探索與表達(dá)規(guī)律（知識(shí)清單+4大題型+好題必刷）

g題型匯聚

［題型二數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索.............................................?

?題型二圖形類(lèi)規(guī)律探索?

9知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1.規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去

探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與

前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式.

（2）利用方程解決問(wèn)題.當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為戈，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知

數(shù)，然后列方程.

知識(shí)點(diǎn)2.規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)

圖形的變化類(lèi)的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求

解.探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題.

題型練習(xí)

【題型一】數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索

【例1】（24-25七年級(jí)上?北京?期中）找規(guī)律填數(shù)字是一個(gè)很有趣的活動(dòng)，特別鍛煉觀察和思考能力.下列選項(xiàng)中，

填入數(shù)列力，13,45,97,（）,261,正確的是（）

A.169B.125C.137D.189

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索

【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)的差依次增加20是解題的關(guān)鍵.根據(jù)所給數(shù)字，發(fā)現(xiàn)其

中的規(guī)律即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：觀察所給數(shù)列可知，

???13-1=12,

45-13=32=12+1x20,

97-45=52=12+2x20,

由此可見(jiàn)，相鄰兩數(shù)的差依次增加20,

.?.97+12+3x20=169,且261-169=92=12+4x20,

???空缺處的數(shù)字為169.

故選：A.

【舉一反三】

1.（24-25七年級(jí)上?陜西渭南?期中）在如圖所示的運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入x的值是2,第1次輸出的結(jié)果是-1,

第2次輸出的結(jié)果是1,依次繼續(xù)下去…，第1000次輸出的結(jié)果是（）

A.4B.-1C.1D.-2

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索

【分析】本題主要考杳了數(shù)字類(lèi)的規(guī)律探索，根據(jù)流程圖計(jì)算出前6次的輸出結(jié)果可知從第2次輸出開(kāi)始，每三次輸

出為一個(gè)循環(huán)，輸出的結(jié)果依次為1、-2、4,據(jù)此規(guī)律求解即可.

【詳解】解：第1次輸出的結(jié)果為-1,

第2次輸出的結(jié)果為1,

第3次輸出的結(jié)果為1-3=-2,

第4次輸出的結(jié)果為(-2『=4,

第5次輸出的結(jié)果為4-3=1,

第6次輸出的結(jié)果為1-3=-2,

...,

由此可知，從第2次輸出開(kāi)始，每三次輸出為一個(gè)循環(huán)，輸出的結(jié)果依次為1、-2、4,

?.-(1000-1)4-3=333,

???第100()次輸出的結(jié)果為4,

故選:A.

2.(23-24七年級(jí)上?廣西河池?期中)若。是不為1的有理數(shù)，我們把"一上稱(chēng)為〃的差倒數(shù)，已知%是/的

\-a3

差倒數(shù)，%是生的差倒數(shù)…以此類(lèi)推，生022的差倒數(shù)%023=.

【答案】g

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索

【分析】本題考查了數(shù)字類(lèi)的規(guī)律探究.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律.

由題意知4=，=——=:，%=7~二=一2,%=)一二；,……，即每3個(gè)數(shù)循環(huán)一次，由

31-a)21-tz2I./3

2023?674=31,求解作答即可.

113111

a

【詳解】解：由題意知6=7，2=~.-=彳，?3=--------=-2,^4=---------=-............

31-tZj2l-a21-flj3

.??每3個(gè)數(shù)循環(huán)一次，

???2023+674=3??…I,

?\(n(\h(\h(I1

(4)原式:5x1--+---+---+??+-----------

(99101

=lxfi--Ll

2I101）

1100

=—x

2101

50

=而

【題型二】圖形類(lèi)規(guī)律探索

【例2】（24-25七年級(jí)上?貴州畢節(jié)?期中）如圖，用五角星按一定的規(guī)律擺成下列圖形，依照此規(guī)律，笫300個(gè)圖形中

五角星的個(gè)數(shù)是（）

￥￥￥M

平千

千平

千千

￥￥千

￥￥￥M￥平平￥…

￥￥:

*

*

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

A.301B.601C.302D.901

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】圖形類(lèi)規(guī)律探索

【分析】本題考查了規(guī)律型一圖形的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律.

根據(jù)第1個(gè)圖形有五角星：4=3xl+l（個(gè)）：第2個(gè)圖形有五角星：7=3x2+1（個(gè)）；第3個(gè)圖形有五角星：10=3x3+1

（個(gè)）；第4個(gè)圖形有五角星：13=3x4+1（個(gè)）；然后找出規(guī)律即可求解.

【詳解】解：第1個(gè)圖形有五角星：4=3xl+l（個(gè)）；

第2個(gè)圖形有五角星：7=3x2+l（個(gè)；；

第3個(gè)圖形有五角星：10=3x3+1（個(gè)）；

第4個(gè)圖形有五角星：13=3x4+1（個(gè)）：

第〃個(gè)圖形有五角星：3〃+1（個(gè)）；

當(dāng)〃二300時(shí)，3x300+1=901（個(gè)）：

故選：D.

