第5章線性定常系統(tǒng)的綜合1.引言2.狀態(tài)反饋和輸出反饋3.狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性4.狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置6.鎮(zhèn)定問題7.狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器8.降階觀測器9.帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)10.漸近跟蹤和干擾抑制問題11.解耦問題12.MATLAB的應(yīng)用本章內(nèi)容為:5.輸出反饋極點(diǎn)配置5.1引言線性定常系統(tǒng)綜合：給定被控對象，通過設(shè)計(jì)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)要求。5.2狀態(tài)反饋和輸出反饋5.2.1狀態(tài)反饋線性定常系統(tǒng)方程為：（1）假定有n

個(gè)傳感器，使全部狀態(tài)變量均可以用于反饋。（2）其中，K

為反饋增益矩陣；V

為r維輸入向量。則有（3）5.2.2輸出反饋采用（4）H為常數(shù)矩陣（5）兩者比較：狀態(tài)反饋效果較好；輸出反饋實(shí)現(xiàn)較方便。5.3狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置線性定常系統(tǒng)方程為（6）引入狀態(tài)反饋（7）則有（8）5.3.1狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀性定理5-1

線性定常系統(tǒng)（6）引入狀態(tài)反饋后，成為系統(tǒng)（8），不改變系統(tǒng)的能控性。對任意的K

矩陣，均有證明因?yàn)闈M秩，所以對任意常值矩陣K和

，均有（9）（9）式說明，引入狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但是，狀態(tài)反饋可以改變系統(tǒng)的能觀測性，見例5-1。5.3.2極點(diǎn)配置定理線性定常系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置的充分必要條件是：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。狀態(tài)反饋（11）線性定常系統(tǒng)（10）狀態(tài)反饋系統(tǒng)方程（12）因?yàn)锳和b

一定，確定K

的就可以配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。經(jīng)過線性變換，可以使系統(tǒng)具有能控標(biāo)準(zhǔn)形。（13）系統(tǒng)傳遞函數(shù)：（14）方法一：（15）引入狀態(tài)反饋令（16）其中為待定常數(shù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為（17）設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)希望的極點(diǎn)為其特征多項(xiàng)式為（18）比較（17）式和（18）式，選擇使同次冪系數(shù)相同。有（19）而狀態(tài)反饋矩陣

假設(shè)狀態(tài)反饋矩陣為K——K的各個(gè)元素為待定。方法二：

首先，判斷系統(tǒng)為能控。其特征多項(xiàng)式為由各冪次系數(shù)分別對應(yīng)相等，并且解n元一次方程組，即可確定狀態(tài)反饋矩陣。設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)希望的極點(diǎn)為其中，為K的各分量元素的線性組合。注：在求解上面的過程中，如果出現(xiàn)等的乘積項(xiàng)，只要系統(tǒng)為能控的，則在計(jì)算過程中一定能夠消去。如果不能消去的話，只有2種可能：1）系統(tǒng)不能控；2）計(jì)算過程中有錯(cuò)誤。因?yàn)椋?.系統(tǒng)變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型后配置極點(diǎn)，沒有等的乘積項(xiàng)；2.能控系統(tǒng)的方程一定能夠轉(zhuǎn)換成能控標(biāo)準(zhǔn)型；3.非標(biāo)準(zhǔn)型能控系統(tǒng)方程，與它的能控標(biāo)準(zhǔn)型方程是等價(jià)的。兩者之間只是進(jìn)行了非奇異線性變換，不影響其基本屬性。所以：在非標(biāo)準(zhǔn)型方程配置極點(diǎn)的過程中產(chǎn)生的乘積項(xiàng)必將在計(jì)算過程中消去。例5-3

某位置控制系統(tǒng)（伺服系統(tǒng)）簡化線路如下為了實(shí)現(xiàn)全狀態(tài)反饋，電動(dòng)機(jī)軸上安裝了測速發(fā)電機(jī)TG，通過霍爾電流傳感器測得電樞電流，即。已知折算到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；電動(dòng)機(jī)電樞回路電阻；電樞回路電感；電動(dòng)勢系數(shù)為、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)為。選擇、、作為狀態(tài)變量。將系統(tǒng)極點(diǎn)配置到和，求K陣。解

