足條件的點力’的坐標為（3,5）或（2,6）.

：.AB//CD,AB=CD=5,

???匹邊形ABC'D'是菱形,

D=AB=5,

當點。向右平移4個單位，即。’（3,5）時，AD'=5,

當點。向右平移3個單位，向上平移1個單位，即（2,6）時，AD'=5,

答案：（3,5）或（2,6）.

23.（2022?遼寧中考）如圖，C。是的角平分線，過點D分別作AC,8c的平行線，交BC于點、E,交AC

于點F.若NACB=60°,CO=4內(nèi)，則四邊形CED尸的周長是16.

*：DE//AC,DF//BC,

???匹邊形CEDF是平行四邊形，

VC9是△/WC的角平分線，

：?4FCD=NECD,

*：DE//AC,

：?4FCD=4CDE,

：./ECD=/CDE,

:.CE=DE,

??.匹功形。跳"是菱形，

：?CD上EF,ZECD=|ZACB=3O°,OC=1cD=2V3,

在COE中，

OC_2/3

CZi-cos3o0r°\o——百FE——4,

T

；?匹邊形CEDE的周長是4CE=4X4=16,

答案:16.

24.（2022?哈爾濱中考）如圖，菱形ABC。的對角線AC,B。相交于點O,點石在OB上，連接AE,點F為CD

的中點，連接。尸.若AE=BE,OE=3,OA=4,則線段。戶的長為2遙.

解：???四邊形A8C。是菱形，

：.AC.LBD,AO=CO=4,80=DO.

：.AE=\/A02+E02=V9+16=5,

；?BE=AE=5,

?M0=8,

???8C=y/BO2+C02=V644-16=4倔

???點尸為CO的中點，BO=DO,

；?OF=gBC=2底

答案：2后.

25.（2022?溫州中考）如圖，在菱形48CZ）中，A8=l,NBAO=6（T.在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形AEN”

和菱形CGME使點￡,F,G,〃分別在邊A從BC,CD,上，點M,N在對角線4c上.若AE=3BE,則

MN的長為—.

~2~

解；連接?！ń籄C于點O，作于點/，作E/_LA〃交/W的延長線于點J,如圖1所示，

???匹邊形A4CO是菱形，ZBAD=60°,AB=\,

：.AB=BC=CD=DA=\,NB/IC=3()°,ACLBD,

???△48。是等邊三角形，

：，OD=L

：.AO=yjAD2-DO2=Jl2-(1)2=^,

：.AC=2AO=百，

?；AE=3BE,

31

?"E=[,BE=：,

44

???菱形AENH和菱形CGM/7大小相同，

1

：.BE=BF=。,NFBJ=60°,

AFJ=BF*sin600=Jxg=噂,

4/o

Jo

：.MI=FJ=詈

MI_m_V*3

?"M=旃二『，

同理可得，CN=w

:.MN=AC-AM-CN=聒-

答案:李

26.(2022?廣元中考)如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AC平分ND4B,AB=2CD,E為AB中點，連結(jié)CE.

(1)求證：四邊形AECO為菱形；

(2)若/。=120。，DC=2,求△ABC的面積.

；.AB=2AE=2BE,

,：AB=2CD,

：.CD=AE,

又,：AE"3,

???匹邊形A￡C。是平行四邊形,

〈AC平分ND43,

：.ZDAC=ZEAC,

?:AR"CD,

：.^DCA=^CAB,

：.ZDCA=ZDAC,

?*?AD=CD,

???平行四邊形AEC。是菱形；

(2)???四邊形4EC。是菱形，ZD=120°,

：.AD=CD=CE=AE=2,ZD=120°=ZAEC,

；?AE=CE=BE,NCEB=60°,

AZCAE=3O°=NACE,/XCEB是等邊三角形,

：,BE=BC=EC=2,ZB=60°,

AZACB=90°,

???AC=V3BC=2V3,

，SM8C=IxACXBC=1x2X2V3=2技

27.（2022?聊城中考）如圖，ZVIBC中，點。是A8上一點，點E是AC的中點，過點C作C/〃A8,交。E的延

長線于點F.

（1）求證：AD=CF\

（2）連接AF,CD.如果點力是人4的中點，那么當AC與滿足什么條件時，四邊形八。C尸是菱形，證明你

的結(jié)論.

