北師大版數(shù)學九年級上學期期中仿真模擬試卷一（范圍：1-4章）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（2025九上·海曙期末）數(shù)學家皮爾遜為了研究概率問題，進行了大量重復拋硬幣試驗，并用頻率來估計概率，當他把一枚硬幣拋擲24000次時，則下列正面朝上的次數(shù)與該實驗結果比較符合的是（）A．11011 B．12012 C．13013 D．14014【答案】B【知識點】利用頻率估計概率【解析】【解答】解：正面向上的概率為0.5，∴擲一枚均勻的硬幣24000次，正面朝上的次數(shù)約為12012.

故答案為：B.

【分析】根據大量重復試驗中事件發(fā)生的頻率可以表示概率解答即可.2．（2025九上·南山開學考）若α，β是方程x2+2x-2025=0的兩個實數(shù)根，則α2+3α+β的值為（）A．2023 B．2027 C．-2023 D．4050【答案】A【知識點】一元二次方程的根；一元二次方程的根與系數(shù)的關系（韋達定理）；求代數(shù)式的值-整體代入求值【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2x-2025=0

∴α2+2α-2025=0，α+β=-2

∴α2+2α=2025

∴α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2025-2=2023故答案為：A【分析】根據二次方程根與系數(shù)的關系可得α+β=-2，再將x=α代入方程可得α2+2α=2025，化簡代數(shù)式，再整體代入即可求出答案.3．（2025九上·肇慶期中）中國已經成為全球最大并且最有活力的新能源汽車市場．中國汽車工業(yè)協(xié)會數(shù)據顯示，某品牌新能源汽車2022年5月份銷量為10萬輛，7月份銷量為14.5萬輛．設該品牌新能源汽車的月平均增長率為xx>0A．101+2x=14.5 C．10x2=14.5【答案】D【知識點】列一元二次方程【解析】【解答】解：設該品牌新能源汽車的月平均增長率為xx>0∵5月份銷量為10萬輛，∴6月份銷量為101+x∴7月份銷量為101+x∵7月份銷量為14.5萬輛，∴可列方程為101+x故選D．【分析】根據題意建立方程即可求出答案.4．（2023九上·金牛期末）下列說法正確的是（）A．菱形的四個內角都是直角B．矩形的對角線互相垂直C．正方形的每一條對角線平分一組對角D．平行四邊形是軸對稱圖形【答案】C【知識點】平行四邊形的性質；菱形的性質；矩形的性質；正方形的性質【解析】【解答】解：A、菱形的四個內角不一定都是直角，故A選項不符合題意；

B、矩形的對角線不一定互相垂直，故B選項不符合題意；

C、正方形的每一條對角線平分一組對角，故C選項符合題意；

D、平行四邊形不一定是軸對稱圖形，故D選項不符合題意.

故答案為：C.

【分析】菱形四邊相等，對角相等，對角線互相垂直平分，且每條對角線平分一組對角，即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；矩形對邊相等，四個內角都是直角，對角線互相平分且相等，不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；正方形四邊相等，四個內角都是直角，對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角，即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；平行四邊形對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分，不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，據此一一判斷得出答案.5．（2025九上·江北期末）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O是位似中心，若△ABC的面積為4，且OAA．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【知識點】位似圖形的性質【解析】【解答】解：∵OA=2AD,∴∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF,AB∥DE,∴△OAB∽△ODE,∴∴∵△ABC的面積為4，∴△DEF的面積為9，故答案為：C.

