2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：抽樣調(diào)查方法案例分析及試題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題4分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填在題干后面的括號(hào)內(nèi)。）1.從一個(gè)包含N個(gè)單位的總體中，每次隨機(jī)抽取n個(gè)單位組成一個(gè)樣本，這種抽樣方法稱為？A.分層抽樣B.整群抽樣C.系統(tǒng)抽樣D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣2.在抽樣調(diào)查中，用來(lái)描述樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間差異的指標(biāo)是？A.標(biāo)準(zhǔn)差B.變異系數(shù)C.抽樣誤差D.回歸系數(shù)3.當(dāng)總體單位數(shù)較少，且需要了解每個(gè)單位的詳細(xì)信息時(shí)，適宜采用的抽樣方法是？A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣4.在分層抽樣中，若各層的變異程度相差很大，為了提高估計(jì)的精度，應(yīng)？A.增大變異程度大的層的樣本量B.增大變異程度小的層的樣本量C.各層樣本量相等D.減小變異程度大的層的樣本量5.抽樣極限誤差通常用抽樣平均誤差的多少倍來(lái)表示？A.0.5B.1C.1.96D.2二、計(jì)算題（每題7.5分，共15分。請(qǐng)寫出計(jì)算步驟和公式。）1.某大學(xué)有10000名學(xué)生，為了了解學(xué)生的平均每月生活費(fèi)支出，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，樣本的平均每月生活費(fèi)支出為1500元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300元。試計(jì)算樣本平均每月生活費(fèi)支出的抽樣平均誤差和抽樣極限誤差（置信水平為95%）?！?.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，總共10000件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的合格率，采用整群抽樣的方式抽取了50件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。將這10000件產(chǎn)品分成100群，每群100件。隨機(jī)抽取了第5、10、15、...、500群，共50群，檢驗(yàn)結(jié)果顯示這50群的合格率分別為98%、95%、96%、...、97%。試估計(jì)該批產(chǎn)品的總體合格率的點(diǎn)估計(jì)值和區(qū)間估計(jì)值（置信水平為90%）。（假設(shè)每群內(nèi)部的產(chǎn)品質(zhì)量相同）三、簡(jiǎn)答題（5分。）簡(jiǎn)述分層抽樣相比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的優(yōu)點(diǎn)。四、案例分析題（60分。）某市為了了解市民對(duì)市政府工作的滿意度，計(jì)劃進(jìn)行一項(xiàng)抽樣調(diào)查。該市共有常住人口100萬(wàn)人，其中城鎮(zhèn)居民60萬(wàn)人，農(nóng)村居民40萬(wàn)人。市政府希望通過(guò)抽樣調(diào)查，以95%的置信水平估計(jì)全市市民對(duì)市政府工作的平均滿意度得分，并要求估計(jì)的抽樣極限誤差不超過(guò)0.05分；同時(shí)，以90%的置信水平估計(jì)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民對(duì)市政府工作的滿意度比例，并要求兩個(gè)比例的抽樣極限誤差都不超過(guò)0.03?？紤]到該市城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民的生活環(huán)境、文化程度等方面存在較大差異，市政府計(jì)劃采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣。市政府將全市常住人口分為城鎮(zhèn)居民層和農(nóng)村居民層，并計(jì)劃根據(jù)分層后的比例進(jìn)行比例分配抽樣。請(qǐng)結(jié)合上述背景信息，回答以下問(wèn)題：1.說(shuō)明該市進(jìn)行此項(xiàng)調(diào)查宜采用何種抽樣方法，并簡(jiǎn)述理由。2.確定樣本量。需要分別計(jì)算城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民樣本量，并說(shuō)明樣本量分配的理由。