【舉一反三】

1.（24-25七年級(jí)上?廣西南寧,期中）如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一

共有2個(gè)空心菱形，第②個(gè)圖形中一共有5個(gè)空心菱形，第③個(gè)圖形中一共有11個(gè)空心菱形，…，按此規(guī)律排列下

去，第⑥個(gè)圖形中空心菱形的個(gè)數(shù)為（）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】圖形類(lèi)規(guī)律探索

【分析】本題考查了圖形的變化類(lèi)-規(guī)律型，根據(jù)各圖形中空心菱形各數(shù)的變化，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

22

設(shè)笫〃個(gè)圖形中有％個(gè)空心菱形（〃為正整數(shù)），得到%=r+1=2,.=22+1=5,U5=3+2=11,a4=4+2=18,

a22

…，in-=（2/?-1）+n,a2n=（2/?）+n,當(dāng)2〃=8,時(shí)〃=4，=8'+4=68,即可得到答案?

【詳解】解：設(shè)第〃個(gè)圖形中有?！皞€(gè)空心菱形（〃為正整數(shù)），

222

va,=T4-1=2,=24-1=5,=3+2=11,<74=4+2=18,…，

“2”-1=（2〃-1）-+〃，=（2〃）~+〃，

當(dāng)2〃=8,〃=4時(shí)，/=8?+4=68,

故選：C.

2.（24-25七年級(jí)上?青海西寧?期中）將長(zhǎng)度相同的木棒按如圖所示的方式擺放，圖1中有5根木棒，圖2中有9根木

棒，圖3中有13根木棒，…，按此規(guī)律擺放下去，則圖8中木棒的根數(shù)是.

【知識(shí)點(diǎn)】圖形類(lèi)規(guī)律探索

【分析】本題考查圖形的變化類(lèi).熟練掌握?qǐng)D形變化規(guī)律，列代數(shù)式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

根據(jù)圖形可以寫(xiě)出前幾個(gè)圖案需要的小木棒的數(shù)量，即可發(fā)現(xiàn)小木棒數(shù)量的變化規(guī)律，從而可以解答本題.

【詳解】解：由圖可得，

圖案①有：1+4=5根小木棒；

圖案②有：l+4x2=9根小木棒：

圖案③有：1+4x3=13根小木棒：…；

???第〃個(gè)圖案有：1+4〃根小木棒.

當(dāng)〃=8時(shí)，1+4x8=33.

???第⑧個(gè)圖案有：33根小木棒.

故答案為：33.

3.(24-25七年級(jí)上?廣東珠海?期中)綜合與實(shí)踐.

在一個(gè)創(chuàng)新教育中心，學(xué)生們正在參與一個(gè)名為“火柴棍工程”的綜合實(shí)踐活動(dòng).這個(gè)活動(dòng)旨在通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐來(lái)培養(yǎng)學(xué)

生的空間想象力、邏輯思維和數(shù)學(xué)計(jì)算能力.如圖所示，學(xué)生們需要使用火柴棍來(lái)構(gòu)建一系列由三角形組成的圖形，

并探索這些圖形的數(shù)學(xué)規(guī)律.

(1)實(shí)踐操作：如果圖形中含有4個(gè)三角形，那么拼成這個(gè)圖形需要一根火柴棍.

(2)數(shù)學(xué)探究：如果圖形中含有〃個(gè)三角形，那么拼成這個(gè)圖形需要一根火柴棍.

(3)應(yīng)用數(shù)學(xué)：若圖形中含有2024個(gè)三角形，并且每根火柴棍的長(zhǎng)度為。cm,則圖形中所有火柴棍的長(zhǎng)度和為多少？

【答案】（1）9

⑵（2〃+1）

（3）4049“cm

【知識(shí)點(diǎn)】圖形類(lèi)規(guī)律探索

【分析】本題主要考查了圖形類(lèi)的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意數(shù)出圖形中含有4個(gè)三角形時(shí)需要的火柴棒數(shù)量即可；

（2）觀察圖形可知，每多一個(gè)三角形，則要多兩根火柴棒，據(jù)此規(guī)律求解即可；

（3）根據(jù)（2）所求求出所需要的火柴棒數(shù)量即可得到答案.

【詳解】（1）解：由題意得，如果圖形中含有4個(gè)三角形，那么拼成這個(gè)圖形需要9根火柴棒;

（2）解：圖形中含有1個(gè)三角形，需要3根火柴棒，

圖形中含有2個(gè)三角形，需要3+2=5根火柴棒，

圖形中含有3個(gè)三角形，需要3+2x2=7根火柴棒，

圖形中含有4個(gè)三角形,需要3+2x3=9根火柴棒，

以此類(lèi)推，可知，圖形中含有〃個(gè)三角形，需要3+2（〃-1）=（2〃+1）根火柴棒，

（3）解：當(dāng)圖形中含有2024個(gè)三角形時(shí)，火柴棍的根數(shù)為2x2024+1=4049（根），

???圖形中所有火柴棍的長(zhǎng)度和為4049acm.