【分析】根據位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF,AB‖DE,證明△OAB∽△ODE,，根據相似三角形的性質得到ABDE6．（2024九上·余江期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點，DE∥AB，DF∥AC．增加下列條件能判定四邊形AFDE為菱形的是（）A．點D在∠BAC的平分線上 B．AB=ACC．∠A=90° D．點D為BC的中點【答案】A【知識點】菱形的判定【解析】【解答】解：如圖所示，連接AD∵DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F，∴四邊形DEAF是平行四邊形，∠FAD=∠EDA，當點D在∠BAC的平分線上時，∴∠FAD=∠EAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∴四邊形DECF是菱形，故選項A符合題意；當AB=AC時，不能說明四邊形DECF是菱形，故B不符合題意；當∠A=90°時，只能說明四邊形DECF是矩形，故C不符合題意；當點D為BC的中點時，不能說明四邊形DECF是菱形，故D不符合題意；故答案為：A．【分析】先證明四邊形DEAF是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質得到∠FAD=∠EDA結合角平分線的定義得到∠EAD=∠EDA，從而得到AE=DE，再由菱形的判定定理即可得到結論，其余選項均不能得到四邊形AFDE為菱形，由此即可解答．7．（2025九上·順德月考）某公園的人工湖周邊修葺了三條湖畔小徑，如圖小徑MQ，NO恰好互相垂直，小徑MN的中點P與點O被湖隔開，若測得小徑MN的長為1km，則P，O兩點間距離為（）A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km【答案】A【知識點】直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】解：連接OP

∵MO⊥NO

∴∠MON=90°

∵P是MN中點

∴PO=12MN=0.5

故答案為：A8．（2024九上·徐匯期末）如圖，點D是△ABC內一點，點E在線段BD的延長線上，BE與AC交于點O，分別連接AD、AE、CE，如果ADABA．CE∥AD B．BD=ADC．∠ABE=∠CBE D．BO?AE=AO?BC【答案】D【知識點】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性質-對應角；相似三角形的性質-對應邊【解析】【解答】解：∵AD∴△ADE∽△ABC，∴∠ACB=∠AED，∵∠AOE=∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴AO∴BO?AE=AO?BC，∴D選項的結論符合題意∵ADAB=則∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABE=∠ACE，∴∠ACE與∠BEC不一定相等，故C選項的結論不符合題意，已知條件不能證明CE∥AD，BD=AD，故A、B選項不符合題意，故答案為：D．

【分析】根據相似三角形的判定與性質：三邊對應相等的兩個三角形相似，可得△ADE∽△ABC，再通過相似三角形的性質得到∠ACB=∠AED，結合已知條件，利用AA可判定△AOE∽△BOC再通過相似三角形的性質可得到D選項正確，利用AA可判定△BAD∽△CAE，可判定C錯誤，其余選項不能推導，逐一判斷即可解答．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9．（2024九上·荔灣期末）如圖是某電路的示意圖，隨機閉合開關S1，S2，S3【答案】2【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率【解析】【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，其中能讓兩個燈泡發(fā)光的結果數(shù)為4，∴能同時使2盞小燈泡發(fā)光的概率是：46故答案為：23【分析】兩步試驗可通過畫樹狀圖或列表法求概率，畫樹狀圖時注意不重復不遺漏，列表時注意對角線欄目是否填寫數(shù)據．10．（2024九上·青島月考）一元二次方程ax2+x?6=0有一個根為1，則【答案】5【知識點】一元二次方程的根；根據一元二次方程的根的情況求參數(shù)【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax∴x=1滿足關于x的一元二次方程ax∴a+1?6=0，解得，a=5．故答案為：5．

【分析】根據方程的根的意義，可得出關于a的方程，進而解方程即可求得a的值。11．（2025九上·江北期末）已知實數(shù)a,b滿足ab=5【答案】2【知識點】比例的性質【解析】【解答】解：∵設a=5k,b=3k,∴故答案為：2【分析】設a=5k,b=3k,代入所求的式子化簡即可.12．（2024九上·五華期中）如圖，在正方形ABCD和正方形GCEF中，點D在CG上，點B、C、E在同一條直線上，BC=1，CE=3，H是AF的中點，連接CH，則CH的長是．【答案】5【知識點】勾股定理；矩形的判定與性質；正方形的性質；直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】解：如圖，連接AC,CF，延長AD交EF于M在正方形ABCD和正方形GCEF中∠DAB=∠B=∠BCD=∠GCE=∠E=90°，∠ACG=45°=∠GCF，則∠ACF=90°

