2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卡上.

2.選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).不能答在本試卷上，否則無(wú)效.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分

鐘.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每一小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求.

1

1.復(fù)數(shù)1+i的虛部是

I11.1.

A.B.-C.—iD.—i

2222

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同乘以分母的共扼復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

4+歷（。/WR）,方即為虛部.

【詳解】

11-i1-iI1.11

工=丁=丁不，所以復(fù):數(shù)「的虛部是一一.

l+i2221+i2

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.球面上任意兩點(diǎn)連成的線段都是球的直徑

B.底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐

C.用一個(gè)平面截一個(gè)圓錐，得到的截面圖形是一個(gè)三角形

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于同一點(diǎn)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間兒何體的概念和性質(zhì)可判斷.

【詳解】對(duì)于A：球面上任意兩點(diǎn)與球心共線時(shí)連成的線段都是球的直徑，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心是正棱錐，故B

錯(cuò)誤;

對(duì)于C：用一個(gè)平面截一個(gè)圓錐，得到的截面圖形是一個(gè)三角形或圓形，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)槔馀_(tái)是用平行與底面平面截棱錐得到，所以棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于同一點(diǎn)，故D正確.

故選：D.

3.若平面a//平面夕，直線〃ua,直線bu/,那么直線a,匕的位置關(guān)系一定是（）

A.無(wú)公共點(diǎn)B.平行C.異面D.相交

【答案】A

【解析】

【分析】利用面面平行的定義判斷即可.

【詳解】由平面a//平面/，得平面a,夕無(wú)公共點(diǎn)，而直線〃ua,直線bu?,

所以直線出〃無(wú)公共點(diǎn).

故選：A

4.在中，若‘一二"一=」一，則A4AC是（）

cosAcosBcosC

A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由條件及正弦定理得到三角形角的關(guān)系，進(jìn)而可得三角形的形狀.

【詳解】由二上=及正弦定理得2—sin*---2”‘吊0,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

所以tan4=tanB=tanC>

又A,8,C為三角形的內(nèi)角，

所以A=B=C,

所以A48C為等邊三角形.

故選D.

【點(diǎn)睛】判斷三角形的形狀有兩種方法，?是把角化為邊后進(jìn)行判斷，另?種方法是把邊化為角后再進(jìn)行

判斷，其中兩種判定方法有相互交叉的情形，如等腰直角三角形，解題時(shí)要靈活選擇相應(yīng)的方法進(jìn)行求

解.

5.如圖，△AB'C是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的VABC的直觀圖，其中AC7/），'軸，4B7/V軸，且

A,B,=BfC=l,則VA8c的邊8C=()

A.1B.V2c.GD.3

【答案】D

【解

【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法可還原到原直角坐標(biāo)系中，再計(jì)算邊長(zhǎng)即可.

【詳解】由題意可得還原后VA8C如卜.:

A6=A9=1,AC=2AVC=2>/2>NBAC=90。，則8C=J（2夜）?+『=3.

故選：D

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB，CD，EF、G”分別是單位圓上的四段弧（不含與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），

點(diǎn)P在其中一段上，角a以O(shè)x為始邊,。尸為終邊，若sinaccosovuma,則「所在的圓弧是（）

CDC.EFD.GH

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義解決即可.

葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為2,圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為

1,若點(diǎn)“在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A,B在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心0對(duì)稱，則而仄.我的最小值是

D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算法，化簡(jiǎn)得到必.標(biāo)=礪2_[,即可求得瘋.雨的最小值.

