2022年高考數學一輪復習講練測（新高考?浙江）

第八章空間向量與立體幾何

專題8.8立體幾何綜合問題（練）

【夯實基礎】

1.（2020?全國高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，

以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與

底面正方形的邊長的比值為（）

【答案】C

【解析】

故選：C.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】B

【解析】

故選：B.

【答案】D

【解析】

【詳解】

故選：D.

2225八157355

A.—B.—C.D.

7850113

【答案】B

【解析】

依題意，L=：丁,1，）二工

設圓錐底面圓的半徑為尸，高為力，

375

所以m%河+即廳的近似值為25

—,故選B.

8

【答案】D

【解析】

A

X

。B

6.（2019?全國高考真題（文））中國有悠久的金石文化，卬信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長

方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是

由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半

正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有_______

個面，其榜長為

圖1圖2

【解析】

【分析】

第一問可按題目數出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決

【詳解】

【答案】尚2

【解析】

【詳解】

故答案為:1

故答案為：w

10.（2020?全國高三專題練習（文））現代足球運動是世上開展得最廣泛、影響最大的運動項目，有人稱

它為“世界第一運動”.早在2000多年前的春秋戰(zhàn)國時代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經過阿拉

伯人傳到歐洲，發(fā)展成現代足球.1863年10月26英國人在倫敦成立了世界上第一個足球運動組織一一

英國足球協(xié)會，并統(tǒng)一了足球規(guī)則.人們稱這一天是現代足球的誕生日.如圖所示，足球表面是由若干黑

色正五邊形和白色正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個面

的公共邊叫做足球的棱.己知足球表面中的正六邊形的面為20個,則該足球表面中的正五邊形的面為

個，該足球表面的棱為______條.

【答案】1290

【解析】

足球每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起；

每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，

另3條邊則與其他白色皮子的邊縫在一起.

所以設這個足球有x塊正五邊形，?共有5x條邊，其中白皮三條邊和黑皮相連,

又足球表面中的正六邊形的面為20個，

該足球表面中的正五邊形的面為12個；

因為任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱，

所以每條棱由兩條邊組成，

故答案為：12；90.

【提升能力】

A.27tB.3兀C.4兀D.5兀

【答案】C

【解析】

如圖，

M

故選:C

2.[2021?山東濰坊市.高三三模）阿基米德在他的著作《論圓和圓柱》中，證明了數學史上著名的圓柱容球

定理：圓柱的內切球（與圓柱的兩底面及側面都相切的球）的體積與圓柱的體積之比等于它優(yōu)的表面枳之

比.可證明該定理推廣到圓錐容球也正確，即圓錐的內切球（與圓錐的底面及側面都相切的球）的體枳與

圓錐體積之比等于它們的表面積之比，則該比值的最大值為.

【答案】!

2

【解析】

【詳解】

設圓錐的底面半徑為，母線長為/,圓錐內切球半徑為/?,

作出圓錐的軸截面如下圖所示：

3.[2021.永州市第四中學高三月考）農歷五月初五是端午節(jié).這一天民間有吃粽子的習俗，據說是為了紀

念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構成的，

將它沿虛線折起來，可以得到六面體的粽子.如果粽子的餡是六面體內的一個球狀物，則粽子餡的最大體

積為.

<=>

【解析】

易知球與六個面都相切時體積最大，此時球心到六個面的距離即為球的半徑，進而利用等體積法即可解得.

【詳解】

如圖，

【解析】

【答案】①②④

【解析】

故答案為：①②④

【解析】

【詳解】

圖I

圖2

【解析】

【詳解】

以D為原點，DA,DC,。。1所在直線分別為x,z建立空間直角坐標系如圖,

（1）證明：直線EG與燈7相交，且交點在直線AC上；

（2）當四面體48CD的體積最大時，求四邊形EFHG的面積.

【解析】

【詳解】

所以直線EG與尸月相交，

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為45°.

【解析】

([)求證:PA〃平面BEF；

(H)若PC與AB所成角為45。，求PE的長；

(III)在(H)的條件下，求二面角FBEA的余弦值.

【解析】

([)證明：連接然交跖于0,并連接F0,

???AE//BC,且小BC

???四邊形◎'為平行四邊形

???。為以中點

又F為/1〃中點

由M四為平行四邊形可得EC//AB

【拓展思維】

【解析】

【詳解】

N

故根據對稱性可知確定球面三角形的三個大圓所成的二面角均為5，

阿波羅尼奧斯

【答案】|苧

【解析】

【詳解】

故答案為：g；苧?

C.

(1)求曲線「的長度；

【解析】

(1)曲線「的長度為矩形的對角線長度.其中矩形的寬為圓柱的高，長為底面的半圓長,

【解析】

通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明線線垂直和求

出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案.

【詳解】

【解析】

通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明線線垂直和求

出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案.

【詳解】

C

7.（2021?山東高三一模）如圖①所示，平面五邊形A6COE中，四邊形A5CO為直角梯形，/6=90。且A。

HBC,若4。=24c=2,48=6，是以A。為斜邊的等腰直角三角形，現將沿A。折起，連接

EB.EC得如圖②的幾何體.

圖①圖②

（1）若點M是￡D的中點，求證：CM〃平面A8E；

（2）若EC=2,在棱￡8上是否存在點F,使得二面角E4Q〃的大小為60。？若存在，求出點廣的位置；若

不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；F點為EB的中點.

【解析】

【詳解】

故以，為坐標原點，分別以"C,HA，”七所在的直線為X軸，》軸，z軸；

如圖建立空間直角坐標系，

故存在尸點為￡3的中點.

????兄

H

【解析】

1點8是。0I二的動點,

D

(2)求點〃到平面ABE的距離；

【解析】

【詳解】

所以線段FG的長即為點F到平面/腿的距離，

即點F到平面A破的距離為空；

(3)如圖，以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系,

(2)由已知可證得D4,