1.建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

為恒定的負(fù)載轉(zhuǎn)矩將主反饋斷開，系統(tǒng)不可變部分，代入?yún)?shù)后，系統(tǒng)方程為2.計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣所以系統(tǒng)能控計(jì)算出狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖（c）所示（沒有畫出）。經(jīng)過結(jié)構(gòu)變換成（d）圖所示的狀態(tài)圖因?yàn)槲恢弥鞣答?，其他參?shù)的選擇應(yīng)該滿足：驗(yàn)證：求圖（d）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其極點(diǎn)確實(shí)為希望配置的極點(diǎn)位置。5.4輸出反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置5.4.1輸出反饋系統(tǒng)的能觀測性和能控性定理5-2對于任意常值反饋矩陣H，輸出反饋不改變系統(tǒng)的能觀測性。證明：設(shè)系統(tǒng)方程為控制輸出反饋系統(tǒng)方程為對于任意常值反饋矩陣H，均有因?yàn)椴徽揌為何種常值矩陣，矩陣均為滿秩，所以可見，輸出反饋不改變系統(tǒng)的能觀性。定理5-3對于任意常值反饋矩陣H，輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。證明：設(shè)系統(tǒng)方程為控制輸出反饋系統(tǒng)方程為對于任意常值矩陣H，均有因?yàn)椴徽揌為何種常值矩陣，矩陣均為滿秩，所以可見，輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性。5.4.2輸出反饋系統(tǒng)極點(diǎn)配置的局限性設(shè)系統(tǒng)方程為其中，x——n維；

u

——標(biāo)量；

y——m維。引入輸出反饋：得到：設(shè)A的特征多項(xiàng)式為：若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行線性變換，成能控標(biāo)準(zhǔn)形：設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)為：，其多項(xiàng)式為：（20）記，其中為的第i列。而，其中為H

的第i

列（21）令（20）式和（21）式的s同次冪系數(shù)相等，得到n個(gè)方程的聯(lián)立方程組，m個(gè)未知量，當(dāng)m<n時(shí)，方程組無解。（22）對于給定的，（22）式有解的條件是：它們相容。即：當(dāng)?shù)闹葹閙時(shí)，m個(gè)方程的唯一解應(yīng)能夠滿足剩下的（n-m）個(gè)方程，則（22）式有解，輸出反饋控制可以配置極點(diǎn)。例5-5系統(tǒng)方程為采用常值輸出反饋，分析該常值輸出反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題。解：由方程組（22）計(jì)算方程相容的條件為即：（23）如果希望極點(diǎn)為-1、-1、-2，則特征多項(xiàng)式為，不滿足（23）式。即不能用常值輸出反饋任意配置極點(diǎn)。如果特征多項(xiàng)式為，則滿足（23）式。5.4.3輸出反饋系統(tǒng)極點(diǎn)配置的基本結(jié)論例如：系統(tǒng)方程為定理5-4系統(tǒng)（1）能控、能觀測，rankB=r，rankC=m。存在一個(gè)常值輸出反饋矩陣H，使閉環(huán)系統(tǒng)有個(gè)極點(diǎn)可配置任意接近個(gè)任意指定的極點(diǎn)（復(fù)數(shù)共軛成對）的位置。在的情況下，幾乎所有的系統(tǒng)都可以通過輸出反饋使之穩(wěn)定。由于r=1，m=1，n=2，因此，即引入后，可以任意接近地配置的極點(diǎn)數(shù)是1。該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為。如果希望閉環(huán)極點(diǎn)為，則選擇h=1，可以將一個(gè)極點(diǎn)配置在與希望極點(diǎn)最近的位置上，但是不能配置在希望極點(diǎn)上。5.4.4動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置系統(tǒng)方程為(24)其中，x

為n

維，u

為r維，y

為m

維向量。采用輸出反饋，同時(shí)引入補(bǔ)償器其中，z

為l

維，w

為r

維向量?？刂菩盘枺?5）（26）將（26）式代入（24）式，得動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為（27）為了能用類似常值輸出反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法，將補(bǔ)償器的參數(shù)轉(zhuǎn)化為等效的靜態(tài)輸出反饋矩陣來設(shè)計(jì)。令：式中為n+l維向量，為r+l維向量，為m+l維向量。（28）則等效系統(tǒng)方程為設(shè)等效靜態(tài)輸出反饋矩陣為，且控制則有（29）（30）定理5-5動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)（30）要進(jìn)行極點(diǎn)配置，必須是能控且能觀測的。而它能控且能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)（24）為能控且能觀測的。定理5-6動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)為能控且能觀測，并且，，則存在等效靜態(tài)輸出反饋矩陣，使得等效的靜態(tài)輸出反饋系統(tǒng)有個(gè)極點(diǎn)可以配置在任意接近希望極點(diǎn)的位置（復(fù)數(shù)共軛成對）。在的條件下，幾乎所有的等效靜態(tài)輸出反饋系統(tǒng)均可以用等效靜態(tài)輸出反饋來穩(wěn)定。定理5-7如果系統(tǒng)（24）為能控且能觀測，則存在補(bǔ)償器，使動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的全部極點(diǎn)均可以近似配置到任意的希望位置（復(fù)數(shù)共軛成對）。例5-6