【詳解】連接4及。歷，如圖,

l^^=^+OA)^Md+0B)=(Md+0A)(Md-OA)=Md2-OA=MO1-\，

根據(jù)圖形知，當(dāng)點(diǎn)M位于正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)|加。|最小值為G，卜1的最小值為2,

所以M4?祈叵的最小值是2.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每一小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.復(fù)數(shù)z=3+4i的模為5

B.復(fù)數(shù)z=3+4i,則[在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限

C.復(fù)數(shù)(療+3+-4)+(?n-l)i是純虛數(shù),則m=1或==-4

D.若1工忖工及，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為江

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)表示、純虛數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)模的幾何意義來(lái)逐一分析選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，己知復(fù)數(shù)z=3+4i,則其模|z|=J32+42=5,所以A正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，已知z=3+4i,則N=3-4i,

在復(fù)平面內(nèi)，N=3—4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3,Y),該點(diǎn)在第四象限，所以B錯(cuò)誤.

對(duì)干C選項(xiàng)，對(duì)于復(fù)數(shù)(62+3〃2-4)+(6-1?,若它是純虛數(shù)，則實(shí)部為0,虛部不為0.

,nr+3tn—4=0,,

即；，八，由相？+3機(jī)-4=0，解得m=T或〃？=1；

〃，一1工0

又因?yàn)椤?-1H0,即〃ZH1,所以〃Z=-4,C錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，已知10Z區(qū)友表示的是以原點(diǎn)為圓心，半徑「滿足IWrW夜的圓環(huán).

\2

圓環(huán)的面積5=兀(夜)-I2=71x(2-1)=兀，所以D選項(xiàng)正確.

故選:AD.

10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A88-A4G3中，分別為棱GA，GC的中點(diǎn)，貝J()

A.直線8V與M片是相交直線B.直線MN與4c所成的角是四

3

C.直線MN〃平面ACQD.BM1DN

【答案】BCD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,判斷兩條直線是否相交需判斷它們是否共面且不平行；選項(xiàng)B,通過(guò)平移直線，找出異面

直線所成角，再利用解三角形的知識(shí)求解；選項(xiàng)C,利用線面平行的判定定理來(lái)判斷直線與平面是否平行;

選項(xiàng)D,利用線面垂直性質(zhì)判斷.

【詳解】對(duì)于A,由于BNU平面C平面BBCIC=用,4任BN,

故直線BN與加片是異面直線，放A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如圖，連接CQ,因?yàn)镸,N分別為棱GR，GC的中點(diǎn)，所以MN//CD1,

所以直線與AC所成的角即為直線CR與4c所成的角，

乂因?yàn)椤鰽CR是等邊三角形，所以直線。。與AC所成的角為［

對(duì)于C,有前面可知MN//CA，C。u平面ACQ,MNz平面AC。，所以MN//平面ACR,C正

確：

對(duì)于D,連接MC,MB、DN,因?yàn)镈C=CC、,/DCN=/CC\M,NC=MC1,

所以aOCN三△C0M,則NCON+N力CM=NGCM+N亦加=901即ON_LCM,

又因?yàn)?c_L平面。CGA，所以3C_LQN,

因?yàn)?clCM=C,所以O(shè)N工面3cM,

又因?yàn)锽Mu面8cM,所以DV_L8W,D正確.

故選：BCD.

11.一般地，對(duì)任意角在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)a的終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（乂?。?，它

xr）?

與原點(diǎn)的距離是「.我們規(guī)定：比值一，一，一.分別叫做角a的余切、余割、正割，分別記作cola,csca,

）‘yx

seca,把y=cotx,y=cscx,）=secx分別叫做余切函數(shù)、余割函數(shù)、正割函數(shù).下列敘述正確的有（）

5兀,

A.cot——=-lB.sintzcsca=1

4

D.cot2a=巫小

C.sec2a+esc2a>4

2cota

【答案】BCD

【解^5]

【分析】根據(jù)題目對(duì)余切、余割、正割的定義，結(jié)合三角函數(shù)同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、正切函數(shù)的二

倍角公式,即可求解.