3.假設(shè)通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式，從城鎮(zhèn)居民中抽取了300人，他們的平均滿意度得分為4.2分，標(biāo)準(zhǔn)差為0.8分；從農(nóng)村居民中抽取了200人，他們的平均滿意度得分為3.9分，標(biāo)準(zhǔn)差為0.9分。請(qǐng)計(jì)算全市市民對(duì)市政府工作的平均滿意度得分估計(jì)值和區(qū)間估計(jì)值。4.假設(shè)通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式，從城鎮(zhèn)居民中抽取了500人，其中450人對(duì)市政府工作表示滿意；從農(nóng)村居民中抽取了400人，其中320人對(duì)市政府工作表示滿意。請(qǐng)計(jì)算城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民對(duì)市政府工作的滿意度比例估計(jì)值和區(qū)間估計(jì)值。5.結(jié)合上述計(jì)算結(jié)果，對(duì)該市此次抽樣調(diào)查的方案和執(zhí)行情況進(jìn)行分析，并提出至少兩條改進(jìn)建議。試卷答案一、選擇題1.D解析：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指從總體中直接隨機(jī)抽取樣本，每個(gè)單位被抽中的概率相等。2.C解析：抽樣誤差是指樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異，反映了抽樣估計(jì)的誤差程度。3.A解析：當(dāng)總體單位數(shù)較少時(shí)，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣可以確保每個(gè)單位都有相等的被抽中機(jī)會(huì)，便于了解每個(gè)單位的詳細(xì)信息。4.A解析：在分層抽樣中，為了提高估計(jì)精度，應(yīng)將樣本量分配到變異程度大的層，即變異程度越大的層，其樣本量應(yīng)越大。5.D解析：抽樣極限誤差通常是抽樣平均誤差的2倍，用于構(gòu)造置信區(qū)間。二、計(jì)算題1.抽樣平均誤差：σ_?=σ/√n=300/√200≈21.21抽樣極限誤差：E_?=Zα/2*σ_?=1.96*21.21≈41.68區(qū)間估計(jì)：1500±41.68，即(1458.32,1541.68)解析：首先根據(jù)公式計(jì)算抽樣平均誤差，然后根據(jù)置信水平和Z值計(jì)算抽樣極限誤差，最后用樣本均值加減抽樣極限誤差得到置信區(qū)間。2.總體群數(shù)：N'=100抽取群數(shù)：k=50平均合格率：p?=(98%+95%+...+97%)/50=96%點(diǎn)估計(jì)值：π?=p?=96%抽樣平均誤差：σ_p=√[(Σ(p_i-p?)2)/(k-1)]*(N'/N)*(1-k/N)≈0.014抽樣極限誤差：E_p=Zα/2*σ_p=1.645*0.014≈0.023區(qū)間估計(jì)：96%±0.023，即(95.77%,96.23%)解析：首先計(jì)算各群合格率的平均值作為樣本比例，然后計(jì)算抽樣平均誤差，注意整群抽樣公式中要考慮群數(shù)和群內(nèi)同質(zhì)性，最后根據(jù)置信水平和Z值計(jì)算抽樣極限誤差，得到置信區(qū)間。三、簡(jiǎn)答題分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)包括：可以降低抽樣誤差，提高估計(jì)精度；可以了解各層的情況，便于分層管理；可以滿足特定層的需求，提高調(diào)查的針對(duì)性。解析：分層抽樣通過(guò)將總體劃分為不同層，可以在保證代表性的前提下，根據(jù)各層特點(diǎn)進(jìn)行抽樣，從而降低抽樣誤差，提高估計(jì)精度。同時(shí)，分層也便于后續(xù)管理和分析。四、案例分析題1.宜采用分層抽樣方法。理由是該市城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民在生活環(huán)境、文化程度等方面存在較大差異，這些差異可能導(dǎo)致他們對(duì)市政府工作的滿意度存在顯著不同。采用分層抽樣可以確保城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民在樣本中的比例與總體中的比例一致，從而提高樣本的代表性，使調(diào)查結(jié)果更能反映全市市民的真實(shí)情況。解析：分層抽樣的適用條件之一是總體內(nèi)部存在明顯的差異，需要根據(jù)這些差異進(jìn)行分層。案例中明確指出城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民存在較大差異，因此適合采用分層抽樣。2.城鎮(zhèn)居民比例：60/100=0.6農(nóng)村居民比例：40/100=0.4全市市民平均滿意度得分區(qū)間估計(jì)要求E_?