又四邊形ABEM是矩形

所以AM=BC+CE=4，ME=AB=BC=1

故FM=EF?ME=CE?ME=2勾股定理得AF=AM2+FM2=25

因H故填：5．【分析】通過連接輔助線連接AC,CF，延長AD交EF于M，構造直角三角形與矩ABEM形，利用正方形性質，勾股定理，直角三角形斜邊中線性質求解.13．（2025九上·鄞州期末）如圖，△ABC中，∠BAC=90°,AB=8,AC=6，過點C作BC的垂線CD，點P在線段BC上運動，點Q在射線CD上運動，始終滿足∠BAP=∠CAQ【答案】5或6.4【知識點】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，由勾股定理得：BC=∠B+∠ACB=90°，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠ACD+∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ABC；∵∠BAP=∠CAQ，∴△ABP∽△ACQ，∴設BP=x，則有PC=10--x，∴∴QC=∵過點C作BC的垂線CD，∴CD⊥BC,∠BCD=9當△PCQ與△ABC相似時，分兩種情況討論：當△PCQ∽△BAC時，∴∴解得：x=5;當△PCQ∽△CAB時，∴∴解得：x=6.4;綜上所述，線段BP的長是5或6.4.故答案為：5或6.4.【分析】首先根據直角三角形兩銳角互余可知∠B+∠ACB=90°，根據CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB=90°，所以可得∠ACD=∠ABC，可證△ABP∽△ACQ，設BP=x，則有PC=10?x、QC=3三、解答題（本大題共7小題，共61分）14．（2025九上·長沙開學考）解方程（1）x（2）3x(x+6)=x+6【答案】（1）解：xxxx?5x?5=±x=5±x（2）解：3x(x+6)=x+63x(x+6)-(x+6)=0(x+6)(3x-1)=0x+6=0或3x-1=0x【知識點】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；

（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.15．（2021九上·寧明期中）已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a+b+c=48，a3【答案】解：設a3=b4=c又∵a+b+c=48∴3x+4x+5x=48解得x=4∴a=12、b=16、c=20【知識點】比例的性質；利用等式的性質解一元一次方程【解析】【分析】設a316．（2024九上·武侯期中）某校開展了學習黨史的知識競賽活動．初三年級學生的比賽成績根據結果分為A，B，C，D四個等級．其等級對應的分值分別為100分～91分、90分～818分、80分～71分、70分及以下．現(xiàn)將初三學生的最后等級成績分析整理繪制得到了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據圖中的信息解決下面的問題．（1）由圖可知該校初三共名學生，比賽成績等級為C級的學生人數(shù)是人；（2）由圖可知m的值為；（3）初三年級本次比賽獲得滿分的4人中有2個男生和2個女生，現(xiàn)從這4個學生中隨機選2人參加學校決賽，若每個學生被抽取的可能性相等，請用畫樹狀圖或者列表法求抽取的2人中至少有1個女生的概率．【答案】（1）500，210（2）18（3）解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中抽取的2人中至少有1個女生的結果數(shù)為10種，所以抽取的2人中至少有1個女生的概率=【知識點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；用列表法或樹狀圖法求概率【解析】【解答】（1）解：80÷16%所以該校初三共500名學生，比賽成績等級為C級的學生人數(shù)為500×42%故答案為：500，210；（2）解：D等級人數(shù)所占的百分比為1?42%所以m=18，故答案為：18；【分析】（1）根據統(tǒng)計圖表提供的信息，用A等級人數(shù)除以它所占的百分比得到該學校初三的總人數(shù)，然后用總人數(shù)乘以C等級人數(shù)所占的百分比得到C等級人數(shù)；（2）先用1分別減去A、B、C等級的百分比得到D等級所占的百分比，從而確定m的值；（3）此題是抽取不放回類型，根據題意畫出樹狀圖，由圖可知共有12種等可能的結果，其中抽取的2人中至少有1個女生的結果數(shù)為10種，然后根據概率公式計算．（1）解：80÷16%所以該校初三共500名學生，比賽成績等級為C級的學生人數(shù)為500×42%故答案為：500，210；（2）解：D等級人數(shù)所占的百分比為1?42%所以m=18，故答案為：18；（3）解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中抽取的2人中至少有1個女生的結果數(shù)為10種，所以抽取的2人中至少有1個女生的概率=1017．（2024九上·湛江期中）如圖，正方形ABCD，AB=8．將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉角度α（0°<α<90°），得到正方形AEFG，EF交CD于點M，延長FE交BC于點N．（1）求證：MN=DM+BN；（2）順次連接D，E，C，F(xiàn)，得到四邊形DECF．在旋轉過程中，四邊形DECF能否為矩形？若能，求出BN的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）證明：連接AM,AN

