九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)專題分類知識(shí)導(dǎo)航以平面直角坐標(biāo)系為載體，結(jié)合一元二次方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)解析式與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度的關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化?！景鍓K一】二次函數(shù)與面積方法技巧用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出面積。題型一縱割法例1已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)與y令解得x1=2，x2=-2m-2∵點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，(-1)2+m×(-1)-2m-23m－3，∴C（02m－2D13m－3過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交AC于點(diǎn)E，則E12m－1DE＝m+,2yECD題型二等積變形軸翻折，然后向右平移一個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到拋物線C2.（2）在拋物線C2的第一象限內(nèi)的圖象上有一點(diǎn)P＝－設(shè)PQ:yx＋n，聯(lián)立得x2-8x+n+9=0，△=0，n＝7【點(diǎn)評(píng)】本題也可用題型一的方法，等積變換，縱割法是解決面積問題的常用方法。yQAP題型三倍分面積問題【例3】如圖，拋物線y=x2-2x與x正半軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線與拋物線相交于點(diǎn)B、C（B在C的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AB，DP，點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)求點(diǎn)P坐標(biāo)。則四邊形BADP為平行四邊形，易知四邊形PODC為矩形，∴OC、PD互相平分＝－6yCBCME針對(duì)練習(xí)11.拋物線y=ax2與直線l：y=2x-3有唯一公共點(diǎn)A，（1）此拋物線的解析式為_______________，對(duì)稱軸為___________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_________；（3）將直線L向上平移交拋物線于B，C兩點(diǎn)，若S=83，求平移后的直線BC的解析式。解軸，3EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),3)2yBDACOxO點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA交BC于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F。yEFxx【板塊二】二次函數(shù)與角度方法技巧將角度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為特殊圖形、全等、平行等，再轉(zhuǎn)化為線段之間的關(guān)系。題型一角度與等腰三角形例2如圖，拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸的下方，P（1，-3B（4，0）。（2）若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)，且∠DPO=∠POB，求點(diǎn)D坐標(biāo)?！窘馕鼋獾茫?）若點(diǎn)D在第三象限，∵∠D1PO=∠POB，∴P∴D點(diǎn)坐標(biāo)為13）或（11,-27）yHD題型二角度與全等三角形例3如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將線段AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋【解析】過(guò)點(diǎn)CD分別作x軸y軸的平行線交于G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CD⊥AB，∴Rt△CDG≌Rt△BAO2＋2a＋2則D（a＋3a2＋2a＋2∵點(diǎn)D在拋物線上，∴-（a＋3）2＋2(a＋3)＋3＝－a2＋2a＋2，yBA題型三45°角的構(gòu)造例4已知拋物線y＝x2－4x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，將直線AC向右平移交拋物線于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，且PCA＝45°,求直線PQ的解析式?！窘馕觥窟^(guò)點(diǎn)A，作AD⊥AC交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，直線聯(lián)立解得＝－4yCPDOABEQx針對(duì)練習(xí)21、如圖，拋物線y＝－x2＋4x－3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，且∠PCB=∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：A（1，0），B（3，0），C（0，－3），過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線AD交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，yDPC點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）F（x，y）是拋物線上一點(diǎn)，且∠AEF=∠DBE，求點(diǎn)F的坐標(biāo).解1）拋物線的解析式為yx2＋2x＋3，D（1，4）（2）過(guò)點(diǎn)E作EN∥BD交Y軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)F，在y軸負(fù)半軸取ON′＝ON，連接EN′，射線EN′交拋物線于點(diǎn)F，∵EF∥BD，∴∠AEF=∠DBE，∵ON＝ON′，EO⊥NN′，∴∠AEF1=∠AEF2-∠DBE＝－＝－∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，2同理，可求得F2坐標(biāo)為綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(2-5,25-2)或(5,-25-2)1yDC使得線段OP與直線AB的夾角為45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥OP，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交直線AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，∵OP與AB的夾角為45°,∴∠CAB＝45°,∴易證△CDB≌△BOA，yDC4.如圖，拋物線y＝x2＋mx＋n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若A1，0且OC＝3OA，（2）將直線BC沿x軸翻折交Y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B的直線l交y軸、拋物線分別于DE兩點(diǎn)，且點(diǎn)D在N的上方，若∠NBD=∠DCA，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。解1）∵A1，0∴OA＝1，OC＝3OA，OC＝3，C（03）∴解得∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3∴∠NCA=∠FBO=∠NBD，∴∠DBF＝45°,△BOF≌△FHG，∴G（1，4由解得yDHGNFC（2）點(diǎn)P為拋物線位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，在x軸的上方的拋物線上取一點(diǎn)Q，使∠CBQ=∠CBP，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的平行于y軸的直線，使得點(diǎn)P、Q到該直線的距離之積為定值？