系統(tǒng)方程為要求采用補(bǔ)償器，使動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)為-2、-3、-4.解：經(jīng)檢驗(yàn)，系統(tǒng)能控且能觀測。但，故不能用靜態(tài)輸出反饋來配置系統(tǒng)的極點(diǎn)?？梢杂脛?dòng)態(tài)輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的配置。補(bǔ)償器維數(shù)可以算出：，l=1，補(bǔ)償器方程為等效系統(tǒng)方程為控制動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為特征多項(xiàng)式為希望極點(diǎn)的特征多項(xiàng)式對應(yīng)冪次系數(shù)相等，得補(bǔ)償器方程為補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)為可見，補(bǔ)償器本身是穩(wěn)定的。5.5鎮(zhèn)定問題鎮(zhèn)定問題——非漸近穩(wěn)定系統(tǒng)通過引入狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定（23）定理5-8SISO線性定常系統(tǒng)方程為顯然，能控系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定。如果系統(tǒng)不能控，引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件為：不能控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。（證明請參見教材191頁）那么，如果系統(tǒng)不能控，還能不能鎮(zhèn)定呢？請見定理5-2。當(dāng)系統(tǒng)滿足可鎮(zhèn)定的條件時(shí)，狀態(tài)反饋陣的計(jì)算步驟為1）將系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，確定變換矩陣2）確定，化為約當(dāng)形式3）利用狀態(tài)反饋配置的特征值，計(jì)算4）所求鎮(zhèn)定系統(tǒng)的反饋陣?yán)?-7

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。解矩陣A為對角陣，顯然系統(tǒng)不能控。不能控的子系統(tǒng)特征值為-5，因此，系統(tǒng)可以鎮(zhèn)定。能控子系統(tǒng)方程為引入狀態(tài)反饋其中為了保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)希望極點(diǎn)為同次冪系數(shù)相等，得5.6狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器問題的提出：狀態(tài)反饋可以改善系統(tǒng)性能，但有時(shí)不便于檢測。如何解決這個(gè)問題？答案是：重構(gòu)一個(gè)系統(tǒng)，用這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)來實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。（31）系統(tǒng)方程為（32）重構(gòu)一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的各參數(shù)與原系統(tǒng)相同（31）式減去（32）式（33）當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致，參數(shù)也完全一致，則。但是實(shí)際系統(tǒng)總會(huì)有一些差別，因此實(shí)際上。（34）當(dāng)時(shí)，也不為零，可以引入信號來校正系統(tǒng)（33），它就成為了狀態(tài)觀測器。其中，為矩陣（31）式減去（34）式（35）由（35）式可知，如果適當(dāng)選擇G矩陣，使(A-GC)的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，則式（34）系統(tǒng)就是式（31）系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，就是重構(gòu)的狀態(tài)。定理5-9

系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測。（證明請參見教材167頁）定理5-10線性定常系統(tǒng)的觀測器（37）可任意配置極點(diǎn)的充分必要條件是系統(tǒng)能觀測并且能控。(補(bǔ)充：系統(tǒng)雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實(shí)部，也存在狀態(tài)觀測器。)例5-8系統(tǒng)方程為要求設(shè)計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，其特征值為－3、－4、－5。解首先判斷系統(tǒng)的能觀測性系統(tǒng)能觀測，可設(shè)計(jì)觀測器。設(shè)：其中，待定希望特征值對應(yīng)的特征多項(xiàng)式而狀態(tài)觀測器的特征多項(xiàng)式同次冪系數(shù)分別相等，可以得出幾點(diǎn)說明：1）希望的特征值一定要具有負(fù)實(shí)部，且要比原系統(tǒng)的特征值更負(fù)。這樣重構(gòu)的狀態(tài)才可以盡快地趨近原系統(tǒng)狀態(tài)。2）狀態(tài)觀測器的特征值與原系統(tǒng)的特征值相比，又不能太負(fù)，否則，抗干擾能力降低。3）選擇觀測器特征值時(shí)，應(yīng)該考慮到不至于因?yàn)閰?shù)變化而會(huì)有較大的變化，從而可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.7降階觀測器1.降階觀測器的維數(shù)定理

5-11若系統(tǒng)能觀測，且rankC=m，則系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的最小維數(shù)是(n-m)。（證明略）因?yàn)橛衜

