14.3角的平分線

第1課時(shí)角的平分線的性質(zhì)

基礎(chǔ)夯實(shí)

知識(shí)點(diǎn)1作已知角的平分線

1如圖所示的是用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖則說(shuō)明NCAD二NDAB的依據(jù)是（）

2.新尺規(guī)作圖用尺規(guī)分別畫出圖1、圖2中NAOB的平分線.

圖1圖2

知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)

3.「2025海南?？谄谀谷鐖D在△ABC中,/C=90o,AD平分NBAC,DE_LAB于E,BE=3,BC=7,則△BDE的周

長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.10D.14

4.燃燃材如圖,D是/ABC平分線上的一點(diǎn)DE_LBC.DFJ_AB,垂足分別為E,F,連接EF,交BD于點(diǎn)。已知/E

DF=120°J!JZDEF的度數(shù)為（）

A.40°B.35°C.30°D.25°

5.「2025重慶西南大學(xué)附中期末」如圖.OC平分NAOB,P是OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM1OA于M,PM=4,N

是OB上任意一點(diǎn)，連接NP,則NP的最小值為

第5題圖笫6題圖

6.「2025福建廈門期中」如圖，在RIAABC中,^^二90。出口平分/人8口人8=10,SAABD=6,則CD的長(zhǎng)為

7.如圖，在△ABC中,NC=9(r,AD平分NCAB,DE_LAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,BD=DF.求證:BE二FC.

知識(shí)點(diǎn)3證明幾何文字命題的一般步驟

8.答案求證：三角形互為同旁內(nèi)角的兩個(gè)外角的平分線的交點(diǎn)到三角形三邊（或所在直線）的距離相等.

能力提升

9.「2025河南安陽(yáng)期末，」如圖.在△ABC中,NABC,/ACB的平分線交于點(diǎn)O,連接AO,過(guò)點(diǎn)O作ODJ_BC

于D,OE±AB于ABC的面積是16.周長(zhǎng)是8,則OD的長(zhǎng)是（）

A.IB.2C.3D.4

第9題圖第10題圖

10.I■如圖，在平面直角坐標(biāo)系的x軸，y軸上分別截取OA,OB使OA=OB.再分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于；A

B長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,2a-3）,則a的值為

II.「2025遼寧本溪期中，」如圖.BD是4ABC的角平分線.DE_LAB、DF_LBC垂足分別為E.F.

(1)求證:DE=DF.

(2)§AABC的面積為80,AB=16,DE=4,求BC的長(zhǎng).

12.[2025重慶巴南實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考.【☆」如圖.△ABC中,NACB=9()o,AD_LAB,BD平分NABC交AD于D點(diǎn).

交AC于E點(diǎn).

(1球證:ZADE=ZAED.

(2諾AB=6,CE=2,^CAABE的面積.

素養(yǎng)提優(yōu)

13.「2025山東德州期中改編」角平分線定理：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與其對(duì)邊相交，交點(diǎn)將該邊分成的兩

條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例，即如圖，△ABC的角平分線BP交AC于點(diǎn)P.則花=黃.

⑴求證:夢(mèng)箓

(2存AB=8,BG12,CP=6*AP的長(zhǎng).

A

C

OD,若NBAOlOQoJJliJ/BOC的度數(shù)是.

5.如圖，在△ABC中,AC_LBC,D.E,F分別是邊ACAB,BC上的點(diǎn)，已知DE_LAB,AD=FD,AE=FC求證:BD為NAB

C的平分線.

能力提升

6.F2025山東臨沂期中，如圖.直線h,12人表示三條公路.現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P,使P到三條公路的距離

都相等，則中轉(zhuǎn)站P可選擇的位置有（）

A.I處B.2處

C.3處D.4處

、/B

，二l3A2ED

第6題圖第7題圖

7.「2025河北邢臺(tái)期末，」如圖，在四邊形ABCD中,NB=9（RBC=3,連接AC,AC_LCD,垂足為C,并且NACB=

ND.點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，則CE的最小值是（）

A.1.5B.3C.3.5D.4

8.「2025福建廈門期末，」如圖.在^ABC中、AP平分NBAC,CP平分NACB,作PD1AB于點(diǎn)D,連接BP.

⑴求證:BP平分NABC.

（2）§AABC的面積為15,AB=4,AC=4,BC=2,求PD的長(zhǎng).