“好題必刷______________________________________

一、單選題

1.與偶數(shù)〃（〃>2）相鄰的兩個(gè)偶數(shù)分別是（）.

A.〃-1和〃+1B.〃-2和〃+2C.〃-3和〃+3D.2〃和4〃

【答案】B

【分析】相鄰偶數(shù)間相差2,所以與偶數(shù)〃（〃>2）相鄰的兩個(gè)偶數(shù)分別是〃-2和〃+2.

【詳解】解：由題意得：

與偶數(shù)>2）相鄰的兩個(gè)偶數(shù)分別是〃一2和〃+2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式中數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，相鄰偶數(shù)間相差2是解題的關(guān)鍵，把未知的偶數(shù)用字母表示出來(lái),

即可得出答案.

2.如圖，用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第10個(gè)圖形需棋子（）枚

OOOOOO

OOOOOOOO????

OOOOOO

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖

A.25B.28C.31D.34

【答案】C

【分析】本題考查了圖形規(guī)律問(wèn)題，旨在考查學(xué)生的抽象概括能力，根據(jù)圖示確定一般規(guī)律即可求解.

【詳解】解：由圖可知：第1個(gè)圖形需棋子：3+1=4（枚）；

第2個(gè)圖形需棋子：3x2+l=7（枚）；

第3個(gè)圖形需棋子：3x3+1=10（枚）：

???第10個(gè)圖形需棋子：3x10+1=31（枚）；

故選：C.

3.同學(xué)們做操，排成一個(gè)正方形的隊(duì)伍，從前、后、左、右數(shù)，小紅都是第5個(gè)，問(wèn)一共有（）人.

A.81B.25C.32D.120

【答案】A

【分析】此題考查了方陣問(wèn)題中總點(diǎn)數(shù)=每邊點(diǎn)數(shù)x每邊點(diǎn)數(shù)的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)行、列排列特點(diǎn)求出每邊人數(shù).

因?yàn)閺那?、后、左、右?shù)，小紅都是第5個(gè)，所以每行都有：5x2-1=9人，由此利用方陣問(wèn)題中：總?cè)藬?shù):每邊人數(shù)

X每邊人數(shù)，即可解答.

【詳解】解：每邊人數(shù)是：5x2-1=9（人），

共有：9x9=8l（人），

答：一共有81人.

故選:A.

4.某種細(xì)胞開(kāi)始分裂時(shí)有兩個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去一個(gè)，3小時(shí)后分裂成

10個(gè)并列去一個(gè)，按此規(guī)律，8小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是（）

A.253B.256C.257D.259

【答案】C

【分析】木題考杳了乘方的應(yīng)用，數(shù)字類(lèi)的規(guī)律探究，根據(jù)前幾個(gè)的情況得出一般規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.從特殊出

發(fā)，歸納得到一般規(guī)律：〃個(gè)小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是2"+1，再進(jìn)一步解答即可完成.

【詳解】解：根據(jù)題意，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，剩3個(gè)，3=2+1；

2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，剩5個(gè)，5=22+1；

3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，剩9個(gè)，9=23+1；

n個(gè)小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是2"+1，

當(dāng)〃=8時(shí)，存活個(gè)數(shù)是2*+1=257.

故選：C.

5.如圖，把周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度的圓放到數(shù)軸（單位長(zhǎng)度為1）上，4,。三點(diǎn)將圓三等分，將點(diǎn)/與數(shù)軸上表示

1的點(diǎn)重合，然后將圓沿著數(shù)軸正方向滾動(dòng)，依次為點(diǎn)8與數(shù)軸上表示2的點(diǎn)重合，點(diǎn)C與數(shù)軸上表示3的點(diǎn)重合，

點(diǎn)力與數(shù)軸上表示4的點(diǎn)重合，…，若當(dāng)圓停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)8正好落到數(shù)軸上，則點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)可能為（）

,，鉗

-1012345

A.2021B.2022C.2023D.2020

【答案】A

【分析1本題主要考查數(shù)軸，找規(guī)律，找到圓的滾動(dòng)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圓的滾動(dòng)規(guī)律可知3次一個(gè)循環(huán)，將各

選項(xiàng)中的數(shù)字除以3,根據(jù)余數(shù)可判定求解.

【詳解】解：由題意得：圓沿著數(shù)軸正方向滾動(dòng)一次按/,B,。的順序排列：

2020+3=673..」,所以此時(shí)點(diǎn)A正好落在數(shù)軸上；

2021+3=673...2,所以此時(shí)點(diǎn)5正好落在數(shù)軸上;

2022+3=674,所以此時(shí)點(diǎn)。正好落在數(shù)軸上；

2023+3=674.，，所以此時(shí)點(diǎn)火正好落在數(shù)軸上.

觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)A符合題意，

故選:A.