（1）證明：,:CFMAB,

：2ADF=/CFD,ZDAC=ZFCA,

???點E是AC的中點，

：.AE=CE,

ALADE^^CFE（AAS\

:?AD=CF；

（2）解.：當AC_L8C時，四邊形A。。尸是菱形，證明如下：

由（1）知，AD=CF,

*：AD//CF,

???匹邊形AOC廠是平行四邊形，

^ACIBC,

???△ABC是直角三角形，

???點。是48的中點，

:.CD=\AB=AD,

???匹邊形AOC尸是菱形.

28.（2022?濱州中考）如圖，菱形ABCO的邊長為10,NABC=60°,對角線AC、8。相交于點。，點￡在對角

線上，連接A￡,作NAEF=120°且邊EF與直線QC相交于點?

（1）求菱形/WCO的面積；

(2)求證：AE=EF.

（1）解：作AG_L8c交4c于點G,如圖所示,

???匹邊形46C。是菱形，邊長為10,NA4C=6O”,

???8C=1O,4G=4B?sin60°=10x§=5療

???菱形ABC。的面積是：BCMG=1OX5V3=5073,

即菱形A8CD的面積是5OV3；

(2)證明：連接EC,

???扎邊形ABC。是菱形，Z4BC=60°,

?EO垂直平分AC,N8CD=12直，

：,EA=EC,ZDCA=60°,

：,ZEAC=ZECA,ZACF=\2O°,

VZAEF=\20o,

：.ZEAC+ZEFC=36Ot,-ZAEF-ZACF=3609-120°-120°=12()°,

VZEC4+ZECF=120°,

???4EFC=NECF,

:?EC=EF,

：.AE=EF.

四、矩形的性質(zhì)與判定

【高頻考點精講】

1、矩形的性質(zhì)

（1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。

（2）矩形的四個角都是直角。

（3）矩形的鄰邊垂直。

（4）矩形的對角線相等。

2、矩形的判定

（1）有三個角是直角的四邊形是矩形；

（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；

（3）有一個角為直角的平行四邊形是矩形；

（4）對角線相等的平行四邊形是矩形。

【熱點題型精練】

29.（2022?日照中考）如圖，矩形A8CO為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與C。的交點為E,當水杯底

面與水平面的夾角為27°時，，NAED的大小為（）

A.27°B.53°C.57°D.63°

解：如圖，

：.ZEAB=ZABF,

???匹邊形48co是矩形，

:.AB〃CD,NA5c=90"，

AZABF+2T=90°,

???N4"=63°,

???NE4B=63°,

?:AB"CD,

???N4EO=/E48=63°.

答案:。.

30.（2022?恩施州中考）如圖，在四邊形A8C。中，NA=NB=9O°,AD=\Ocm,BC=8cm,點P從點D出發(fā),

以心的速度向點A運動，點〃從點小問時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當其中一個動點到這端點M，

兩個動點同時停止運動.設點P的運動時間為/（單位：s）,下列結(jié)論正確的是（）

B,當/=55時，四邊形COPM為平行四邊形

C.當。。=尸"時，t=4s

D.當CO=PM時，f=4$或6$

解：根據(jù)題意，可得DP=icm,

***AD=10c?zz>BC=8c〃?，

；?AP=（10-r）cm,CM=（8-/）an,

當匹邊形AB0P為矩形時，AP=BM,

即10-1=/,

解得f=5,

故A選項不符合題意；

當三邊形COPM為平行四邊形，DP=CM,

即r=8-t,

解得f=4,

故4選項不符合題意；

當CQ=PM時，分兩種情況:

①匹邊形CDPM是平行四邊形，

此H寸CM=PD,

即8-t=t,

解得f=4,

②匹邊形CDPM是等腰梯形，

過點"作MG_LA。于點G,過點C作CH_LA。于點H,如圖所示:

A<-PGHT）

BM

則NMGP=NCHO=90°，

'；PM=CD,GM=HC,

：.4MGPW4CHD(HL),

:?GP=HD,

\'AG=AP+GP=10-什.(尸),

又,：BM=t,

，.1（）_什匕*%

J

解得i=6,

綜上，當C7）=PM時，f=4s或6s,

故C選項不符合題意，。選項符合題意,

答案:。.

31.（2022?泰安中考）如圖，四邊形ABCD為矩形，A8=3,8c=4,點尸是線段8。上一動點，點M為線段AP

上一點，NADM-NBAP,則2Ml的最小值為（）

C.V13-|D.A/13-2

25

解:如圖，取AO的中點O,連接。8,OM.