維可以通過觀測y

得到，因此有(n-m)維需要觀測。對系統(tǒng)方程采用變換矩陣進(jìn)行線性變換，（38）得到如下形式的系統(tǒng)方程可見可以通過觀測到，需要對維的進(jìn)行估計(jì)。因此，降階觀測器的維數(shù)為(n-m)2.降階觀測器存在的條件及其構(gòu)成將（38）式改寫成（39）（40）（41）令于是有(n-m)階的子系統(tǒng)：（42）以下構(gòu)造這個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器（43）因?yàn)樽酉到y(tǒng)能觀測，所以，通過選擇的參數(shù)，可以配置的特征值。為了在觀測器中不出現(xiàn)微分項(xiàng)，引入以下變換，（44）即（44）式代入（43），得由于故（45）因此，是的估計(jì)。（46）狀態(tài)圖中5.8帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)SISO線性定常系統(tǒng)（47）全階狀態(tài)觀測器（48）狀態(tài)反饋（49）還有寫成矩陣形式（50）作線性變換（51）其中為誤差估計(jì)對（43）式進(jìn)行線性變換，得到如下方程（52）（53）由上式可見，的特征值與的特征值可以分別配置，互不影響。這種的特征值和特征值可以分別配置，互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意：的特征值應(yīng)該比的特征值更負(fù)，一般為四倍左右，才能夠保證盡快跟上，正常地實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。這時(shí)傳遞函數(shù)為5.9漸近跟蹤與干擾抑制問題5.9.1漸近跟蹤問題右圖所示反饋控制系統(tǒng)一般很難做到在所有時(shí)間上都有，但，就有可能做到，即：穩(wěn)態(tài)時(shí)，實(shí)現(xiàn)了跟蹤，稱為漸近跟蹤。在經(jīng)典控制理論中，已經(jīng)討論過典型輸入信號時(shí)的情況。

但是，對于不是典型輸入信號，則跟蹤的條件是什么？輸入和誤差信號的拉氏變換式分別為顯然，輸入信號的分母中那些實(shí)部為負(fù)的根，當(dāng)時(shí)對穩(wěn)態(tài)誤差無影響；只有那些位于右半閉平面（包括虛軸的右半平面）的根，對穩(wěn)態(tài)誤差有影響。當(dāng)?shù)娜繕O點(diǎn)位于左半開平面時(shí)，要使必須有1）的所有根實(shí)部均為負(fù)。2）在右半閉平面的零點(diǎn)也是的零點(diǎn)。上面兩個(gè)條件成立時(shí)，就實(shí)現(xiàn)了漸近跟蹤，即有。其中，第2個(gè)條件就是著名的內(nèi)模原理。5.9.2內(nèi)模原理假定的某些根具有零實(shí)部或正實(shí)部，令是中不穩(wěn)定的極點(diǎn)構(gòu)成的多項(xiàng)式。和互質(zhì)。則

由于中的不穩(wěn)定的零點(diǎn)均被精確地消去，所以，只要選擇、使的根具有負(fù)實(shí)部。即：用鎮(zhèn)定系統(tǒng)，則時(shí)，有，實(shí)現(xiàn)了漸近跟蹤。這就是內(nèi)模原理.5.9.3干擾抑制問題如果系統(tǒng)存在確定性干擾，如右圖所示。當(dāng)時(shí)，，使，稱為干擾抑制問題。如果為正則有理函數(shù)，假定的某些根具有零實(shí)部或負(fù)實(shí)部。令是的不穩(wěn)定極點(diǎn)構(gòu)成的s多項(xiàng)式。于是的所有根均具有零實(shí)部或正實(shí)部。將內(nèi)模放入系統(tǒng)中，選擇使反饋系統(tǒng)成為漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)。由作用引起的系統(tǒng)輸出由于中的不穩(wěn)定的零點(diǎn)均被精確地消去，故的所有極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。因此，當(dāng)時(shí)，。從而實(shí)現(xiàn)了干擾抑制。5.9.4漸近跟蹤與干擾抑制如果，，通過在系統(tǒng)中引入內(nèi)模，若是和的不穩(wěn)定極點(diǎn)之最小公分母。設(shè)計(jì)補(bǔ)償器，就可以實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。2）內(nèi)模的系數(shù)不允許變化，否則無法實(shí)現(xiàn)精確對消。雖然現(xiàn)實(shí)中，很難極其精確地對消，由于和大多數(shù)是有界的，輸出仍然可以跟蹤輸入，只是有有限的穩(wěn)態(tài)誤差。兩點(diǎn)說明：1）內(nèi)模的位置要求并不高，只要不位于從到和從到的前向通道中即可。5.9.5狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法系統(tǒng)方程為（54）