6.一個(gè)正整數(shù)等于兩個(gè)不相等的正整數(shù)的和與這兩個(gè)不相等的正整數(shù)的積之和，稱(chēng)這個(gè)整數(shù)為“可拆分”整數(shù)，反之則

稱(chēng)“不可拆分”整數(shù).例如，11=1+5+1x5,11是一個(gè)“可拆分”整數(shù).下列說(shuō)法：

①最小的“可拆分”整數(shù)是3；

②27是“可拆分”整數(shù)；

③一-個(gè)“可拆分，，整數(shù)的拆分方式可以不止有一-種；

④最人的“不可拆分”的兩位整數(shù)是96.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索；根據(jù)題目中的定義逐一分析各式即可求出.

【詳解】解：設(shè)M為一個(gè)“可拆分”整數(shù)，力、〃為兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且例=2+8+孫

...〃=力+陽(yáng)+1+8-1=（1+2）（1+8）-1,

即〃+1=（1+>4）（1+B）,

?）、8為兩個(gè)不相等的正整數(shù),

???A、8的最小值為1和2,

此時(shí)例=（1+4）（1+8）-1=2x3-1=5,

???最小的“可拆分”整數(shù)是5,①錯(cuò)誤：

???27是“不可拆分”整數(shù)，二②錯(cuò)誤；

11=1+5+1x5=2+3+2x3?

一個(gè)“可拆分”整數(shù)的拆分方式可以不只有一種，③正確；

由上可得用+1=（1+>4）（1+B）,

當(dāng)〃=9798或99時(shí).，M+1=98.99,100,它們都可以化成兩個(gè)不相等的正整數(shù)的積,

.?.97、98或99都是“可拆分”整數(shù)，

當(dāng)例=96時(shí)，〃+1=97,

???97是質(zhì)數(shù)，

.??不存在不相等的正整數(shù)4和4使%+1=（1+力）（1+切成立，

.??最大的“不可拆分”的兩位整數(shù)是96,④正確；

???正確的有2個(gè)；

故選：B.

7.在求兩位數(shù)的平方時(shí)，可以用"列豎式''的方法進(jìn)行速算，求解過(guò)程如圖所示：

A.1369B.4489C.4909D.5729

【答案】A

【分析】本題考查數(shù)字找規(guī)律，根據(jù)題意可知兩位數(shù)嬴的平方，第二行為2〃加，進(jìn)而得到〃切-21,再結(jié)合有理數(shù)的

乘方運(yùn)算求解，即可解題.

【詳解】解：根據(jù)題意可知兩位數(shù)嬴的平方，

第一行為（10〃）2+〃,，

第二行為2〃〃？,

第三行為（10〃）'+〃J+2〃〃ixl0,

,:2nm=42,則nm=21,

???3x7=21或1x21=21（不合題意，舍去），

XV372=1369,732=5329,

???最下面一行的數(shù)可能是1369,

故選：A.

8.找出以下圖形變化的規(guī)律，則第99個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是（）.

A.149B.150C.131D.152

【答案】A

【分析】本題考查了圖形的規(guī)律型變化類(lèi)，仔細(xì)觀察圖形并從中找到規(guī)律，然后利用找到的規(guī)律即可得到答案，解題

的關(guān)鍵是找到圖形的變化規(guī)律.

【詳解】解：觀察圖形可知，

第（1）個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是2,

第（2）個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是3,

第（3）個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是5,

第（4）個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)顯是6,

第（5）個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是

由此可得，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，第〃個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是（〃+;）人；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，第〃個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)

量是（〃+當(dāng)）個(gè)，

99+1

.??第99個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是99+工一=149,

故選：A.

9.如圖中每個(gè)圖形都是由口、。、△中的兩個(gè)（可以相同）構(gòu)成.觀察各圖形與它下面的數(shù)之間的關(guān)系，可知最右面

圖形下面的“？”表示（）

公◎囚◎回△同

221321331132?

A.23B.32C.13D.31

【答案】D

【分析】本題為圖形規(guī)律題，合理分析變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

觀察圖形找出規(guī)律求解即可.

【詳解】

察公可得：兩個(gè)三角形，一內(nèi)一外,

解：觀即三角形代表2；

22

觀察?可得：-內(nèi)-外，即正方形代表I,圓型代表3；

13

察區(qū)可得：一內(nèi)一外，即三角形代表2,正方形代表1；

觀

21

可得：一內(nèi)一外，即圓型代表3；

33

綜上一。內(nèi)一外，內(nèi)部圓形為3,外部正方形為1,則此圖為31：

故選：D.