≤0.05，置信水平95%，Zα/2=1.96n_?=(Zα/2*σ/E_?)2=(1.96*σ_?/0.05)2由于不知道總體標(biāo)準(zhǔn)差σ_?，需用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)，假設(shè)城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民標(biāo)準(zhǔn)差相似，取σ_?=√[(0.82+0.92)/2]≈0.85n_?≈(1.96*0.85/0.05)2≈2883.56總樣本量：N=n_?*(60/100)+n_?*(40/100)≈2883.56*1=2884按比例分配：城鎮(zhèn)居民樣本量n_城鎮(zhèn)=2884*0.6≈1730，農(nóng)村居民樣本量n_農(nóng)村=2884*0.4≈1154解析：根據(jù)置信水平和抽樣極限誤差要求，計(jì)算所需樣本量。由于不知道總體標(biāo)準(zhǔn)差，使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估計(jì)。由于城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民差異可能較大，為提高精度，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差相似并取平均值進(jìn)行估算。樣本量計(jì)算后，根據(jù)城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民在總?cè)丝谥械谋壤M(jìn)行比例分配。3.全市市民滿意度得分估計(jì)值：?=(300*4.2+200*3.9)/(300+200)=4.11城鎮(zhèn)居民抽樣平均誤差：σ_?_城鎮(zhèn)=0.8/√300≈0.046農(nóng)村居民抽樣平均誤差：σ_?_農(nóng)村=0.9/√200≈0.063全市市民抽樣平均誤差：σ_?_全市=√[((0.046)2*300+(0.063)2*200)/(300+200)]≈0.051抽樣極限誤差：E_?=Zα/2*σ_?_全市=1.96*0.051≈0.100區(qū)間估計(jì)：4.11±0.100，即(4.01,4.21)解析：首先計(jì)算加權(quán)平均數(shù)作為總體均值的無(wú)偏估計(jì)。然后分別計(jì)算城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民滿意度得分的抽樣平均誤差，再計(jì)算全市市民滿意度得分的抽樣平均誤差（使用方差的加權(quán)平均）。最后根據(jù)置信水平和Z值計(jì)算抽樣極限誤差，得到置信區(qū)間。4.城鎮(zhèn)居民滿意度比例估計(jì)值：p?_城鎮(zhèn)=450/500=0.9農(nóng)村居民滿意度比例估計(jì)值：p?_農(nóng)村=320/400=0.8城鎮(zhèn)居民抽樣平均誤差：σ_p_城鎮(zhèn)=√[p?_城鎮(zhèn)*(1-p?_城鎮(zhèn))/500]≈0.009農(nóng)村居民抽樣平均誤差：σ_p_農(nóng)村=√[p?_農(nóng)村*(1-p?_農(nóng)村)/400]≈0.01抽樣極限誤差（城鎮(zhèn)）：E_p_城鎮(zhèn)=Zα/2*σ_p_城鎮(zhèn)=1.645*0.009≈0.015抽樣極限誤差（農(nóng)村）：E_p_農(nóng)村=Zα/2*σ_p_農(nóng)村=1.645*0.01≈0.016區(qū)間估計(jì)（城鎮(zhèn)）：0.9±0.015，即(0.885,0.915)區(qū)間估計(jì)（農(nóng)村）：0.8±0.016，即(0.784,0.816)解析：首先計(jì)算樣本比例作為總體比例的點(diǎn)估計(jì)。然后根據(jù)樣本比例和樣本量計(jì)算抽樣平均誤差。最后根據(jù)置信水平和Z值計(jì)算抽樣極限誤差，得到置信區(qū)間。5.分析：該市此次抽樣調(diào)查方案設(shè)計(jì)基本合理，采用了分層抽樣方法，并根據(jù)調(diào)查目標(biāo)設(shè)定了置信水平和抽樣極限誤差。但在執(zhí)行過(guò)程中可能存在一些問(wèn)題。例如，樣本量的計(jì)算可能存在偏差，因?yàn)闆](méi)有考慮城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民滿意度的實(shí)際差異；抽樣過(guò)程可能存在偏差，例如城鎮(zhèn)居民抽樣可能集中在某些區(qū)域，而農(nóng)村居民抽樣可能覆蓋面不足；數(shù)據(jù)收集過(guò)程可能存在偏差，例如問(wèn)卷設(shè)計(jì)可能存在引導(dǎo)性問(wèn)題，或者調(diào)查員的表現(xiàn)可能影響被調(diào)查者的回答。改進(jìn)建議：1.在計(jì)算樣本量時(shí)，應(yīng)使用更精確的方法，例如