???NBAO=90°,AO=BC=4,

???N/MP+ND4M=90°,

*：ZADM=ZHAP,

???N4OM+N/)AM=90°,

???N4MO=90°,

??山。=。￡>=2,

：.0M=^AD=2,

???點M的運動軌跡是以。為圓心，2為半徑的。。

,:OB=，4B2+力。2=V32+22=V13,

:-0M=V13-2,

.??8歷的最小值為vn-2.

答案:D

32.（2022?十堰中考）“美麗鄉(xiāng)村”建設使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡AF,

AG分別架在墻體的點8,C處，且AB=AC,側(cè)面四邊形BDEC為矩形.若測得/尸8。=55°,則ZA=1100.

解：???四邊形為矩形，

AZDBC=90°,

?；NFBD=55°,

.\ZABC=180°-ZDBC-ZFBD=35°,

,：AB=AC,

???/A6C=NAC3=35°,

，NA=1800-ZABC-ZACB=110°,

答案：110.

33.（2022?吉林中考）如圖，在矩形八BCO中，對角線AC,B。相交于點O,點石是邊人。的中點，點尸在對角線

AC上，且A/=%C,連接若AC=10,則E尸=_|_.

解：在矩形ABC。中，AO=OC=^\C,AC=BD=\0,

*：AF=^AC,

.*.AF=戈0,

，點尸為4。中點,

又：點￡為邊A。的中點,

；.EF為4AOD的中位線,

：.EF=1t>D=ifiD=j.

41乙

5

答案：］

34.（2022?宜昌中考）如圖，在矩形A8CD中，E是邊A。上一點，F(xiàn),G分別是8E,CE的中點，連接ARDG,

FG,若AF=3,QG=4,FG=5,矩形A3C。的面積為48.

解：???四邊形ABCD是矩形，

^ZBAE=ZCDE=90°,AD//BC,

???凡G分別是AE,CK的中點，小廠一3,DG-4,FG-5,

；?BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=\(),

:.B爛+CW=BC?,

工△BCE是直角三角形，ZB￡C=90°,

11

**^￡,BCE=2?,CE=2x6X8=24,

?:AD"BC,

:.S電膨48。。=2s△8C￡=2X24—48,

答案:48.

35.(2022?鄂州中考)如圖，在矩形A8c。中，對角線AC、8。相交于點O,且NCDF=NBDC、ZDCF=ZACD.

(1?求證：DF=CF；

(2)若NCQF=60°,DF=6,求矩形ABC。的面積.

(1)證明：???四邊形ABC。是矩形,

???OC=%C,OD=^BD,AC=BD,

：,OC=OD,

：,^ACD=ZBDC,

'：4CDF=ZBDC,ZDCF=ZACD,

:.ZCDF=ZDCF,

；?DF=CF；

（2）解：由（I）可知，DF=CF,

VZCDF=60°,

???△CQ/是等邊三角形，

：.CD=DF=6,

ZCDF=ZBDC=60a,OC=OD,

???△OCO是等邊三角形，

，（）C=OD=6,

:?BD=2OD=V2,

???匹邊形ABC。是矩形，

???NBCO=90°,

???8C=>JBD2-CD2=V122-62=6A/3,

，S?^A8C/）=8C?CQ=6V5X6=36V3.

36.（2022?云南中考）如圖，在平行四邊形A3C。中，連接8。，E為線段AO的中點，延長與CO的延長線交

于點八連接AP，NBDF=90°.

（1）求證：四邊形4雙》是矩形；

（2）若4。=5,DF=3,求四邊形4BCF的面積S.

（1）證明：???四邊形4BCZ）是平行四邊形，

：.BA//CD,

：?NBAE=/FDE,

:點E是4。的中點，

：.AE=DE,

在ABEA和△FE。中，

Z.BAE=乙FDE

AE=DE,

/-BEA=4FED

:.△BEA//\FED（ASA）,

:?EF=EB,

又VAE=DE,

:.匹邊形ABDF是平行四邊形，

VZ^DF=90°.

???扎邊形ABDF是矩形；

（2：'解：由（1）得四邊形A8。尸是矩形，

AZAFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,

：.AK=y/AD2-DF2=Vs2-32=4,

，S更形ABQF=Q戶A〃=3X4=12,BD=AF=4,

???匹邊形ABCD是平行四邊形，

，CD=AB=3,

iI

/.S^BCD=扣D?CD=*x4X3=6,

???匹邊形ABCF的面積5=5矩形,3/卯+5八8€7）=12+6=18,

答：四邊形4BCF的面積S為18.