10.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù);

+;

第1個(gè)數(shù):rOT)

第2個(gè)數(shù)：；(-1)3

I+TT+4

5

第3個(gè)數(shù)：1,+T)3"孚上+甲卜(-0

36

(-1廣T、

第〃個(gè)數(shù)：占l+y1+???1+

2〃

那么，在第9個(gè)數(shù),第10個(gè)數(shù)，第II個(gè)數(shù)，第12個(gè)數(shù)中,最小的數(shù)是（）

A.第9個(gè)數(shù)B.第10個(gè)數(shù)C.第11個(gè)數(shù)D.第12個(gè)數(shù)

【答案】D

【分析】本題考食了有埋數(shù)的混合運(yùn)算、代數(shù)式表示和規(guī)律探求，屬于?？碱}型，由前3個(gè)數(shù)的計(jì)算結(jié)果找到規(guī)律是

解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意分別計(jì)算第1個(gè)數(shù)、第2個(gè)數(shù)、第3個(gè)數(shù)后找出規(guī)律，然后進(jìn)行比較即得答案.

,+

【詳解】解：第1個(gè)數(shù)：gT)1-14=0,

22

3

，+(-0\_

第2個(gè)數(shù)：1T）X4X2=1_1+1=_1

34-334326

第3個(gè)數(shù)：14-i1,ii

，+i+-―i-Ii+-=一一,

TJ34542；3456424

所以第9個(gè)數(shù)，第10個(gè)數(shù)、第11個(gè)數(shù)、第12個(gè)數(shù)分別為白-J,其中最小的數(shù)為笫12個(gè)

1UN114/134

數(shù)，

故選：D.

二、填空題

11.觀察下列?組由★排列的“星陣”，按圖中規(guī)律，第6個(gè)“星陣”中的★的個(gè)數(shù)是

B

☆☆

☆☆

()⑵

【答案】44

【分析】本題考查了圖形類(lèi)規(guī)律探索，從所給圖形中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

從所給醫(yī)形中可發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一般規(guī)律：圖(〃)中★的個(gè)數(shù)是〃(〃+1)+2,由此即可得出答案.

【詳解】解：由題意可得：

圖(1)一共有l(wèi)x(l+l)+2=4個(gè)★,

圖(2)一共有2、(2+1)+2=8個(gè)*,

圖(3)一共有3乂(3+1)+2=14個(gè)支,

圖(4)一共有4x(4+l)+2=22個(gè)★,

???圖(〃)中★的個(gè)數(shù)是：〃(〃+1)+2,

.?.第6個(gè)喔陣”中的★的個(gè)數(shù)是：6x(6+l)+2=44,

故答案為：44.

12.一串有趣的圖案按一定規(guī)律排列.請(qǐng)仔細(xì)觀察，按此規(guī)律畫(huà)出的第10個(gè)圖案是:在前16個(gè)圖案中有

第2008個(gè)圖案是

【答案】5

【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的排列總結(jié)事圖形的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

①根據(jù)圖形的排列可知3個(gè)圖案一組，依次循環(huán)，故答案為：第10個(gè)圖案與第1個(gè)相同，是

②因?yàn)?6+3=5…1,所以在前16個(gè)圖案中有5個(gè);

4)

③因?yàn)?008+3=669…1,所以第2008個(gè)圖案與第1個(gè)相同是

【詳解】解：本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的排列總結(jié)出圖形的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

①根據(jù)圖形的排列可知3個(gè)圖案一組，依次循環(huán),

???第10個(gè)圖案與第1個(gè)相同,是

故答案為:

②?.?16+3=5…1,

???在前16個(gè)圖案中有5個(gè),

故答案為：5：

③2008+3=669-1,

???第2008個(gè)圖案與第1個(gè)相同是

故答案為：

13.用兒表示7x7x7X…x7（〃個(gè)7相乘）結(jié)果的個(gè)位數(shù)字，如：4=7,4=9,4=3,則

4+42+4+,,,+彳2023=?

【答案】10067

【分析】本題考查的是數(shù)字類(lèi)的規(guī)律探究，由題意可得：每個(gè)周期數(shù)字之和為7+9+3+1=20,共503個(gè)周期多一個(gè)

7,再列式計(jì)算即可.

【詳解】解：4=7,4=9,4=3,4=1,4=7,4=9,...?

7”的個(gè)位數(shù)以7,9,3,1四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，

而2013+4=503……1,

A1+A2+Ay+,,?+A2（）］3=503x（7+9+3+1）+7=10067,

故答案為：10067

14.將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線）.繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持

平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得到7條折痕，如果對(duì)折〃次，可以得到?條折痕（用含〃的代數(shù)式表示）.

第一次對(duì)折第二次對(duì)折第三次對(duì)折

【答案】2"-1/一1+2"

【分析】本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查，觀察得到對(duì)折得到的部分?jǐn)?shù)與折痕的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.對(duì)?前三次對(duì)折分析

不難發(fā)現(xiàn)每對(duì)折I次把紙分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分?jǐn)?shù)少1,得出第〃次對(duì)折，把紙分成2"部分,

得到2〃-1條折痕，即可求解.