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D=90°，AB=AD，

由旋轉得：AB=AE，∠AEM=∠AEN=∠B=90°，

∴AD=AE，∠AEM=∠D=90°，

∵AM=AM，

∴△AEM△≌ADMHL，

∴DM=EM，

同理可證：△ABN≌△AEN，

∴BN=EN，

∵MN=ME+EN，

∴MN=DM+BN；（2）解：能，BN=83???????

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD=AB=8，∠BCD=90°，

由旋轉得：CD=EF，

故當CD,EF互相平分時，四邊形CEDF為矩形，

∵CD,EF互相平分，

∴四邊形CEDF為平行四邊形，

∵CD=EF，

∴四邊形CEDF為矩形，

設BN=x，則CN=8?x，DM=CM=12×8=4，

由（1）知MN=BN+DM=x+4，

∴在Rt△NCM中，由勾股定理得：8?x2+4【知識點】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定與性質；正方形的性質；旋轉的性質【解析】【分析】（1）首先根據HL證得△AEM△≌ADM，得出DM=EM，同理可證：△ABN≌△AEN，可得BN=EN，進而得出MN=DM+BN；（2）由旋轉得：CD=EF，故當CD,EF互相平分時，四邊形CEDF為矩形，設BN=x，則CN=8?x，DM=CM=4，ME=x+4，在Rt△NCM中，由勾股定理得：8?x2（1）證明：連接AM,AN∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，由旋轉得：AB=AE，∠AEM=∠AEN=∠B=90°，∴AD=AE，∠AEM=∠D=90°，∵AM=AM，∴△AEM△≌ADMHL∴DM=EM，同理可證：△ABN≌△AEN，∴BN=EN，∵MN=ME+EN，∴MN=DM+BN；（2）解：能，BN=∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=8，∠BCD=90°，由旋轉得：CD=EF，故當CD,EF互相平分時，四邊形CEDF為矩形，∵CD,EF互相平分，∴四邊形CEDF為平行四邊形，∵CD=EF，∴四邊形CEDF為矩形，設BN=x，則CN=8?x，DM=CM=1由（1）知MN=BN+DM=x+4，∴在Rt△NCM中，由勾股定理得：8?x2解得：x=83，即18．（2024九上·羅湖期中）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在課外書上遇到了下面這道題：已知點A(2，3)，B(4，5)，求線段AB的長度.小明經過思考以后，發(fā)現(xiàn)這類問題可以通過勾股定理來解決.思路如下：在平面直角坐標系中，設P1x1y1,P2x2y2,要求線段.P1P2的長度可以用如下的方法，如圖，過P1作x軸的垂線，垂足為A，過.P2作x軸的垂線，垂足為B，線段AB長度可表示P（1）【解決問題】①則線段AB長度是；②如果點N(-3，5)，點M?5?7,（2）【知識遷移】①點.P3?23,P②點P3?23,P（3）【拓展延伸】①代數(shù)式x2?8x+41+②代數(shù)式x2?24x+153?【答案】（1）22；（2）34???????；89（3）217；【知識點】點的坐標；配方法的應用；坐標系中的兩點距離公式【解析】【解答】解：（1）①∵點A(2，3)，B(4，5)，