571I1-^=1

cot—=----=—

71

【詳解】對(duì)于A,由題意可得4tan5"tan兀，故A錯(cuò)誤;

7l+—tI<n11n1-

44J4

對(duì)干B,sina-escer=sina---=1,故B正確;

sina

sin2?+cos2a4

對(duì)于C,sec?a+esc?a=——>4,

cos2asin2asin2crcos2asin2la

當(dāng)且僅當(dāng)sin?2a-1時(shí)等號(hào)成立，故C正確；

,i__!_

-cl11-tan~at2cot"<z-l,,

ccoa

對(duì)于D,cot2a=-----=--=----=-7=--------，故D正確.

tanla2tana2tana22cota

1-tan2acota

故選:BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.2cos215。-1等于.

【答案】B

2

【解析】

【分析】

直接逆用余弦的二倍角公式求解即可

【詳解】2cos215C-1=cos3()c=J，

2

故答案為：巫.

2

【點(diǎn)睛】此題考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

13.已知2=(1,1),B=(O,l),設(shè)Z=Q+d=2a-b^若"與2的夾角為鈍角，則々的取值范圍___

【答案】(一。,-2)712,-、

【解析】

【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量夾角為鈍角需滿足數(shù)量積為負(fù)，且兩向量不共線求解即可.

【詳解】因?yàn)镸=(l』)，B=(O,l),

所以2=+〃=左(1,1)+(0,1)=(攵M+l),d=2a-/?=2(1,1)-(0,1)=(2,1),

又2與I的夾角為鈍角，所以3才〈()且2與Z不反向共線，

所以2左+攵+1<0且Axlw2(k+1),解得Z〈一,且女/一2,

3

所以左的取值范圍為(一8,-2)[-2,-；).

故答案為：(―0^,一2)2(-2,一§.

14.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為18兀，則該圓錐外接球的表面積為.

【答案】48兀

【解析】

【分析】利用圓錐的側(cè)面積公式，求得母線長(zhǎng)，進(jìn)而得圓錐的高，再利用幾何關(guān)系求出外接球的半徑，即

可求解.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,高為〃，由題有3兀/=18兀，得到/=6,

如圖，0、B=3,則力=小/2_°產(chǎn)2=<36-9=30，

易知圓錐外接球的球心。在。/上，設(shè)圓錐外接球的半徑為/?,

則/?=JoQ+OF=J(3癢@+3?,解得&=26，

所以同錐外接球的表面積為S=4TTR2=47rx僅百丫=48幾.

p

故答案為：48兀.

四、解答題：本題共5小題，滿分77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知向量J與萬(wàn)的夾角且同=3邛=6

（1）求7B，a-b；

（2）求［與1的夾角

orr

【答案】（1）ab=-,a-b=V3

2

⑵烏

6

【解析】

【分析】（1）利用向量數(shù)量積定義求出2石，利用向量運(yùn)算律計(jì)算出3-0；

（2）利用向量夾角余弦公式求出COS（Z,4-4二亭，求出夾角.

【小問(wèn)1詳解】

由向量G與五的夾角0=已，且忖=3,卜|二石可知，

ab=|J||/?|cos0=3\/3x—=,

a-b=\!a-2a'b+b=小9-2xg+3=>/3；

所以a與a—b的夾角為:.

6

sin(-a)cos?(兀-a>cos兀

——2a)

16.已知/（。）=

（如卜皿一…(5兀丫

cos)?sina--

I2J

（1）化簡(jiǎn)/（。）：

TT\273兀、

(2)若/a+—=—,求/-------a

I4J34)

【答案】（1）cosa

2

（2）——

3

【解析】

【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值;

：］=:，湊角后利用誘導(dǎo)公式即得答案.

(2)在(1)基礎(chǔ)上得到cosa+

4；3

【小問(wèn)1詳解】

、-sinacos-a-sina

f(a)=-----------；------r=cosa；

sina.sins(-cosa)

【小問(wèn)2詳解】

由小;卜2git2

一可得cosa+—=

3I4,3

X/cX

3兀3兀71712

貝療a=cos----a=cos7T-a+一a+一

T>I4>4J43

17.在銳角VA3C中，內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別為小b,c若ccosB—2a="+'一"

24c

(1)求3；

（2）若a=2,求c?的取值范圍.