【詳解】由圖可知，第I次對(duì)折，把紙分成2部分，得到1條折痕,

第2次對(duì)折，把紙分成4部分，得到3條折痕,

第3次對(duì)折，把紙分成8部分，得到7條折痕，

第4次對(duì)折，把紙分成16部分，得到15條折痕，

以此類(lèi)推，第〃次對(duì)折，把紙分成2"部分，得到2”-1條折痕，

故答案為：2"-1

15.一組按規(guī)律排列的代數(shù)式為：《，一《，《，一之，…，則第7個(gè)代數(shù)式為第〃個(gè)代數(shù)式為

3579

【答案】一a2w

13l72/7-1

【分析】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律、單項(xiàng)式規(guī)律題，能根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)所給單項(xiàng)式系數(shù)及次數(shù)的變化規(guī)律是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)所給單項(xiàng)式，觀察其系數(shù)及次數(shù)的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：由題意知，

所給代數(shù)式的系數(shù)依次為：-1,-

3579

所以第〃個(gè)代數(shù)式的系數(shù)為（-1）"；

所給代數(shù)式的次數(shù)依次為：2,4,6,8,10,…，

所以第〃個(gè)代數(shù)式的次數(shù)為2〃，

所以第〃個(gè)代數(shù)式可表示為：（-1）"'不'產(chǎn).

當(dāng)〃=7時(shí)，

第7個(gè)代數(shù)式為--匕

故答案為：一白（一答x?.

13Zn-1

16.觀察等式：2=2,2?=4,2'=8,2」=16,25=32,26=64,2?=128,….通過(guò)觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定2誣

的個(gè)位數(shù)字是.

【答案】2

【分析1本題主要考查了有理數(shù)的乘方規(guī)律型題.解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握以2為底的轅的末位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律.

可以看出，以2為底的事的末位數(shù)字是2,4,8,6依次循的，根據(jù)2021+4=505……1,得到2曲的個(gè)位數(shù)字是2.

【詳解】???2=2，2?=4,23=8,2:16,

2$=32,2‘=64,2?=128,28=256,

2。=512，…，

.??以2為底的累的末位數(shù)字是以2,4,8,6依次循環(huán)，

.-.20214-4=505……1,

22021的個(gè)位數(shù)字是2,

故答案為：2.

17.觀察下面點(diǎn)陣圖的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律填一填.

（2）按照這個(gè)規(guī)律還可以知道第〃個(gè)圖形的點(diǎn)陣中，一共應(yīng)畫(huà)（）個(gè)圓點(diǎn).

【答案】153+3〃/3〃+3

【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，結(jié)合題意確定圖形變化規(guī)律.是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意，確定圖形變化規(guī)律，可確定圖4中圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+3x4=15個(gè)；

（2）結(jié)合圖形變化規(guī)律，可知第〃個(gè)圖形的點(diǎn)陣中，一共應(yīng)畫(huà)（3+3”）個(gè)圓點(diǎn)，即可獲得答案.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可知

圖1中圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+3xl=6個(gè)，

圖2中圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+3x2=9個(gè)，

圖3中圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+3x3-12個(gè),

則圖4中圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+3x4=15個(gè),

（2）由（1）可知第〃個(gè)圖形的點(diǎn)陣中，一共應(yīng)畫(huà)（3+3〃）個(gè)圓點(diǎn).

故答案為：15；3+3〃.

18.如圖，淘氣用大小相同的磁力球搭建了一個(gè)7層金字塔模型，基座由7x7個(gè)磁力球組成，第二層由6x6個(gè)磁力球

組成，第三層由5x5個(gè)磁力球組成，…，頂部由一個(gè)磁力球組成，已知每相鄰兩個(gè)磁力球之間有且只有?個(gè)接觸點(diǎn)，

則這個(gè)金字塔模型共有____個(gè)接觸點(diǎn).

【答案】588

【分析】該題主要考查了圖形規(guī)律類(lèi)題型，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形規(guī)律.

根據(jù)圖形規(guī)律解答即可；

【詳解】解：???基座由7x7個(gè)磁力球組成，第二層由6x6個(gè)磁力球組成，笫三層由5x5個(gè)磁力球組成，…，頂部由一個(gè)

磁力球組成，

??.第六層內(nèi)接觸點(diǎn)有1x2x2=4個(gè)，

第五層內(nèi)接觸點(diǎn)有2x3x2=12個(gè)，

第四層內(nèi)接觸點(diǎn)有3x4x2=24個(gè)，

第三層內(nèi)接觸點(diǎn)有4x5x2=40個(gè)，

第二層內(nèi)接觸點(diǎn)有5x6x2=60個(gè)，

第一層內(nèi)接觸點(diǎn)有6x7x2=84個(gè)，

???第七層和第六層之間接觸點(diǎn)有4=4個(gè)，

第六層和第五層之間接觸點(diǎn)有4x22=16個(gè)，

第五層和第四層之間接觸點(diǎn)有4x3?=36個(gè),

第四層和第三層之間接觸點(diǎn)有4x4?=64個(gè),

第三層和第二層之間接觸點(diǎn)有4x5?=100個(gè)，

第二層和第一層之間接觸點(diǎn)有4x6=144個(gè)，

綜上，這個(gè)金字塔模型共有接觸點(diǎn)(1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7)x2+4x(12+22+32+4?+5?+6?)=588個(gè).