若存在，求出定值，若不存在，說(shuō)明理由。解1）y＝x2－3x＋2∵（m＋1－tm＋1－t）為定值，∴t＝1，∴定值為1yCQxBAxBP【板塊三】二次函數(shù)與特殊圖形方法技巧利用特殊圖形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為線段之間的相等、平行或垂直等關(guān)系，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)．?題型一二次函數(shù)與等腰三角形與y軸相交于點(diǎn)C(03)．(2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．yHAAP(2)①易求BC的解析式y(tǒng)＝x－3，設(shè)M(n，n－3)，P(n，n＝－?題型二二次函數(shù)與直角三角形【例2】(2018大慶)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，與y軸交(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P的直線y＝x＋m與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求PE+(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)．①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍．yCEF＝－22EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(5),2)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(9),4)∴△BCD為銳角△,點(diǎn)D縱坐標(biāo)的取值范圍為4+31＜n＜13或－3＜n＜4一31．題型三二次函數(shù)與平行四邊形【例3】如圖，拋物線y＝ax2＋6x＋c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x－5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．(2)過(guò)點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M，當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P(不與點(diǎn)B，CAM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．yC把B(5，0)，C(05)代入y＝ax2＋6x＋c得解得∴拋物線解析式為y＝－x2＋6x－5；∵B(5，0)，C(05)，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB＝45°,∵以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AM∥PQ，＝－＝－綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或5+41或5-41．題型四二次函數(shù)與正方形【例4】如圖，拋物線頂點(diǎn)P(1，4)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，與x軸交于點(diǎn)A，B．(2)若M，N為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線BC的垂線段，垂足分別為D，E，是否存在點(diǎn)M，N使四邊形MNED為正方形?如果存在，求正方形MNED的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．yyyPMPNNFEHABBAABBxxOxx(2)存在滿足條件的M，N．過(guò)點(diǎn)M作MF∥y軸，過(guò)點(diǎn)N作NF∥x軸交MF于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NH∥y軸交BC于點(diǎn)H，則△MNF與△NEH都是等腰直角三角形．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的解析式為yx＋b．2∵正方形邊長(zhǎng)為MN＝42-8b，∴MN＝92或2，∴正方形MNED的邊長(zhǎng)為92或2．針對(duì)練習(xí)31．(2018梆州)已知拋物線y＝－x2＋bx＋c交x軸于點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．MyMCPCBABxDxl解1）將A(－1，0)、B(3，0)代入yx2＋bx＋c，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3；＝－2②在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形?若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．yAB＝－(2)①直線AB的解析式為y2x＋2，設(shè)P(tt2＋3t＋4)，E(t2t＋2)，∵PE＝1DE，yP＝3yE，∴-t2－3t＋4＝3②當(dāng)∠BAM＝90°時(shí)，設(shè)直線PD交AB于點(diǎn)Q，Q(－1，4)，2【板塊四】二次函數(shù)與定點(diǎn)方法技巧利用根與系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)設(shè)參、消參等手段，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【例2】拋物線y＝ax2＋bx－4a－2b與拋物線y＝4ax2－2bx＋c與y軸交于同一點(diǎn)，求關(guān)于x的二次函數(shù)y=4ax2－2bx＋c的圖象所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】∵兩圖象與y軸交于同一點(diǎn)，∴c＝－4a－2b，?題型二用幾何條件求定點(diǎn)【例3)】已知拋物線y＝x2與直線y＝mx＋n交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，直線AB交y軸于點(diǎn)C，是否存在定點(diǎn)C，使得OA⊥OB，若存在，求出定點(diǎn)C的坐yyyBBBCCCAAAxx【解析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)＝－＝－題型三對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)【例4】過(guò)點(diǎn)P(12)的任一直線交拋物線y＝1x2－x于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x＝1的2對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AC，求直線AC所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)．yBx=1CBAP2EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),2)＝－B＝－∴直線AC經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1)．針對(duì)練習(xí)41．如圖，拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)過(guò)y軸上一點(diǎn)(0，4)，C1與直線y＝kx交于點(diǎn)E，F(xiàn)，P為y軸上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y＝bx＋n與直線y＝kx交于點(diǎn)Q，若求定點(diǎn)P的坐標(biāo)．yFPFQExOx2＋bx＋4，聯(lián)立EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up10(2),OQ)定點(diǎn)P2．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為(2，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，1)，直線y＝1x與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線l的解析4式為y1．