2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽創(chuàng)新探索試卷一、選擇題（共10小題，每題5分，共50分）已知正整數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=2025)，且(a^2+b^2=c^2)，則(c)的最小值為（）A.1013B.1014C.1015D.1016若關(guān)于(x)的方程((k^2-1)x^2-(k+1)x+1=0)有且僅有一個實數(shù)根，則(k)的值為（）A.(\pm1)B.1C.(-1)D.0在平面直角坐標(biāo)系中，點(A(1,2))繞原點順時針旋轉(zhuǎn)(60^\circ)后的對應(yīng)點坐標(biāo)為（）A.((\cos60^\circ-2\sin60^\circ,\sin60^\circ+2\cos60^\circ))B.((\cos(-60^\circ)-2\sin(-60^\circ),\sin(-60^\circ)+2\cos(-60^\circ)))C.((\cos60^\circ+2\sin60^\circ,\sin60^\circ-2\cos60^\circ))D.((\cos(-60^\circ)+2\sin(-60^\circ),\sin(-60^\circ)-2\cos(-60^\circ)))如圖，在菱形(ABCD)中，(\angleBAD=60^\circ)，(AB=4)，點(E)為(BC)中點，點(F)在(CD)上，且(CF=1)，連接(AE,AF)交于點(G)，則(AG)的長度為（）A.(\frac{8\sqrt{3}}{5})B.(\frac{12\sqrt{3}}{7})C.(\frac{16\sqrt{3}}{9})D.(\frac{20\sqrt{3}}{11})已知(a,b)為正實數(shù)，且(a+b=1)，則(\frac{1}{a}+\frac{2}+\frac{4}{ab})的最小值為（）A.12B.15C.18D.21若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-m<0\7-2x\leq1\end{cases})的整數(shù)解共有4個，則(m)的取值范圍是（）A.(6<m\leq7)B.(6\leqm<7)C.(5<m\leq6)D.(5\leqm<6)定義新運算“(\otimes)”：(a\otimesb=\frac{a^2-b^2}{a-b})（(a\neqb)），則((2025\otimes2024)+(2024\otimes2023)+\cdots+(2\otimes1))的值為（）A.(\frac{2025\times2026}{2})B.(\frac{2025\times2024}{2})C.(2025^2-1)D.(2025^2)在(\triangleABC)中，(AB=5)，(AC=7)，(BC=8)，點(O)為(\triangleABC)的外心，則(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC})的值為（）A.12B.14C.16D.18若函數(shù)(y=|x^2-4x+3|-kx)有且僅有三個零點，則(k)的值為（）A.(-2\sqrt{2}+4)B.(2\sqrt{2}-4)C.(\pm(2\sqrt{2}-4))D.(\pm(2\sqrt{2}+4))從1到2025的所有正整數(shù)中，能被3或5整除但不能被15整除的數(shù)的個數(shù)為（）A.810B.811C.812D.813二、填空題（共6小題，每題5分，共30分）分解因式：(x^4+4x^3+6x^2+4x+5=)__________。已知(\alpha,\beta)為方程(x^2-5x+6=0)的兩根，則(\alpha^4+\beta^4=)__________。如圖，(\odotO)為(\triangleABC)的內(nèi)切圓，切點分別為(D,E,F)，若(AB=7)，(BC=8)，(AC=9)，則陰影部分（內(nèi)切圓與三角形的公共部分）的面積為__________。若實數(shù)(x,y)滿足(x^2+y^2=1)，則(x+y+xy)的最大值為__________。在數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)，則(a_{10}=)__________?，F(xiàn)有5個不同的紅球和3個不同的白球，從中任取4個球，要求紅球和白球至少各1個，則不同的取法共有__________種。三、解答題（共5小題，共70分）17.（12分）已知二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)的圖像過點(A(1,2))，(B(2,3))，且與(x)軸有兩個不同的交點(C,D)。（1）若(|CD|=2)，求(f(x))的解析式；（2）設(shè)(C,D)的橫坐標(biāo)分別為(x_1,x_2)，求證：(x_1^2+x_2^2>2)。18.（14分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=120^\circ)，點(D)為(BC)中點，以(AD)為直徑作(\odotO)，交(AB)于點(E)，交(AC)于點(F)，連接(EF)交(AD)于點(G)。（1）求證：(EF\perpAD)；（2）若(AD=2)，求(\triangleAEG)的面積。19.（14分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需消耗A原料3噸、B原料2噸，可獲利5萬元；生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需消耗A原料1噸、B原料4噸，可獲利3萬元。工廠現(xiàn)有A原料100噸，B原料120噸，且每天生產(chǎn)時間不超過8小時，生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需1小時，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需0.5小時。（1）設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品(x)噸，乙產(chǎn)品(y)噸，寫出(x,y)滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使每天的利潤最大？最大利潤為多少萬元？20.（15分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(a_1=1)，(S_{n+1}=2S_n+n+1)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)；（3）證明：對任意(n\geq2)，都有(T_n<\frac{3}{4})。21.（15分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(y=x^2-2mx+m^2-1)與(x)軸交于(A,B)兩點（點(A)在點(B)左側(cè)），與(y)軸交于點(C)。（1）求(A,B,C)三點的坐標(biāo)（用含(m)的式子表示）；（2）若點(P)為拋物線對稱軸上一點，且(\trianglePAB)為等腰三角形，求點(P)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過點(P)作直線(l)平行于(x)軸，交拋物線于另一點(Q)，連接(AQ,BQ)，求四邊形(AQBP)的面積。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）一、選擇題A2.B3.B4.C5.D6.A7.A8.C9.A10.B二、填空題((x^2+2x+1)(x^2+2x+5))12.9713.(\frac{16\pi}{9})14.(\frac{1+\sqrt{2}}{2})15.234116.120三、解答題17.（1）(f(x)=x^2-2x+3)或(f(x)=-x^2+4x-1)；（2）利用韋達定理證明(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2>2)。18.（1）連接(OE,OF)，證明(\triangleAEF)為等邊三角形；（2）(\frac{\sqrt{3}}{4})。19.（1）約束條件：(\begin{cases}3x+y\leq100\2x+4y\leq120\x+0.5y\leq8\x,y\geq0\end{cases})；（2）生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸，乙產(chǎn)品20噸，最大利潤160萬元。20.（1）(a_n=2^n-1)；（2）(T_n=\frac{1}{2}