故答案為；588.

三、解答題

19.如圖，自行車(chē)每節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為2.5cm,交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm.

1節(jié)鏈條

(1)3節(jié)鏈條長(zhǎng)cm,10節(jié)鏈條長(zhǎng)cm；

(2)〃節(jié)鏈條長(zhǎng)是多少？

【答案】(1)5.9,17.8

⑵(L7〃+0.8)cm

【分析1本題主要考查了圖形的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出節(jié)鏈條的長(zhǎng)度與每節(jié)長(zhǎng)度之間的關(guān)系.

(1)根據(jù)圖形找出規(guī)律計(jì)算第3節(jié)、1()節(jié)鏈條的長(zhǎng)度即可；

(2))從特殊到一般，找到規(guī)律，得到〃節(jié)鏈條拉直后長(zhǎng)度為(L7〃+0.8)cm.

【詳解】(1)解：根據(jù)圖形可得出：

2節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為：(2.5x2-0.8)cm,

3節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為：(2.5x3-0.8x2)=5.9(cm),

4節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為：(2.5x4-0.8x3)cm,

5節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為：2.5x5-0.8x4(cm),

6節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為:2.5x6-0.8x5(cm),

7節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為：2.5x7-0.8x6=12.7(cm),

8節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為：2.5x8-0.8x7=14.4(cm),

9節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為:2.5x9-0.8x8=16.1(cm),

10節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為：2.5xl0-0.8x9=17.8(cm),

故答案為：5.9,17.8；

(2)解：〃節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為：2.5〃-0.3(〃-l)=(1.7〃+0.8)cm

20.觀察以下等式：

第I個(gè)等式：(100+1)2=10000+200+1,

第2個(gè)等式：(100+2)2=10000+400+4,

第3個(gè)等式：(100+3)2=10000+600+9,

第4個(gè)等式：(100+4『=10000+800+16,

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：二

(2)寫(xiě)出你猜想的第〃個(gè)等式(用含〃的式子表示).

【答案】(1)(100+5『=10000+1000+25

(2)(100+〃)'=10000+200/?+/

【分析1本題考查了數(shù)字的變化類(lèi)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各個(gè)等式并從中找到規(guī)律.

(I)根據(jù)提供的等式寫(xiě)出第5個(gè)等式即可;

(2)觀察前4個(gè)等式，找出規(guī)律即可得到第〃個(gè)等式.

【詳解】(1)解：第5個(gè)等式：。()()+5『=10()00+100()+25.

故答案為：(100+5)2=10000+1000+25.

(2)解：第1個(gè)等式：(100+1)2=10000+200+1=10000+200x1+12,

第2個(gè)等式：(100+2f=10000+400+4=10000+200x2+22,

第3個(gè)等式：(100+3)2=10000+600+9=10000+200x3+32,

第4個(gè)等式：(100+4)2=10000+800+16=10000+200x4+42,

/.第n個(gè)等式：(100+/?)2=1()000+20()7+?2,

?二猜想第〃個(gè)等式為(100+〃『=10000+200〃+.

21.定義：對(duì)于任意一個(gè)兩位數(shù)，交換個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的位置得到一個(gè)新數(shù)，我們把這樣的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)之為互為“友

好數(shù)”;如63的“友好數(shù)”是好.

(1)填空：27、68的“友好數(shù)”分另IJ是：

(2)對(duì)于任意一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的個(gè)位數(shù)字為十位數(shù)字為力，試說(shuō)明這個(gè)數(shù)與它的“友好數(shù)”之和一定能被11整除.

【答案】(1)72,86

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)、理解“友好數(shù)”的定義，按照定義分析是解題的關(guān)鍵。

(1)由“友好數(shù)”的定義可得答案;

(2)由題意得這個(gè)兩位數(shù)是106+*它“友好數(shù)”是10。+人計(jì)算兩個(gè)數(shù)的和，即可得證.

【詳解】(1)解:由“友好數(shù)”的定義可得，27、68的“友好數(shù)”分別是：72,86,

故答案為：72,86；

(2)對(duì)于任意一個(gè)兩位數(shù)，設(shè)它的個(gè)位數(shù)字為。，十位數(shù)字為人

則這個(gè)兩位數(shù)為：1（）力+%

它的“友好數(shù)”為：10。+6,

這兩個(gè)數(shù)的和為：106+。+10。+6=11（4+6）,

因?yàn)?，。力為正整?shù)，

所以，對(duì)于任意一個(gè)兩位數(shù)，這個(gè)數(shù)與它的“友好數(shù)”之和一定能被II整除.

22.如圖，從點(diǎn)。引出的射線（任兩條不共線）條數(shù)與角的總個(gè)數(shù)有如下關(guān)系：從點(diǎn)。引出兩條射線形成1個(gè)角：如

圖1從點(diǎn)。引出3條射線共形成3個(gè)角；如圖2從點(diǎn)。引出4條射線共形成6個(gè)角；如圖3從點(diǎn)。引出5條射線共形

成10個(gè)角.