五、正方形的性質(zhì)與判定

【高頻考點精講】

1、正方形的性質(zhì)

（1）正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

（2）正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角。

（3）正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。

2、正方形的判定

（1）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。

（2）鄰邊相等且有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形。

（3）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

（4）有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形。

（5）對角線相等的菱形是正方形。

（6）對角線互相垂直的矩形是正方形。

【熱點題型精練】

37.（2022?黃石中考）如圖，正方形0ABe的邊長為VI,將正方形O48C繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45°,則點8的對

應點B\的坐標為（）

y八

Bi----------C

AO找

A.(-V2,0)B.(V2,0)C.(0,V2)D.(0,2)

解：如圖，連接08,

〃瓦

???正方形。ABC的邊長為VL

：.OC=BC=0ZBCO=90°，NBOC=45°，

：.OB=\/OC2+BC2=J(VZ)2十(際=2,

???將正方形0A8C繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45°后點8旋轉(zhuǎn)到Bi的位置,

???8i在y軸正半軸上，且O8i=OB=2,

工點Bi的坐標為（0,2）,

答案:。.

38.（2022?泰州中考）如圖，正方形ABCQ的邊長為2,￡為與點。不重合的動點，以DE為一邊作正方形DEFG.設

DE=d\,點、F、G與點。的距離分別為42、為，則力+公+曲的最小值為（）

;扎邊形。EFG是正方形，

AZEDG=90o,EF=DE=DG,

???匹邊形ABC。是正方形，

，AD=C。，ZADC=90°,

：,/ADE=NCDG,

.??△AQ￡"COG(SAS),

???AE=CG,

???di+d2+d3=EF+CF+AE,

???點4,E,F,。在同一條線上時，E/+CF+AE最小，即力+必+〃3最小,

連接AC,

.,.J1+J2+J3最小值為AC,

在長△A8C中，AC=V2AB=2\[2.

二小+d2+d3最小=AC=2&,

答案:C

39.（2022?重慶中考）如圖，在正方形4BC。中，4E平分N8AC交8C于點E,點尸是邊A8上一點，連接及F,

若BE=AF,則NCQ77的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

解；???四邊形人4CQ是正方形，

：?AD=BA,ZDAF=ZABE=9（）",

在產(chǎn)和AABE中，

（AD=BA

{Z.DAF=乙ABE,

\AF=BE

△D4尸絲AABE（SAS）,

/AD尸=/BAE,

???AE平分NZMC,四邊形44co是正方形，

AZBAE=^ZBAC=22.5°,ZADC=90a,

???N4Q"=22.5°,

：,ZCDF=ZADC-ZADF=W-22.5°=67.5°,

答案:C.

40.（2022?江西中考）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形,再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖所示）,

則長方形的對角線長為—6

解：根據(jù)圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2,

長方形的寬是正方形對角線的一半為1,

則長方形的對角線長="2+22=V5.

答案:述.

41.（2022?海南中考）如圖，正方形A8C。中，點石、廠分別在邊8C、CO上，AE=AF,N￡4F=30°,MZAEB

=60°；若AA切的面枳等于1,則44的值是_V5_.

解：???四邊形A8CO是正方形，

：.AB=AD,NBAD=NB=ND=90°.

在RtAABE和RtAADF中，

(AB=AD

lAE=AFf

：.Ri^ABE^Rt/^ADF(HL).

：,ZBAE=ZDAF.

；?NBAE=1(NBAD-ZEAF)

=4(90°-30°)

=30°.

AZ4E?=60°.

答案：60.

過點尸作FG_LAE,垂足為G.

：,FG=s\nZEAFXAF.

?:S/、AEF=|xAEXFG=|xAEXAFXsin/EA尸=1,

1c

/.-xAE2Xsin303=1.

2

1c1

即一XAE2X^=1.

22

：.AE=2.

在中，

AD

'：CQSZBAE=罪，

/.A5=cos300XAE

=^X2

=43.

答案:收

42.（2022?益陽中考）如圖，將邊長為3的正方形A8CO沿其對角線AC平移，使A的對應點A'滿足A4'=

則所得正方形與原正方形重疊部分的面枳是4.

B'C