【答案】（1）

⑵（1,4）

【解析】

【分析】（l）應(yīng)用余弦定理及正弦定理化簡(jiǎn)求解即可;

（2）應(yīng)用正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合角的范圍得出進(jìn)而得出邊長(zhǎng)范圍即可.

3

【小問(wèn)1詳解】

bcosA2accos8acosB

由余弦定理得

ccosB2=4c-2

a丁/七母4日.八csin5cosA+sinAcosBsin（A+B）sinC

由正弦定理得sinC-cosB=--------------------------=——---------=-------

222

因?yàn)椤Ｊ侨切蝺?nèi)角，所以sinC>0,

所以cos3=1,所以3=N.

23

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知，B=—，C=----A,

33

.71

0<A<一

2

在銳角VAAC中，有〈

2兀，兀

0<------A<一

32

所以J<A<[,tanA>,

623

由正弦定理得，三二三，

sini4sinC

2sinpK八]

所以tzsinC‘inI3\sinA+J3cosA,,3

c=-------=-----------------=------------------=1+------

sin/As\nAsin4tanA

因?yàn)閠arbA〉，^，則1十二￡（1,4）,

3taMv7

所以c的取值范圍是（1,4）.

18.如圖所示，四邊形A8CO為菱形，AB=2,N8AQ=60。，將△48。沿8。折起（折起后A到。的位

置），設(shè)P4=6，點(diǎn)M是線段PC的中點(diǎn).

B

（1）證明：Q4//平面MB。；

（2）證明：平面QAC_L平面A/8O；

（3）求二棱錐的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析（3）走

4

【解析】

【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)得OM//PA,再利用線面平行的判定定理，即可求解；

（2）根據(jù)條件得到4O_L4C,BDA.OP,利用線面垂直的判定，得3。1平面R4C,再利用面面垂

直的判定，即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)尸作根據(jù)條件得P7/JL面A5CO,再求出P"及S讖e，利用

VM-PRD=；VP-CRD，即可求解?

【小問(wèn)1詳解】

連接OM,

???。,加分別是AC,PC中點(diǎn)，〃0A,

又*'OMu平面MHO,PAqMBD,：?PA//面MBD.

【小問(wèn)2詳解】

連接OP,

在菱形A8CO中，ZBAT）=60°,所以△成。和△8PD是等邊三角形，

???BO_LAC,BD1OP,

又ACp|OP=O，ACOPu面R4C,所以1平面PAC，

又BOu面所以平面A4C_L平面

【小問(wèn)3詳解】

過(guò)點(diǎn)P作P〃_LAC,

由（2）知，33/平面B4C，又PHu面PAC,：.BD上PH,

又BDcAC=O,BDACu面ABC。，所以尸”_1_面A3CD，

???AB=2,ZBAZ）=60°.所以O(shè)P=04=6，

3

又AP=6所以三角形APO為等邊三角形，，「H=/,

又S4BCD=-^x2x2sin60°=>/3,

故三棱錐〃—尸況)的體積匕…g=匕…。=；心的=9京徵。xP"=￥.

19.已知向量。=(2sinx,Jicos;t),^=(cosx,2cosx),函數(shù)/*)=。不一百.

(1)求函數(shù)/(幻的解析式及最小正周期；

TTTT

(2)若工￡［一；,二］,求函數(shù)/(X)的值域；

36

(3)將函數(shù)/*)的圖象右移4個(gè)單位，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，

6

得到函數(shù)以M的圖象.若不等式。［；*。)+8$幻2一(24+1)［；式幻-85劃一2。-2〈0在1€［0,3］恒成

立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴f(x)=2sin(2x+T),最小正周期兀

⑵［->/3,2］

(3)ClG(—1,1)

【解析】

【分析】(1)利用數(shù)最積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角公式、輔助角公式求解/(幻，并求出周期.

(2)利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域.

(3)求出g(x),換元轉(zhuǎn)化為含參的二次型函數(shù)恒成立問(wèn)題求解.

【小問(wèn)1詳