為能控，為能觀測。（55）

為干擾信號，認(rèn)為它是在未知初始條件下，由以下系統(tǒng)產(chǎn)生。（56）

認(rèn)為是在未知初始條件下，由以下系統(tǒng)產(chǎn)生。

和為能觀測，要求設(shè)計(jì)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤與干擾抑制。設(shè)

和在s右半閉平面零點(diǎn)的最小公倍式為的所有零點(diǎn)都具有非負(fù)實(shí)部，內(nèi)?？蓪?shí)現(xiàn)為（57）其中組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程為當(dāng)時(shí)，狀態(tài)反饋的組合系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為對狀態(tài)反饋組合系統(tǒng)，如果給出(n+m)個(gè)希望極點(diǎn)，求出比較和，即可以求得K

和KC

，如此設(shè)計(jì)的系統(tǒng)，即可以實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。5.10解耦問題線性定常系統(tǒng)方程為（58）引入狀態(tài)反饋其中K

為反饋陣，F(xiàn)為輸入變換矩陣。（59）狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為所謂解耦問題，就是尋求適當(dāng)?shù)腒

和F

矩陣使得狀態(tài)反饋傳遞函數(shù)矩陣為對角陣。5.10.1關(guān)于的兩個(gè)不變量如果為嚴(yán)格正則有理傳遞函數(shù)矩陣，可以表示為如下形式（60）其中，為的第行向量。定義1（61）其中，為的第k

個(gè)元素分母多項(xiàng)式和分子多項(xiàng)式次數(shù)之差，例5-12傳遞函數(shù)矩陣如下，求不變量解對于來說，，因此對于來說，，因此約定：對于為零向量時(shí)，定義2（62）

這是一個(gè)m維非零向量。它是這樣構(gòu)造的：對于1×m

的行向量，各元素分子多項(xiàng)式中最高次冪的系數(shù)。例5-9中約定：對于為零向量時(shí)，5.10.2能解耦性判據(jù)（63）（證明請參見教材184頁。這是構(gòu)造性證明方法。即：定理證畢，K,F矩陣即可求出）定理5-12一個(gè)具有傳遞函數(shù)矩陣的系統(tǒng)，能用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦的充分必要條件是以下矩陣非奇異。例5-13系統(tǒng)方程如下，要求用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦。1）系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為解2）判斷系統(tǒng)能解耦性因?yàn)?，系統(tǒng)能解耦。3）因此4）狀態(tài)反饋的方程為上面介紹的是積分解耦系統(tǒng)。而對于實(shí)際工程系統(tǒng)來說，要求系統(tǒng)為李亞普諾夫意義下漸近穩(wěn)定。實(shí)現(xiàn)方法見教材187頁。5.11MATLAB的應(yīng)用5.11.1極點(diǎn)配置

線性系統(tǒng)是狀態(tài)能控時(shí)，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。把極點(diǎn)配置到S左半平面所希望的位置上，則可以獲得滿意的控制特性。狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方程為

在MATLAB中，用函數(shù)命令place()可以方便地求出狀態(tài)反饋矩陣K；該命令的調(diào)用格式為：K=place(A,b,P)。P為一個(gè)行向量，其各分量為所希望配置的各極點(diǎn)。即：該命令計(jì)算出狀態(tài)反饋陣K，使得（A-bK）的特征值為向量P的各個(gè)分量。使用函數(shù)命令acker()也可以計(jì)算出狀態(tài)矩陣K，其作用和調(diào)用格式與place()相同，只是算法有些差異。例5-15線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中要求確定狀態(tài)反饋矩陣，使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)配置為解首先判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下語句語句執(zhí)行結(jié)果為

這說明系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，系統(tǒng)能控，可以應(yīng)用狀態(tài)反饋，任意配置極點(diǎn)。

輸入以下語句語句執(zhí)行結(jié)果為計(jì)算結(jié)果表明，狀態(tài)反饋陣為注：如果將輸入語句中的K=place(A,B,P)改為K=acker(A,B,P)，可以得到同樣的結(jié)果。5.11.2狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)

在MATLAB中，可以使用函數(shù)命令acker()計(jì)算出狀態(tài)觀測器矩陣。調(diào)用格式，其中AT

和CT

分別是A和B

矩陣的轉(zhuǎn)置。P為一個(gè)行向量，其各分量為所希望的狀態(tài)觀測器的各極點(diǎn)。GT為所求的狀態(tài)觀測器矩陣