∴線段AB長度＝2?42+3?52=22；

②∵N（-3，5），M(-5，-7)，

∴線段MN長度＝?3+52+5+72=237；

故答案為：22；237；

（2）①如圖所示，連接P4P3延長交x軸于點P，

∴此時，PP4?PP3的值最大，

∴PP4?PP3的最大值P3P4＝3+22+5?22=34；

②如圖所示，作點P3關于x軸的對稱點P'（?2，?3），連接P4P'交x軸于點P，則此時PP4＋PP3＝P'P4最小，

∴PP4＋PP3＝P'P4＝3+22+5+32=89，

故答案為：34；89；

（3）①求代數(shù)式x2?8x+41+x2?4x+13的最小值，

參考（2）②中的圖形，點P（x，0）、點P4（4，5）、點P3（2，3），則P'（2，?3），

∴x2?8x+41+x2?4x+13=x?42+52+x?22+32，

∴x?42+52+x?22+32的最小值=4?22+5+32=217；

②求代數(shù)式x2?24x+153?x2+419．（2024九上·深圳月考）隨著電池技術的創(chuàng)新和國家政策的支持，新能源汽車行業(yè)正迎來前所未有的發(fā)展機遇．某品牌新能源汽車企業(yè)從2021年到2023年新能源汽車的銷售總量增長了96%．由于新能源汽車銷量的逐年上升，公司僅有的2個工廠無法滿足市場需求．公司決定加建工廠，經調研發(fā)現(xiàn)，受公司各方資源因素影響，一個工廠的最大產能是6萬輛/季度，若每增加1個工廠，每個工廠的最大產能將減少0.2（1）求該品牌汽車企業(yè)2021年到2023年新能源汽車銷售總量的平均年增長率；（2）現(xiàn)該企業(yè)要保證每季度生產汽車27萬輛，在增加產能同時又要節(jié)省投入成本的條件下，應該再增加幾個工廠？【答案】（1）解：設這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x；由題意得：(1+x)解得：x1=?2.4（舍），x2（2）解：設應該再增加m個工廠，(2+m)(6?0.2m)=27m1=25答：應該再增加3個工廠．【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題【解析】【分析】（1）設這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x，根據“從2021年到2023年新能源汽車的銷售總量增長了96%（2）設應該再增加m個工廠，根據“每季度生產汽車27萬輛”，列出一元二次方程求解．（1）解：設這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x；(1+x)解得：x1=?2.4（舍），（2）解：設應該再增加m個工廠，(2+m)(6?0.2m)=27m1=25答：應該再增加3個工廠．20．（2024九上·成都期中）【定義】平行四邊形一組鄰邊的中點與不在這組鄰邊上的頂點順次連接而成的三角形如果是直角三角形，則稱這個三角形為平行四邊形的“中直三角形”．【初步感知】如圖1，?ABCD為矩形，△BEF為其“中直三角形”，其中∠BEF=90°，求ADAB【深入探究】如圖2，△CEF為?ABCD的“中直三角形”，其中∠CFE=90°，∠B=60°，求ADAB【拓展延伸】在△ABC中，∠A=90°，ABAC=43，以△ABC為中直三角形的平行四邊形的一組鄰邊的長記為m，【答案】[初步感知]解：∵?ABCD為矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=CD，

∴∠ABE+∠AEB=90°，

∵∠BEF=90°，

∴∠AEB+∠DEF=90°，

∴∠ABE=∠DEF，

∴△ABE∽△DEF，

∴ABDE=AEDF，

由題意知，DE=AE=12AD，DF=CF=12CD=12AB，

∴AB12AD=12AD12AB，

解得，ADAB=2，

∴ADAB=2；

[深入探究]解：如圖1，作CG⊥AD于G，作EH⊥AD的延長線于點H，

同理