學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精溫馨提示：此套題為Word版,請(qǐng)按住Ctrl，滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(二十三）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角(25分鐘60分）一、選擇題（每小題5分，共25分）1.（2015·朔州高一檢測(cè))已知a=(2,3），b=（-4，7),則a在b方向上的投影為（)A。13 B.135 C。655 【解析】選C。設(shè)a與b夾角為θ,則a在b方向上的投影|a｜c(diǎn)osθ=QUOTEa·b|b|,因?yàn)閍=（2，3)，b=（-4，7)，所以a·b=(2，3)·(—4，7)=2×(-4)+3×7=13,｜b｜=(-4)所以｜a|cosθ=1365=652。以下選項(xiàng)中，一定是單位向量的有（）①a=(cosθ,—sinθ）；②b=（lg2，lg③c=(2x2,1）；④A。1個(gè) B.2個(gè) C。3個(gè) D。4個(gè)【解題指南】解答本題，一方面要注意向量模的坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另一方面要注意同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和函數(shù)最大值的求法的應(yīng)用.【解析】選B。因?yàn)閨a｜=1，|b｜=1，|c|=(2x2|d｜=(1-x)=2x-12所以a，b是單位向量，c不是單位向量，d不一定是單位向量。3。(2015·福建高考）設(shè)a=（1，2)，b=(1,1)，c=a+kb，若b⊥c，則實(shí)數(shù)k的值等于(）A。—32 B.-53 C.53 【解析】選A。c=a+kb=（1+k，2+k），因?yàn)閎⊥c，所以b·c=0，即1+k+2+k=0?k=-32【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·溫州高一檢測(cè)）已知a=(—3，2），b=(—1，0)向量λa+b與a—2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為()A?！?7 B.17 C.—16【解析】選A。向量λa+b=（-3λ-1，2λ)，a—2b=（—1,2）,因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直，故有（-3λ-1，2λ）·(-1，2)=0，即3λ+1+4λ=0，解得λ=—174。設(shè)x,y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y），c=(2，—4)且a⊥c，b∥c,則｜a+b|=（）A。5 B。10 C。25 D。10【解析】選B。由a⊥c得2x+1×(—4）=0,所以x=2；由b∥c得1×（-4)=2y，所以y=-2.從而a=(2，1)，b=(1，—2)，所以a+b=(3,—1)，所以|a+b｜=32+(-1)5。（2015·景德鎮(zhèn)高一檢測(cè)）已知平面向量a=(2，4)，b=(—1，2)，若c=a—（a·b)b，則｜c(diǎn)|等于（）A。42 B.2 C.8 D。82【解析】選D。a·b=2×(-1）+4×2=6,所以c=(2,4)—6(—1,2）=（8，-8),所以｜c(diǎn)|=82+(-8)二、填空題（每小題5分，共15分）6。設(shè)向量a與b的夾角為θ，且a=(3，3)，2b-a=(—1,—1)，則cosθ=________?！窘馕觥縝=12a+12(—1,—1）=(1，1），則a·又|a｜=32，｜b|=2，所以cosθ=QUOTEab|a||b|=66=1.答案：1【一題多解】本題還可以采用以下方法由已知得：b=(1，1)。又a=（3，3）,所以a∥b，且同向.故θ=0°,cosθ=1。答案：17.（2015·南平高一檢測(cè)）已知a=(1，3），b=（2+λ，1),且a與b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是__________.【解析】設(shè)向量a與b的夾角為θ，因?yàn)棣葹殇J角，所以cosθ〉0，且cosθ≠1，即a·b>0，且a與b方向不同，由a·b>0，得1×(2+λ)+3×1=λ+5〉0,所以λ>—5。當(dāng)a與b方向相同時(shí)設(shè)b=μa，即(2+λ,1)=μ（1，3），所以2+λ=μ,1=3μ,解得λ=-5所以λ∈-5,-53答案：-5,-5【誤區(qū)警示】解答本題易因思考不全面,誤認(rèn)為a與b的夾角θ為銳角?cosθ〉0，導(dǎo)致錯(cuò)誤.實(shí)際上，當(dāng)a與b同向時(shí)，即a與b的夾角為0°時(shí),cosθ=1〉0，此時(shí)λ=-53【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a=（-2，—1),b=（λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，則λ的取值范圍為_(kāi)_______.【解析】由題意cosα=QUOTEa·b|a||b|=-2λ-15·λ2因?yàn)?0°<α〈180°，所以—1〈cosα<0，所以—1〈-2λ-1所以-即λ>-1所以λ的取值范圍是-12,2∪答案:-12,2∪8。已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則AE→·【解析】以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BC→，BA→的方向?yàn)閤軸,y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，2)，E(2，1)，D(2，2），B（0，0),所以AE→=（2,-1)，答案：2【一題多解】因?yàn)锳BCD是正方形，所以BD→=BA→+BC因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE→=—所以AE→=AD→+DE所以AE→·BD→=BC→=BC→2—12BA→2=2答案:2【延伸探究】本題中，若增加條件“點(diǎn)F在邊AD上，AF→=2",試求B【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖,則A（0,2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0），C(2，0),因?yàn)锳F→=2FD所以BE→=（2，1),CF→=4所以BE→·CF→=(2，1）·-23,2=2三、解答題(每小題10分，共20分)9。