(3諾AB=7,BC=5,AC=8,求BD的長(zhǎng).

c

素養(yǎng)提優(yōu)

9.在△ABC中.D是BC邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合).連接AD.

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí).￡△ABD:SAACD=.

(2)如圖②，當(dāng)AD平分NBAC時(shí)，若AB=m,AC=n.求SAABD:SAACD(用含m,n的式子表示).

(3)如圖③,AD平分NBAC,延長(zhǎng)AD到IE.使得DE二AD,連接BE.如果AC=2,AB=4,SaBDE=6,^<SAABC.

微專題對(duì)角互補(bǔ)模型

1.如圖，已知ZAOB=90°,OC平分NAOB點(diǎn)P在射線OC上，點(diǎn)E在射線OA上點(diǎn)F在射線OB上,

且NEPF=90。.求證:PE=PF.

2.如圖.OC平分□4O8,.P是OC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在射線OB和射線OA上，連接PM和PN.若

□PMO+-DP.V0180，求證：PM二PN.

14.3角的平分線

第I課時(shí)角的平分線的性質(zhì)

基地夯實(shí)

知識(shí)點(diǎn)1作已知角的平分線

L如圖所示的是用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖廁說(shuō)明NCAD=/DAB的依據(jù)是(D)

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

2.新興趣作用用尺規(guī)分別畫出圖1、圖2中NAOB的平分線.

知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)

3.「2025海南?？谄谀谷鐖D，在△ABC中,NC=9()o,AD平分NBAC,DE_LAB于E,BE=3、BC=7JJ1!UBDE的周

4.整整如圖,D是/ABC平分線上的一點(diǎn),DEJLBCDF_LAB、垂足分別為E.F.連接EF.交BD于點(diǎn)O.已知NED

F=120。則NDEF的度數(shù)為(C)

A.40°B.35°C.30°D.25°

5.「2025重慶西南大學(xué)附中期末」如圖,OC平分NAOB,P是OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM±OA于M,PM=4,N

是OB上任意一點(diǎn)，連接NP,則NP的最小值為工_.

6.「2025福建廈門期中」如圖，在RtAABC中,NC=9（HBD平分NABC,AB=10,SAABD=15,則CD的長(zhǎng)為

3

7.如圖，在△ABC中,zTC=9()c,AD平分ZCAB,DEJ_AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上.BD-DF.求證:BE=FC.

答案證明YAD平分/BAC,DE_LAB,NC=90。,

???DC=DE,ZC=ZDEA=90°,

在RtADCF和RtADEB中，個(gè)夕=償

ARtADCF^RlADEB(HL),.\FC=BE.

知識(shí)點(diǎn)3證明幾何文字命題的一般步驟

8.求證：三角形互為同旁內(nèi)角的兩個(gè)外角的平分線的交點(diǎn)到三角形三邊（或所在直線）的距離相等.

解析已知:如圖.BD為△ABC的外角NCBG的平分線,CE為△ABC的外角/BCH的平分線,BD,CE相交于

點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到^ABC的三邊（或所在直線）的距離相等.

證明:如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF_LBCPM_LAG,PN_LAH,垂足分別為F,M,N.

???PF_LBC.PM_LAG,且BD平分NCBG,，PF=PM.同理PF=PN,?',PF=PM=PN、即點(diǎn)P至以ABC的三邊(或

所在直線）的距離相等.

能力提升

9.「2025河南安陽(yáng)期末，」如圖，在△ABC中,NABC/ACB的平分線交于點(diǎn)O.連接AO,過(guò)點(diǎn)O作OD_LBC

于D,OE±AB于E,AABC的面積是16,周長(zhǎng)是8,則OD的長(zhǎng)是（D）

A.IB.2D.4

A

E

第9題圖第10題圖

10.「如圖，在平面直角坐標(biāo)系的x軸，y軸上分別截取OAQB使OA=OB,再分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于＞

B長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,2a-3),則a的值為小一

11.「2025遼寧本溪期中，如圖,BD是4ABC的角平分線,DE_LAB,DF_LBC,垂足分別為E,F.

(1)求證:DE=DF.

(2)§AABC的面積為80,AB=16,DE=4,求BC的長(zhǎng).

解析答案⑴證明:：BD是△ABC的角平分線,DE_LAB,DF_LBC.垂足分別為E,F,

/.DE=DF.