(2)點(diǎn)F為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離始終相等，求定點(diǎn)的坐標(biāo)．yBAxOxly=－124222222EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(1),2)yPFxOxAx=1EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(1),2)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(1),2)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up9(1),2)n(x0-2，∵x0－1≠0，∴n故F(1，方法技巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的解析式，利用根與系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)整體代入或消元求出定值．題型一等長(zhǎng)線段求證：CN＝MN．yyyMNOxNOxAABCAABCC解得c2yMHNDxC如圖，直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線與y軸交于點(diǎn)D（0，8點(diǎn)P事拋物線在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)．yDBPx（1）設(shè)P（t，-1t2+8∴PC＝-1t2+8，PB2＝t26+1t2-8）21t2+2）2．+2，∴PB＋PC＝1t2+2-1t2+8＝10．【例3】拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P為第三象限拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PO分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)B、點(diǎn)C，求MC－MB的值．yCAxMOAxBP ∴MC＝MBt＋4t4．【例4】如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)Q（2，t）為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（0，4）的直線與y軸左側(cè)的拋物線交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，QD、QE分別交y軸于點(diǎn)G、H，求OG·CH的值．yAQCDxDOHE【例5】如圖，拋物線過(guò)定點(diǎn)A（1，0它的頂點(diǎn)M是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線交拋物線于B、C兩點(diǎn)，直線AB交y軸于點(diǎn)P，直線AC交y軸于點(diǎn)Q，求yPMxAOxCBCN2針對(duì)練習(xí)51．如圖，拋物線y=—x2+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC交y軸于點(diǎn)E，連接BC并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F，求OF＋OE的值．FDEyCxC＝－C＝－b－2，∴-a＋2＝－b－2，∴a－b＝4，∴OE＋OF＝2a－2b＝2（a－b）＝8．2yMAMBNBxO22aBC交拋物線于點(diǎn)D，直線AC交拋物線于點(diǎn)E，EF⊥y軸于點(diǎn)F，若BD＝CD，求EF的值．yxDCEQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(y),y)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(a),x2)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(—),c)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up13(4),x)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up13(c2),2)4．如圖，拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，定點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸下方，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的值．yxABAEPCF題型一配方法→建立二次函數(shù)最值模型2是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在頂點(diǎn)和點(diǎn)B之間運(yùn)動(dòng)（不包括頂點(diǎn)和點(diǎn)BME∥y軸，交直線BC于點(diǎn)E．（2）求線段ME長(zhǎng)度的最大值．yCMxExABOAB2題型二化斜為直法如圖，直線分別與x軸，y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，∠ACB＝90°,拋（2）點(diǎn)M事直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，作MD∥y軸交BC于點(diǎn)D，求△MDH周長(zhǎng)的最大值．yMCxHxDABOAB33222∴△DMH的周長(zhǎng)＝DM＋DH＋MH＝DM＋1DM＋3DM＝3+3DM，∴當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長(zhǎng)有最大值，∵點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，8針對(duì)練習(xí)61．已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)P為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線AP交y軸于點(diǎn)M，直線BP交y軸于點(diǎn)N，求OM·ON的最大值．yxBABMPNP＝－3-x-224n4,4【板塊七】拋物線的平行弦問題yl1BAl2ADxCxO聯(lián)立{得，ax2－kx－m＝0，∴xA＋a變式一橫坐標(biāo)之差為定值y=x22x解析式．yAED：－交拋物線于點(diǎn)E、F，AD∥y軸交EF于點(diǎn)D，求DF－DE的值．yCAOED解：設(shè)EF交y軸于點(diǎn)G，由題意得：A3，0B（1，0C（0，2223》變式三面積差為定值3．拋物線y=x2-4x上一點(diǎn)A1，5O為原點(diǎn)，直線y=kx與拋物線另一交點(diǎn)為點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作OC的平行線交y軸于點(diǎn)E，與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，若S△ECB－S△EOC＝3，求直線AB的解析式．BDBBAAx解：過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)D，易證四邊形OEDC為平行四邊形，2－xD3，∴OE＝DC＝6，E（0，62又A1，5易得直線AB解析式為y=x+6．【板塊八】拋物線的切線問題直線AB∥l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交AB于點(diǎn)M.求證：AM＝BM.yBxMOxMQAP,過(guò)點(diǎn)A作AC//x軸，過(guò)點(diǎn)B作BD//x軸分別交直線PM于C，D兩點(diǎn)，yDBxMxCAPMN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N，點(diǎn)D是線段OC上一點(diǎn)，且DN∥AB，求證：DN與拋物線有唯一公共點(diǎn).yBMANDxD1∴△=k2－4×k2＝0，∴直線DN與拋物線有唯一公共點(diǎn).43.如圖，點(diǎn)P是拋物線y＝ax2上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l:y＝kx＋b（k