(2015·漳州高一檢測(cè))已知平面向量a=(1,x），b=（2x+3，-x），x∈R.(1）若a⊥b，求x的值.（2）若a∥b，求｜a-b｜?！窘馕觥?1）若a⊥b，則a·b=(1，x）·（2x+3，—x)=1×（2x+3）+x(-x）=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3.（2）若a∥b，則1×(-x）—x(2x+3）=0，即x(2x+4）=0。解得x=0或x=—2.當(dāng)x=0時(shí)，a=（1，0)，b=(3,0），｜a—b|=|（1，0）-（3，0)｜=|（-2,0）|=2。當(dāng)x=—2時(shí)，a=（1，—2),b=(—1，2），｜a—b|=｜(1，-2）-(—1，2）|=|(2，-4）｜=25.10。（2015·南昌高一檢測(cè))設(shè)平面三點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2，5），(1)試求向量2AB→+(2）若向量AB→與AC→的夾角為（3)求向量AB→在【解析】（1)因?yàn)锳(1，0)，B（0，1）,C（2，5),所以AB→=(0,1)—(1，0）=(AC→=(2,5)所以2AB→+AC所以|2AB→+AC→|=（2)由（1）知AB→=(—1,1），所以cosθ=(-1,1)·(1,5)(-1(3）由（2)知向量AB→與AC→的夾角的余弦為cosθ=21313，而|AB→|=2,所以向量AB→在AC(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.(2015·肇慶高一檢測(cè))已知向量OA→=(2，2)，OB→=（4，1），在x軸上有一點(diǎn)P使AA.（—3,0） B。(2，0)C.(3,0） D。(4,0)【解析】選C.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，則AP→=（x-2，-2)，BP→=（x-4，—1）。AP→·BP→=（x—2)（x—4）+（—2）×（—1)=x【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在x軸、y軸正半軸上移動(dòng)，則OB→·OA。2 B。1+2 C。2 D。4【解析】選A。令∠OAD=θ,由于AD=1，故OA=cosθ，OD=sinθ，∠BAx=π2—θ故xB=cosθ+cosπ=cosθ+sinθ，yB=sinπ2-θ=cos故OB→=(cosθ+sinθ，cos同理可求得C(sinθ，cosθ+sinθ），即OC→=（sinθ，cosθ+sin所以O(shè)B→·OC→=（cosθ+sinθ，cosθ)·(sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，OB→2.已知向量a=（1，1)，b=（1,m），其中m為實(shí)數(shù),O為原點(diǎn)，當(dāng)此兩向量夾角在0,πA.（0，1) B。3C。33,1∪（1,3) D。(1，【解析】選C.已知OA當(dāng)點(diǎn)B位于B1和B2時(shí),a與b夾角為π12,即∠AOB1=∠AOB2=π12，此時(shí),∠B1Ox=π4-π12=π6，∠B2Ox=π4+π12=π3,故B11,33由圖易知m的范圍是33,1∪（1，二、填空題(每小題5分，共10分)3。已知a=25,15，b=15,-25，則向量3a【解析】設(shè)夾角為θ，因?yàn)椋黙|=1，｜b｜=1，a·b=0,所以(3a+b)·[-2（3a—b）］=—4，又｜3a+b|=2，｜-2(3a-b）｜=4,所以θ=2π答案:2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知A(1，2），B(2，3）,C（-2，5）,則△ABC的形狀是()A。直角三角形 B.銳角三角形C。鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】選A。因?yàn)锳C→=(—3，3），AB→=（1，1)，所以4.(2015·安溪高一檢測(cè))若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為23，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足CM→=16CB→+2【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件即可知A(0,3)，B(-3，0）,M（0，2)，所以MA→=(0，1）,MB→=（—3，—2)。所以答案：-2【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)A(a,1）,B（2，b),C（4，5）為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA→與OB→A。4a-5b=3 B.5a-4b=3C.4a+5b=14 D.5a+4b=14【解析】選A.因?yàn)镺A→與OB所以O(shè)A→·OC→所以4a+5=8+5b,所以4a-5b=3.三、解答題(每小題10分，共20分)5.(2015·日照高一檢測(cè)）已知三點(diǎn)A（2，1)，B(3，2)，D(—1，4)。（1）求證：AB⊥AD。（2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)度.【解析】(1)因?yàn)锳（2，1），B（3,2），D（-1，4），所以AB→=（1，1），AD又AB→·AD→=1所以AB→⊥AD(2）因?yàn)锳B→⊥AD→，四邊形ABCD為矩形，所以設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y)，則DC→=(x+1,y從而有x+1=1,y-4=1,即又BD→=(-4，2)，|BD所以矩形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)度為25.6。（2015·惠州高一檢測(cè))已知OP→=(2，1