(2)VDE±AB,AB=16,DEM,

[SABD=^BDE=32,

VDF±BC.DF=DE=4,

【SBCD=；BCDF=；BCX4=S/9=80-32=48,???BC=24.

12.「2025重慶巴南實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考，如圖.AABC中,/ACB=9(T,AD_LAB.BD平分/ABC交AD于D點(diǎn).交A

C于E點(diǎn).

(1求證:NADE=NAED.

(2)若AB=6,CE=2,3<AABE的面積.

解析(1)證明:???AD_LAB,

,ZDAB=90°,AZD+ZABD=90°,

VZC=90°,.\ZCEB+ZCBE=90°,

,/BD平分ZABC,AZCBE=ZABE,.\ZD=ZCEB,

ZCEB=ZAED..,.ZADE=ZAED.

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)E作EF_LAB,垂足為F,

I)

E,

AFB

〈BD平分NABC,NACB=90°,，EF=CE=2,

VAB=6,/.△ABE的面積=1j5JEF=1x6x2=6.

素養(yǎng)提優(yōu)

13[2025山東德州期中改編」角平分線定理：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與其對(duì)邊相交，交點(diǎn)將該邊分成的兩條

線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例，即如圖，△ABC的角平分線BP交AC于點(diǎn)P,則興=青

(1球證:夢(mèng)念

(2)若AB=8,BC=12,CP=6,求AP的長(zhǎng).

第2課時(shí)角的平分線的判定

基訛夯實(shí)

知識(shí)點(diǎn)角的平分線的判定

1J2025湖北武漢期中」兩個(gè)完全一樣的三角尺按如圖所示的方式擺放在△ABC內(nèi)，它們的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M,

則點(diǎn)M一定在(A)

A.ZA的平分線上

B.AC邊的高上

C.BC邊的垂直平分線上

D.AB邊的中線上

2.「2025江西醯州質(zhì)檢I已知.如圖.OC是NAOB內(nèi)部的一條射線.P是射線OC上任意一點(diǎn).PD_LOA.PE_LOB.

下列條件:①NAOC=NBOC,②PD=P日③OD=OE,④NDPO=NEPO.其中，能判定0C是NAOB的平分線的有

(D)

A.I個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.「2025陜西榆林期中」如圖，在△ABC中,/慶=73。,/047。,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD.DE_LAB于E,DF

_LBC于F,若DE=DF,則NDBF的度數(shù)是30。.

4.「2025安徽合肥月考」如圖、0是4ABC內(nèi)一點(diǎn).且點(diǎn)0到AB.AC.BC三邊的距離相等，即OF=OE=OD若NB

AC=100o.51IJZBOC的度數(shù)是」?1

BDC

5.如圖，在△ABC中,AC_LBC.D,E,F分別是邊AC,AB,BC上的點(diǎn)，已知DE_LAB,AD=FD,AE=FC,求證:BD為NAB

C的平分線.

答案證明???AC_LBC,DEJ_AB,，NAED二NFCD=90。,在RtAAED和RtAFCD+，｛AC_r/

.,.RtAAED^RIAFCD(HL),.\DE=DC,

又???AC_LBC.DE_LAB,

ABD為/ABC的平分線.

能力提升

6.P2O25山東臨沂期中，」如圖.直線U,12,13表示三條公路.現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P,使P到三條公路的距離

都相等,則中轉(zhuǎn)站P可選擇的位置有(D)

A.I處B.2處

C.3處D.4處

7.如圖在四邊形ABCD中,/B=9(r,BC=3.連接AC,AC_LCD,垂定為C,并且/ACB=ND.點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)

點(diǎn)，則CE的最小值是(B)

A.1.5B.3C.3.5D,4

8.「2025福建廈門期末，」如圖.在AABC中.AP平分NBAC,CP平分NACB,作PD1AB于點(diǎn)D.連接BP.

(1)求證:1^平分/人13(1

(2)§AABC的面積為15,AB=4,AC=4,BC=2,求PD的長(zhǎng).

(3諾AB=7,BC=5,AC=8,求BD的長(zhǎng).

素養(yǎng)提優(yōu)

9.新推理能在△ABC中.D是BC邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，連接AD.

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí).,SaABD:SAACD=.

(2)如圖②，當(dāng)AD平分NBAC時(shí)若AB=m,AC=n,^<SAABD:SAACD(用含m,n的式子表示