（1）觀察操作：當(dāng)從點(diǎn)。引出6條射線共形成有個(gè)角.

（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖4當(dāng)從點(diǎn)O引出〃條射線共形成個(gè)角.（用含〃的式子表示）

【答案】（1）15；

【分析】本題考杳了角的概念，列代數(shù)式，規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)，從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）依次列出即可從數(shù)字找規(guī)律即可解答；

（2）利用第（1）找到的規(guī)律即可解答；

【詳解】（1）從點(diǎn)。引出3條射線共形成3個(gè)角，3=1+2,

從點(diǎn)。引出4條射線共形成6個(gè)角，6=1+2+3,

從點(diǎn)。引出5條射線共形成1（）個(gè)角，：0=1+2+3+4,

從點(diǎn)0引出6條射線共形成的角的個(gè)數(shù)有：1+2+3+4+5=15,

故答案為：15；

（2）由（1）得：從點(diǎn)。引出〃條射線共形成的角的個(gè)數(shù)為：1+2+3+...+（〃-1）=注4

故答案為?'

23-1125-327-529-711

23.先閱讀，再答題廠y,

77r15-3x5-35'35-5x77,63~779~7-9

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫(xiě)出:

222222

(3)計(jì)算,一+---1------1---1---"1----

315356399143195

【答案】(1)9；11

【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律的探索，結(jié)合題意分析規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題中規(guī)律得出第5個(gè)等式即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)題意總結(jié)出規(guī)律即可；

（3）結(jié)合（2）中規(guī)律求解即可.

【詳解】（1）解：由題意可得，第5個(gè)等式為9[=*119=51-'1,

999x]1911

故答案為：9：11；

211

（2）由題意可得，第"個(gè)等式：=------

故答案為：-------

n〃+2

（3）2+2+2+2+Z+2+2

315356399143195

2222222

---+----1-----1-----1-----

1x33x55x77x99x1111x1313x15

14

15

24.用三角形和六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案.

①②③

(1)第4個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)有個(gè)，六邊形的個(gè)數(shù)有個(gè)

(2)第〃(〃為正整數(shù))個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與六邊形的個(gè)數(shù)各有多少個(gè)？

(3)第2024個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與六邊形的個(gè)數(shù)各有多少個(gè)？

(4)是否存在某個(gè)符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個(gè)三角形與30個(gè)六邊形？如果有，指出是第幾個(gè)圖案；如果沒(méi)有,

說(shuō)明理由.

【答案】(1)10;4

(2)第〃個(gè)圖案中有正三角形(2〃+2)個(gè).六邊形有〃個(gè)

(3)三角形的個(gè)數(shù)為4050個(gè)；六邊形的個(gè)數(shù)為2024個(gè)

(4)沒(méi)有，理由見(jiàn)詳解

【分析】(1)觀察圖案，首先找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.即可得結(jié)論;

(2)結(jié)合(1)即可得一般形式；

(3)將〃=2024代入(2)中所得的一般式即可求解；

(4)根據(jù)30x2+2,100,可得不存在某個(gè)符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個(gè)三角形與30個(gè)六邊形.

本題是一道找規(guī)律的題目，注意由特殊到一般的分析方法，此題的規(guī)律為：第〃個(gè)就有正三角形2〃+2個(gè).這類(lèi)題型在

中考中經(jīng)常出現(xiàn).

【詳解】（1）解：第4個(gè)圖案中，三角形10個(gè)，六邊形有4個(gè)；

故答案為：10；4；

（2）解：由圖可知：

第一個(gè)圖案有正三角形4個(gè)為2x2.

第二圖案比第一個(gè)圖案多2個(gè)為2x2+2=6（個(gè)）.

笫三個(gè)圖案比第二個(gè)多2個(gè)為2x3+2=8（個(gè)）.

那么第〃個(gè)圖案中有正三角形（2〃+2）個(gè).六邊形有〃個(gè).

（3）解：由（2）知第〃個(gè)圖案中有正三角形（2〃+2）個(gè).六邊形有〃個(gè)

???第2024個(gè)圖案中,三角形與六邊形各有:2x2024+2=4050（個(gè)）,

.??三角形的個(gè)數(shù)為4050個(gè)；六邊形的個(gè)數(shù)為2024個(gè)

（4）解：沒(méi)有，理由如下：

■:30x2+2/100,

???不存在某個(gè)符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個(gè)三角形與30個(gè)六邊形.

25.觀察下列等式：

第1個(gè)等式：+1=

第2個(gè)等式：

第3個(gè)等式：+=

（1）請(qǐng)寫(xiě)出第5個(gè)等式：:

（2）寫(xiě)出第〃個(gè)等式：；（用含〃的式子表示，〃為正整數(shù)）

11

(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算:++???+

4JH4n44j20232024

【答案】⑴-:

JO36

…、1111

(2)----h----